Technische Mechanik II
VORLESUNGSSKRIPT
Prof. Dr. Georg Rill
© Februar 2017
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(x,y,z)
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x+dx
y+dy
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τyz
z+dz
τzy
σzz
τzx
(x+dx,y+dy,z+dz)
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©Rill, 26. Februar 2017
Inhalt
1
Grundgleichungen der Elasto-Statik
1.1 Modellvorstellung . . . . . . . . . . . . .
1.2 Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Formale Definition . . . . . . . .
1.2.2 Gleichgewicht . . . . . . . . . . .
1.2.3 Der Spannungstensor . . . . . . .
1.2.3.1 Definition . . . . . . .
1.2.3.2 Hauptspannungen . . .
1.2.3.3 Beispiel . . . . . . . .
1.3 Verformungen . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Verschiebungen und Verzerrungen
1.3.2 Dehnungen . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Verzerrungen . . . . . . . . . . .
1.3.4 Der Verzerrungstensor . . . . . .
1.3.5 Volumenänderung . . . . . . . .
1.4 Materialgesetz . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Querdehnung . . . . . . . . . . .
1.4.2 Allgemeines Hookesches Gesetz .
1.4.3 Kompressionsmodul . . . . . . .
1.5 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Ebener Spannungszustand . . . .
1.5.2 Elastomer Lager . . . . . . . . .
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2 Einfache Belastungsfälle
2.1 Äquivalenzbeziehungen . . . . . . . . . . . .
2.2 Zug- und Druck . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Spannungsansatz . . . . . . . . . . .
2.2.2 Verformungen . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Beispiel Rotorblatt . . . . . . . . . .
2.2.4 Beispiel Wärmedehnung . . . . . . .
2.3 Reine Biegung um y-Achse . . . . . . . . . .
2.3.1 Spannungsansatz . . . . . . . . . . .
2.3.2 Flächenmomente 2. Grades . . . . . .
2.4 Gerade Biegung . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Normalspannung . . . . . . . . . . .
2.4.2 Verformungen . . . . . . . . . . . .
2.5 Technische Biegelehre . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Die Euler-Bernoulli-Hypothese . . .
2.5.2 Ansatz von Euler und Bernoulli . . .
2.5.3 Biegelinie . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Katalog einfacher Biege-Belastungen . . . . .
2.6.1 Einspannung mit Einzelkraft . . . . .
2.6.2 Einspannung mit Streckenlast . . . .
2.6.3 Einspannung mit Moment . . . . . .
2.6.4 Gelenkige Lagerung mit Einzelkraft .
2.6.5 Gelenkige Lagerung mit Streckenlast
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OTH Regensburg
2.7
2.8
Technische Mechanik II
2.6.6 Gelenkige Lagerung mit Moment
Torsion kreiszylindrischer Wellen . . . .
2.7.1 Belastungsbeispiel . . . . . . . .
2.7.2 Schubspannungs-Ansatz . . . . .
2.7.3 Polares Flächenmoment . . . . .
2.7.4 Maximale Schubspannung . . . .
2.7.5 Verwindung oder Drillung . . . .
2.7.6 Verdrehung . . . . . . . . . . . .
2.7.7 Beispiel . . . . . . . . . . . . . .
2.7.8 Kreiszylindrische Rohre . . . . .
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Einfacher Gitterrost . . . . . . . .
2.8.2 Kompensationspendel . . . . . .
2.8.3 Draht unter Eigengewicht . . . . .
2.8.4 Vierpunkt-Biegung . . . . . . . .
2.8.5 Pinzette . . . . . . . . . . . . . .
2.8.6 Hohlwelle . . . . . . . . . . . . .
2.8.7 Bohrgestänge . . . . . . . . . . .
3 Statisch überbestimmte Systeme
3.1 Motivation . . . . . . . . . . . .
3.2 Beispiele . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Zusätzliche Strebe . . .
3.2.2 Zusätzliches Lager . . .
3.3 Lösungsschritte . . . . . . . . .
3.3.1 Teilsysteme . . . . . . .
3.3.2 Lineare Superposition .
3.3.2.1 Spindelpresse
3.3.2.2 Lagerung . . .
3.3.3 Kompatibilität . . . . .
3.3.3.1 Spindelpresse
3.3.3.2 Lagerung . . .
3.4 Übungen . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Gelenk-Träger . . . . . .
3.4.2 Träger mit Abspannseil .
3.4.3 Bretter über Grube . . .
3.4.4 Rahmen-Träger . . . . .
3.4.5 Welle mit Rohr . . . . .
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4 Knickung
4.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Exzentrische Krafteinleitung . . . . . . . . . .
4.2.1 Gleichgewicht am unverformten Bauteil
4.2.2 Gleichgewicht am verformten Bauteil .
4.3 Knickfälle nach Euler . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Knickspannung . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Förderband . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Wärmedehnung . . . . . . . . . . . . .
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5 Schiefe Biegung
30
5.1 Motivation und Belastungsszenario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2 Normalspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2.1 Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
ii
Technische Mechanik II (Festigkeitslehre)
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
Prof. Dr.-Ing. G. Rill
5.2.2 Neutrale Faser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Flächenmomente 2. Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Zusammengesetzte Querschnitte . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2.1 Beispiel Z-Profil . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2.2 Koordinatentransformation . . . . . . . . . . .
5.3.2.3 Ergebnis Z-Profil . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Hauptachsensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3.1 Bestimmungsgleichungen . . . . . . . . . . . .
5.3.3.2 Beispiel gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck
5.3.3.3 Beispiel Z-Profil . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4 Widerstandsmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schubspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Beispiel Rechteckquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . .
Verformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Vorüberlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2 Biegelinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2.1 Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . .
5.5.2.2 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2.3 Aufteilung in Biegung und Schub . . . . . . . .
5.5.2.4 Längs- und Querverformung . . . . . . . . . .
Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2 Beanspruchungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.3 Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.4 Biegelinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.4.1 Verformungen in der xy-Ebene . . . . . . . . .
5.6.4.2 Verformungen in der xz-Ebene . . . . . . . . .
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.1 Bauteil mit Nutquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.2 Flächenmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.3 Blattfeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Allgemeine Torsion
6.1 Belastungen und Spannungen . . . . . .
6.2 Kreiszylindrische Rohre . . . . . . . . .
6.3 Dünnwandig geschlossene Profile . . .
6.3.1 Schubspannung . . . . . . . . .
6.3.2 Verformungen . . . . . . . . .
6.3.3 Torsions-Flächenmoment . . . .
6.4 Schmale Rechteckquerschnitte . . . . .
6.4.1 Unterteilung in Hohlquerschnitte
6.4.2 Schubspannungen . . . . . . . .
6.4.3 Verwindung . . . . . . . . . . .
6.5 Dünnwandig offene Querschnitte . . . .
6.5.1 Prinzipielles Vorgehen . . . . .
6.5.2 Schubspannung . . . . . . . . .
6.5.3 Verformung . . . . . . . . . . .
6.5.4 Vergleich offen geschlossen . .
6.6 Torsion und Biegung . . . . . . . . . .
6.6.1 Allgemeines . . . . . . . . . .
6.6.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . .
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iii
OTH Regensburg
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58
58
58
58
59
59
7 Rotationssymmetrische Belastungen
7.1 Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Belastungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3 Verformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.4 Linear elastisches Materialverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Rohre und Behälter unter Innen- und Außendruck . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Tangentiale und radiale Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Mittlere Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Axiale Spannung bei geschlossenen Behältern . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Sonderfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Rotierende dünnwandige Ringe und Rohre . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Dünnwandige Rohre und Behälter unter Innen- und Außendruck . . . . . .
7.3.3 Geschlossene dünnwandige Behälter durch Unter- oder Überdruck belastet
7.4 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 Schwungscheibe mit Ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.2 Behälter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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68
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68
69
69
69
70
70
70
70
72
72
72
72
6.7
6.6.3 Spannungen aus der Biegebelastung . . .
6.6.4 Statisches Moment der Restfläche . . . .
6.6.5 Schubspannungsverlauf . . . . . . . . . .
6.6.6 Momentenwirkung und Schubmittelpunkt
6.6.7 Verformungen . . . . . . . . . . . . . .
6.6.8 Verallgemeinerung . . . . . . . . . . . .
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.1 Zusammengesetztes Bauteil . . . . . . .
6.7.2 Verkehrsampel . . . . . . . . . . . . . .
6.7.3 Seilwinde . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.4 Profil . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.5 Kragträger . . . . . . . . . . . . . . . .
Technische Mechanik II
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8 Spannungs- und Verformungszustände
8.1 Der zweiachsige Spannungszustand . . . . . . . . . .
8.1.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.2 Spannungen für verschiedene Schnittrichtungen
8.1.3 Hauptspannungen . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.4 Maximale Schubspannungen . . . . . . . . . .
8.1.5 Der Mohrsche Spannungskreis . . . . . . . . .
8.2 Vergleichsspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Bauteildimensionierung . . . . . . . . . . . .
8.2.2 Spannungsorientiert . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2.1 Die Normalspannungshypothese . .
8.2.2.2 Die Schubspannungshypothese . . .
8.2.3 Verformungsorientiert . . . . . . . . . . . . .
8.2.3.1 Formänderungsarbeit . . . . . . . .
8.2.3.2 Gestaltänderungshypothese . . . . .
8.3 Der zweiachsige Verformungszustand . . . . . . . . .
8.3.1 Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.2 Auswertung gemessener Dehnungen . . . . . .
8.4 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Hohlprofil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2 T-Profil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.3 Dehnmessrosette . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
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1 Grundgleichungen der Elasto-Statik
1.1 Modellvorstellung
x
y
In der Technischen Mechanik II oder der Festigkeitslehre steht das Modell des festen Körpers im Vordergrund.
Der feste Körper ist zwar deformierbar, aber die Verformungen bleiben im Vergleich zu den Abmessungen des
Körpers so klein, dass die Gleichgewichtsbeziehungen in
der Regel für das unverformte Bauteil angeschrieben werden können. Stabilitätsprobleme wie das Durchschnappen von Mechanismen, das Knicken dünner Stäbe oder
das Beulen dünnwandiger Bauteile bilden Ausnahmen
und müssen dann gesondert behandelt werden.
(x,y,z)
z
dx
dy
x+dx
y+dy
dz
dG
σyy
τxy
τyx
τxz
σxx
τyz
z+dz
1.2 Spannungen
τzy
σzz
1.2.1 Formale Definition
τzx
(x+dx,y+dy,z+dz)
Bild 1.1: Normal- und Schub-Spannungen am infinitesimalen Element
Schnittkräfte unterteilt man entsprechen ihrer Orientierung in Normal- und Querkräfte. Analog dazu unterscheidet man bei den Spannungen zwischen Normal- und
Schubspannungen. Normalspannungen σ wirken senkrecht zur Schnittfläche und die mit τ bezeichneten Schubspannungen liegen in der Schnittfläche. Die Vorzeichendefinition erfolgt analog zu den Schnittreaktionen jeweils
am positiven Schnittufer. Die Spannungen werden entsprechend der Schnitt- und ihrer Wirkrichtung durch jeweils zwei Indizes bezeichnet, Bild 1.1.
1.2.2 Gleichgewicht
Ein Schnitt senkrecht zur x-Achse hat die Normalspannung σxx in Richtung der x-Achse sowie mit τx y und τxz
Schubspannungen in Richtung der y- und z-Achse zur
Folge.
Um das Schnittprinzip anwenden zu können, müssen die
Spannungen durch Multiplikation mit den infinitesimal
kleinen Schnittflächen in Schnittkräfte umgewandelt werden.
Dementsprechend treten die Spannungen σy y , τyx und
τyz in einem Schnitt senkrecht zur y-Achse auf. Und ein
Schnitt senkrecht zur z-Achse hat die Spannungen σzz
τzx und τz y zur Folge.
Das Momentengleichgewicht um eine Achse parallel zur
x-Achse durch die Mitte des infinitesimalen Quaders liefert dann
1
2 dy τyz (x, y, z) + τyz (x, y +dy, z) dA y
(1.2)
− 21 dz τz y (x, y, z) + τz y (x, y, z+dz) dAz = 0
Der in Bild 1.1 dargestellte infinitesimale Quader mit
den Kantenlängen dx, dy,dz befindet sich an der Stelle (x, y, z). Die Schnittflächen mit positivem Schnittufer
liegen an den Stellen x + dx, y + dy und z + dz. An den
negativen Schnittufern sind die Spannungspfeile nicht
bezeichnet. Das Koordinatensystem ist so ausgerichtet,
dass das Eigengewicht
dG = ρ g dV = ρ g dxdydz
(1.1)
in Richtung der z-Achse wirkt. Da alle Abmessungen
hier in mm gemessen werden, die Erdbeschleunigung g
allerdings weiterhin in m/s2 angegeben wird, muss die
Dichte ρ hier in kg/mm3 eingesetzt werden.
wobei die Schubspannungen τyz und τz y multipliziert
mit den Flächen
dA y = dx dz
und
dAz = dx dy
(1.3)
zu Schnittkräften werden, die dann mit den Hebelarmen
1
1
2 dy und 2 dz multipliziert die Momentenanteile ergeben.
1
OTH Regensburg
Technische Mechanik II
Die aus den Normalspannungen resultierenden Schnittkräfte haben bezüglich der Quadermitte keine Momentenwirkung.
Die Schubspannungen τyz (x, y + dy, z), τz y (x, y, z + dz)
werden nun in eine Taylor-Reihe entwickelt, wobei Glieder höherer Ordnung vernachlässigt werden. Damit erhält man
∂ τyz (x, y, z)
dy
∂y
(1.4)
∂ τz y (x, y, z)
τz y (x, y, z+dz) ≈ τz y (x, y, z) +
dz
∂z
τyz (x, y +dy, z) ≈ τyz (x, y, z) +
wobei partielle Ableitungen erforderlich sind, da die
Spannungen ja Funktionen von x, y und z sind, die
Änderung aber jeweils nur in eine Koordinatenrichtung
betrachtet wird. In (1.2) eingesetzt bleibt unter Berücksichtigung von (1.3)
∂ τyz
1
2 2 τyz (x, y, z) + ∂ y dy dx dy dz
(1.5)
∂ τz y
1
− 2 2 τz y (x, y, z) +
dz dx dy dz = 0
∂z
Da die partiellen Ableitungen mit den infinitesimal kleinen Abmessungen dy und dz multipliziert werden, können diese Terme gegenüber den Spannungen τyz (x, y, z)
und τz y (x, y, z) vernachlässigt werden. Es bleibt dann
τyz (x, y, z) − τz y (x, y, z) = 0
(1.6)
Ähnliche Beziehungen erhält man aus den restlichen Momentensummen. Die Ergebnisse können im Satz der zugeordneten Schubspannungen
(1.7)
τzx (x, y, z) = τxz (x, y, z)
zusammengefasst werden.
Das Kräftegleichgewicht in x-Richtung liefert
σxx (x +dx, y, z) − σxx (x, y, z) dAx
+ τyx (x, y +dy, z) − τyx (x, y, z) dA y
+ τzx (x, y, z+dz) − τzx (x, y, z) dAz = 0
(1.8)
wobei die infinitesimalen Schnittflächen durch dAx =
dydz, dA y = dxdz, und dAz = dxdy gegeben sind.
Die Spannungen an den positiven Schnittufern σxx (x +
dx, y, z), τyx (x, y+dy, z) und τzx (x, y, z+dz) können nun
wieder analog zu (1.4) durch die beiden ersten Glieder einer Taylor-Reihe approximiert werden. Dann lautet
(1.8)
∂τyx
∂τzx
∂σxx
dy dzdx+
dz dxdy = 0
dx dydz+
∂y
∂z
∂x
(1.9)
2
Da die Abmessungen des infinitesimalen Quaders zwar
klein aber endlich sind, muss der Ausdruck in den runden
Klammern verschwinden. Berücksichtigt man noch die
Gleichgewichtsbeziehungen in y- und z-Richtung, dann
erhält man mit
∂σxx ∂τyx ∂τzx
+
+
∂x
∂y
∂z
∂τx y ∂σy y ∂τz y
+
+
∂x
∂y
∂z
∂τxz ∂τyz ∂σzz
+
+
∂x
∂y
∂z
= 0
= 0
(1.11)
= −ρ g
drei gekoppelte partielle Differentialgleichungen, die die
Spannungsänderungen innerhalb eines festen Körpers
beschreiben. Da die Gleichgewichtsbeziehungen auf das
Volumenelement dV = dxdydz bezogen sind, reduziert
sich die in z-Richtung wirkende Gewichtskraft dG auf
den Ausdruck ρ g.
Die partiellen Differentialgleichungen können allerdings
nur in Sonderfällen mit geeigneten Vereinfachungen analytisch gelöst werden.
1.2.3 Der Spannungstensor
1.2.3.1 Definition
τx y (x, y, z) = τyx (x, y, z)
τyz (x, y, z) = τz y (x, y, z)
Nach Ausklammern des Volumenelement dV = dxdydz
bleibt
∂σxx ∂τyx ∂τzx
dx dy dz = 0
(1.10)
+
+
∂x
∂y
∂z
Wegen (1.7) wird der räumliche Spannungszustand durch
drei Normal- und drei Schubspannungen vollständig
charakterisiert. Diese können im symmetrischen 3 × 3Spannungstensor zusammengefasst werden
 σxx

σ =  τx y
 τxz

τx y
σy y
τyz
τxz
τyz
σzz






(1.12)
Die Spannungen sind jedoch abhängig von der gewählten
Schnittrichtung.
1.2.3.2 Hauptspannungen
Es gibt stets drei aufeinander senkrechte Schnittrichtungen bei denen der Spannungstensor dann nur noch auf
Technische Mechanik II (Festigkeitslehre)
Prof. Dr.-Ing. G. Rill
liefert. Die homogenen Gleichungssysteme
der Hauptdiagonalen besetzt ist
 σxx τx y τxz 


=  τx y σy y τyz 
 τxz τyz σzz 


 σ1 0 0 


====> σ, H =  0 σ2 0 
σ,S
Schnitt 0 0 σ3 
richtungen


(1.13)
Die durch Komma abgetrennten Indizes kennzeichnen
mit S Schnitte in einem beliebigen Koordinatensystem
und mit H Schnitte im Hauptachsensystem. Die Hauptspannungen σ1 , σ2 und σ3 sowie die durch Einheitsvektoren e®1 , e®2 und e®3 gekennzeichneten Hauptspannungsrichtungen sind nicht-triviale Lösungen des homogenen
Gleichungssystems
σ,S − σ E e® = 0®
(1.14)
 ∓τx y τx y
0

 τx y ∓τx y
0

 0
0
∓τx y

geeignet
gedrehte


 e®1,2 = 0®



(1.21)
und
 0 τx y 0 


 τx y 0 0  e®3 = 0®
(1.22)



 0
0 0 

liefern dann die Hauptspannungsrichtungen, die hier
durch die Einheitsvektoren
√
√
 1 2
 −1 2 
0
 2√ 
 2√ 
 
1
1




e®1 =  2 2  , e®2 =  2 2  , e®3 =  0  (1.23)
 0 
 0 
1




 
wobei E eine 3 × 3-Einheitsmatrix bezeichnet. Das Eigenwertproblem (1.14) hat eine nicht triviale Lösung,
wenn
det σ,S − σ E = 0
(1.15)
festgelegt sind. Die Richtungen der Hauptspannungen
σ1 = +τx y und σ2 = −τx y sind hier also um 45◦ gegenüber den ursprünglichen Koordinatenachsen ex =
[ 1 0 0 ]T und e y = [ 0 1 0 ]T gedreht.
erfüllt ist. Die Bedingung (1.15) führt auf ein charakteristische Polynom, dessen Nullstellen die Hauptspannungen
σ1 , σ2 und σ3 liefern.
1.3 Verformungen
Die maximale Hauptspannung
1.3.1 Verschiebungen und Verzerrungen
σM = max (σ1, σ2, σ3 )
(1.16)
kann dann für die Dimensionierung des Bauteils verwendet werden.
1.2.3.3 Beispiel
Nimmt man an, dass ein Bauteil in der x-y-Ebenen lediglich durch die Schubspannung τx y beansprucht wird,
dann hat das homogene Gleichungssystem (1.14) die
Form
 −σ τx y 0 


 τx y −σ 0  e® = 0®
(1.17)


 0

0
−σ


Die notwendige Bedingung für eine Lösung
−σ τx y 0 (1.18)
det τx y −σ 0 = 0
0
0 −σ
führt auf ein Polynom 3. Grades
−σ +
3
σ τx2y
und
y
x
z
dx
dy
s(x,y
,z)
verformt
dz
unverformt
s(x+
dx,y
+
dy,z
+dz
)
Bild 1.2: Verformungen am Volumenelement
= 0
(1.19)
das sofort die Hauptspannungen
σ1,2 = ±τx y
Die Verformungen eines festen Körpers werden von
einem fest mit dem unverformten Körper verbundenen Koordinatensystem aus beobachtet. Dadurch können
die „Starrkörperbewegungen“ eliminiert werden. Da die
Eckpunkte des Volumenelements dV = dxdydz bei der
Verformung eines festen Körpers im allgemeinen unterschiedlich verschoben werden, kommt es auch zu Verzerrungen, Bild 1.2.
σ3 = 0
Der Vektor s® mit den Komponenten u, v und w beschreibt
die Verschiebungen einzelner Punkte. Gibt
(1.20)
s®x, y,z
 u(x, y, z) 


=  v(x, y, z) 
 w(x, y, z) 


(1.24)
3
OTH Regensburg
Technische Mechanik II
die Verschiebungen an der Stelle x, y, z an, dann kann der
Verschiebungsvektor an benachbarten Stellen über eine
Taylor-Reihe, die nach dem linearen Glied abgebrochen
wird, angenähert werden. So beschreibt dann
s®x+dx, y,z = s®x, y,z +
∂®sx, y,z
dx
∂x
u(x,y+dy,z)
dy
(1.25)
π/2 − γxy
Verschiebung an der Stelle (x + dx, y, z) und
ϕ2
u(x,y,z)
s®x+dx, y+d y,z+dz =
(1.26)
∂®sx, y,z
∂®sx, y,z
∂®sx, y,z
s®x, y,z +
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
gibt Verschiebung an der Stelle (x + dx, y + dy, z + dz)
an. Der Verschiebungsgradient
 ∂u
 ∂x

∂v
=  ∂x
 ∂w
 ∂x

∂u
∂y
∂v
∂y
∂w
∂y
∂u
∂z
∂v
∂z
∂w
∂z



∂®sx, y,z ∂®sx, y,z ∂®sx, y,z

H=

∂x
∂y
∂z



(1.27)
fasst alle erforderlichen partiellen Ableitungen zusammen.
Die Längenänderung eines Elements bezogen auf die
unverformte Länge gibt die Dehnung an. Die Eckpunkte
(x, y, z) und (x+dx, y, z) legen eine Elementkante mit der
unverformten Länge dx fest. Mit den x-Komponenten der
in (1.24) und (1.25) angegebenen Verschiebungsvektoren
ist die Dehnung in x-Richtung durch
u(x +dx, y, z) − u(x, y, z)
x =
dx
(1.28)
∂u
∂x
dx − u(x, y, z)
∂u
=
dx
∂x
(1.29)
Analog dazu geben dann
y =
∂v
∂y
und
z =
∂w
∂z
(1.30)
die Dehnungen in y- und z-Richtung an.
1.3.3 Verzerrungen
Die Verzerrung γx y beschreibt die Winkeländerung des
Volumenelements in der x y-Ebene, Bild 1.3.
4
v(x,y,z)
dx
Bild 1.3: Winkeländerung in der x y-Ebene
Sie setzt sich aus zwei Anteilen zusammen
γx y = ϕ1 + ϕ2 .
(1.31)
Für kleine Winkel ϕ1 1 und ϕ2 1 gilt in erster
Näherung
ϕ1 =
u(x, y +dy, z) − u(x, y, z) ∂u
=
dy
∂y
(1.32)
ϕ2 =
v(x +dx, y, z) − v(x, y, z) ∂v
=
.
dx
∂x
(1.33)
in (1.31) eingesetzt erhält man somit
γx y =
∂u
∂v
+
∂y
∂x
(1.34)
Analog dazu findet man für die Verzerrungen in der xzund yz-Ebene die Beziehungen und
definiert. In erster Näherung bleibt dann
u(x, y, z) +
v(x+dx,y,z)
und
1.3.2 Dehnungen
x =
ϕ1
γxz =
∂u
∂w
+
∂z
∂x
(1.35)
γ yz =
∂v
∂w
+
∂z
∂y
(1.36)
und
Genauso wie die Dehnungen können also auch die Verzerrungen über partiellen Ableitungen der Komponenten
des Verschiebungsvektors berechnet werden.
1.3.4 Der Verzerrungstensor
Das gesamte Deformationsverhalten eines festen Körpers
kann durch den symmetrischen Deformator oder Verzerrungstensor
Technische Mechanik II (Festigkeitslehre)



D = D = 



T
x
1
2 γx y
1
2 γx y
1
2 γ xz
y
1
2 γ xz
1
2 γ yz
1
2 γ yz
z








Prof. Dr.-Ing. G. Rill
dy + 2 dy und dz + 3 dz. Die Volumenänderung ist dann
durch
(1.37)
beschrieben werden. Die Dehnungen x , y , z und die
Verzerrungen γx y , γxz , γ yz können dabei gemäß (1.29),
(1.30) und (1.34) bis (1.36) aus den partiellen Ableitungen des Verschiebungsvektors ermittelt werden. Ein
Vergleich mit (1.27) zeigt, dass der Verzerrungstensor D
über
1
D =
H + HT
(1.38)
2
direkt aus dem Verschiebungsgradient H bestimmt werden kann. Genau wie beim Spannungstensor werden die
Dehnungen und Verzerrungen von der Richtung der Koordinatenachsen beeinflusst. Auch hier gibt es ein Hauptachsensystem, in dem die Verzerrungen verschwinden
und das gesamte Deformationsverhalten durch die Hauptdehnungen 1 , 2 und 3 charakterisiert wird. Auf Grund
der Symmetrie des Verzerrungstensors und der Orthogonalität der Koordinatensysteme gilt der wichtige Zusammenhang1
x + y + z = 1 + 2 + 3
∆V = (1+1 ) dx (1+2 ) dy (1+3 ) dz − dx dy dz
(1.40)
gegeben. Auf das anfängliche Volumen V0 = dx dy dz
bezogen erhält man
∆V
= (1+1 ) (1+2 ) (1+3 ) − 1
V0
Ausmultipliziert bleibt
∆V
= 1+1 +2 +3 +1 2 +1 3 +2 3 +1 2 3 −1 . (1.42)
V0
Bei kleinen Dehnungen 1 1, 2 1 und 3 1
können Terme höherer Ordnung vernachlässigt werden
und man erhält
∆V
= 1 + 2 + 3 = V
V0
(1.43)
Auf Grund der Invarianzbeziehung (1.39) ist die spezifische Volumenänderung oder die Volumendilatation eines
festen Körpers auch durch
(1.39)
Die Summe der Dehnungen ist damit unabhängig von
der Koordinatenrichtung.
(1.41)
V = x + y + z
(1.44)
gegeben. Die Verzerrungen γx y , γxz und γ yz haben also
im Rahmen dieser linearen Betrachtung keine Volumenänderung zur Folge.
1.3.5 Volumenänderung
Die Deformation eines festen Körpers kann durch die
Hauptdehnungen 1 , 2 und 3 vollständig beschrieben
werden, Bild 1.4.
dx
dy
ε1dx
ε2dy
1.4 Materialgesetz
1.4.1 Querdehnung
Beim Zugversuch stellt man neben der Längenänderung ∆L auch eine Veränderung des Durchmessers fest,
Bild 1.5.
dz
∆D/2
ε3dz
z
y
∆L/2
x
F
F
Bild 1.5: Querkontraktion
Bild 1.4: Volumenänderung
Das Volumenelement mit den Abmessungen dx, dy und
dz hat nach der Deformation die Kantenlängen dx +1 dx,
Der einachsige Spannungszustand mit σxx = F/A führt
also zu Dehnungen in allen drei Raumrichtungen. Im
linear-elastischen Bereich liefert das Hookesche Materialgesetz mit
σxx = E x
1 Invariante
des Verzerrungstensors
bzw.
x =
1
σxx
E
(1.45)
5
OTH Regensburg
Technische Mechanik II
den Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung
in Belastungsrichtung. Die Dehnungen quer zur Belastungsrichtung sind bei isotropen Materialien gleich und
auf Grund des linear-elastischen Werkstoffverhalten proportional zur Dehnung in Belastungsrichtung. Mit ν als
Querdehnzahl und (1.45) erhält man dann
y = z = −ν x = −
ν
σxx
E
(1.46)
wobei das Minuszeichen berücksichtigt, dass bei Zugbelastung mit der Vergrößerung der Länge (x > 0) eine
Verringerung des Durchmessers ( y < 0, z < 0) einhergeht.
sind die Verzerrungen γx y , γxz und γ yz proportional zu
den entsprechenden Schubspannungen τx y , τxz und τyz .
Analog zu (1.45) gilt deshalb
1
γx y = τx y
G
τx y = G γx y
1
τxz = G γxz
bzw.
(1.49)
γxz = τxz
G
τyz = G γ yz
1
γ yz = τyz
G
wobei G als Gleit- oder Schubmodul bezeichnet wird.
Über
G =
E
2 (1 + ν)
(1.50)
1.4.2 Allgemeines Hookesches Gesetz
Analog zu (1.46) erzeugen die Spannungen σy y und σzz
ebenfalls entsprechenden Dehnungen in x-, y- und zRichtung. Berücksichtigt man ferner noch näherungsweise den Einfluss der Temperatur T, dann erhält man
das allgemeine Hookesche Gesetz in der Form
1
E
1
y =
E
1
z =
E
x =
σxx − ν σy y + σzz
σy y − ν (σzz + σxx ) + αT ∆T
σzz − ν σxx + σy y
+ αT ∆T
(1.47)
+ αT ∆T
sind die drei Materialkonstanten, der Elastizitätsmodul
E, die Querdehnzahl ν und der Schubmodul G, miteinander verknüpft.
1.4.3 Kompressionsmodul
Mit dem Materialgesetz kann die Volumendilatation auf
den Spannungszustand zurückgeführt werden. Mit (1.47)
lautet (1.44)
1
E
1
+
E
1
+
E
1
=
E
V =
σxx − ν σy y + σzz
σy y − ν (σzz + σxx ) + αT ∆T
σzz − ν σxx + σy y
Mit der mittleren Spannung
Bei gegebenen Dehnungen, die z.B. durch Messungen
ermittelt wurden, kann (1.47) auch nach den Spannungen
aufgelöst werden. Man erhält
Die Proportionalitätskonstante
i
ν
E
x +
x + y +z −
αT ∆T
1−2ν
1−2ν
h
i
ν
E
y +
x + y +z −
αT ∆T
1−2ν
1−2ν
h
i
ν
E
z +
x + y +z −
αT ∆T
1−2ν
1−2ν
(1.48)
h
Temperaturänderungen haben in der Regel keine Verzerrungen zur Folge. Bei genügend kleinen Deformationen
6
+ αT ∆T
wobei αT der Wärmeausdehnungskoeffizient mit der Dimension [1/K] ist und ∆T = T − T0 die Änderung der
Temperatur T gegenüber einem Referenzwert T0 angibt.
Bei T = T0 ist das Material spannungs- und dehnungsfrei.
Da in (1.47) nur die Temperaturdifferenz benötigt wird,
können T und T0 sowohl nach Kelvin [K] als auch nach
Celsius [◦C] gemessen werden. Bei großen Temperaturänderungen verändern sich auch die Materialkennwerte
mit der Temperatur E = E(T) und ν = ν(T). Bei Kunststoffen macht sich dieser Einfluss schon bei geringen
Temperaturänderungen bemerkbar.
E
σxx =
1+ν
E
σy y =
1+ν
E
σzz =
1+ν
(1.51)
+ αT ∆T
(1−2ν) σxx +σy y +σzz + 3αT ∆T
σm =
1
3
σxx + σy y + σzz
(1.52)
bleibt
V =
3 (1−2ν)
1
σm + 3αT ∆T = σm + 3αT ∆T (1.53)
E
K
K=
E
3 (1 − 2ν)
(1.54)
wird als Kompressionsmodul bezeichnet. Bei einer Querdehnzahl ν → 0.5 wird das Material inkompressibel, da
der dann unendlich große Kompressionsmodul K → ∞
bei beliebigen aber endlichen Belastungen mit V → 0 eine verschwindende Volumenänderung bei der Referenztemperatur T = T0 zur Folge hat. Der Wert ν = 0.5 stellt
somit eine Obergrenze für die Querdehnzahl dar. Da bei
Stahl die Querdehnzahl bei ν Fe ≈ 13 liegt, erhält man
Technische Mechanik II (Festigkeitslehre)
hier in etwa gleiche Werte für den Elastizitäts- und Kompressionsmodul, KFe ≈ E Fe . Silizium dagegen kommt
mit ν Si = 0.45 einem inkompressiblen Materialverhalten sehr nahe.
Prof. Dr.-Ing. G. Rill
1.5 Übungen
1.5.1 Ebener Spannungszustand
Der Spannungstensor
 σxx

σ =  τx y
 0

τx y 0 
σy y 0 
0 0 
beschreibt einen allgemeinen Spannungszustand in der
x-y-Ebene.
Zeigen Sie, dass dieser ebene Spannungszustand durch
die Hauptspannungen
r
σ − σ 2
σxx + σy y
xx
yy
σ1,2 =
±
+ τx2y
2
2
σ3 = 0
gekennzeichnet wird.
Ermitteln Sie die Hauptspannungen und die Hauptspannungsrichtungen, wenn der ebene Spannungszustand
durch
σxx = 150 N/mm2 , σy y = 0 N/mm2 , σzz = 0 N/mm2 ,
τx y = 100 N/mm2 , τxz = 0 N/mm2 , τyz = 0 N/mm2
gegeben ist.
Lösung:
σ1 = 200 N/mm2 , σ2 = −50 N/mm2 und σ3 = 0 N/mm2
sowie
 2 
 −1 
 0 

 

 
1 
1 


e®1 = √5
e®2 = √5
e®3 =  0 
 1 ,
 2 ,
 
 0 
 1 
 0 


 
1.5.2 Elastomer Lager
Ein Elastomer-Lager wird als würfelförmiger Block
ausgeführt, der unbelastet die Kantenlänge a hat. Der
Block sitzt mittig in einer Vertiefung mit quadratischem
Grundriss der Kantenlänge b.
Die Materialeigenschaften des
Elastomer-Blocks werden durch
F
den Elastizitäts-Modul E und die
Querdehnzahl ν beschrieben.
a
z
Für einen ersten Funktionstest
x
wird ein Stempel auf den
a
Elastomer-Block gesetzt und
b
mit der Kraft F belastet.
a) Bei welcher Kraft F = F ∗ legt sich der Block an die
Vertiefung an und um welchen Betrag ∆V hat sich
dabei sein Volumen verändert?
b) Ermitteln Sie Normalspannungen σxx , σy y und σzz ,
die im Block auftreten, wenn der Stempel mit einer
Kraft F > F ∗ belastet wird und die Verformungen
der Vertiefung unberücksichtigt bleiben.
Lösung:
a) Für F ≤ F ∗ liegt ein eindimensionaler Spannungszustand vor, der durch
σxx = −
F
F
=− 2
A
a
gekennzeichnet ist, wobei die Querschnittsfläche des Blocks mit A = a2 gegeben
ist.
Gemäß Hooke hat dies die Dehnungen
x =
b) Die Normalspannung in x-Richtung ist in Belastungsrichtung nach wie vor
durch
∗
−F
F
F − F∗
σxx =
=−
+
A
A
A
gegeben. Der auf die die Grundfläche A = b2 bezogene Kraftanteil F − F ∗ liefert
die Spannungsänderung
∆σxx = −
σxx
−F
−F
ν F
=
=
und y = z = −νx =
E
E A E a2
E a2
zur Folge. Bei
b−a
y∗ = z∗ =
a
legt sich der Block an die Vertiefung an. Damit erhält man
ν F∗ b − a
=
E a2
a
oder
F∗ =
E
(b − a)a
ν
Bei kleinen Verformungen ist die Volumendehnung durch
V =
y∗ = z∗ =
b−a
a
und
x∗ = −
y =
z =
F − F∗
F − F∗
=−
A
b2
1 σ
y y − ν (∆σxx + σzz ) = 0
E
1 σ
=0
zz − ν σy y + ∆σxx
E
ermittelt werden. Zunächst erhält man
und
σzz − νσy y = ν∆σxx
Aufgelöst bleibt
gegeben. Mit dem Anfangsvolumen
V0 = a3,
die infolge der verhinderten Querdehnung zu Spannungen in y- und z-Richtung
führt. Diese können aus der Forderung verschwindender Querdehnungen
σy y − νσzz = ν∆σxx
∆V
= x + y + z
V0
1b−a
ν a
σy y = σzz = ν
1+ν
ν
ν (F −F ∗ )
∆σxx =
∆σxx = −
1−ν
(1−ν) b2
1 − ν2
erhält man
∗
∆Vlin
=
b−a
1
b−a
(1 − 2ν) a3
− + 1 + 1 a3 = −
a
ν
νa
7
2 Einfache Belastungsfälle
2.1 Äquivalenzbeziehungen
In der Technik werden häufig lang gestreckte Bauteile
verwendet. Die Schnittreaktionen geben bei abschnittsweise konstanten Belastungen Auskunft über die Beanspruchungen im Innern. Bei einem Schnitt senkrecht zur
x-Achse treten in der Schnittfläche A die Spannungen
σxx , τx y und τxz auf, Bild 2.1.
langgestrecktes
Bauteil
Schnittfläche A
F
M
Qy
Belastung
My
y
SA N
dA
τxy
τxz
Mz
Schnittreaktionen
nA
x
Qz
Mx
σxx
Spannungen
den Schnittreaktionen eindeutig ermittelt werden können. Die direkte Berechnung des Spannungszustand erfordert das Lösen partieller Differentialgleichungen und
ist deshalb äußerst kompliziert. Die Schnittreaktionen
dagegen können mit den Methoden der Statik aus den
Belastungen ermittelt werden. In der Festigkeitslehre versucht man deshalb geeignete Ansätze für die Spannungen
zu finden, die den Äquivalenzbeziehungen (2.1) bis (2.6)
und gleichzeitig den Spannungsdifferentialgleichungen
(1.11) genügen. In manchen Fällen gelingt dies allerdings
nur näherungsweise.
2.2 Zug- und Druck
2.2.1 Spannungsansatz
Wird ein Bauteil nur auf Zug oder Druck belastet, dann
hat ein Schnitt senkrecht zur Belastungsrichtung die
Schnittreaktionen
z
Bild 2.1: Schnittreaktionen und Spannungen
N , 0 , Q y = 0 , Q z = 0 , Mx = 0 , My = 0 , Mz = 0 (2.7)
Die Äquivalenzbeziehungen
∫
N =
σxx dA
∫
Qy =
τx y dA
∫
Qz =
τxz dA
∫
Mx =
y τxz − z τx y dA
∫
My =
z σxx dA
∫
Mz =
−y σxx dA
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
stellen den Zusammenhang zwischen den Schnittreaktionen und den Spannungen her, wobei die x-Achse durch
den Mittelpunkt S A der Schnittfläche läuft und sich das
Flächenelement dA = dydz an der Stelle (y, z) befindet.
Die Schwierigkeit besteht nun darin, dass bei bekannten Querschnittsabmessungen zwar die Schnittreaktion
aus den Spannungen nicht aber die Spannungen aus
zur Folge. Das Koordinatensystem wurde dabei so angeordnet, dass die x-Achse mit der Belastungsrichtung
zusammenfällt. Das Eigengewicht des Bauteils wird gegenüber den äußeren Belastungen vernachlässigt. Der
einfache Spannungsansatz
σxx , 0
und
τx y = 0
τxz = 0
(2.8)
hat über die Äquivalenzbeziehungen (2.2), (2.3) verschwindende Querkräfte Q y = 0, Q z = 0 zur Folge und
erzeugt mit der Äquivalenzbeziehung (2.4) auch kein Torsionsmoment, Mx = 0. Nimmt man, wie beim Zugstab
geschehen, eine über der Querschnittsfläche konstante
Normalspannung an, dann kann σ weder von y noch von
z abhängen. Mit σxx = σxx (x) haben die verbleibenden
Äquivalenzbeziehungen (2.1) mit (2.5) und (2.6)
∫
N =
σxx (x)dA = σxx (x) A
(2.9)
∫
∫
My =
z σxx dA = σxx
z dA
(2.10)
∫
∫
Mz =
−y σxx dA = −σxx
y dA
(2.11)
zur Folge. Die Normalspannung kann hier also mit
σxx (x) =
8
sowie
N(x)
A
(2.12)
Technische Mechanik II (Festigkeitslehre)
Prof. Dr.-Ing. G. Rill
direkt aus dem Verlauf der Normalkraft N = N(x) ermittelt werden. Die verschwindenden Biegemomente
My = 0
und
Mz = 0
(2.13)
sind mit (2.10) und (2.11) unabhängig von der Normalspannung gewährleistet, da die x-Achse durch ∫den Mittelpunkt
∫ S A der Schnittfläche läuft und deshalb y dA = 0
und z dA = 0 gilt.
yB
Ω
y0
x
ρ, A, L
x0
N(x)
xB
z0=zB
L-x
FZ
Bild 2.2: Rotierendes Rotorblatt
Bei konstanter Normalkraft N = const. ist gemäß (2.12)
auch die Normalspannung konstant. Mit τx y = 0, τxz = 0
und σxx = const. ist dann die hier relevante erste partielle Differentialgleichung aus (1.11) ebenfalls in trivialer
Weise erfüllt.
wobei m(x) die Masse und r(x) die radiale Entfernung
von der Drehachse angeben. Das Kräftegleichgewicht liefert dann die Normalkraft
1
N(x) = FZ = % A Ω2 L 2 − x 2
(2.17)
2
2.2.2 Verformungen
wobei die Beziehung x + 12 (L − x) = 21 (L + x) und die
binomische Formel (L − x) (L + x) = L 2 − x 2 verwendet
wurden. Die Normalspannung
Beim hier vorliegenden ein-achsigen Spanngungszustand
mit σxx = σ(x), σy y = 0, σzz = 0 und τx y = 0, τxz = 0
sowie τyz = 0 treten keine Verzerrungen auf, γx y = 0,
γxz = 0 und γ yz = 0. Auf Grund der Querdehnung
kommt es gemäß (1.47) auch ohne Temperatureinfluss
(∆T = 0) mit
x (x) =
1
ν
σ(x) und y (x) = z (x) = − σ(x) (2.14)
E
E
σ(x) =
∆L =
0
x (x) dx =
∫L
1
σ(x) dx
E
(2.15)
0
die gesamte Längenänderung.
2.2.3 Beispiel Rotorblatt
Zur Abschätzung der Beanspruchung und Dehnung wird
ein Rotorblatt durch einen dünnen Stab mit dem Querschnitt A und der Länge L approximiert. Das Rotorblatt
hat die Dichte % und rotiert mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit Ω um eine vertikale Achse, Bild 2.2.
Die Beanspruchungen und Verformungen des Rotorblattes werden vom mitrotierenden Koordinatensystem B aus
beschrieben. Die xB -Achse läuft durch den Mittelpunkt
der Querschnittsfläche. Auf Grund der Drehung des Rotorblattes mit der Winkelgeschwindigkeit Ω entsteht im
abgeschnittenen Teil die Fliehkraft
(2.16)
FZ = % A (L − x) x + 12 (L − x) Ω2
| {z } |
{z
}
m(x)
r(x)
(2.18)
fällt also quadratisch vom Maximalwert an der Einspannstelle
1
(2.19)
σmax = σ(x = 0) = % Ω2 L 2
2
auf den Wert Null am freien Ende σ(x = L) = 0 ab. Mit
(2.18) gilt für die Dehnung x in Stabrichtung
zu einem dreiachsigen Verformungszustand. Die Integration der Dehnung x (x) über die Bauteillänge L liefert
mit
∫L
N(x)
1
= % Ω2 L 2 − x 2
A
2
x =
1 1
% Ω2 L 2 − x 2
E 2
(2.20)
Gemäß (2.15) folgt die Verlängerung des Rotorblattes
aus
∫L
∫L 1 1
2
∆L = x (x) dx =
%Ω
L 2 − x 2 dx
E 2
(2.21)
0
0
1
1 1
2
1 1
% Ω2 L 3 − L 3 =
% Ω2 L 3
=
E 2
3
E 2
3
Mit der maximalen Spannung aus (2.19) bleibt dann
∆L =
1 2
σmax L
E 3
(2.22)
2.2.4 Beispiel Wärmedehnung
Ein abgesetztes Bauteil mit der Gesamtlänge L1 + L2 ist
an einem Ende fest eingespannt. Am anderen Ende ist
bei der Temperatur T = T0 ein Spalt von der Größe ∆x
vorhanden. Das Bauteil besteht aus zwei Werkstoffen,
deren Eigenschaften durch die Dehnsteifigkeiten E1 A1
und E2 A2 sowie durch die Wärmeausdehnungskoeffizienten α1 und α2 bestimmt sind. Bei zunehmender Erwärmung wird der Spalt immer kleiner, bis er bei T = TK
9
OTH Regensburg
Technische Mechanik II
L1
L2
Δx
2.3 Reine Biegung um y-Achse
2.3.1 Spannungsansatz
E2A2, α2
E1A1, α1
Bild 2.3: Abgesetztes Bauteil
ganz verschwindet. Solange der Spalt besteht ist das Bauteil spannungsfrei. Dem erweiterten Hookeschen Gesetz
(1.47 zu Folge gilt dann in den einzelnen Abschnitten
1 = α1 ∆T
und
2 = α2 ∆T
∆Li =
My
x
(2.23)
Die Integration der Dehnungen über die Bauteillängen
liefert gemäß (2.15) die Längenänderungen.
∫Li
In Analogie zum Zugstab wird nun ein langgestrecktes
Bauteil betrachtet, das an beiden Enden durch Momente
M um die y-Achse belastet wird, die gleich groß sind
aber entgegengesetzt wirken, Bild 2.4. Die Reaktionen
y
z
My
x
Bild 2.4: Bauteil belastet durch Momente
i dx = αi ∆T Li
für i = 1, 2
(2.24)
in einem Schnitt an der Stelle x sind dann durch
0
Bei T = TK oder ∆T = TK − T0 stimmt die Längenänderung des Bauteils ∆L = ∆L1 + ∆L1 mit dem Spalt ∆x
überein. Aus
α1 (TK − T0 ) L1 + α2 (TK − T0 ) L2 = ∆x
(2.25)
erhält man sofort
TK = T0 +
∆x
α1 L1 + α2 L2
(2.26)
Wird das Bauteil weiter aufgeheizt, dann drückt es bei
T > TK mit einer Kraft F auf die Lager. Da jetzt mit
σ1 = −F/A1 und σ2 = −F/A2 in den Bauteilabschnitten
auch Normalspannungen in axialer Richtung auftreten,
liefert (1.47 die Dehnungen
1 =
1
σ1 + α1 ∆T
E1
und
2 =
1
σ2 + α2 ∆T (2.27)
E2
Mit ∆T = T −TK (weitere Aufheizung) erhält man analog
zu (2.24) die Längenänderungen
1 F
∆Li = −
+ αi (T − TK ) Li für i = 1, 2
Ei Ai
(2.28)
Die Begrenzung lässt jedoch keine weitere Längenänderung zu. Folglich muss
F
∆L = α1 (T − TK ) −
L1
E1 A1
(2.29)
F
+ α2 (T − TK ) −
L2 = 0
E2 A2
gelten. Nach der Kraft F aufgelöst, erhält man
F =
10
(α1 L1 + α2 L2 ) (T − TK )
L1
L2
+
E1 A1 E2 A2
(2.30)
N = 0 , Q y = 0 , Q z = 0 , Mx = 0 , My = M , Mz = 0
(2.31)
gegeben. Das im Bauteil auftretende Biegemoment My
hat entsprechend der Äquivalenzbeziehung (2.4) eine
Normalspannung σxx , 0 zur Folge. Da weder Querkräfte noch ein Torsionsmoment auftreten, kann wieder
mit Spannungsansatz
σxx , 0 und
τx y = 0
sowie
τxz = 0
(2.32)
gearbeitet werden. Die Äquivalenzbeziehungen (2.2),
(2.3) und (2.4) sind dann wieder in trivialer Weise erfüllt. Eine über den Querschnitt konstante Normalspannung σxx = const. hat, wie in Abschnitt 2.2.1 gezeigt,
verschwindende Biegemomente My = 0 und Mz = 0
zur Folge und kann deshalb hier nicht verwendet werden. Da keine Belastung in x-Richtung vorliegt und die
Schubspannungen verschwinden, hat die Spannungsdifferentialgleichung (1.11) in x-Richtung
∂σxx
+0+0=0
∂x
(2.33)
zur Folge. Damit kann die Normalspannung σxx zwar
nicht von x aber sehr wohl von y und z abhängen. Wie
im folgenden nachgewiesen wird, können im vorliegenden Belastungsfall die verbleibenden Äquivalenzbeziehungen (2.1), (2.5) und (2.6) mit dem linearen Spannungsansatz
σxx = σxx (y, z) = C0 + C1 y + C2 z
(2.34)
erfüllt werden. Mit N = 0, My = M und Mz = 0 und dem
Spannungsansatz aus (2.34) lauten die entsprechenden
Technische Mechanik II (Festigkeitslehre)
Prof. Dr.-Ing. G. Rill
Äquivalenzbeziehungen
∫
(C0 + C1 y + C2 z) dA
0=
∫
My =
z (C0 + C1 y + C2 z) dA
∫
0=
−y (C0 + C1 y + C2 z) dA
Taschenbuch für den Maschinenbau, findet man für eine Reihe unterschiedlicher Querschnitte die Flächenmomente 2. Grades. Bei den Angaben für eventuell vorhandene Flächendeviationsmomente muss allerdings die
dabei zugrunde gelegte Definition beachtet werden.
Nach Ausklammern der Konstanten C0 , C1 und
Aufteilen der Integrale erhält man
∫
∫
∫
0 = C0 dA + C1 y dA + C2 z dA
∫
∫
∫
My = C0 z dA + C1 y z dA + C2 z 2 dA
∫
∫
∫
2
0 = C0 y dA + C1 y dA + C2 y z dA
(2.35)
(2.36)
(2.37)
C2 und
(2.38)
(2.39)
Bei einem Rechteckquerschnitt kann das Flächenelement
dA mit dy dz angegeben werden. Mit den aus Bild 2.5
abgelesenen Integrationsgrenzen erhält man dann gemäß
(5.26) für das Flächenmoment 2. Grades bezüglich der
y-Achse
∫+ 2 ∫+ 2
h
(2.40)
wobei die letzte
∫ Gleichung∫ mit −1 multipliziert wurde.
Die Integrale y dA und z dA verschwinden, da die
x-Achse wieder
des Querschnitts
∫ durch den Mittelpunkt
∫
∫
verläuft. Mit y dA = 0, z dA = 0 und dA = A
bleiben mit
0 = C0 A
∫
∫
My = C1
y z dA + C2
z 2 dA
∫
∫
0 = C1
y 2 dA + C2
y z dA
In diesem Skript wird das Flächendeviationsmoment analog zum Massendeviationsmoment mit einem Minuszeichen definiert.
Iy y =
− h2
b
− b2
∫+ 2 ∫+ 2
2
z dy dz = z 2 dy dz
|{z}
h
b
dA − 2 − 2
h
b
(2.46)
Die Integrationen über y und z können hier sukzessive
b
−h/2
(2.41)
y
yS
(2.42)
dA
dz
+h/2
+b/2
S
h
z
dy
zS
(2.43)
−b/2
Bild 2.5: Rechteckquerschnitt
drei Gleichungen zur Bestimmung der unbekannten Konstanten C0 , C1 und C2 . Die Integrale in (2.39) und (2.40)
werden als Flächenmomente 2. Grades oder 2. Ordnung
bezeichnet.
Iy y
(2.44)
werden auch als Flächenträgheitsmomente bezüglich der
y- und z-Achse bezeichnet. Das Flächenmoment 2. Grades oder das Flächendeviationsmoment
I yz =
∫
y z dA oder
I yz
∫
= − y z dA
z3
=b
3
2.3.2 Flächenmomente 2. Grades
Die Flächenmomente 2. Grades
∫
∫
2
Iy y =
z dA und Izz =
y 2 dA
durchgeführt werden. Unter Berücksichtigung des konstanten Ergebnisses der inneren Integration b2 + (− b2 ) = b
liefert die formale Integration über z das Resultat
(2.45)
verschwindet für alle Querschnitte die symmetrisch zur
y- und/oder z-Achse aufgebaut sind.
In einschlägigen Fachbüchern, z.B. in der Hütte – Grundlagen der Ingenieurwissenschaften oder im Dubbel –
+ h2
− h2
b h3 −h3
1
=
−
=
b h3
3 8
8
12
(2.47)
Analog dazu erhält man auch das Flächenmoment 2. Grades bezüglich der z-Achse. Für einen Rechteckquerschnitt gilt also
I yy =
1
b h3
12
und
Izz
=
1
h b3
12
(2.48)
Das Flächendeviationsmoment verschwindet nicht nur
hier beim Rechteckquerschnitt
I yz
= 0
(2.49)
sondern für alle Querschnitte, die symmetrisch zu mindestens einer Koordinatenachse sind. Beim Rechteckquerschnitt sind das die yS - und die zS -Achse.
11
OTH Regensburg
Technische Mechanik II
2.4 Gerade Biegung
Ergebnis (2.51) durch den Spannungszustand
σxx =
2.4.1 Normalspannung
Für symmetrische Querschnitte mit I yz = 0 können die
Gleichungen in (2.41) bis (2.43) sehr leicht nach den
Konstanten aufgelöst werden. Man erhält
C0 = 0 ,
C1 = 0 und C2 =
M
.
Iy y
σxx = σxx (z) =
My
z
Iy y
τx y = 0 ,
obere
Randfaser
Druck
−
σmax
z
untere
Randfaser
τyz = 0
(2.54)
und
y = z = −ν σxx
γxz = 0 ,
γ yz = 0
(2.56)
Die Belastung durch das Moment My = M führt zu einer
Durchbiegung in z-Richtung, wobei
w(x) = w(x, y = 0, z = 0)
(2.57)
die z-Verschiebung des Querschnittmittelpunktes an der
Schnittstelle x bezeichnet, Bild 2.7. Die Verzerrungen
M
Zug
τxz = 0 ,
(2.55)
einen drei-achsigen Verformungszustand zur Folge. Auf
Grund der verschwindenden Schubspannungen treten
keine Verzerrungen auf
neutrale
Linie
y
(2.53)
My
1
z
σxx =
E
E Iy y
γx y = 0 ,
eine Funktion von z. Sie verschwindet auf der Höhe des
Flächenmittelpunktes (neutrale Linie) und erreicht die
Extremwerte am oberen und unteren Rand des Querschnitts (Randfasern) Bild 2.6. Bei einem Rechteckprofil
σzz = 0
gekennzeichnet. Analog zu (2.14) hat dies auch ohne
Temperatureinfluss (∆T = 0) mit
x =
(2.51)
σy y = 0 ,
und
(2.50)
Die Normalspannung ist dann dem Ansatz in (2.34) entsprechend mit
My
z,
Iy y
+
σmax
y
x
M
z
x
w(x)
Bild 2.6: Verlauf der Normalspannung bei gerader Biegung um die y-Achse in einem Querschnitt
symmetrisch zur z-Achse
Bild 2.7: Verformung durch Biegemoment
mit der Höhe h liegen die Randfasern bei zR =
Mit
dem entsprechenden Flächenmoment aus (2.48) erhält
man gemäß (2.50) die maximale Normalspannung zu
My
6 My
1
σmax = 1
± h = ±
(2.52)
3
2
A
h
b
h
12
± 12 h.
wobei A = b h die Querschnittsfläche angibt. Bei vorgegebener Belastung kann folglich der Betrag der maximalen Spannung durch eine größere Querschnittsfläche A
oder durch eine größere Höhe h reduziert werden. Da die
Erhöhung der Querschnittsfläche das Gewicht des Bauteils erhöht, verwendet man in der Praxis in der Regel
kleine aber hohe Querschnitte.
2.4.2 Verformungen
Die reine Biegung um die y-Achse ist für symmetrische
Querschnitte entsprechend dem Ansatz (2.32) und dem
12
sind mit den Ableitungen der Verschiebungen verknüpft.
Mit γxz = 0 folgt dann aus (1.35) der Zusammenhang
∂u ∂w
+
=0
∂z ∂ x
oder
∂w
∂u
=−
∂x
∂z
(2.58)
Aus der Längsdehnung erhält man im vorliegenden Fall
über (1.29) die Beziehung
My
∂u
1
= x = σxx =
z
∂x
E
E Iy y
(2.59)
Da das Moment My , der Elastizitätsmodul E und das
Flächenträgheitsmoment I y y nicht von der Koordinate z
abhängen, kann (2.59) nochmals partiell nach z abgeleitet
werden
My
∂2u
=
(2.60)
∂ x ∂z E I y y
Die partielle Ableitung von (2.58) nach x liefert
∂2 w
∂2u
=
−
∂z ∂ x
∂ x2
(2.61)
Technische Mechanik II (Festigkeitslehre)
Prof. Dr.-Ing. G. Rill
Da die gemischten partiellen Ableitungen von u nach x
und z auf Grund der Schwarzschen Vertauschungsregel1
gleich sind, erhält man schließlich
∂2 w
∂ x2
=−
My
E Iy y
Flächenträgheitsmomentes I y y von der Längskoordinate
x zum Ausdruck kommt.
Analog dazu erhält man für die Biegung in der x y-Ebene,
die Längsspannung im Querschnitt aus
(2.62)
σxx (x, y) = −
oder
E I y y w 00 = −My
Mz (x)
y
Izz (x)
(2.66)
(2.63)
wobei w 00 die zweite Ableitung der Durchbiegung w nach
der Koordinate x angibt und der Term E I y y als Biegesteifigkeit bezeichnet wird.
und die entsprechende Biegedifferentialgleichung zu
E Izz (x) v I I = Mz (x)
(2.67)
v(x) = v(x, y = 0, z = 0)
(2.68)
wobei
2.5 Technische Biegelehre
2.5.1 Die Euler-Bernoulli-Hypothese
In den meisten technischen Anwendungsfällen werden
Bauteile nicht allein durch Momente sondern auch durch
einzelne Kräfte und/oder verteilte Lasten beansprucht.
Unter folgenden Voraussetzungen
die y-Verschiebung des Querschnittmittelpunktes an der
Schnittstelle x bezeichnet, Mz das Schnittmoment um die
z-Achse ist und Izz das Flächenträgheitsmoment bezüglich der z-Achse angibt. Aufgrund der Vorzeichendefinition in einem rechtshändigen Koordinatensystem entfällt
in der Biegedifferentialgleichung (2.67) das Minuszeichen vor dem Moment.
Ist das Flächenträgheitsmoment I y y über der Bauteillänge konstant, dann kann die Biegedifferentialgleichung
(2.65) nochmals differenziert werden. Man erhält dann
• kleine Verformungen (lineare Theorie)
• keine wesentlichen Schubdeformation
(lange schlanke Balken)
d My (x)
= −Q z (x)
dx
d Q z (x)
=−
= qz (x)
dx
• Querschnitte bleiben eben
E I y y w 000 = −
• linear-elastisches Materialgesetz
E Iy y w
die als Euler2-Bernoulli3-Hypothese bezeichnet werden,
können jedoch die Ergebnisse aus den Abschnitten 2.3
und 2.4 auch auf technisch relevante Belastungsfälle
übertragen werden. Beschränkt man sich auf die Fälle
der geraden Biegung, dann erhält man für die Biegung in
der xz-Ebene die Längsspannung im Querschnitt aus
σxx (x, z) =
My (x)
z
I y y (x)
(2.69)
wobei die differentiellen Zusammenhänge zwischen dem
Biegemoment My (x), der Querkraft Q z (x) und der Streckenlast qz (x) bereits berücksichtigt wurden.
Ähnliche Beziehungen können auch für die Biegung in
der yz-Ebene angegeben werden.
(2.64)
2.5.2 Ansatz von Euler und Bernoulli
und die entsprechende Biegedifferentialgleichung lautet
E I y y (x) w 00 = −My (x)
IV
(2.65)
wobei die Erweiterung von (2.51) und (2.63) hier formal
durch die Abhängigkeit des Biegemomentes My und des
Da die Querschnitte per Voraussetzung eben bleiben und
auch keine Verzerrungen auftreten, kann die Verformung
eines Balkenelements durch einen Kreisbogen aproximiert werden, Bild 2.8. In der Randfaser bei z = 21 h tritt
gemäß (2.53) die maximale Spannung auf
M h
y
σM = σxx z = 12 h =
Iy y 2
(2.70)
1
Satz von Schwarz: Sind die partiellen Ableitungen k-ter Ordnung
stetig, so ist die Reihenfolge der Differentiationen beliebig vertauschbar
2 Leonhard Euler, Mathematiker, Schweiz/Russland (1707-1783)
3 Jacob Bernoulli, schweizer Mathematiker (1654-1705) und Daniel Bernoulli, Mathematiker, Physiker, Philosoph, Niederlande/Schweiz (1700-1782)
Die x-Achse bildet die neutrale Faser, da dort die Normalspannung verschwindet, σxx (z = 0) = 0. Die spannungsfreie Mittellinie des Balkenelements wird folglich
nicht gedehnt und behält mit dx ihre ursprüngliche Länge. Die Randfaser dagegen wird auf die Länge (1+ M ) dx
13
OTH Regensburg
a) Belastung
My
Technische Mechanik II
My > 0 krümmt den Balken nach oben, Bild 2.7. Da
aber die Durchbiegung w(x) nach unten gemessen wird,
entspricht dies einer negativen Krümmung, k(x) < 0.
Die Biegelinie w = w(x) ist dann durch
c) Verformung
dx
My
h/2
h/2
x
dφ
z
b) Spannungsverteilung
dx
σxx(z)
σxx(z)
h/2
x
h/2
σM
z
− R
dx
(1+εM)dx
Bild 2.8: Balkenabschnitt mit Belastung, Spannungsverteilung und Verformung
gedehnt, wobei die maximale Dehnung analog zu (2.55)
über das Hooksche Materialgesetz über
M =
My h
1
σM =
E
E Iy y 2
(2.71)
mit der maximalen Spannung σM und schließlich mit der
Belastung My verknüpft ist. Für das zu einem Kreissegment gebogene Balkenelement gilt dann
R dϕ = dx und
R + 12 h dϕ = (1 + M ) dx (2.72)
wobei dϕ den Öffnungswinkel und R den Radius der
gebogenen Balkenmittellinie angibt. Die Kombination
beider Gleichungen liefert zunächst
R+ 21 h dϕ = (1+ M ) R dϕ oder R + 12 h = R + M R
(2.73)
Mit (2.71) bleibt
My h
1 h
= M =
R 2
E Iy y 2
oder
My
1
=
R
E Iy y
k(x) = 1+
dw
dx
2 32
= w 00
1+
(w 0)2
23
(2.75)
beschrieben, wobei zur Abkürzung die Ableitungen der
Durchbiegung w nach der Koordinate x durch Striche gekennzeichnet wurden. Ein positives Biegemoment
14
My (x)
1
23 = R(x) = E I y y (x)
1 + (w 0)2
(2.76)
definiert. In den meisten technischen Anwendungen
bleibt die Durchbiegung klein. Dann ist auch die Neigung klein und (2.76) kann dann mit w 0 1 zu
− w 00 =
My (x)
E I y y (x)
oder
E I y y (x) w 00 = −My (x)
(2.77)
vereinfacht werden.
2.5.3 Biegelinie
An einem einfachen Beispiel kann das Vorgehen zur Bestimmung der Biegelinie w = w(x) demonstriert werden.
Dazu wird ein Balken mit der Länge a und der Biegesteifigkeit E I an einem Ende fest eingespannt und am
anderen Ende durch die Kraft F in z-Richtung belastet,
Bild 2.9. Da keine Streckenlast vorhanden ist, kann die
a
F
EI
z
x
Bild 2.9: Balken belastet durch Einzelkraft
Biegedifferenzialgleichung gemäß (2.69) in der Form
E I w IV = 0
(2.74)
Die spannungsfreie neutrale Faser eines Balkens, der in
einem Abschnitt durch ein konstantes Biegemoment My
belastet wird, beschreibt gemäß Euler einen Kreisbogen,
dessen Radius R durch (2.74) bestimmt ist. Über die
Definition der Krümmung k = 1/R kann (2.74) auch
auf Fälle angewendet werden, bei denen sich das Biegemoment und/oder das Flächenträgheitsmoment über der
Balkenlänge verändern. Rein formal ist die Krümmung
der Biegelinie w = w(x) durch
d2 w
dx 2
w 00
(2.78)
angeschrieben werden. Ersetzt man die vierte Ableitung
durch die Ableitung der dritten
d w 000
dx
(2.79)
d w 000
= 0
dx
(2.80)
w IV =
dann erhält man
EI
Nach der Separation
E I d w 000 = 0 · d x
(2.81)
kann eine unbestimmte Integration durchgeführt werden
∫
∫
000
EI d w =
0 · d x + CI I I
(2.82)
Technische Mechanik II (Festigkeitslehre)
Prof. Dr.-Ing. G. Rill
wobei die auf beiden Seiten anfallenden Integrationskonstanten in CI I I zusammengefasst wurden. Da hier die
Biegesteifigkeit E I konstant ist, erhält man in trivialer
Weise
E I w 000 = 0 · x + CI I I
(2.83)
Analog dazu findet man
E I w 00 = CI I I x + CI I
1
E I w 0 = CI I I x 2 + CI I x + CI
2
1
1
E I w = CI I I x 3 + CI I x 2 + CI x + C0
6
2
(2.84)
(2.85)
(2.86)
Da der Balken am freien Ende, an der Stelle x = a, durch
die Kraft F in z-Richtung belastet wird, erhält man dort
die Schnittreaktionen Q z (x = a) = F und My (x = a) = 0.
Gemäß (2.67) und (2.69) sind Querkraft und Moment
aber proportional zur zweiten und dritten Ableitung von
w. Deshalb sind die zwei dynamischen Randbedingungen
hier durch
E I w 00(x = a) = −My (x = a) = 0
(2.87)
E I w (x = a) = −Q z (x = a) = −F
(2.88)
000
f = wmax = w(x = a) =
und CI I I a + CI I = 0
F
x
w(x)
z
(2.90)
Die Biegelinie ist im vorliegenden Fall also durch das
kubische Polynom
Deformationen gilt, kann natürlich die Tangensfunktion in (2.93) durch das Argument approximiert werden,
tan α ≈ α.
In einschlägigen Fachbüchern, z.B. in der Hütte – Grundlagen der Ingenieurwissenschaften oder im Dubbel – Taschenbuch des Maschinenbaus, findet man für eine Vielzahl von Belastungs- und Lagerungsfällen Angaben über
die Biegelinie, den Ort und die Größe der maximalen
Durchbiegung und Neigung. Die Ergebnisse für einige
einfache Fälle sind im folgenden zusammengestellt.
2.6 Katalog einfacher
Biege-Belastungen
2.6.1 Einspannung mit Einzelkraft
L
F
w(x)
(2.91)
1 F a3 x 2 x
3−
6 EI a
a
(2.92)
w(x) =
x
wm
Biegelinie
w(x) =
x 2
L
1 F L3
6 EI
x
L
3−
Neigung
w 0(x) =
1 F L2 x
2 EI L
2−
x
L
Maximale Durchbiegung
1
1
E I w = − F x3 + F a x2
6
2
oder
dx
α dw
(2.89)
Schließlich führen die geometrischen Randbedingungen
(2.85) und (2.86) auf
und CI = 0
f
Bild 2.10: Biegelinie
EI
C0 = 0
(2.93)
tritt erwartungsgemäß an der Stelle der Krafteinleitung
auf. Da es sich dabei um ein Rand-Extremum handelt, ist
dort die Neigung nicht Null sondern durch
1 Fa2
dw 0
=
w
(x
=
a)
=
tan α =
(2.94)
dx x=a
2 EI
gegeben. In (2.84) und (2.83) eingesetzt erhält man
CI I I = −F
1 F a3
3 EI
gegeben, Bild 2.10. Da die Berechnung nur für kleine
Die vier Integrationskonstanten C0 bis CI I I müssen nun
an die spezielle Belastung und Lagerung angepasst werden. Dazu stehen zwei geometrische und zwei dynamische Randbedingungen zur Verfügung. Die geometrischen Randbedingungen ergeben sich aus der Art der
Lagerung. Im vorliegenden Fall lässt die feste Einspannung an der Stelle x = 0 weder eine Verschiebung in
z-Richtung noch eine Neigung der Balkenachse zu. Das
führt auf die geometrischen Randbedingungen
w(x = 0) = 0
d w = w 0(x = 0) = 0
d x x=0
gegeben. Die maximale Durchbiegung
wm = w(L) =
1 F L3
3 EI
Neigung am Ende
w 0(L) =
1 F L2
2 EI
15
OTH Regensburg
Technische Mechanik II
2.6.2 Einspannung mit Streckenlast
L
q0
w(x)
EI
x
1 q0 L 4
24 E I
x 2
L
6 − 4 Lx +
x 2
L
2
b
L
Maximale Durchbiegung für a ≥ b
q
xm = 13 L 2 − b2 wm = w(xm ) =
3
1 F xm b
3 EI L
wm
Neigung an den Enden
2
2
w 0(0) = 16 FELI Lb 1− Lb
2 2
w 0(L) = − 61 FELI La 1− La
Biegelinie
w(x) =
a 2
L
1 F L3
3 EI
wa = w(a) =
Neigung
w 0(x) =
1 q0 L 3 x
6 EI L
3 − 3 Lx +
x 2
L
Neigung am Angriffspunkt der Kraft
2
w 0(a) = − 13 FELI La Lb Lb − La
Maximale Durchbiegung
1 q0 L 4
8 EI
wm = w(L) =
2.6.5 Gelenkige Lagerung mit Streckenlast
Neigung am Ende
w 0(L) =
L
1 q0 L 3
6 EI
q0
2.6.3 Einspannung mit Moment
EI
w(x)
L
w(x)
EI
x
wm
Biegelinie
wm
x
w(x) =
1 q0 L 4 x
24 E I L
1−
x
L
1 q0 L 3
24 E I
1 − 2 Lx
1+
x
L
−
x 2
L
M
Neigung
Biegelinie und maximale Durchbiegung
2
2
w(x) = 12 MELI Lx , wm = w(L) =
w 0(x) =
1 M L2
2 EI
Neigung an der Stelle x und am Ende bei x = L
L
L x
w 0(L) = M
w 0(x) = M
EI L ,
EI
Der Belastung entsprechend wurde hier die Durchbiegung und
die Neigung nach oben positiv beschrieben.
2.6.4 Gelenkige Lagerung mit Einzelkraft
wm = w(x =
wm
F
wa
w 0(0) = −w 0(L) =
w(x) = 6
EI


 La

2
2
x≤a
1− Lb − Lx ,
2
2
1− Lx 1− La − 1− Lx , x ≥ a
x
L
1 q0 L 3
24 E I
M
EI
w(x)
wm
1−
x 2
L
1−3
x 2
L
x
Biegelinie
1 M L2 x
6 EI L
Neigung

2

b
b
x 2

x≤a
 L 1− L −3 L ,
2
w 0(x) = 16 FELI

2
2

− La 1− La −3 1− Lx , x ≥ a

Durchbiegung am Angriffspunkt der Kraft
16
5 q0 L 4
384 E I
2.6.6 Gelenkige Lagerung mit Moment
w(x) =
Biegelinie



b

1 F L3 L
=
xm
x
Neigung an den Enden
b
xm
w(x)
L
2)
L
a
x 2
L
Maximale Durchbiegung
L
EI
1 + 2 Lx − 2
Neigung
w 0(x) =
1 ML
6 EI
Maximale Durchbiegung
xm =
√a
3
wm = w(xm ) =
√
3 M L2
27 E I
Neigung an den Enden
L
L
0
w 0(0) = 16 M
w 0(L) = − 13 M
EI
E I = −2 w (0)
Technische Mechanik II (Festigkeitslehre)
Prof. Dr.-Ing. G. Rill
2.7 Torsion kreiszylindrischer Wellen
2.7.1 Belastungsbeispiel
Kreuzschlüssel werden zum Lösen von fest angezogenen Muttern verwendet. Das über die Querstreben eingeleitete Kräftepaar (F, −F) belastet den unteren Schaft
dann nur mit einem Torsionsmoment Mx , Bild 2.11. Auf
erfüllt dann infolge der Rotationssymmetrie die Äquivalenzbeziehungen
∫
∫
Q y = τx y dA = −C r sin ϕ r dϕ dr = 0 (2.98)
und
Qz =
∫
τxz dA =
∫
C r cos ϕ r dϕ dr = 0
(2.99)
Die verbleibende Äquivalenzbeziehung für das Torsionsmoment (6.4) vereinfacht sich zu
∫
Mx = r τxϕ dA
(2.100)
F
y
z
Mx
F
x
Bild 2.11: Belastung durch Torsionsmoment Mx
Mit dem Ansatz (2.97) bleibt
∫
∫
Mx = r C r dA = C r 2 dA
Die Belastung mit dem Torsionsmoment Mx hat dann
gemäß (2.97) die tangentialen Schubspannungen
Grund der speziellen Belastung, die durch die Schnittreaktionen
N = 0 , Q y = 0 , Qz = 0
Mx , 0 , My = 0 , Mz = 0
(2.101)
τxϕ (r) = ∫
Mx
r =
r 2 dA
Mx
r
IP
(2.102)
(2.95)
gekennzeichnet ist, können in einem Schnitt senkrecht
zur x-Achse nur die Schubspannungen τx y und τxz auftreten. Da keine Normalspannung (σxx = 0) auftritt, sind
die Äquivalenzbeziehungen (2.1), und (2.5), (2.6) in trivialer Weise erfüllt.
2.7.2 Schubspannungs-Ansatz
zur Folge, wobei I P das dabei auftretende polare FlächenTrägheitsmoment4 bezeichnet.
2.7.3 Polares Flächenmoment
Das Flächenmoment 2. Grades
∫
I P = r 2 dA
(2.103)
(2.96)
wird als polares Flächen-Trägheitsmoment des Querschnitts bezeichnet, das mit r 2 = y 2 + z 2 über
∫
∫ y 2 + z 2 dA = Izz + I y y (2.104)
I P = r 2 dA =
durch eine tangentiale Spannung τxϕ ersetzt werden,
Bild 2.12. Der einfache lineare Ansatz
auf die Flächenmomente 2. Grades I y y und Izz zurückgeführt werden kann.
Bei Bauteilen mit Kreisquerschnitt können die in y- und
z-Richtung wirkenden Schubspannungen über
τx y = −τxϕ sin ϕ
und
τxz = τxϕ cos ϕ
y
R
ϕ
dA
y
r
τxϕ
dr
Mx
S
z
dϕ
r
S
ϕ
τxϕ
Das Flächenelement in Bild 2.12 kann auf Grund seiner infinitesimal kleinen Ausdehnung durch ein Rechteck
mit den Kantenlängen dr und r dϕ approximiert werden.
Mit
dA = r dϕdr
(2.105)
erhält man dann für einen kreisförmigen Querschnitt mit
dem Radius R
z
I P
Bild 2.12: Tangentiale Schubspannung und Flächenelement im Kreisquerschnitt
τxϕ = τxϕ (r) = C r
(2.97)
=
∫
∫R∫2π
r 2 r dϕ dr
r dA =
2
0
4
(2.106)
0
Hinweis: Polare Flächen-Trägheitsmomente können formal für
jeden Querschnitt angegeben werden. Die damit nach (2.102)
berechneten Schubspannungen gelten jedoch nur für kreisförmige
Querschnitte.
17
OTH Regensburg
Technische Mechanik II
Die Integration über den Winkel ϕ kann hier unabhängig
vom Radius r durchgeführt werden. Damit bleibt
I P =
∫R
y
2π r 3 dr =
π 4
R
2
R
(2.107)
S
τϕx
0
π 4
1 IP =
R
2
4
x
dV
τxϕ Mx
Auf Grund der Symmetrie des Querschnittes können daraus über
I yy = Izz
=
x
(2.108)
r
x
ϕ(x)
dr
z
dx
ϕ(x+dx)
auch die Flächenmomente 2. Grades abgeleitet werden.
P
γxϕ
dV
P'
2.7.4 Maximale Schubspannung
Mit (2.107) sind die Schubspannungen in einem Kreisquerschnitt gemäß (2.102) durch
τxϕ (r) =
Mx
I P
r =
Mx
r
R4
(2.109)
π
2
gegeben. Sie steigen linear vom Wert Null in der Mitte
auf den maximalen Wert
max
τxϕ
= τxϕ (r = R) =
Mx
π 4
2R
R=
Mx
π 3
2R
=
Mx
W P
(2.110)
Bild 2.13: Verteilung der Schubspannungen und Verformungen am Kreisquerschnitt
wobei dϕ
dx als Verwindung oder Drillung bezeichnet wird.
Mit dem Materialgesetz (2.112) und der Schubspannung
aus (2.102) erhält man
r
am Rand, wobei mit
W P
I P
=
=
R
π
2
1
1 Mx
dϕ
= γxϕ = τxϕ =
r
dx
G
G I
P
(2.115)
Schließlich bleibt für die Verwindung oder Drillung
R4
π 3
=
R
R
2
(2.111)
das polare Widerstandsmoment des Kreisquerschnitts
definiert ist.
dϕ
Mx
=
dx
G I P
(2.116)
wobei das Produkt G I P die Verdrehsteifigkeit des Kreisquerschnittes angibt.
2.7.5 Verwindung oder Drillung
Bei linear elastischem Materialverhalten sind die Verformungen proportional zu den Spannungen. Analog zu
(1.49) gilt dann
1
γxϕ =
τxϕ
(2.112)
G
wobei γxϕ die in Bild 2.13 dargestellte Verzerrung eines
Volumenelements im Kreisquerschnitt beschreibt. Für
die tangentiale Verschiebung des Eckpunktes P → P 0
entnimmt man aus Bild 2.13 den Zusammenhang
dx γxϕ = (r + dr) (ϕ(x +dx) − ϕ(x))
18
dϕ
dx
dx
oder
γxϕ = r
dϕ
dx
Bei allgemeiner Belastung Mx = Mx (x) und über der
Länge L des Bauteils variierenden Querschnittsabmessungen I P = I P (x) kann der gesamte Verdrehwinkel nach
Separation der Gleichung (2.116) aus
ϕL =
∫L
Mx (x)
dx
G I P (x)
(2.117)
0
(2.113)
Mit der Näherung ϕ(x + dx) ≈ dϕ
dx dx bleibt unter Vernachlässigung quadratisch kleiner Terme
dx γxϕ = r
2.7.6 Verdrehung
(2.114)
ermittelt werden. Sind das Moment und die Querschnittsabmessungen konstant, dann ist der Verdrehwinkel durch
ϕ L =
Mx L
2 Mx L
=
π G R4
G π2 R4
(2.118)
Technische Mechanik II (Festigkeitslehre)
Prof. Dr.-Ing. G. Rill
gegeben, wobei das durch (2.107) gegebene polare Flächenmoment des Kreisquerschnitts bereits eingesetzt
wurde.
Die Verdrehsteifigkeit einer Voll-Welle mit der Dimension Nm/rad ist dann durch
cϕ =
Mx
ϕ L
=
π G R4
2 L
(2.119)
bestimmt. Sie nimmt mit zunehmender Länge L ab und
steigt mit der vierten Potenz des Radius R an.
2.7.7 Beispiel
Eine kreiszylindrische Welle aus Stahl mit dem Schubmodul G, die sich im Mittelteil konisch vom Radius R A
auf den Radius RE aufweitet, wird durch das Torsionsmoment Mt belastet, Bild 2.14. Die gesamte Verdrehung
RE
Mt
RA
Bild 2.14: Welle mit konischem Mittelteil
setzt sich aus drei Anteilen zusammen
ϕ = ϕ1 + ϕ2 + ϕ3
(2.120)
Im ersten und letzten Teil ist der Radius konstant. Gemäß
(2.118) gilt dann
2 Mt L1
π G R4A
ϕ1 =
und
ϕ3 =
2 Mt L3
π G RE4
(2.121)
Im Bereich L1 ≤ x ≤ L1 + L2 nimmt der Radius des
Mittelteils linear von R(x = L1 ) = R A auf R(x = L1+L2 ) =
RE zu. Das polare Flächenmoment I P2 ist dann von x
abhängig und kann über (2.107) mit
π
2
I P2 (x) =
RA +
R E−R A
L2
(x − L1 )
4
(2.122)
angegeben werden. Gemäß (2.117) erfolgt dann die Berechnung des Verdrehwinkels über
ϕ2 =
L1∫+L2
L1
G
π
2
RA +
Mt dx
R E−R A
L2
(x − L1 )
4
(2.123)
Mit der Substitution
ξ=
R E−R A
L2
2
(x − L1 ) bzw. x = L1 + R EL−R
ξ
A
(2.124)
L2
2 Mt
π G R E−R A
R E∫−R A
0
dξ
(R A +ξ)4
(2.125)
wobei mit (2.124) die Integrationsgrenzen angepasst, dx
2
durch R EL−R
dξ ersetzt und alle konstanten Terme vor
A
das Integral gezogen wurden. Die Integration liefert
h
i R E −R A
1
(R A +ξ)3 0
ϕ2 =
L2
1
2 Mt
π G R E−R A −3
=
L2
1
2 Mt
π G R E−R A −3
=
3
3
L2
1 R A −R E
2 Mt
π G R E−R A −3 R 3 R 3
A E
1
R E3
−
1
3
RA
(2.126)
Mit der binomischen Formel
a3 − b3 = (a − b) (a2 + ab + b2 )
(2.127)
kann (2.126) noch weiter vereinfacht werden. Es bleibt
dann mit
ϕ2 =
L3
L2
L1
ϕ2 =
x
R(x)
Mt
erhält man
2 Mt R A2 + R A RE + RE2
L2
π G
3 R A3 RE3
(2.128)
die allgemein gültige Formel zur Berechnung des Verdrehwinkels einer konischen Welle, die durch das Torsionsmomen Mt belastet wird und deren Radius sich über
der Länge L2 linear von R A auf RE aufweitet.
Mit den Zahlenwerten Mt = 240 Nm, L1 = 2 m,
L2 = 1.2 m, L3 = 4 m, R A = 0.02 m, RE = 0.04 m
und G = 7.8 · 104 N/mm2 bzw. G = 7.8 · 1010 N/m2
erhält man aus (2.121) und (2.128) den Gesamtverdrehwinkel zu
ϕ = 0.0245+0.0043+0.0031 = 0.0319 ' 1.83◦
Der dritte Abschnitt hat im Vergleich zum ersten den
doppelten Radius RE = 2R A und die doppelte Länge L3 = 2L1 . Da das polare Flächenmoment I P eines
kreisförmigen Querschnitts aber mit der 4. Potenz des
Radius zunimmt, ist hier der Verdrehwinkel des ersten
Abschnitts 8-mal so groß wie der des dritten. Hätte man
den Verdrehwinkel des mittleren konischen Abschnitts
nicht nach (2.128) sondern mit dem aus dem mittleren
Radius RM = (R A+RE )/2 berechneten polaren Flächenmoment ermittelt, dann wäre das Ergebnis mit 0.0029
im Vergleich zum exakten Wert von 0.0043 um mehr als
30% zu klein ausgefallen.
2.7.8 Kreiszylindrische Rohre
Der einfache lineare Schubspannungsansatz (2.97) gilt
auch für Kreiszylindrische Rohre. Analog zu (2.102) erhält man
τxϕ (r) =
Mx
r
I P}
mit
Ri ≤ r ≤ Ra
(2.129)
19
OTH Regensburg
Technische Mechanik II
wobei zu beachten ist, dass der Radius r durch den Innenund Außenradius des Querschnitts auf Ri ≤ r ≤ Ra
beschränkt wird. Das polare Flächenträgheitsmoment ist
dabei
π 4
π 4
I P} =
(2.130)
Ra −Ri4 =
Da −Di4
2
32
gegeben, wobei Da = 2Ra und Di = 2Ri den Außenund Innendurchmesser angeben. Analog zu (2.116) definiert
dϕ
Mx
=
dx
G I P}
(2.131)
die Verwindung oder Drillung eines kreiszylindrischen
Rohres.
2.8.2 Kompensationspendel
Die Schwingungsdauer eines Pendels hängt von seiner Länge ab.
Temperatur bedingte Änderungen
der Pendellänge führen deshalb bei
mechanischen Uhren zu Gangabweichungen. Ältere mechanische
Uhren, die auch Regulatoren genannt werden, verfügen über ein
Kompensationspendel, dessen Länge bei Temperaturschwankungen
nahezu konstant bleibt. Die Pendelstange wird dabei aus zwei Materialien mit unterschiedlichen Wärmedehnzahlen gefertigt.
Analog zu (2.108) können aus (2.130) auch die Flächenmomente 2. Grades für kreiszylindrisches Rohr abgeleitet
werden
}
I y}y = Izz
=
1 } π 4
π 4
IP =
Ra −Ri4 =
Da −Di4
2
4
64
(2.132)
H
h H
2.8 Übungen
2.8.1 Einfacher Gitterrost
S
Der skizzierte einfache Gitterrost wird in horizontaler
Richtung durch die Kraft F belastet.
D
a
Bei welchem Verhältnis der Wärmedehnzahlen bleibt die
Pendellänge unabhängig von der Temperatur konstant,
wenn die drei längeren Stäbe jeweils die Länge H und die
beiden kürzeren die Länge h = 0.96 H haben? Lösung:
a
∆L = 2H H − h h
= 2H αH ∆T − 0.96H αh ∆T
= (2αH − 0.96αh ) H ∆T
aus ∆L = 0 folgt dann ααHh = 0.48
C
A
Die kürzeren, aber sich stärker ausdehnenden Stäbe
schieben dabei den Pendelschwerpunkt S ebensoweit
nach oben, als er durch die längern, aber weniger ausdehnungsfähigen Stäbe nach unten geschoben wird.
F
2.8.3 Draht unter Eigengewicht
Ein dünner Stahldraht mit der Dichte % und der Länge L
ist am oberen Ende fest eingespannt.
B
Bestimmen Sie die Lagerreaktionen, die Kräfte in den
Gitterstäben sowie die Verschiebung des Kraftangriffspunktes, wenn die Dehnsteifigkeit der Stäbe mit E A gegeben ist
Lösung:
AH = −F,
AV = 0,
B=0
1 √2
SK =
F, SD = −F
2
√2 a F
uF = 2 +
vF = 0
E A,
ρ
L
g
x
20
Lösung:
σ(x) = % g (L − x)
∫L
∆L = E1 % g (L − x) dx
0
=
1
E
% g 12 L 2
σmax = σ(x = 0) = % g L
aus σmax = σB folgt L =
σB
%g
Technische Mechanik II (Festigkeitslehre)
Prof. Dr.-Ing. G. Rill
Ermitteln Sie den Verlauf der Normalspannung über
der Drahtlänge. Welche Längenänderung erfährt der
Draht?
Mt
a
d
d/2
Wie lang kann der Draht höchstens sein, wenn die Bruchspannung durch σB gegeben ist?
2.8.4 Vierpunkt-Biegung
Ein dünner Balken mit der Biegesteifigkeit E I und der
Länge 6a wird an den Enden mit den Kräften F belastet.
Mt
a) Um wie viel Prozent veringert sich das Wellengewicht?
b) Um wie viel Prozent erhöht sich die maximale Torsionspannung?
c) Um wie viel Prozent erhöht sich der Verdrehwinkel?
Lösung:
a
F
a
4a
x
EI
z
F
Lösung:
Qz
F
5a
6a
5a
6a x
x
-F
a
My
aF
a
w(x = 3a) = −
2 Fa3
EI
Skizzieren Sie den Verlauf der Schnittgrößen Q z und My
über der Balkenlänge und bestimmen Sie die Durchbiegung an der Stelle x = 3a.
2.8.5 Pinzette
Die beiden Arme einer Pinzette haben die Länge 2a und
die Biegesteifigkeit E I. Sie sind bei A fest miteinander
B
EI
F
A
2b
a
F
a
B
2s
a
verbunden. Im unbelasteten Zustand sind die Arme der
Pinzette gerade und ihr Abstand bei B beträgt 2b.
a) Mit welcher Kraft F muss die Pinzette in der Mitte
zusammengedrückt werden, damit sich die Enden in
B gerade berühren?
b) Mit welcher Kraft FB werden die Enden bei B aufeinander gepresst, wenn die Pinzette in der Mitte fest
zusammengedrückt wird?
Lösung:
a) = F =
6
5
EI
b
a3
s
a3
b) = FB = 3 E I
2.8.6 Hohlwelle
}
a) Für die Gewichtsveringerung gilt zunächst ∆G
= G G−G
2 G
d
2 a erhält man
Mit G = % π4 d 2 a und G} = G − % π4
b) Die maximalen Spannungen sind durch τxϕ
=
bestimmt. Für die Spannungserhöhung gilt dann
∆τ
I
τ}
π
Mt d
2
IP
∆G
G
=
1
4
∼ 25%
} =
und τxϕ
Mt d
} 2
IP
d4
xϕ
1
= xϕ −1 = IP} −1 = π 324 d 4 −1 = 1−1 1 −1 = 15
= 0.0667 ∼ 6.67%
τ xϕ
τx ϕ
P
16
32 d −( 2 )
c) Da sich auch die Verwindung nur durch die polaren Flächenträgheitsmomente unterscheidet, erhält man auch für die Verdrehwinkel das Ergebnis
∆ϕ
= 0.0667 ∼ 6.67%
ϕ
2.8.7 Bohrgestänge
An einer Landbohrstelle wird nach Öl gebohrt. Der Bohrkopf mit
dem Gewicht Q befindet sich in der Tiefe h.
Das Bohrgestänge besteht aus Rohrprofilen
mit dem Innendurchmesser di und dem Außendurchmesser da , die
das längenbezogene Gewicht n und den EModul E haben.
x
di
n
h
da
Q
a) Berechnen Sie den aufgrund des Eigengewichts und
des Gewichts des Bohrkopfs wirkenden Normalkraftverlauf N(x), die Dehnung (x) und die Verschiebungsfunktion u(x), wenn der Bohrkopf den Boden
nicht berührt.
b) Berechnen Sie mit den Werten:
h = 1000 m, da = 177 mm, di = 165 mm,
n = 245 N/m, Q = 8 kN, E = 210 kN/mm2
max und die Verlängedie maximale Zugspannung σxx
rung ∆h des Bohrgestänges.
Nun wird der Bohrvorgang gestartet. Dabei wirkt auf den
Bohrkopf das Bohrmoment MB = 10 kNm.
c) Berechnen Sie mit den Zahlen aus b) und dem Schubmodul G = 80.8 kN/mm2 die Drillung dϕ/dx des
Bohrgestänges und die maximale Torsionsspannung
max im Rohr.
τxϕ
Lösung:
a) N(x) = Q + n (h − x), (x) = NE(x)
A mit A =
∫x
und u(x) = (x) dx = E1A Qx + nhx − 12 nx 2
π
4
da2 − di2
0
N (x=0)
= 78.5 N/mm2 und ∆h = u(x = L) = 192.8 mm
A
π
c) dϕ/dx = GMI PB} Mit I P } = 32
D4a − Di4 = 2358.82816 cm4
bleibt dϕ/dx = 0.00525 rad/m
Die maximale Schubspannung tritt am Außenrand bei r = da /2 auf und ist hier
max = M B d a = 37.5 N/mm2 bestimmt
durch τxϕ
I} 2
max =
b) σxx
P
Eine zylindrische Vollwelle mit dem Durchmesser d und
der Länge a wird durch das Torsionsmoment Mt belastet.
Zur Gewichtseinsparung soll sie nun mit dem Bohrungsdurchmesser d/2 hohlgebohrt werden.
21
3 Statisch überbestimmte Systeme
3.1 Motivation
L
Um Durchbiegungen, Verdrehungen und/oder Neigungen von Bauteilen bei Belastungen zu verringern, werden häufig zusätzliche Lagerungen, Verstrebungen oder
Abstützungen verwendet. In der Regel entstehen dadurch
zum Teil mehrfach statisch überbestimmte Systeme.
q0
x
s
z
Bild 3.2: Bauteil mit zusätzlichem Lager
3.2 Beispiele
3.3 Lösungsschritte
3.2.1 Zusätzliche Strebe
3.3.1 Teilsysteme
Der dehnstarre Rahmen einer Spindelpresse hat die Biegesteifigkeit E I. Um große Spindelkräfte F zu ermöglichen, wird er durch einen beidseitig gelenkig gelagerten Zuganker mit der Dehnsteifigkeit E A verstärkt,
Bild 3.1.
Statisch überbestimmte Systeme können stets durch gezielte Schnitte, durch Entfernen oder Abändern von Lagern sowie durch Einfügen zusätzlicher Gelenke in statisch bestimmtes System überführt oder in statisch bestimmte Teilsysteme zerlegt werden.
a
a/2
EI
F
Entfernt man im Beispiel aus dem Abschnitt 3.2.1 den
Zuganker, dann erhält man mit dem Rahmen und dem
Zuganker die statisch bestimmten Teilsysteme I und II,
Bild 3.3.
a
2a
II
a/2
Z
EA
EI
EI
F
Z
F
2a
I
EI
EA
F
Z
Bild 3.1: Spindelpresse mit Zuganker
Z
Da das System durch die Verstrebung einfach statisch
überbestimmt geworden ist, kann die Kraft Z im Zuganker nicht mehr aus den Gleichgewichtsbedingungen
allein ermittelt werden.
3.2.2 Zusätzliches Lager
Bild 3.3: Spindelpresse zerlegt in Teilsysteme
Beim Beispiel aus dem Abschnitt 3.2.2 führt das formale
Entfernen des zusätzlichen Gelenklagers direkt auf ein
statisch bestimmtes System, Bild 3.4
Der einseitig eingespannte Träger mit der Länge L, der
durch eine konstante Streckenlast q0 belastet ist, wird an
der Stelle s zusätzlich durch ein horizontal verschiebbares Gelenklager abgestützt, Bild 3.2
Das System ist nun einfach statisch überbestimmt.
L
q0
s
z
x
H
Bild 3.4: Gelenklager ersetzt durch Kraft
22
Technische Mechanik II (Festigkeitslehre)
Prof. Dr.-Ing. G. Rill
Die zunächst noch unbekannte Kraft H beschreibt dabei die Wirkung des ursprünglichen Lagers. Im Sonderfall s = L liefert das Ersetzten der festen Einspannung
durch ein festes Gelenklager eine interessante Alternative, Bild 3.5
mit den Bezeichnungen aus Bild 3.6 für die vertikale Verschiebung des Rahmens am oberen Anlenkpunkt des Zugankers
L
Die in den Rahmen eingeleiteten Kräfte F und Z erzeugen an der Rahmenecke das Schnittmoment MB
M
q0
w Z = 32 a ϕB + wF F + wF Z − wzz
x
MB = F a − Z 23 a
z
Bild 3.5: Gelenklager statt Einspannung
Die Wirkung der ursprünglich festen Einspannung wird
dann durch das Moment M erfasst.
Dem Belastungsfall aus Abschnitt 2.6.3 entsprechend
führt das am Ende des vertikalen Rahmenteils der Länge
L = 2a zu der Neigung
F a − Z 32 a 2a
(3.4)
tan ϕB = w 0(L = 2a) =
EI
3.3.2.1 Spindelpresse
Der Zuganker wird mit der Kraft Z belastet. Er hat die
Länge 2a und die Dehnsteifigkeit E A. Seine Längenänderung ist dann durch
2a Z
EA
(3.1)
gegeben. Die vertikale Verschiebung w Z des Anlenkpunktes am Rahmen setzt sich aus mehreren Anteilen
zusammen. Die Gesamtverformung des Rahmens kann,
wie in Bild 3.6 dargestellt, durch eine lineare Superposition einfacher Lagerungs- und Belastungsfälle1 bestimmt
werden.
ϕF
MB
a
ϕB
wFZ
wFF
F
B
B
Z
∆LZ
Z
ϕB = (2F − 3Z)
wF F =
Bild 3.6: Verformungsanteile
Unter der Voraussetzung, dass die Verformungen und damit auch die Neigungswinkel klein bleiben, erhält man
(3.5)
und
ϕF =
1 Fa2
2 EI
(3.6)
wobei bei der Neigung w 0(L = a) = tan ϕF wieder die
Tangensfunktion durch das Argument approximiert wurde. Für die entsprechende Verschiebung am Anlenkpunkt
des Zugankers ergibt sich damit
wF Z = ϕF
a 1 Fa2 a 1 a3
=
= F
2 2 EI 2 4 EI
(3.7)
Der Belastungsfall in Abschnitt 2.6.1 liefert mit
wZZ
A
1
1 a3
F
3 EI
C
EA 2a
a2
EI
Aus dem Belastungsfall in Abschnitt 2.6.1 erhält man
sofort
wZ Z
3/2a
2a
(3.3)
Auf Grund der als klein vorausgesetzten Neigungen,
kann die Tangensfunktion durch das Argument angenähert werden. Es bleibt dann
3.3.2 Lineare Superposition
∆L Z =
(3.2)
3
3
Z
2a
1
9 a3
=
= Z
3 EI
8 EI
(3.8)
auch die Verformung infolge der Kraft Z am Anlenkpunkt des Zugankers. Setzt man die einzelnen Anteile in
(3.2) ein, dann bleibt
wZ =
3
2 (2F −3Z)
+ 13 F + 41 F − 98 Z
a3
EI
(3.9)
3
wobei der gemeinsame Faktor Ea I bereits ausgeklammert
wurde. Zusammengefasst bleibt
3
43
45
a
wZ =
F−
Z
(3.10)
12
8
EI
Für einige einfache Lagerungs- und Belastungsfälle sind die Ergebnisse im Abschnitt 2.6 zusammengestellt
23
OTH Regensburg
Technische Mechanik II
3.3.3.2 Lagerung
L
q0
w1
+
Das Lager an der Stelle x = s lässt keine vertikale Verschiebung zu. Die daraus resultierende Kompatibilitätsbedingung
w=0
(3.17)
x
w2
x
s
H
Bild 3.7: Unterteilung in einfache Teilsysteme
Aufgelöst bleibt
3.3.2.2 Lagerung
Das in Bild 3.4 dargestellte System kann in zwei einfache
Belastungsfälle aufgeteilt werden, Bild 3.7.
Das erste Teilsystem entspricht dem in Abschnitt 2.6.2
angegebenen Belastungsfall. Für die Durchbiegung an
der Stelle x = s entnimmt man den Wert
s s 2
1 q0 L 4 s 2
6−4 +
(3.11)
w1 =
24 E I
L
L
L
Im relevanten Bereich 0 ≤ x ≤ s wird das zweite Teilsystem durch den Belastungsfall aus Abschnitt 2.6.1 abgebildet. Ersetzt man F durch H und L durch s, dann erhält
man für die Durchbiegung an der Stelle x = s, die im
vorliegenden Fall das Bauteilende markiert, den Wert
1 Hs3
w2 =
3 EI
(3.12)
Die gesamte Verschiebung an der Stelle x = s ist dann
durch
w = w1 − w2
(3.13)
gegeben.
3.3.3 Kompatibilität
3.3.3.1 Spindelpresse
Die Verformungen des Zugankers und des Rahmens sind
durch die Kompatibilitätsbedingung
∆L Z = w Z
(3.14)
an einander gekoppelt. Mit (3.1) und (3.10) folgt daraus
eine Bestimmungsgleichung für die Kraft Z im Zuganker
3
2a Z
43
45
a
=
F−
Z
(3.15)
EA
12
8
EI
Aufgelöst bleibt
Z =
24
liefert dann mit (3.13 sowie (3.11) und (3.12) eine Bestimmungsgleichung für die Kraft H
1 Hs3
s s 2
1 q0 L 4 s 2
6−4 +
(3.18)
=
3 EI
24 E I L
L
L
43 a3
12 E I
45 a3
2a
8 EI + E A
F =
86
135 +
48I
a2 A
F
(3.16)
1
s s 2
L
H = q0 L
6−4 +
8
s
L
L
(3.19)
Für den Sonderfall s = L erhält man mit
H=
3
q0 L
8
(3.20)
ein Ergebnis, das auch mit dem Ersatzsystem aus
Bild 3.5 berechnet werden kann. Die Kompatibilitätsbedingung
w 0(x = 0) = 0
(3.21)
führt über die Belastungsfälle aus Abschnitt 2.6.5 und
Abschnitt 2.6.6 zu einer Bestimmungsgleichung für das
Moment M
1 q0 L 3
1 ML
=
3 EI
24 E I
oder
M=
1
q0 L 2
8
(3.22)
Das Momentengleichgewicht bezüglich der Stelle x =
0
1
(3.23)
M − q0 L L + H L = 0
2
ermöglicht dann die Bestimmung der Kraft H, die im
zusätzlichen Lager an der Stelle x = L auftritt. Löst man
(3.23) mit (3.22) nach H auf, dann erhält man das bereits
in (3.20) angegebene Ergebnis.
Technische Mechanik II (Festigkeitslehre)
Prof. Dr.-Ing. G. Rill
3.4 Übungen
A
Ein auf beiden Seiten fest eingespannter Träger mit einem
Gelenk hat die Biegesteifigkeit E I. Er ist spannungsfrei
montiert.
C
F
3.4.1 Gelenk-Träger
a
c
c
a
a
a/3
3.4.4 Rahmen-Träger
s
Berechnen Sie den Verlauf der Querkraft Q und des Biegemomentes M über der Länge des Trägers, wenn sich
die Lagerwände um eine kleine Strecke s gegeneinander
verschieben.
Lösung:
FG = 9
s EI
a a2
FG
Q(x)
2/3 a
a
2/3 a
a
M(x)
2
3
Das skizzierte Rahmen-Tragwerk, bestehend aus einem
abgewinkelten Träger und einem Stab, wird am Ende
durch die Kraft F belastet.
1
3
a FG
a FG
a
3.4.2 Träger mit Abspannseil
EA
F
EI
Ein Träger (Dichte %, Querschnitt A, Biegesteifigkeit E I,
Länge a) ist an einem Ende fest eingespannt und wird
am anderen Ende an einem Drahtseil abgestützt. Das
2a
a
Wie groß ist die Stabkraft?
Lösung:
∆L =
Xa
4 a3
(8F − 5X)
und wX =
EA
3 EI
aus ∆ L = wX folgt X =
1+
8
5F
3 I
20 a2 A
3.4.5 Welle mit Rohr
EA
a
EI
h
ρ, A, EI
Drahtseil hat die Dehnsteifigkeit E A und ist im Abstand
h oberhalb des Trägers an der Decke befestigt.
a) Welche Kraft muss das Drahtseil auf den Träger ausüben, damit die durch das Eigengewicht des Trägers hervorgerufene Durchbiegung am Trägerende
verschwindet?
b) Wie lang muss das Drahtseil vor der Montage sein,
damit es im eingebauten Zustand die durch das Eigengewicht des Trägers hervorgerufene Durchbiegung am
Trägerende verhindert?
Ein Rohr und eine Welle, jeweils der Länge a, sind an beiden Enden an starren Flanschen befestigt. Die Welle hat
den Durchmesser d und Di und Da geben den Innen- und
Außendurchmesser des Rohrs an. Die Flansche werden
mit dem Torsionsmoment Mt belastet.
a
Mt
d
Da
Mt
Di
Ermitteln Sie die Torsionssteifigkeit der Welle-RohrVerbindung.
Lösung:
cϕ =
π G d 4 + D4a −Di4
32
a
Gemäß dem Prinzip “actio=reactio” wirkt auf das Seil
dann die Kraft F = + 38 % g A a und erzeugt die Längenänderung
Lösung:
Aus dem Katalog der Belastungsfälle entnimmt man für
die Fälle feste Einspannung mit Streckenlast q0 und feste
Einspannung mit Einzelkraft F am Ende die maximale
Durchbiegungen
q
wm0 =
1 q0 L 4
8 EI
und
F
wm
=
∆L =
F
L0
EA
oder ∆h =
3
8
%g Aa
(h − ∆h)
EA
Aufgelöst bleibt
1 F L3
3 EI
∆h =
Im kombinierten Belastungsfall verschwindet die Durchbiegung für
1
1
3
4
3
8 q0 L + 3 F L = 0 oder F = − 8 q0 L
Mit q0 = % g A und L = a bleibt
F = − 83 % g A a
3
8
%g Aa
EA+
3
8
%g Aa
Da in der Regel % g a genänderung auch durch
∆h ≈
8
3E
h =
%ga
8
3E
+ %ga
h
gelten wird, kann die Län-
3 %ga
h
8 E
angenähert werden.
3.4.3 Bretter über Grube
Über eine rechteckige Grube mit den Abmessungen
2a × 2c werden, wie skizziert, zwei Bretter gelegt. Die
Bretter haben den gleichen Querschnitt (Breite b, Höhe
h) und jeweils den Elastizitätsmodul E. Am Rand der
Grube liegen die Bretter lose auf und berühren sich im
unbelasteten Zustand gerade noch.
Berechnen Sie die Durchbiegung am Kraftangriffspunkt
und die Auflagerkräfte in A und C.
Lösung:
Belastungsfall aus Abschnitt 2.6.4
3
1 (F − X) (2a) a 2 a 2 1 (F − X) a3
w1 =
=
3
EI
2a
2a
6
EI
Flächenmoment Rechteck: I =
und analog: w2 =
1 Xc3
6 EI
1
3
12 bh
a3
1 a3 c3 F
F und w =
6 a3 + c3 E I
a3 + c3
c3 F
a3 F
und C = 12 X = 3
a3 + c3 2
a + c3 2
Aus Kompatibilität: w = w1 = w2 folgt X =
Auflagerkräfte: A =
1
2
(F − X) =
25
4 Knickung
4.1 Vorbemerkung
und
In der Elasto-Statik werden in der Regel die Gleichgewichtsbeziehungen für das unverformte Bauteil angesetzt. Die in technischen Anwendungen auftretenden
kleinen Verformungen rechtfertigen meist dieses Vorgehen. In einigen Ausnahmesituation können jedoch auch
kleine Verformungen große Änderungen in den Kräften
bewirken. In diesen Fällen müssen dann die Gleichgewichtbeziehungen für das verformte Bauteil angeschrieben werden.
x
e
My = eF − x Az = eF − x F = eF 1−
L
L
(4.6)
Der Stab wird also auf Druck und Biegung belastet. Bei
langgestreckten Bauteilen kann die Schubverformung gegenüber der reinen Biegung vernachlässigt werden. Die
in (5.144) angegebene Differentialgleichung der Biegelinie vereinfacht sich dann zu
w 00 = −
My
E Iy y
(4.7)
Mit (4.6) bleibt
4.2 Exzentrische Krafteinleitung
4.2.1 Gleichgewicht am unverformten Bauteil
Ein Stab ist an beiden Enden gelenkig gelagert und wird
bei A durch die um den Abstand e versetzte Kraft F
exzentrisch belastet, Bild 4.1. Der Stab hat die Länge
L und bezüglich der y-Achse ist seine Biegesteifigkeit
durch E I y y gegeben.
x 1
eF x w 00 = −eF 1−
=
−1
L E Iy y
E Iy y L
(4.8)
Nach zweimaliger, unbestimmter Integration erhält
man
e F 1 x3 1 2
w(x) =
− x + C1 x + C2
(4.9)
E Iy y 6 L
2
Die Randbedingungen
F
e
A
E Iyy
B
w(x = 0) = 0
x
L
F
Az
F
e
Az
Bx
C2 = 0
Bz
x
My
Qz
N
w(x) =
(4.1)
(4.2)
(4.3)
liefern die Lagerreaktionen
e
F,
L
Bx = −F
und
Bz = −
e
F
L
(4.4)
An der Stelle x ergeben sich damit die Schnittreaktionen
zu
e
N = −F , Q z = −Az = − F
(4.5)
L
26
(4.10)
1
L
3
(4.11)
(4.12)
Nach Abspalten der Nullstelle bei x = L bleibt
Die Gleichgewichtsbeziehungen am Gesamtsystem
F + Bx = 0
Az + Bz = 0
Az L − F e = 0
und C1 =
erfüllt. Damit ergibt sich die Biegelinie zu
1 eF L 2 x x 2
x
w(x) =
−3 +2
6 E Iy y L L
L
Bild 4.1: Stab mit exzentrischer Belastung
Az =
w(x = L) = 0
werden mit den Integrationskonstanten
z
e
und
1 eF L 2 x x x
1−
2−
6 E Iy y L
L
L
(4.13)
Das Ergebnis kann mit M = eF auch dem Belastungsfall
aus Abschnitt 2.6.6 entnommen werden. Da das Moment
dort an der Stelle x = L eingeleitet wird, muss das in
Abschnitt 2.6.6 angegebene Ergebnis durch die Koordinatentransformation x → L − x erst auf den hier vorliegenden Fall angepasst1 werden.
Technische Mechanik II (Festigkeitslehre)
Prof. Dr.-Ing. G. Rill
ein Ansatz verwendet, der bis auf die Konstante C der
rechten Seite der Differentialgleichung (4.15) entspricht.
Setzt man den aus (4.19) und (4.20) zusammengesetzten
Lösungsansatz (4.17) in (4.15) ein, dann erhält man
L
F
e
z
F
E Iyy
x
w(x)
wh00
z
}|
{
2
2
−Aω sin ωx − Bω cos ωx +
2
+ ω A sin ωx + B cos ωx + C
|
{z
} |
wh
= ω2 e Lx −1
x
e
w(x)
Az
N
My
Qz
Bild 4.2: Stab mit Biegeverformung
w p00
z}|{
0
x
L −1
{z }
wp
(4.21)
Linke und rechte Seite stimmen für
4.2.2 Gleichgewicht am verformten Bauteil
Aus Bild 4.2 erkennt man, dass die aus (4.13) resultierende Biegeverformung einen Einfluss auf das Schnittmoment hat.
Berücksichtigt man die Verformung bei der Berechnung
der Schnittreaktionen an der Stelle x, dann erhält man an
Stelle von (4.6) für das Schnittmoment den Ausdruck
My = (w +e) F − x Az = wF + eF 1− Lx
(4.14)
wobei die Lagerreaktion Az weiterhin durch (4.4) gegeben ist und w = w(x) die Durchbiegung des Stabes
an der Stelle x angibt. Aus (4.8) erhält man dann die
Differentialgleichung der Biegelinie zu
w 00 + ω2 w = ω2 e Lx −1
(4.15)
wobei die Abkürzung
F
E Iy y
(4.16)
verwendet und der aus der Durchbiegung w resultierende
Anteil im Biegemoment auf die linke Seite gestellt wurde. Diese lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung
kann nun nicht mehr durch einfache Integration gelöst
werden. Die Biegelinie w = w(x) kann aber mit
w(x) = wh (x) + w p (x)
(4.17)
durch Addition der homogenen und partikulären Lösung
der Differentialgleichung bestimmt werden. Die homogene Differentialgleichung
wh00 + ω2 wh = 0
(4.18)
kann durch den Ansatz
wh (x) = A sin ωx + B cos ωx
(4.19)
gelöst werden, wobei A und B noch zu bestimmende
Konstante sind. Für die partikuläre Losung wird mit
(4.20)
w p (x) = C Lx −1
oder C = e
2
2
L−x
1− Lx
→ L−x
1−
= 1− Lx Lx 2− Lx
L
L
(4.22)
überein. Die allgemeine Lösung
w(x) = A sin ωx + B cos ωx + e
x
L
−1
(4.23)
muss nun noch an die Randbedingungen angepasst werden. Aus (4.10) erhält man mit (4.23) zwei Gleichungen
0 = B − e und 0 = A sin ωL + B cos ωL
(4.24)
die nach den Konstanten aufgelöst werden können
cos ωL
(4.25)
sin ωL
Während die Konstante B stets endlich bleibt, kann A für
sin ωL = 0 unendlich groß werden. Der Stab ist dann
nicht mehr im Gleichgewicht sondern knickt aus. Der
kritische Fall tritt erstmals auf bei
B = e und A = −e
ωL = π oder ω2 L 2 = π 2
ω2 =
1 x
L
ω2 C = ω2 e
(4.26)
Durch Einsetzen der Abkürzung (4.16) ergibt sich daraus
die kritische Knicklast zu
E Iy y
(4.27)
FK = π 2
L2
Der Einfluss der Normalkraft auf die Biegelinie macht
sich nicht erst bei der kritischen Belastung sondern bereits vorher deutlich bemerkbar, Bild 4.3.
Die mit kleinen Kreisen markierten Biegelinien wurden ohne Einfluss der Normalkraft berechnet. Für kleine
Normalkräfte, z.B. bei F = 100 N, stimmen die aus
(4.13) und (4.23) mit (4.25) berechneten Lösungen gut
überein. Mit steigender Normalkraft (F = 300 N und
F = 700N) werden die Abweichungen immer größer. Nähert man sich mit F = 1500 N an die kritische Knicklast
FK = 1727.2 N an, dann tritt eine extreme Durchbiegung
auf. Die entsprechende Bieglinie kann zwar noch gezeichnet werden, entspricht aber nicht mehr der Realität,
da die Biegedifferentialgleichung nur für kleine Durchbiegungen Gültigkeit besitzt.
Da in der Praxis die Krafteinleitung nie exakt zentrisch
erfolgt und die Mittellinie des Bauteils oftmals bereits
leicht vorgekrümmt ist, muss die Knickung bei auf Druck
belasteten Bauteilen auch für e → 0 bei der Dimensionierung mit berücksichtigt werden.
27
OTH Regensburg
0
0
Technische Mechanik II
1000
2000
w [mm]
100
3000
4000
FK = π 2
EI
2
`K
(4.28)
Die effektiven Knicklängen für die Euler-Fälle I bis IV
F=100 N
F=300 N
F=700 N
F=1500 N
x [mm]
`KI = 2L ,
F=1500 N
200
FK=1727.2 N
E = 210 000 N/mm2 , I y y = 13 333 mm4 , L = 4000 mm, e = 200 mm
Bild 4.3: Biegung durch exzentrische Druckkraft
`KI I = L ,
`KI I I ≈ 0.7L ,
`KIV = 21 L
(4.29)
erhält man aus dem Vergleich mit den in den Bildern
4.4 bis 4.7 angegebenen Beziehungen, wobei der dabei
π
auftretende Ausdruck 4.49
auf den Wert 0.7 gerundet
wurde.
4.3 Knickfälle nach Euler
Da die kritische Knicklast direkt proportional zum Flächenmoment 2. Grades ist, erfolgt das Knicken um die
Achse mit dem kleinsten Haupt-Flächenträgheitsmoment
des Bauteilquerschnittes.
Die kritische Knicklast hängt nicht nur von der Geometrie (I y y , L) und den Materialeigenschaften (E) sondern
auch von der Belastungsart und der Lagerung ab. Leonard
Euler hat sich erstmals mit Knickproblemen beschäftigt
und dabei vier verschiedene, heute nach ihm benannte,
Lagerungsfälle untersucht, Bilder 4.4 bis 4.7
4.4 Knickspannung
L
Flächenmomente 2. Grades können auf Grund ihrer Dimension auch in der Form
I = A %2
F
π2 E I
FK =
4 L2
w(x)
EI
dargestellt werden, wobei A die Fläche und % den Trägheitsradius3 angeben. In (4.28) eingesetzt erhält man
Bild 4.4: Einseitige Einspannung: Euler I
L
FK = π 2
F
w(x)
EI
(4.30)
E A %2
π2 E
=
A
2
`K
(`K /%)2
(4.31)
Die kritische Knickspannung ist dann durch
FK = π 2
EI
L2
σK =
Bild 4.5: Beidseitig gelenkig gelagert: Euler II
FK
π2 E
π2 E
=
=
A
λ2
(`K /%)2
(4.32)
gegeben, wobei
L
F
w(x)
EI
EI
w(x)
F
FK = 4π 2
EI
L2
Bild 4.7: Beidseitige Einspannung: Euler IV
Durch Einführen einer effektiven Knicklänge `K können
die kritischen Knicklasten der vier Euler-Fälle in einer
Formel zusammengefasst werden
2
28
`K
%
(4.33)
den Schlankheitsgrad des Bauteils angibt. Der Verlauf der kritischen Knickspannung σK über dem
Schlankheitsgrad λ ist in Bild 4.8 für Baustahl (E =
200 000 N/mm2 ) und Aluminium (E = 70 000 N/mm2 )
aufgetragen.
Bild 4.6: Einspannung und Gelenk: Euler III2
L
λ=
EI
FK = 4.492 2
L
Den Wert 4.49 erhält man aus der numerisch berechneten Lösung
der transzendenten Gleichung tan x = x
Bei der Berechnung der kritische Knicklast und der daraus abgeleiteten kritischen Knickspannung wurde linear elastisches Materialverhalten vorausgesetzt. Die aus
(4.32) resultierenden Hyperbeln sind deshalb nur gültig, solange die kritische Knickspannung unterhalb der
jeweiligen Fließgrenze σF , bzw. Proportionalitätsgrenze
σP bleibt.
3
Die Fläche eines Rechteckquerschnitts mit der Breite b und der
Höhe h ist durch A = b h gegeben. Für die Flächenmomente
2. Grades gilt dann I y y = A h2 /12 und Izz = A b2 /12. Damit
h und % = √
b die Trägheitsradien eines Rechtsind % y = √
z
2 3
2 3
eckquerschnitts.
Technische Mechanik II (Festigkeitslehre)
Prof. Dr.-Ing. G. Rill
sich am anderen Ende auf einer Feder mit der Konstanten c ab. Bei der Temperatur T = T0 ist die Feder entspannt.
σK [N/mm2]
400
300
250 N/mm2
200
a
190 N/mm2
Baustahl
100
EA, EI, αT
Alu
0
0
50
100
150
λ
c
200
Bild 4.8: Knickspannungen für Stahl und Alu (σF =
250 N/mm2 bzw. σF = 190 N/mm2 )
Um Welche Temperatur ∆T darf der Stab nur erwärmt
werden, damit noch eine νK -fache Sicherheit gegen elastisches Knicken gewährleistet ist?
Lösung:
∆T =
π 2 E I ac + E A 1
νK a 2 E A
ac
αT
4.5 Übungen
4.5.1 Förderband
Das um den Winkel α = 30◦ geneigte Förderband ist
in A in einem festen Gelenklager und bei B auf einer Pendelstütze gelagert. Das Eigengewicht und das
Gewicht des Schüttgutes sind in der vertikalen Kraft
F = 120 k N zusammengefasst. Bei der aus einem
Stahlrohr (E = 210 000 N/mm2 ) gefertigten Pendelstütze stehen Innen- und Außendurchmesser im Verhältnis
di /da = 0.8.
B
3m
F
A
α
a
4m
a) Die Pendelstütze ist zunächst bei a = 10 m geplant.
Wie groß muss dann der Außendurchmesser da mindestens gewählt werden, damit eine Sicherheit von
νK = 2.5 gegen ein elastisches Knicken gewährleistet
ist?
b) Bei welchem Abstand a = aopt könnte die größtmögliche Sicherheit gegen elastisches Knicken erreicht
werden?
Lösung:
a) da = 95.54 mm
b) aopt = 8 m
4.5.2 Wärmedehnung
Ein Stab mit der Länge a, der Dehnsteifigkeit E A, der
Biegesteifigkeit E I und dem Wärmeausdehnungskoeffizient αT ist an einem Ende gelenkig gelagert und stützt
29
5 Schiefe Biegung
5.1 Motivation und
Belastungsszenario
5.2 Normalspannung
5.2.1 Ansatz
Bei der Technischen Biegelehre, die im Abschnitt 2.5
beschrieben ist, wird der Einfluss von Querkräften auf
den Spannungs- und Verformungszustand vernachlässigt. Unter welchen Voraussetzungen dies gerechtfertigt
ist und wie gegebenfalls der aus Q y und Q z resultierende Schub zu berücksichtigen ist, soll in diesem Kapitel
exemplarisch untersucht werden.
Das Belastungsszenario “schiefe Biegung” tritt bereits
bei einem relativ einfachen Beispiel auf. Ein Stab der
Länge L ist an einem Ende fest eingespannt und wird
am anderen Ende durch die Kräfte Fx , Fy und Fz in
Längs-, Quer- und Vertikalrichtung belastet, Bild 5.1.
Das Kräfte- und Momentengleichgewicht an einem Teilnegatives Schnittufer
N
y
L
x
Mx Q z
My
z
Mz
Fy
Fz
L-x
Qy
Fy
Fz
Fx
Fx
Bild 5.1: Stab auf Zug und Biegung belastet
stück der Länge L − x liefert sofort die Schnittreaktionen
zu
N = Fx ,
Q y = Fy ,
Q z = Fz
und
Mx = 0 , My = −Fz (L − x) , Mz = Fy (L − x)
(5.1)
Ein geeigneter Ansatz für die Normalspannung σ =
σ(y, z) muss zunächst einmal die Äquivalenzbeziehungen (2.1), (2.5) und (2.6) erfüllen. Die durch
∫ den Flächenmittelpunkt
S
laufende
x-Achse
hat
ydA = 0
A
∫
und zdA = 0 zur Folge. Die über dem Querschnitt
konstante Normalspannung σ = N/A würde zwar in
trivialer Weise die Beziehung (2.1) erfüllen, kann aber
weder ein Moment My noch ein Moment Mz erzeugen.
Der Ansatz
σxx = σxx (y, z) = C0 + C1 y + C2 z
beinhaltet mit C0 , C1 und C2 drei zunächst noch unbekannte Konstante, die über die Äquivalenzbeziehungen
∫
(C0 + C1 y + C2 z) dA
N =
(5.6)
∫
My =
z (C0 + C1 y + C2 z) dA
(5.7)
∫
Mz = −y (C0 + C1 y + C2 z) dA
(5.8)
an den speziellen Belastungsfall N , 0, My , 0 und
Mz , 0 angepasst werden können. Nach Ausklammern
der Konstanten C0 , C1 und C2 und Aufteilen der Integrale
bleibt
∫
∫
∫
N = C0 dA + C1 ydA + C2 zdA
(5.9)
(5.2)
My = C0
was selbstverständlich auch den allgemein gültigen Beziehungen
dMy
= Qz
dx
und
dMz
= −Q y
dx
(5.3)
genügt. Eine allgemeine Belastung eines Bauteils durch
Streckenlasten (Eigengewicht) und/oder durch Einzelkräfte in Längs-, Quer- und Vertikalrichtung hat deshalb
in einem Schnitt senkrecht zur Bauteilachse (x-Achse)
stets Schnittreaktionen der Form
N , 0 , Q y , 0 , Q z , 0 , Mx = 0 , My , 0 , Mz , 0 (5.4)
zur Folge, die über die Äquivalenzbeziehungen (2.1) bis
(2.6) mit der Normalspannungen σxx und den Schubspannungen τx y und τxz verküpft sind.
30
(5.5)
∫
− Mz = C0
∫
zdA + C1
∫
ydA + C1
∫
yzdA + C2
∫
y dA + C2
2
∫
z 2 dA
(5.10)
yzdA (5.11)
wobei die
mit∫−1 multipliziert wurde.
∫ letzte Gleichung
∫
Wegen ydA = 0, zdA = 0, dA = A kann die Gleichung (5.9) sofort nach C0 aufgelöst werden. Das Ergebnis
N
(5.12)
C0 =
A
hängt nur von der Normalkraft N nicht aber von den Biegemomenten My und Mz ab. Mit den Flächenmomenten
2. Grades1
∫
∫
∫
2
2
I y y = z dA, Izz = y dA, I yz = − yzdA (5.13)
1
In Analogie zum Massendeviationsmoment bezieht man häufig,
wie auch hier geschehen, ein Minuszeichen in die Definition des
Flächendevivationsmonentes mit ein
Technische Mechanik II (Festigkeitslehre)
Prof. Dr.-Ing. G. Rill
∫
sowie
unter
Berücksichtigung
von
ydA = 0 und
∫
zdA = 0 können die verbleibenden Beziehungen (5.10)
und (5.11) nach den Konstanten C1 und C2 aufgelöst
werden. Man findet
C1 = −
C2 =
Mz I y y − My I yz
2
I y y Izz − I yz
My Izz − Mz I yz
I y y Izz −
2
I yz
x
σxx(x,y,z)
min
σxx
(5.14)
σxx=0
(5.15)
SA
Dem Ansatz (5.5) entsprechend ist die Normalspannung
bei der Belastung durch die Normalkraft N und die Biegemomente My und Mz durch
My
My Izz − Mz I yz
Mz I y y − My I yz
N
y +
z
−
2
2
A
I y y Izz −I yz
I y y Izz −I yz
(5.16)
I
=0
=
Mz
N
−
y
A
I
|{z} | {zzz }
Zug/Druck
Biegung
um z-Achse
My
z
Iy y
| {z }
+
(5.17)
Mz
max
σxx
z
Bild 5.2: Verlauf der Normalspannung
gegeben. Bei Querschnitten mit I yz = 0 setzt sich die
Normalspannung
σxxy z
x
y
σxx=0
σxx =
N
eine entsprechend große Belastung durch Normalkräfte erreicht werden. Materialien, die über unterschiedliche Festigkeiten bei Zug- und Druckbelastung verfügen,
können so auch relativ großen Biegebeanspruchungen3
ausgesetzt werden.
Biegung
um y-Achse
5.2.3 Beispiel
aus Anteilen zusammen (Superposition), die jeweils nur
durch die Normalkraft N, das Biegemoment My und das
Biegemoment Mz bestimmt sind. Die Normalkraft und
insbesondere die Biegemomente hängen bei allgemeiner
Belastung von der Koordinate x ab, deshalb ist die durch
(5.16) oder (5.17) definierte Normalspannung mit σxx =
σxx (x, y, z) in der Regel eine Funktion von allen drei
Ortskoordinaten.
Ein einseitig fest eingespanntes Bauteil mit der Länge
L = 1200mm und einer Querschnittsfläche in Form eines
rechtwinkligen Dreiecks wird am freien Ende durch die
x
y
z
5.2.2 Neutrale Faser
Der Verlauf der Normalspannung σxx = σxx (x, y, z)
über der Querschnittsfläche A lässt sich dem Ansatz
(5.5) entsprechend an der Schittstelle x grafisch als geneigte Ebene darstellen, Bild 5.2. Die aus der Forderung
σxx = 0 folgende Geradengleichung
C0 (x) + C1 (x) y N + C2 (x) z N = 0
(5.18)
gibt den geometrischen Ort verschwindender Normalspannungen an und wird als neutrale Faser des Querschnitts an der Stelle x bezeichnet. Die extremalen Spanmin und σ max treten an den Punkten des Quernungen σxx
xx
schnitts auf, die den größten Abstand zur neutralen Faser2
haben. Reine Zug- σxx (x, y, z) > 0 oder Druckbelastungen σxx (x, y, z) < 0 erhält man in allen Punkten des
Querschnitts y, z ∈ A, wenn die neutrale Faser außerhalb der Querschnittsfläche liegt. Dies kann stets durch
2
größter Randfaserabstand
L
Fz
k Fx
Bild 5.3: Bauteil mit Dreiecks-Querschnitt
horizontale Kraft Fx = 1800 N und die vertikale Kraft
Fz = 300 N belastet, Bild 5.3. Wobei die Kantenlänge
des Dreiecks mit k = 30 mm gegeben ist.
In Querrichtung liegt keine Belastung vor, deshalb erhält
man an der Einspannstelle x = 0 mit Fy = 0 aus (5.1)
und (5.2) die Schnittreaktionen
N = 1800 N , Q y = 0 , Q z = 300 N
Mx = 0 , My = −360 000 Nmm , Mz = 0
3
(5.19)
Beton verträgt große Druck- aber kaum Zugbelastungen. Im
Spann-Beton erzeugen deshalb vorgespannte Stahlstangen genügend große Druckspannungen und gewährleisten so, dass die
resultierende Normalspannung im Querschnitt mit σ < 0 bei
Biegebeanspruchungen stets eine Druckbelastung erzeugt.
31
OTH Regensburg
Technische Mechanik II
Im vorliegenden Sonderfall tritt kein Biegemoment um
die z-Achse auf, somit vereinfacht sich wegen Mz = 0
die Verteilung der Normalspannung gemäß (5.16) zu
My I yz
My Izz
N
+
y+
z
=
2
2
A I y y Izz −I yz
I y y Izz −I yz
M =0
σxxz
(5.20)
b=30 mm
σ1=4 N/mm2
σ2=324 N/mm2
Zug
σxx>0
My= −360 Nm y
Druck
σxx<0
Die Flächenmomente 2. Grades für ein rechtwinkliges
Dreieck der Breite b und der Höhe h sind in Bild 5.4
angegeben. Für die Abmessungen b = h = k = 30 mm
2/3b
I yHy =
1/3b
SA
y
z
1/3h
H
I yz
=
2/3h
IzzH =
1
36
1
72
1
36
h=30 mm
σxx=0
z
Mz= 0
b h3
σ3=−316 N/mm2
b2 h2
h b3
Bild 5.5: Spannungsverteilung
Bild 5.4: Rechtwinkliges Dreieck mit den Flächenmomenten
2. Grades aus Hütte: Die Grundlagen der Ingenieurwissenschaften, 29. Auflage, Springer 1991
5.3 Flächenmomente 2. Grades
5.3.1 Definition
erhält man für die Flächenmomente die Werte
1
∗ 30 ∗ 303 = 22 500 mm4
36
1
=
∗ 302 ∗ 302 = 11 250 mm4
72
I y y = Izz =
I yz
(5.21)
(5.22)
Mit der Querschnittsfläche A = 12 b h = 450 mm2 und
2 = 379 687 500 mm4 ergibt sich dann gemäß
I y y Izz − I yz
(5.20) die Verteilung der Normalspannung zu
σxx = 1800
450 +
=4 −
−360 000∗11 250
379 687 500
32
64
3 y − 3 z
y+
−360 000∗22 500
379 687 500
z
(5.23)
Die neutrale Faser σxx = 0 schneidet die vertikal verlaufenden rechte Kante an der Stelle yV = −10 mm und
zV = 4
32
3
−
(−10) = 5.1875 mm
64 64
(5.24)
etwa auf halber Höhe des Querschnittes. Der Schnittpunkt mit der horizontal verlaufenden oberen Kante, bzw.
deren Verlängerung liegt mit z H = −10 mm und
yH = 4
3
64
−
(−10) = 20.375 mm
32 32
(5.25)
etwas außerhalb des Querschnittes. Im Bild 5.5 sind für
den Querschnitt an der Einspannstelle x = 0 neben der
neutralen Faser σxx = 0 auch noch die Normalspannungen an den drei Eckpunkten angegeben, die mit (y1 =
20 mm, z1 = −10 mm), (y2 = −10 mm, z2 = −10 mm) und
(y3 = −10 mm, z3 = 20 mm) aus der Beziehung (5.23)
berechnet wurden. Auf Grund der aus der Längskraft
Fx resultierenden Zugvorspannung verläuft die neutrale
Faser nicht durch den Koordinatenursprung.
Im Abschnitt 5.2 wurde gezeigt, dass die Konstanten im
Ansatz für die Normalspannung über die Äquivalenzbeziehungen an den Belastungsfall der schiefen Biegung
angepasst werden können. Dabei wurden mit
∫
∫
∫
I y y = z 2 dA, Izz = y 2 dA, I yz = − yzdA
(5.26)
die Flächenmomente 2. Grades definiert. Für einfache
Querschnitte können die Integrale direkt gelöst werden.
Komplizierte Geometrien können oft aus einfachen Teilstücken zusammengesetzt werden.
5.3.2 Zusammengesetzte Querschnitte
5.3.2.1 Beispiel Z-Profil
Ein dünnes Blech mit der Breite 3b und der Wandstärke
t b ist z-förmig gebogen, Bild 5.6. Da gleich breite
Teile jeweils mit dem Winkel α nach oben bzw. nach unten gebogen wurden, bleibt der Gesamtschwerpunkt S0
in seiner ursprünglichen Position. Auf Grund der dünη2
α
ζ2
S2
b
y0=η1
S0=S1
t
η3
b
z0=ζ1
b
α
S3
ζ3
Bild 5.6: Blech z-förmig gebogen
nen Wandstärke kann der Querschnitt in guter Näherung
durch drei dünne Rechtecke zusammengesetzt werden.
32
Technische Mechanik II (Festigkeitslehre)
Prof. Dr.-Ing. G. Rill
Dann können die Integrale in (5.26) entsprechend unterteilt werden. Für das Flächenmoment 2. Grades bezüglich
der y0 -Achse bedeutet dies
Iy y =
∫
z dA =
2
A
n ∫
Õ
i=1
z 2 dA
(5.27)
Ai
wobei wegen der drei Teilkörper hier n = 3 zu setzen
ist.
5.3.2.2 Koordinatentransformation
Die Beschreibung der geometrischen Eigenschaften der
Teilflächen gelingt am einfachsten in den jeweiligen lokalen Koordinatenrichtungen.
wobei zunächst darauf verzichtet wurde, die für die Integration über die Teilkörper konstanten Terme zSi , sin αi
und cos αi vor die Integrale zu ziehen. Da die lokalen Koordinatensysteme den Ursprung im jeweiligen Flächenmittelpunkt Si haben, gilt
∫
∫
η dA = 0 und
ζ dA = 0
(5.32)
Ai
∫
Mit A dA = Ai und den analog zu (5.26) definierten
i
Flächenmomenten für die Teilkörper
∫
∫
∫
2
2
Iηi ηi = ζ dA, Iζi ζi = η dA, Iηi ζi = − ηζ dA (5.33)
Ai
ηi
yiA
αi
ζ
η
ySi
zSi
Si
dA
ζi
Teilkörper i
Iy y =
S0
z0
Iy y =
(5.28)
(5.29)
(zSi − η sin αi + ζ cos αi )2 dA
(5.30)
Ai
Ausmultipliziert bleibt
n ∫
Õ
2
Iy y =
zSi
dA
A
i=1
∫ i
∫
2
2
+ η sin αi dA +
ζ 2 cos2 αi dA
A
A
i ∫
∫i
− 2 zSi η sin αi dA + 2 zSi ζ cos αi dA
Ai
∫Ai
− 2 η sin αi ζ cos αi dA
Ai
2
zSi
Ai + Iζi ζi sin2 αi + Iηi ηi cos2 αi
i=1
+2 Iηi ζi sin αi cos αi
(5.34)
(5.31)
n Í
1
i=1
Iηi ηi +Iζi ζi +
1
2
Iηi ηi −Iζi ζi cos 2αi
2 A
+ Iηi ζi sin 2αi + zSi
i
(5.35)
2
Analog dazu findet man
Izz =
wobei das Flächenelement dA mit y, z gegenüber dem
globalen y0 -z0 -Koordinatensystem und mit η, ζ gegenüber dem lokalen yi -zi -Koordinatensystem beschrieben
wird. Ferner legen die Koordinaten ySi , zSi die Lage
des Koordinatenursprungs bzw. Teilkörperschwerpunktes Si gegenüber dem mit dem Gesamtschwerpunkt zusammenfallenden Koordinatenursprung S0 fest. In (5.27)
eingesetzt erhält man
i=1
n Í
Eine Umformung mit den trigonometrischen Beziehungen sin2 αi = 21 (1−cos 2αi ), cos2 αi = 12 (1+cos 2αi ) und
2 sin αi cos αi = sin 2αi liefert schließlich
ziA
Aus Bild 5.7 entnimmt man
yi A
z
}|
{
y = ySi + η cos αi + ζ sin αi
z = zSi − η sin αi + ζ cos αi
|
{z
}
zi A
Iy y =
Ai
z
Bild 5.7: Globale und lokale Koordinaten
n ∫
Õ
Ai
sowie unter Berücksichtigung von (5.32) vereinfacht sich
dann (5.31) zu
y
y0
Ai
n Í
1
i=1
Iηi ηi +Iζi ζi −
1
2
Iηi ηi −Iζi ζi cos 2αi
2 A
− Iηi ζi sin 2αi + ySi
i
(5.36)
2
und
I yz =
n
Í
i=1
Iηi ζi cos 2αi −
1
Iηi ηi −Iζi ζi sin 2αi
2
(5.37)
− ySi zSi Ai }
Bei reiner Parallel-Verschiebung der Koordinatensysteme vereinfachen sich die Beziehungen (5.35), (5.36) und
(5.37) mit αi = 0 zu
I yαyi =0 =
αi =0
Izz
=
αi =0
I yz
=
n Í
i=1
n Í
i=1
n Í
i=1
2 A
Iηi ηi + zSi
i
2 A
Iζi ζi + ySi
i
Iηi ζi − ySi zSi Ai
(5.38)
Die aus der Parallel-Verschiebung der Koordinatensys2 A , y 2 A und y z A
teme resultierenden Terme zSi
i
Si i
Si Si i
werden auch als Steiner-Anteile bezeichnet.
33
OTH Regensburg
Technische Mechanik II
α=90 =
Izz
◦
5.3.2.3 Ergebnis Z-Profil
=
Die zur Auswertung der Beziehungen (5.35), (5.36) und
(5.37) erforderlichen Größen in der Tabelle 5.1 zusammengestellt.
Tabelle 5.1: Geometrische Größen des Z-Profils
i=1
i=2
i=3
0
α
α
ySi
0
− (1+cos α) b2
zSi
0
(1+cos α) b2
− 12 b sin α
Ai
bt
bt
bt
Iηi ηi
≈0
≈0
≈0
I ζi ζi
1
3
12 tb
1
3
12 tb
1
3
12 tb
Iηi ζi
0
0
0
αi
1
2 b sin α
2
t b3 sin
α
t b3 (cos α + 34 )2 +
2
3
2
3
1
6
Izz =
I yz =
t
b3
5
16
α=90
I yz
=
◦
1
6
t b3 (0+3) =
2
3
t b3
1
2
t b3
9
5
16 + 16
(5.43)
(5.44)
Ergebnisse, die auch durch eine reine ParallelVerschiebung der Koordinatensysteme aus den Beziehungen (5.38) ermittelt werden können.
5.3.3.1 Bestimmungsgleichungen
Die Verschiebung und die Drehung von Koordinatensystemen beeinflusst die Flächenmomente 2. Grades. Für
das Z-Profil aus dem vorigen Abschnitt ist so bezüglich des nach dem Mittelstück ausgerichteten globalen
Koordinatensystems auch ein Flächendeviationsmoment
entstanden. Legt man nun ein mit dem Winkel ϕ um
den Ursprung S0 gedrehtes Koordinatensystem zugrunde, dann gelten analog zu (5.35), (5.36) und (5.37) die
Transformationsbeziehungen
(5.39)
sin α (5 cos α+3)
ϕ
1
1
I y y +Izz + I y y −Izz cos 2ϕ + I yz sin 2ϕ
2
2
1
1
= I y y +Izz − I y y −Izz cos 2ϕ − I yz sin 2ϕ
2
2
1
I y y −Izz sin 2ϕ
= I yz cos 2ϕ −
2
(5.45)
Iy y =
Die Verschiebung und die Drehung der Teilquerschnitte
2 und 3 ist hier nicht achsensymmetrisch und hat deshalb
im Gesamtquerschnitt ein Flächendeviationsmoment zur
Folge. Die Ergebnisse, normiert auf den Term t b3 , sind
im Bild 5.8 für den Bereich 0 ≤ α ≤ 90◦ dargestellt. Für
ϕ
Izz
ϕ
I yz
ϕ
Das neue Flächendeviationsmoment verschwindet, I yz =
0, wenn der Winkel ϕ = ϕ H der Forderung
9/4
2
3
I
/ t*b
I
/ t*b
I
/ t*b
yy
3/2
3
zz
1
3
yz
2/3
7/12
1/2
1/2
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Bild 5.8: Flächenmomente für das Z-Profil
den Sonderfall α = 0, der einen rechteckigen Querschnitt
der Breite 3b und der Höhe t beschreibt, erhält man
I yα=0
y =0
α=0
I yz
=0
und
(5.40)
sowie
α=0 =
Izz
=
2
3
9
4
5
t b3 (1+ 34 )2 + 16
=
t b3 =
1
12
2
3
t b3
t (3b)3
49
5
16 + 16
I yα=90
=
y
◦
2
3
t b3
tan 2ϕ H =
2 I yz
I y y −Izz
(5.46)
genügt. Querschnitte mit I yz , 0 und I y y = Izz haben
tan 2ϕ H → ±∞ bzw. 2ϕ H = ±90° oder ϕ H = ±45° zur
Folge. Der triviale Sonderfall I yz = 0 führt wie erwartet
auf ϕ H = 0.
Formt man die erste Gleichung in (5.45) etwas um und
berücksichtigt die trigonometrische Beziehung
1
cos 2ϕ H = q
1+tan2 2ϕ H
(5.47)
dann erhält man
(5.41)
Da t b vorausgesetzt wurde, verschwindet hier das
Flächenmoment 2. Grades bezüglich der y-Achse. Für
α = 90◦ ergeben sich mit
34
5
(0+ 34 )2 + 16
=
5.3.3 Hauptachsensystem
Als Ergebnis erhält man
Iy y =
2
3
3tb
7
3
12 t b
(5.42)
ϕ
I y yH = 12 I y y +Izz
1
1
+q
I y y −Izz + I yz tan 2ϕ
1+tan2 2ϕ H 2
(5.48)
Mit (5.46) ergibt sich nach einigen Umformungen
Technische Mechanik II (Festigkeitslehre)
ϕ
I y yH
=
1
2
I y y +Izz +
1
2
q
I y y −Izz
2
2
+ 4 I yz
Prof. Dr.-Ing. G. Rill
k
(5.49)
2
3
Analog dazu erhält man aus der zweiten Gleichung in
(5.45) das Ergebnis
q
2
ϕ
2
IzzH = 12 I y y +Izz − 12 I y y −Izz + 4 I yz
(5.50)
k
y
S
k
45o
Mit den Hauptflächenmomenten 2. Grades hat man auch
gleichzeitig das minimale und das maximale Flächenmoment des Querschnittes gefunden. Denn die notwendigen
Bedingungen für extremale Werte der Flächenmomente
bezüglich der um den Winkel ϕ gedrehten y- und z-Achse
führen mit
yH
zH
2
2
k
z
ϕ
d Iy y
= − I y y −Izz sin 2ϕ + 2 I yz cos 2ϕ = 0
dϕ
(5.51)
ϕ
d Izz
= + I y y −Izz sin 2ϕ − 2 I yz cos 2ϕ = 0
dϕ
jeweils auf die in (5.46) formulierte Forderung für ein
verschwindendes Flächendeviationsmoment.
5.3.3.2 Beispiel gleichschenklig rechtwinkliges
Dreieck
Im Abschnitt 5.2.3 wurde als Querschnitt ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck behandelt. In einem
Koordinatensystem, mit dem Ursprung im Flächenmittelpunkt, das parallel zu den rechtwinkligen Kanten verläuft, sind die Flächenmomente 2. Grades mit b = k und
h = k gemäß den Angaben in Bild 5.4 durch
@
=
I y@y = Izz
1 4
k
36
@
I yz
=
und
1 4
k
72
(5.52)
gegeben. Da hier die Flächenmomente bezüglich der yund z-Achse identisch sind, aber das Flächendeviationsmoment nicht verschwindet, ist entsprechend (5.46) die
Lage des Hauptachsensystems durch
tan 2ϕ H =
1 4
2 72
k
1
36
k4 −
1
36
k4
→ ∞
(5.53)
Bild 5.9: Hauptachsensystem für ein gleichschenklig
rechtwinkliges Dreieck
um den Winkel ϕ H = +45◦ gedrehten Koordinatensystem ist, wie in Bild 5.9 zu erkennen, die Ausdehnung
des Querschnitts senkrecht zur yH -Achse dann tatsächlich auch deutlich größer als senkrecht zur z H -Achse.
In der Regel können so das minimale und das maximale
Flächenmoment sehr einfach den entsprechenden Hauptachsen zugeordnet werden.
5.3.3.3 Beispiel Z-Profil
Für das in Bild 5.8 dargestellte Z-Profil erhält man für
den Sonderfall α = 90◦ die in (5.42), (5.43) und (5.43)
angegebenen Werte. Die Lage des Hauptachsensystems
ist dann durch
tan 2ϕ H =
oder
bzw.
ϕ
I y yH =
ϕ
IzzH
=
1
36
1
36
k4 +
k4 −
1
72
1
72
k4 =
k4 =
3
72
1
72
k4 =
k4
1
24
k4
I y yH =
1
2
=
5
8
+
IzzH =
5
8
−
(5.54)
bestimmt. Die entsprechenden Hauptträgheitsmomente,
bzw. die extremalen Werte der Flächenmomente, sind
dann gemäß (5.49) und (5.50) durch
(5.55)
gegeben. Das Flächenmoment um yH -Achse ist hier dreimal so groß wie das bezüglich der z H -Achse. Bei dem,
t
7
b3 − 12
t
b3
=
1
8
7
12 − 12
= 12
2ϕ H = 85.2° bzw. ϕ H = 42.6°
ϕ
ϕ H = ±45◦
2
3
(5.56)
(5.57)
festgelegt. Aus (5.49) und (5.50) erhält man mit
!
r oder
2ϕ H = ±90◦
2 21 t b3
5
4
+
√
145
24
1
12
2
+4
1
2
2
t b3
(5.58)
t
t b3 ≈ 0.1233 t b3
b3
≈ 1.1267 t
b3
und
ϕ
√
145
24
(5.59)
wieder sehr unterschiedliche Hauptflächenmomente
2. Grades. Die aus dem Drehwinkel ϕ H = 42.6◦ resultierenden Hauptachsen yH und z H mit den zugehörigen
Hauptflächenmomenten entsprechen der Flächenverteilung des Querschnitts, Bild 5.10.
35
OTH Regensburg
Technische Mechanik II
5.4 Schubspannungen
R
zmax
5.4.1 Ansatz
Die im Querschnitt auftretenden Schubspannungen τx y
und τxz müssen die Äquivalenzbeziehungen (2.2), (2.3)
und (2.4) erfüllen und gleichzeitig den Spannungsdifferentialgleichungen (1.11) genügen. Unter Berücksichtigung von (1.7) lautet die erste Spannungsdifferentialgleichung
∂σxx ∂τx y ∂τxz
+
+
= 0
(5.64)
∂x
∂y
∂z
b
y
S
42.6o
yR
max
yH
zH
Diese Beziehung setzt voraus, dass in x-Richtung keine
Belastungsänderung auftritt, also die Normalkraft N zumindest abschnittsweise konstant ist. In einem Hauptachsensystem setzt sich die Normalspannung gemäß (5.60)
aus Anteilen zusammen, die der Normalkraft N und den
Biegemomenten My und Mz zugeordnet sind. Die partielle Ableitung der Normalspannung σxx nach der Koordinate x ist dann durch
t
z
Bild 5.10: Hauptachsen für ein Z-Profil
5.3.4 Widerstandsmomente
Gemäß (5.17) kann die Normalspannung im Hauptachsensystem eines Querschnittes den Belastungen entsprechend unterteilt werden
σxx =
N
−
A
|{z}
Zug/Druck
Mz
y
Izz
|{z}
My
z
Iy y
|{z}
+
Biegung um
z-Achse
(5.60)
(5.61)
Mz
Mz
Mz R
max = I
=
σxx
=
y
Mz
zz
Izz max
Wz
(5.62)
R
zmax
R
ymax
wobei W y und Wz die Widerstandsmomente des Querschnitts um die y- und die z-Achse angeben.
Für den in Bild 2.5 dargestellten Rechteckquerschnitt mit
der Höhe h und der Breite b ergibt sich dann
36
=
1
b h2
6
und Wz =
1
h b2
6
Izz
y +
∂M y (x)
∂x
Iy y
z
(5.63)
(5.65)
gegeben, wobei konstante Querschnittsabmessungen und
mit N = const. auch eine konstante Normalkraft vorausgesetzt wurden. Mit den Beziehungen (5.3) erhält man
Biegung um
y-Achse
My
My
My R
max σxx
=
zmax = I
=
My
y
y
Iy y
Wy
1
3
12 b h
1
2h
∂Mz (x)
∂x
−Q y
Qz
∂σxx
= −
y +
z
∂x
Izz
Iy y
Die Spannungsanteile aus der Biegung um die z = z H und die y = yH -Achse erreichen ihre maximalen Werte an
den Stellen des Querschnittes, die den größten Abstand
von der y- und der z-Achse haben. Bezeichnet man diese
R und z R dann erhält man
Randfaserabstände mit ymax
max
W y =
∂σxx
= 0 −
∂x
(5.66)
In (5.64) eingesetzt bleibt
Qy
∂τx y ∂τxz
Qz
y+
z +
+
= 0
Izz
Iy y
∂y
∂z
(5.67)
Diese Forderung kann mit
∂τx y
Qy
= −
y
∂y
Izz
und
∂τxz
Qz
= −
z
∂z
Iy y
(5.68)
erfüllt werden. Da die Ableitungen der Schubspannungen
τx y und τxz linear von y und z abhängen, müssen nun
selbst einfachste Ansätze für die Schubspannungen mit
y
τx y = C0 −
1 Qy 2
1 Qz 2
y und τxz = C0z −
z
2 Izz
2 Iy y
y
(5.69)
quadratisch in y und z sein, wobei C0 und C0z noch zu
bestimmende Konstante sind. Da in (5.68) nur Forderungen an die partiellen Ableitungen gestellt werden, kann
τx y noch in beliebiger Weise von z und τxz von y abhängen. Die Minimal-Ansätze in (5.69) sind allerdings nur
brauchbar, wenn damit auch die Äquivalenzbeziehungen
erfüllt werden können. Setzt man den Ansatz für τx y in
(2.2) ein, dann erhält man zunächst
∫ 1 Qy 2
y
Qy =
C0 −
y dA
(5.70)
2 Izz
Technische Mechanik II (Festigkeitslehre)
Prof. Dr.-Ing. G. Rill
∫
∫
Mit dA= A und y 2 dA= Izz bleibt
y
Q y = C0 A − 21 Q y
(5.71)
Nach der Konstanten aufgelöst ergibt sich
y
C0 =
3 Qy
2 A
(5.72)
Analog dazu erhält man aus (2.3) für die Konstante im
Ansatz für die Schubspannung τxz das Ergebnis
C0z =
3 Qz
2 A
(5.73)
Die dadurch bereits festgelegten Ansätze für die Schubspannungen müssen allerdings noch der Äquivalenzbeziehung (2.4) genügen. Mit Mx = 0 ergibt das
0 =
|{z}
Mx
z
3
y
2
3
−z
2
|
∫ (
τxz
}|
{
Qz 1 Qz 2
z
−
A
2 Iy y
)
Qy 1 Qy 2
−
y
dA
A
2 Izz
{z
}
τx y
1
2. Grades bezüglich der z-Achse durch Izz = 12
hb3 gegeben. Damit ergibt sich
#
"
" #
1
2
b
h
Q
Q
3
3
y
y
y
y2 =
τxy =
1− 13
1−
(5.78)
3
2 bh
2 bh
b/2
12 h b
Analog dazu erhält man mit (5.73) und dem entspre1
chenden Flächenmoment 2. Grades I y y = 12
bh3 für die
Schubspannung τxz das Ergebnis
" #
2
3
Q
z
z
=
τxz
(5.79)
1−
2bh
h/2
Beide Schubspannungen erreichen in der Querschnittsmitte bei y = 0 bzw. bei z = 0 ihr Maximum, Bild 5.11.
An den Querschnittsrändern, die senkrecht zu den jeweiligen Schubspannungen verlaufen, verschwinden sie,
τx y (y = ±b/2) = 0 und τxz (z = ±h/2) = 0. Da an freien
y=0
(5.74)
Da der Ursprung des Koordinatensystems im Schwerpunkt der Querschnittsfläche
die Flä∫ liegt, verschwinden
∫
chenmomente 1. Grades, ydA = 0 sowie zdA = 0 und
es bleibt dann
∫
∫
1 Qy
1 Qz
2
y z dA −
z y 2 dA (5.75)
0 = −
2 Iy y
2 Izz
Diese Forderung ist für beliebige Querkräfte Q y und Q z
nur dann zu erfüllen, wenn mit
∫
∫
y z 2 dA = 0 und
z y 2 dA = 0
(5.76)
z=−h/2
y=−b/2
y=+b/2
z=0
τmx
xz =
y
x
Qy
z
τmx
xy =
3 Qz
2 A
x
y
3 Qy
2 A
z=+h/2
z
Qz
Bild 5.11: Verlauf der Schubspannungen
Oberflächen keine Spannungen auftreten können, müssen die Schubspannungen entsprechend dem Satz der zugeordneten Schubspannungen stets parallel zu den Rändern verlaufen.
Die aus der Normalkraft N sowie aus den Biegemomenten My und Mz resultierenden Anteile der über (5.60)
definierten Normalspannung sind in Bild 5.12 aufgetragen. Wird ein Balken der Länge ` mit quadratischem
auch die Flächenmomente 3. Grades verschwinden.
Dies ist allerdings nur bei Querschnittsformen mit Achsensymmetrie zur y- und zur z-Achse der Fall. Da mit
den Minimal-Ansätzen in (5.69) die Schubspannungen
τx y und τxz nur als reine Funktionen von y und z dargestellt werden, kann dieser einfache Ansatz letztlich nur
für Rechteckquerschnitte verwendet werden.
x
y
N
z
y
x
x
My
z
y
Mz
z
Bild 5.12: Verlauf der Normalspannung
5.4.2 Beispiel Rechteckquerschnitt
Mit (5.72) erhält man gemäß (5.69) die Schubspannung
!
1
A
3 Qy 1 Qy 2 3 Qy
τx y =
−
y =
1 − 3 y2
(5.77)
2 A
2 Izz
2 A
Izz
Für einen Rechteckquerschnitt der Breite b und der Höhe
h sind die Fläche mit A = bh und das Flächenmoment
Querschnitt (h = b = a) an einem Ende fest eingespannt
und am freien Ende durch eine Längskraft Fx und mit
Fy = Fz = F durch gleich große Kräfte in Quer- und
Vertikal-Richtung belastet, dann erhält man an der Einspannstelle x = 0 aus (5.1) und (5.2) die für die schiefe
Biegung relevanten Schnittreaktionen
N = Fx, Q y = Q z = F, My = −F`, Mz = F`
(5.80)
37
OTH Regensburg
Technische Mechanik II
Mit der Querschnittsfläche A = a2 erhält man die aus der
Normalkraft resultierende Normalspannung zu
N
σxx
=
Fx
a2
(5.81)
Die maximalen Schubspannungen sind gleich und
durch
3 F
mx
τxmx
(5.82)
y = τxz =
2 a2
gegeben. An den diagonal gegenüberliegenden Eckpunkten des Querschnitts überlagern sich die Extremwerte
der aus den Biegemomenten My und Mz resultierenden
Normalspannungen und ergeben so die maximale Biegespannung
Bmx
σxx
=
F` a
F` a 12F `
+ 1
= 2
1 4 2
4 2
a a
12 a
12 a
(5.83)
5.5 Verformungen
My
Mz
z
h/2
x
b/2
x
y
z
b/2
dx+du y=+b/2
dx+du z=+h/2
Bild 5.13: Bauteil-Verformungen durch die Anteile der
Normalspannung, die aus N, My und Mz
resultieren.
w(x)
zmin
x
90o− γxz
x
z
z
τxz
unverformt
zmax
w(x+dx)
verformt
über
Querschnitt
gemittelt
Bild 5.14: Bauteil-Verformungen hervorgerufen durch
die Schubspannung τxz
(5.84)
(5.85)
(5.86)
sowie die Verzerrungen
(5.87)
Die Schubspannungen τx y und τxz , die aus den Querkräften Q y und Q z resultieren, führen zu einer Sförmigen Verwölbung der Querschnitte, die in Bild 5.14
beispielhaft für τxz dargestellt ist. Durch Mittelung über
den Querschnitt kann der komplexe Verformungszustand
mit
1
γ̄x y (x) =
ymax − ymin
(5.88)
(5.89)
zur Folge. Wobei die Definitionen (1.29), (1.30) sowie
(1.34), (1.35) und (1.36) mit verwendet wurden. Während der aus der Normalkraft N resultierende Anteil der
38
dx+du y=−b/2
Qz
Bei der schiefen Biegung treten in einem Schnitt senkrecht zur x-Achse, die mit der Längsachse des Bauteils zusammenfällt, die Normalspannung σxx sowie die
Schubspannungen τx y und τxz auf. Ohne Einfluss der
Temperatur hat das dem allgemeinen Hookeschen Gesetz (1.47) entsprechend die Dehnungen
4
dx+du z=−h/2
h/2
Nx
dx
5.5.1 Vorüberlegung
∂u ∂v
1
+
= γx y = τx y
∂y ∂x
G
∂u ∂w
1
+
= γxz = τxz
∂z ∂ x
G
∂v ∂w
+
= γ yz = 0
∂z ∂ y
dx
dx+du
Bei genügend langen Bauteilen mit Vollquerschnitt4
Bmx /τ mx = 8`/a und ` a der Einkann wegen σxx
xy
fluss der Schubspannung gegenüber der Biegespannung
vernachlässigt werden.
∂u
1
= x = σxx
∂x
E
∂v
−ν
= y =
σxx,
∂y
E
∂w
−ν
= z =
σxx,
∂z
E
Normalspannung σxx gleichmäßig über den Querschnitt
verteilt ist, verändern sich die Anteile aus den Biegemomenten My und Mz linear von einer maximalen Zugzu einer maximalen Druckbelastung, Bild 5.12. Ein Bauteilabschnitt der Länge dx erfährt so im ersten Fall neben der Querkontraktion lediglich eine Längenänderung.
In den beiden anderen Fällen wird das Bauteil durch
die über den Querschnitt veränderliche Normalspannung
verkrümmt, Bild 5.13.
Bei dünnwandigen Profilen, die bei kleinen Querschnittsflächen
über vergleichbar große Flächenmomente 2. Grades verfügen,
können allerdings die Schubspannungen maßgebend für die Dimensionierung sein.
γ̄xz (x) =
1
zmax −zmin
y∫ma x
γx y (x, y) dy
(5.90)
γxz (x, z) dz
(5.91)
ymi n
z∫ma x
z mi n
durch mittlere Verzerrungen approximiert werden. Die
Mittellinie des Bauteils erfährt dadurch mit v = v(x) und
w = w(x) Verschiebungen in y- und z-Richtung. Die Verzerrungen selbst können dann über das Materialgesetz
auf die entsprechenden Schubspannungen zurückgeführt
werden.
Technische Mechanik II (Festigkeitslehre)
Prof. Dr.-Ing. G. Rill
Für einen rechteckigen Querschnitt der Breite b und der
Höhe h ist die Schubspannungsverteilung über den Querschnitt durch (5.79) gegeben. Damit erhält man aus (5.91)
mit
1
γ̄xz
(x) =
h
" #
+h/2
∫
2
1 3 Qz
z
1−
dz
G 2bh
h/2
y
−h/2
"
=
=
3
1 z h
3 Qz
z−
2
3 h/2 2
2G bh
# +h/2
approximiert werden. Die Bauteilverformung kann dann
durch die Verschiebungen u, v, w beschrieben werden, die der Mittelpunkt S eines Querschnitts erfährt,
Bild 5.15. Mit den mittleren Verzerrungen (5.93) erhält
x
z
u
v
w
x, y=0, z=0
−h/2
S
3 Qz 2 h
1 Qz
1 Qz
=
=
2
G bh G A
2G bh 3
ein Ergebnis, das in analoger Weise auf die mittlere Verzerrung in der x y-Ebene übertragen werden kann.
Das zunächst nur für Rechteckquerschnitte geltende Ergebnis (5.92) kann mit Korrekturfaktoren an beliebige
Querschnitte angepasst werden
Fy F
z
Qz
1
und γ̄xz (x) = k Sz
G
A
(5.93)
Die häufig auch auch als Querschubzahlen bezeichneten
Korrekturfaktoren k S y und k Sz werden über die Formänderungsarbeit bestimmt. Dabei wird nicht einfach nur
über die S-förmige Verwölbung gemittelt, sondern die
Formänderungsarbeit bei S-förmiger Verwölbung wird
mit der aus der gemittelten Verzerrung resultierenden
gleichgesetzt. Durch diese etwas genauere Vorgehensweise ergibt sich mit k S = 1.2 bereits ein Korrekturfaktor für Rechteckquerschnitte. Für Kreisquerschnitte gilt
k S◦ = 1.33 und bei dünnwandigen I-Profilen liegen die
Korrekturfaktoren im Bereich 2 ≤ k SI ≤ 5. Manchmal
wird k S auch durch den Kehrwert λS = 1/k S ersetzt oder
es wird mit dem effektiven Schubquerschnitt AS = λS A
gearbeitet. Für die mittlere Verzerrung in der xz-Ebene
gilt dann zum Beispiel
1
Qz
1 Qz
1 Qz
kS
=
=
G
A
G λS A G AS
(5.94)
Mit dieser Korrektur wird die Berechnung der Verformungen ermöglicht. Die Äquivalenzbeziehung (2.6)
kann jedoch bei unsymmetrischen Profilen damit nicht
erfüllt werden. Dies erzeugt dann eine zusätzliche Verdrehung (Torsion) der Querschnitte um die Bauteillängsachse. Mit einem exzentrischen Kraftangriffspunkt
im “Schubmittelpunkt” des Querschnitts kann diese Torsion verhindert werden.
5.5.2 Biegelinie
Fx
Bild 5.15: Bauteilverformung und Biegelinie
man aus (5.87) und (5.88) die Gleichungen
Qy
∂u ∂v
1
+
= kS y
∂y ∂x G
A
∂u ∂w
1
Qz
+
= k Sz
∂z ∂ x
G
A
Qy
1
γ̄x y (x) = k S y
G
A
γ̄xz (x) =
x
(5.92)
(5.95)
(5.96)
Nochmals nach x abgeleitet bleibt
kS y
∂2v
∂2u
+ 2 =−
qy
∂ y∂ x ∂ x
GA
k Sz
∂2u
∂2 w
=−
+
qz
2
∂z∂ x ∂ x
GA
(5.97)
(5.98)
wobei die Ableitungen der im allgemeinen von der Koordinate x abhängigen Querkräfte Q y = Q y (x) und
Q z = Q z (x) mit den Beziehungen
qy = −
dQ y
dx
und
qz = −
dQ z
dx
(5.99)
durch die entsprechenden Streckenlasten q y und qz ersetzt wurden. Setzt man den Ansatz für die Normalspannung (5.16) in die Bestimmungsgleichung für die
Dehnung in Längsrichtung (5.84) ein, dann ergibt sich
∂u 1 N
=
∂x E A
!
My Izz − Mz I yz
1 My I yz − Mz I y y
+
y+
z
2
2
E
I y y Izz −I yz
I y y Izz −I yz
(5.100)
Unter Verwendung der Schwarzen Vertauschungsregel
können daraus die gemischten partiellen Ableitungen berechnet werden
5.5.2.1 Differentialgleichungen
∂2u
∂2u
1 My I yz − Mz I y y
=
=
2
∂ y∂ x ∂ x∂ y E I y y Izz −I yz
(5.101)
Der Bernoulli-Hypothese entsprechend, können die
Querschnitte auch nach der Verformung durch Ebenen
∂2u
∂2u
1 My Izz − Mz I yz
=
=
2
∂z∂ x ∂ x∂z E I y y Izz −I yz
(5.102)
39
OTH Regensburg
Technische Mechanik II
In (5.97) und (5.98) eingesetzt und nach den zweiten
partiellen Ableitungen aufgelöst, erhält man mit
Mz I y y − My I yz
kS y
∂2v
= v 00 =
qy
−
2
2
GA
∂x
E I y y Izz −I yz
Mz I yz − My Izz
∂2 w
k Sz
= w 00 =
qz
−
2
2
GA
∂x
E I y y Izz −I yz
(5.103)
5.5.2.2 Randbedingungen
Die Differentialgleichungen 2. Ordnung können in der
Regel nach der Separation durch einfache Integration gelöst werden. Zur Bestimmung der Integrationskonstanten
werden zwei mal zwei Randbedingungen benötigt. Gelenkige Lagerungen an den Stellen x = x1 und x = x2
liefern mit
(5.105)
genügend Bestimmungsgleichungen. Bei einer festen
Einspannung an der Stelle x = x? ist zu beachten, dass
zwar wieder
v(x?) = 0
und
w(x?) = 0
(5.106)
gilt, aber infolge der Schubverformung die Steigungen
gemäß (5.93) durch
Q y (x?)
1
kS y
G
A
?)
1
Q
(x
z
w 0(x?) = γ̄xz (x?) =
k Sz
G
A
vS00 = −
(5.111)
5.5.2.4 Längs- und Querverformung
Bei der schiefen Biegung wird die Normalspannung σxx
im Querschnitt an der Stelle x gemäß (5.16) in linearer
Abhängigkeit von den Querschnittskoordinaten y und z
beschrieben. Die Längsverschiebung u = u(x, y = 0, z =
0) der Querschnittsmitte S sowie die Querkontraktionen
des Querschnitts können deshalb in guter Näherung aus
der mittleren Normalspannung
∫
1
N
σ̄xx =
σxx (x, y, z) = σxx (x, y = 0, z = 0) =
A
A
A
(5.113)
berechnet werden. Aus (5.84) folgt dann
∫x
∂u 1
1 N(x)
bzw. u =
N(x) dx
=
∂ x y=0,z=0 E A
EA
0
(5.114)
wobei mit N = N(x) eine variable Normalkraft angenommen und mit u(0) = 0 eine an der Stelle x = 0 verschwindende Längsverschiebung vorausgesetzt wurde.
Analog dazu erhält man aus den Querdehnungen (5.85)
und (5.86) die Änderungen
∆h = −ν
5.5.2.3 Aufteilung in Biegung und Schub
Häufig unterteilt man die Differentialgleichungen mit
w 00 = wB00 + wS00
kS y
kS y
q y oder vS0 =
Q y + CS y
GA
GA
k Sz
k Sz
qz oder wS0 =
Q z + CSz (5.112)
GA
GA
definiert. Dabei wurden die Zusammenhänge (5.99) verwendet und die Integrationskonstanten CS y sowie CSz
sind über vS0 (x = x ∗ ) = vS0∗ sowie wS0 (x = x ∗ ) = wS0∗
durch die Steigungen der Schubverformungen an einer
bestimmten Stelle x = x ∗ festgelegt. Die Überlagerung5
ergibt dann mit v = vB + vS und w = wB + wS die gesamte
Verformung.
(5.107)
über die Querkräfte bestimmt sind. Zu beachten ist ferner,
dass ein Scharniergelenk zum Beispiel in einer Richtung
als Gelenk in der anderen aber als feste Einspannung
wirkt.
und
(5.110)
wS00 = −
v 0(x?) = γ̄x y (x?) =
v 00 = vB00 + vS00
Mz I yz − My Izz
2
E I y y Izz −I yz
beschreiben dann die Biegeverformungen und die entsprechenden Schubverformungen sind durch
(5.104)
Differentialgleichungen 2. Ordnung für die Verschiebungen v und w, die die Verformungen der Mittellinie in
y- und z-Richtung angeben und damit die Durchbiegung
des Bauteils beschreiben.
v(x1 ) = 0, w(x1 ) = 0, v(x2 ) = 0, w(x2 ) = 0
wB00 =
N
h
EA
und ∆b = −ν
N
b
EA
(5.115)
die die Höhe h und die Breite b des Querschnitts an der
Stelle x erfahren.
(5.108)
in Anteile aus der Beanspruchung durch Biegemomente (Index B) und durch Streckenlasten oder Querkräfte
(Index S). Die Differentialgleichungen
vB00 =
40
Mz I y y − My I yz
2
E I y y Izz −I yz
(5.109)
5
Wie bei den Spannungen so können auch in den meisten technischen Anwendungen die Verformungen durch Schub gegenüber
den Verformungen durch Biegung vernachlässigt werden.
Technische Mechanik II (Festigkeitslehre)
Prof. Dr.-Ing. G. Rill
5.6 Beispiel
bei x = 0 und x = L lassen jeweils eine ungehinderte
Drehung um die y-Achse zu und haben deshalb die Bedingungen
5.6.1 Aufgabenstellung
Ein quaderförmiges Bauteil (Länge L, Höhe h, Breite
b) ist an einem Ende in einem Scharniergelenk gelagert
und stützt sich am anderen Ende auf einer horizontalen
Unterlage ab, Bild 5.16. Das Bauteil hat das Gewicht mg
und wird am Ende durch die horizontale Kraft F belastet.
Der Elastizitätsmodul E und der Schubmodul G kennzeichen die Materialeigenschaften. Für den rechteckigen
My (x = 0) = 0
und
My (x = L) = 0
(5.120)
zur Folge. Daraus ergeben sich die Integrationskonstanten zu
1
C2 = 0 und C1 = − q0 L
2
(5.121)
Der Querkraft- und Momentenverlauf ist dann durch
Q z (x) = − q0 x − 21 q0 L = 21 q0 L 1−2 Lx
(5.122)
x
y
My (x) = − 12 q0 x 2 + 21 q0 L x = 12 q0 L 2 Lx 1− Lx
L
z
E, G
mg
(5.123)
bestimmt. Das Biegemoment erreicht das Maximum
Mymax = 81 q0 L 2 an der Stelle x? = 21 L, die durch die
Nullstelle der Querkraft Q z festgelegt ist.
b
h
In y-Richtung wird das Bauteil nur durch die Einzelkraft
F belastet. Dies hat eine verschwindende Streckenlast
F
qy = 0
Bild 5.16: Bauteil belastet durch das Eigengewicht mg
und die Einzelkraft F
(5.124)
und die konstante Querkraft
Querschnitt sind die Flächenmomente 2. Grades durch
1
1
I yy =
b h3, Izz
=
h b3
12
12
und
I yz
=0
(5.116)
gegeben.
Die Berechnung wird im folgenden mit den Zahlenwerten
L = 2000 mm, h = 20 mm, b= 30 mm, E = 210000 N/mm2 ,
G = 82000 N/mm2 , ρ = 7800 kg/m3 , g = 9.81 m/s2
k S y = k Sz = 1.2 durchgeführt. Das Eigengewicht ist dann
durch mg = ρ bhL g gegeben und die Einzelkraft wird
mit F = 13 mg an das Eigengewicht angepasst.
Qy = F
(5.125)
zur Folge. Da das Scharniergelenk in y-Richtung wie
eine feste Einspannung wirkt, ist der Momentenverlauf
analog zu (5.2) durch
x
Mz = F(L − x) = F L 1 −
(5.126)
L
bestimmt. Das Biegemoment erreicht den Extremwert
Mzmax = F L an der „Einspann“-Stelle x? = 0.
5.6.3 Spannungen
5.6.2 Beanspruchungen
Die aus dem Eigengewicht resultierende Streckenlast in
z-Richtung
mg
qz =
= q0
(5.117)
L
ist konstant und wird im Folgenden mit q0 abgekürzt.
Durch Integration ergibt sich daraus, zunächst rein formal, der Verlauf der Querkraft
Q z (x) = − (q0 x + C1 )
(5.118)
und des zugehörigen Biegemomentes
1
My (x) = − q0 x 2 − C1 x + C2
2
(5.119)
wobei die differentiellen Zusammenhänge (5.99) und
(5.3) beachtet wurden. Das Scharniergelenk und die horizontale Unterlage an den beiden Enden des Bauteils
Da hier keine Normalkräfte auftreten und ein Hauptachsensystem vorliegt, ist die Normalspannung gemäß (5.17)
durch
σxx (x, y, z) =
My (x)
−Mz (x)
y +
z
Izz
Iy y
(5.127)
gegeben. Wie aus (5.123) und (5.126) ersichtlich, sind
im gesamten Bereich 0 ≤ x ≤ L die Momente um die
y- und z-Achse stets positiv. In den durch y Z/D = ∓ 12 b
und z Z/D = ± 12 h bestimmten Eckpunkten des Querschnitts
tritt dann die maximale Zug- und Druckspannung auf.
Mit den in (5.63) angegebenen Widerstandsmomenten
des Rechteckquerschnitts und den Biegemomenten aus
(5.123) und (5.126) erhält man dann
1
x
2x
F L 1− Lx
2 q0 L L 1− L
Z/D
σxx (x) = ± 1
±
(5.128)
1
2
2
6 hb
6 bh
41
OTH Regensburg
Technische Mechanik II
Das Nullsetzen der Ableitung liefert mit
6F L 1 3q0 L 2 1
xM 1
0=− 2 +
−2
L L
hb L
bh2 L
(5.129)
eine Bestimmungsgleichung für die Stelle
xM =
1
F h
L−
2
q0 b
(5.130)
Mit (5.124) und (5.126) erhält man
FL x
v 00 =
1−
− 0
E Izz
L
(5.133)
Eine erste Integration liefert zunächst
1 x2
FL
0
x−
+ C1
v =
E Izz
2 L
(5.134)
an der die maximale Zug- und Druckspannung auftritt.
Im Sonderfall F = 0 erhält man die maximale Normalspannung mit x M = 21 L wie erwartet in der Bauteilmitte.
Überwiegt mit F > 12 q0 L hb die Beanspruchung durch die
Einzelkraft, dann tritt die maximale Zug- und Druckbelastung als Randextremum stets im Querschnitt am
Bauteilende bei x M = 0 auf.
Nach einer weiteren Integration bleibt
F L 1 2 1 x3
+ C1 x + C2
v(x) =
x −
E Izz 2
6 L
1 F L 3 x 2 x =
3−
+ C1 x + C2
6 E Izz L
L
Die maximalen Schubspannungen ergeben sich gemäß
(5.78) und (5.79) zu
Das Scharniergelenk an der Stelle x = 0 lässt keine
Verschiebungen in y-Richtung zu. Die Randbedingung
v(x = 0) = 0 hat dann C2 = 0 zur Folge. Infolge der
Schubverformung tritt dort gemäß (5.107) jedoch die
Neigung
τxmax
y =
3 Qy
2 bh
und
max
τxz
=
3 Qz
2bh
(5.131)
und treten im Querschnitt an der Stelle x bei y = 0 bzw.
bei z = 0 auf. Da an den entsprechenden Randpunkten
yR = 0, zR = ± 12 h und yR = ± 12 b, zR = 0 gemäß (5.128)
auch Normalspannungen wirken, hat man es mit einem
2-dimensionalen Spannungszustand zu tun, der bei Bauteildimensionierung über geeignete Vergleichsspannungen berücksichtigt wird. Bei langgestreckten Bauteilen
mit Vollquerschnitt sind die maximalen Normalspannungen allein entscheidend für die Dimensionierung, da sie
um ein Vielfaches größer als die maximalen Schubspannungen sind, vgl. Abschnitt 5.4.2. Der Verlauf der Nor40
σxx(ξ)
[N/mm2]
4
20
-20
y
h/2
1
2
0.5
ξ=x/L
z
2
1
Bild 5.17: Verlauf der Normalspannungen
malspannung in den vier Eckpunkten des Querschnitts
berechnet für die Zahlenwerte aus Abschnitt 5.6.1 ist in
Bild 5.17 aufgetragen.
5.6.4 Biegelinie
5.6.4.1 Verformungen in der xy-Ebene
Auf Grund des verschwindenden Flächendeviationsmoments vereinfacht sich die Biegedifferentialgleichung
(5.103) zu
kS y
Mz
v 00 =
−
qy
(5.132)
E Izz
GA
42
(5.136)
kS y
F
GA
(5.137)
Damit ist die Durchbiegung in der x y-Ebene durch
h/2
1
-40
0
C1 =
3
3
0
kS y
kS y
Q y (x = 0) =
F
GA
GA
auf, wobei die Querkraft Q y (x = 0) durch (5.125) bestimmt ist. Mit (5.136) erhält man aus (5.134) die erste
Integrationskonstante zu
v(x) =
b/2 b/2
4
v 0(x = 0) =
(5.135)
1 F L 3 x 2 x k S y F L x
3−
+
6 E Izz L
L
GA L
|
{z
} | {z }
vS
vB
(5.138)
gegeben. Der erste Anteil beschreibt die Verformung auf
Grund der reinen Biegebeanspruchung und kann für viele Lagerungs- und Belastungsfälle aus der Fachliteratur
(z.B.: Hütte) entnommen werden. Im vorliegenden Fall
einer einseitigen Einspannung an der Stelle x = 0 und der
Belastung am freien Ende x = ` durch die Einzelkraft F
wird dort die mit w bezeichnete Biegelinie mit
w=
1
W ξ 2 (3 − ξ) ,
6
W=
F` 3
,
EI
ξ=
x
`
(5.139)
angegeben. Die maximale Durchbiegung tritt an der Stelle x M = L auf und beträgt
v M = v(x = L) =
kS y
1 F L3
+
FL
3 E Izz
GA
(5.140)
Bezieht man die Anteile aufeinander, dann ergibt sich für
einen Rechteckquerschnitt
2
1
vSM
hb3
k S y F L 3 E 12
1
E b
=
=
k
(5.141)
Sy
G bh
4
G L
F L3
vBM
Technische Mechanik II (Festigkeitslehre)
Prof. Dr.-Ing. G. Rill
Der Anteil aus der Schubverformung im Vergleich zum
Anteil aus der reinen Biegung nimmt hier sogar quadratisch mit dem Verhältnis der relevanten Querschnittsabmessung b zur Bauteillänge L ab und kann deshalb bei
langgestreckten Bauteilen vernachlässigt werden.
Die Ergebnisse für die Zahlenwerte aus Abschnitt 5.6.1
sind in Bild 5.18 aufgetragen Aus (5.134) erhält man mit
50
[N]
0
Qy(ξ)
-50
ξ=x/L
80
[Nm]
40
Mz(ξ)
0
10
[mm]
wobei die dabei auftretende erste Integrationskonstante wieder mit C1 bezeichnet wird. Nochmals integriert
erhält man
1 q0 L 2 1 x 4 1 x 3
w(x) =
−
2 E I y y 12 L 2 6 L
(5.147)
1 k Sz q0 2
x + C1 x + C2
−
2 GA
Nach einer Umformung bleibt
x 3 1 q0 L 4 x 4
w(x) =
−2
24 E I y y L
L
(5.148)
1 k Sz q0 2
−
x + C1 x + C2
2 GA
Das Scharniergelenk an der Stelle x = 0 und die horizontale Unterlage bei x = L lassen in z-Richtung keine
Verschiebungen zu. Aus den Randbedingungen
5
v(ξ)
0
0
w(x = 0) = 0
vM=8.64 mm
0.2
0.4
0.6
0.8
1
und (5.148) folgt
Bild 5.18: Belastung und Biegelinie: x y-Ebene
0=−
(5.137) die Neigung der Biegelinie zu
1 F L2 x x kS y F
v =
2−
+
2 E Izz L
L
GA
0
(5.142)
die neben dem konstanten Schubanteil durch einen bis
zur Stelle x = L zunehmenden Anteil aus der Biegung
gekennzeichnet wird. Die maximale Neigung tritt an der
Stelle x = L auf und ist durch
0
vM
= v 0(x = L) =
1 F L2 kS y F
+
2 E Izz
GA
5.6.4.2 Verformungen in der xz-Ebene
(5.145)
wobei das Minuszeichen vor dem ersten Term in (5.144)
durch Umdrehen der Differenz in My kompensiert wurde.
Eine erste Integration liefert
1 q0 L 2 1 x 3 1 x 2
k Sz q0
0
w =
−
−
x + C1 (5.146)
2
2 E Iy y 3 L
2 L
GA
(5.149)
0 = C2
(5.150)
1 q0 L 4 1 k Sz q0 2
−
L + C1 L + C2
24 E I y y 2 G A
(5.151)
wB
z
}|
{
4
4
3
1 q0 L
x
x
x
w(x) =
−2
+
24 E I y y L
L
L
wS
x i
1 k Sz q0 L 2 x h
+
1−
2 GA
L
L
|
{z
}
gegeben.
Mit (5.117) und (5.123) bleibt
1
2 x x −1
q
L
k Sz
0
2
L
L
−
q0
w 00 =
E Iy y
GA
w(x = L) = 0
Nach C1 und C2 aufgelöst und in (5.148) eingesetzt erhält
man
x 3 1 q0 L 4 x 4
w(x) =
−2
24 E I y y L
L
1 k Sz q0 2
1 q0 L 3 1 k Sz q0 L
x
−
x +
+
2 GA
24 E I y y 2 G A
(5.152)
Zusammengefasst bleibt
(5.143)
Mit I yz = 0 erhält man aus (5.104) die Biegedifferentialgleichung
My
k Sz
w 00 = −
−
qz
(5.144)
E Iy y
GA
und
(5.153)
wobei die Anteile aus der reinen Biegung und der Schubverformung mit wB und wS markiert wurden. Auch hier
kann wB direkt aus entsprechenden Tabellen übernommen werden. Für ein beidseitig gelenkig gelagertes Bauteil, das über der gesamten Länge ` mit der konstanten
Streckenlast q belastet wird, entnimmt man, z.B. aus der
Hütte, für die mit w bezeichnete Durchbiegung mit der
normierten Koordinate ξ = x/`
q` 4
(5.154)
EI
Im Vergleich zu (5.153) wurden hier die beiden Nullstellen bei ξ = 0 und ξ = 1 nach dem Satz von Vieta vom
Polynom 4. Grades6 abgespalten.
w =Wξ(1−ξ)(1+ξ −ξ 2 )/24, W =
6
ξ(1−ξ)(1+ξ −ξ 2 ) = ξ(1+ξ −ξ 2 −ξ −ξ 2 +ξ 3 ) = ξ −2ξ 3 +ξ 4
43
OTH Regensburg
Technische Mechanik II
Die maximale Durchbiegung tritt an der Stelle x = 12 L
und ist mit
5 q0 L 4 1 k Sz q0 L 2
1
+
w M = w(x = L) =
2
384 E I y y 8 G A
(5.155)
gegeben. Auch hier ist bei langgestreckten Bauteilen der
Schubanteil gegenüber dem Anteil aus der reinen Biegung vernachlässigbar klein.
5.7 Übungen
5.7.1 Bauteil mit Nutquerschnitt
Ein Bauteil mit Nutquerschnitt ist an einem Ende fest
eingespannt. Am anderen Ende wird über ein seitlich
angeschweißtes Blech die Druckkraft F = 21 k N eingeleitet.
Die Ergebnisse mit den Zahlenwerten aus Abschnitt 5.6.1
sind in Bild 5.19 aufgetragen Die Ableitung von (5.152)
B
A
50
A
B
20
Qz(ξ)
[N]
30
10
y
-50
80
My(ξ)
[Nm]
z
40
y
z
F
60
0
10
w(ξ)
[mm]
Berechnen Sie:
wM=2.28 mm
5
0
10
x
27.5
ξ=x/L
60
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
a) die Flächenmomente 2. Grades (I y y , I yz , Izz ) im Nutquerschnitt,
b) die Normalspannungen in den Eckpunkten A und B.
Bild 5.19: Belastung und Biegelinie: x y-Ebene
5.7.2 Flächenmomente
5
Ermitteln Sie für das skizzierte Profil die Flächenhaupträgheitsmomente und die Lage des Hauptachsensystems.
28.35
(5.156)
Die Neigung verschwindet in der Mitte des Bauteils
w 0(x = 12 L) = 0 und erreicht an den Bauteilenden bei
x = 0 und x = L mit
1 q0 L 3 1 k Sz q0 L
0
wM = ±
+
(5.157)
24 E I y y 2 G A
die maximalen Werte.
a)I y y = 433 333.3 mm4 , Izz = 133 333.3 mm4 , I yz = 0
A = 120.13 N/mm2 , σ B = −92.51 N/mm2
b)σxx
xx
5
30
y
27.75
4
liefert die Neigung der Biegelinie zu
x 2
1 q0 L 3 x 3
0
w (x) =
−6
+1
4
24 E I y y
L
L
x
1 k Sz q0 L 1−2
+
2 GA
L
Lösung:
65
z
Lösung:
I1 = 270 291 mm4 , I2 = 105 295 mm4 , ϕ = −26.69◦
5.7.3 Blattfeder
Eine Blattfeder besteht aus zwei Lagen Federstahl mit
gleichen Rechteckquerschnitten. Durch Witterungseinflüsse (Schmutz, Rost) sind beide Teile fest miteinander
verbunden.
44
Technische Mechanik II (Festigkeitslehre)
Prof. Dr.-Ing. G. Rill
F
F
E, h, b
a/2
E, h, b
x
a/2
z
a) Skizzieren Sie den Verlauf der maximalen Normalspannung im Bereich 0 ≤ x ≤ a und geben Sie die
Extremwerte an.
b) Wie groß ist die Durchbiegung am Angriffspunkt der
Kraft?
c) Welche Schubspannung muss durch die Verbindungsschicht übertragen werden?
Lösung:
M (x = 0) = 3 F a ,
a)σxx
2 bh2 3 F a
M (x = a/2)
=
σxx
links 4 bhF2a
M (x = a/2)
= 3 bh2
σxx
rechts
b)w =
c)τ =
15 F a3
16 Ebh 3
3 F
3 F
2 b 2h = 4 bh
45
6 Allgemeine Torsion
6.1 Belastungen und Spannungen
Eine Torsionsbelastung ist durch die Schnittreaktionen
N = 0 , Q y = 0 , Qz = 0 ,
Mx , 0 , My = 0 , Mz = 0
(6.1)
gekennzeichnet. In einem Schnitt senkrecht zur x-Achse
können deshalb nur die Schubspannungen τx y und τxz
auftreten. Die Schubspannungen müssen den Äquivalenzbeziehungen
∫
0=
τx y dA
(6.2)
∫
0=
τxz dA
(6.3)
∫
Mx =
y τxz − z τx y dA
(6.4)
genügen. Die den Schnittreaktionen N = 0, My = 0 und
Mz = 0 zugeordneten Äquivalenzbeziehungen werden in
trivialer Weise durch eine verschwindende Normalspannung σxx = 0 erfüllt.
Die Oberfläche des Bauteils ist spannungsfrei. Der Satz
der zugeordneten Schubspannungen verlangt dann, dass
die Schubspannungen am Rand des Querschnitts nur parallel zu diesem verlaufen können, Bild 6.1. Für beliebige
Mx
y
τxy
dA
z
τxz
Bild 6.2: Linien gleicher Schubspannung in einem
Z-Profil bei Torsionsbelastung
mit einem Z-förmigen Vollquerschnitt dargestellt. Da in
der Darstellung der Abstand der Spannungslinien umgekehrt proportional zur Größe der Schubspannung ist,
erkennt man sofort, dass hier die größte Belastung an den
inneren Ecken des Querschnitts auftritt.
Für einfache Auslegungsberechnungen wird die maximale Schubspannung und die Verwindung oder Drillung
analog zu (2.110) und (2.116) über die Beziehungen
τ max =
Mx
Wt
und
dϕ
Mx
=
dx
G It
(6.5)
durchgeführt. Das polare Widerstandsmoment W P und
das polare Flächenmoment I P wurden dabei durch das
allgemeinere Torsions-Widerstandsmoment Wt und das
allgemeinere Torsions-Flächenmoment It ersetzt. Näherungsformeln oder Zahlenwerte für Wt (Einheit mm3 )
und It (Einheit mm4 ) findet man für zahlreiche Querschnitte in einschlägigen Fachbüchern1 oder bei den Herstellern von Halbzeugen.
In den folgenden Abschnitten werden Näherungsformeln für dünnwandige Profile abgeleitet. Ferner wird der
wechselseitige Einfluss von Biege- und Torsionsbelastungen auf das Entstehen von Schubspannungen betrachtet.
Bild 6.1: Spannungsverlauf in einem auf Torsion
belasteten Querschnitt
6.2 Kreiszylindrische Rohre
Vollquerschnitte gelingt es im Allgemeinen nicht mehr,
die Äquivalenzbeziehungen (6.2), (6.3) und (6.4) durch
analytische Ansatz-Funktionen für die Schubspannungen
zu erfüllen. Hier müssen partielle Differentialgleichungen, die aus den Gleichgewichtsbedingungen und den
Verzerrungsbeziehungen abgeleitet werden können, numerisch gelöst werden.
In Bild 6.2 ist der numerisch berechnete Verlauf der
Schubspannungen für ein auf Torsion belastetes Bauteil
46
Für einen Rohrquerschnitt mit dem Außenradius Ra und
dem Innenradius Ri sind die Flächenmomente gemäß
(2.130) und (2.132) durch
I P} =
1 z.B.:
π 4
Ra −Ri4
2
}
bzw. I y}y = Izz
=
π 4
Ra −Ri4 (6.6)
4
Hütte - Die Grundlagen der Ingenieurwissenschaften
Technische Mechanik II (Festigkeitslehre)
Prof. Dr.-Ing. G. Rill
gegeben. Ein Rohrquerschnitt kann aber auch durch den
mittleren Radius Rm = 12 (Ra + Ri ) und die Wandstärke t = Ra − Ri beschrieben werden. Bei dünnwandigen
Rohren können dann die Flächenmomente unter der Berücksichtigung von t Rm über
Ra4 −Ri4 = Ra2 +Ri2 Ra2 −Ri2
2
2
= Ra +Ri Ra +Ri Ra −Ri
(6.7)
| {z } | {z } | {z }
=t
= 2Rm
2
≈ 2Rm
durch
3
3
I P ≈ 2 π Rm
t bzw. I y y = Izz = π Rm
t
k
n
k
n
k
n
6.3 Dünnwandig geschlossene
Profile
6.3.1 Schubspannung
Ein dünnwandiges Rohr ist durch den mittleren Radius Rm und die konstante Wandstärke t eindeutig definiert. Beliebige dünnwandige Profile können über den
Verlauf der Profilmittellinie und eine variable Wandstärke t = t(s) beschrieben werden. Die Koordinate s läuft
dabei längs der Mittellinie um den Querschnitt herum
und der variable Radius R = R(s) definiert die Profilmittellinie, Bild 6.4. Der dünnwandige Querschnitt kann we-
(6.8)
angenähert werden.
Während im Querschnitt eines dickwandigen Rohres die
Schubspannungen gemäß (2.102) mit dem Radius r vom
Wert τi = τxϕ (r = Ri ) auf den Wert τa = τxϕ (r = Ra )
ansteigen, sind im Querschnitt eines dünnwandigen Rohres die Schubspannungen innen und außen nahezu gleich
groß, τi ≈ τa , Bild 6.3.
S
Rm
t
ds
Ri
r
τa
τi
τm
dA
Die mittlere Schubspannung τm in einem torsionsbelasteten dünnwandigen Rohr muss der Äquivalenzbeziehung
∫
Mt =
Rm τm dA
(6.9)
genügen, wobei Mt das Torsionsmoment und Rm den
mittleren Radius bezeichnen. Da die Wandstärke t sehr
klein ist, kann das Flächenelement dA = t Rm dϕ verwendet werden. Dann ergibt sich aus (6.9)
∫
0
2π
2
Rm τm t Rm dϕ = Rm
τm t 2π
(6.10)
Die mittlere Schubspannung ist somit durch
τm =
Mt
Mt
Mt
=
Rm =
Rm
3
2
2 π Rm t 2 π Rm t
IP
k
n
x
α(s)
τxs(s)
dϕ
Bild 6.3: Torsionsbelastete Rohre
Mt =
R(s)
z
Rm
τ(r)
Mt
y
s
Ra
Profilmittellinie
t(s)
(6.11)
gegeben, wobei durch die Erweiterung mit Rm /Rm und
unter Berücksichtigung von (6.8) die Analogie zu (2.102)
hergestellt wurde.
Bild 6.4: Dünnwandig geschlossenes Profil
gen t(s) R(s) in Flächenelemente dA= t(s) ds unterteilt
werden. Die dort auftretende Schubspannung τxs = τxs (s)
und der Radiusvektor R(s) stehen nun nicht mehr senkrecht aufeinander, sondern schließen den Winkel α = α(s)
ein. Die Äquivalenzbeziehung für das Torsionsmoment
Mx → Mt lautet damit
∫ U
Mt =
R(s) sin α(s) τxs (s) t(s) ds
(6.12)
| {z }
0
dA
wobei U den durch die Länge der Profilmittellinie definierten Umfang des Querschnitts bezeichnet.
Die Schubspannung τxs (s) muss auch dem Kräftegleichgewicht genügen. Die Belastung erfolgt gemäß (6.1) nur
durch ein Torsionsmoment. Setzt man zusätzlich voraus,
dass Bauteilverformungen in x-Richtung nicht behindert
werden, dann wird das Volumenelement der Länge dx,
der Breite t(s) und der Höhe ds nur durch die Schubspannungen τsx und τxs belastet, Bild 6.5. Berücksichtigt man ferner mit τsx = τxs den Satz der zugeordneten
Schubspannungen, dann liefert das Kräftegleichgewicht
in x-Richtung die Beziehung
− τxs (s) dx t(s) + τxs (s+ds) dx t(s+ds) = 0
(6.13)
47
OTH Regensburg
Technische Mechanik II
s
t(s)
x
dx
Profilmittellinie
τsx(s)
y
τxs(s)
ds
s
t(s+ds)
S
R
ds sinα
α
Am
dAm
ds
z
Bild 6.5: Durch Schubspannungen belastetes
Volumenelement
Bild 6.6: Flächenelement der Profil-Mittellinie
Mit den Näherungen
dτxs
τxs (s+ds) ≈ τxs (s) +
ds
ds
und
t(s+ds) ≈ t(s) +
dt
ds
ds
oder allgemein
(6.14)
τxs (x, s) =
(6.15)
erhält man
dτxs
dt
τxs (s)+
ds dx t(s)+ ds = τxs (s) dx t(s)
ds
ds
(6.16)
Ausmultipliziert und unter Vernachlässigung quadratisch
kleiner Terme bleibt
dτxs
dt
ds dx = 0
(6.17)
t(s) + τxs (s)
ds
ds
Der Ausdruck in den Klammern stellt die Ableitung des
Produktes aus Schubspannung τxs und Wandstärke t nach
der Koordinate s dar
dτ
d
dt
τxs (s) t(s) = xs t(s) + τxs (s)
ds
ds
ds
(6.19)
Mit (6.19) kann (6.12) etwas vereinfacht werden
∫ U
R(s) sin α(s) ds
(6.20)
Mt = τxs (s) t(s)
0
Das verbleibende Integral kann nun geometrisch interpretiert werden. Die von der Profilmittellinie umschlossene Fläche ergibt sich durch Integration
∫
∫ U
1
R(s) sin α(s) ds
(6.21)
Am =
dAm =
2
0
wobei das Flächenelement aus Bild 6.6 verwendet wurde.
Damit kann das Integral in (6.12) durch das Doppelte der
von der Profil-Mittellinie umschlossene Fläche ersetzt
werden. Es bleibt dann
Mt = τxs (s) t(s) 2Am
48
(6.23)
wobei mit Mt = Mt (x) eine von x abhängige Belastung angesetzt wurde. Gegebenfalls auftretende Querschnittsveränderungen, die durch Am → Am (x) und
t(s) → t(x, s) erfasst werden, müssen dabei so langsam erfolgen, dass das Kräftegleichgewicht (6.13) noch
genügend genau erfüllt wird.
Die Beziehung (6.23) wird als 1. Bredtsche Formel bezeichnet und ist, wie ein Vergleich mit (6.11) zeigt, auch
für dünnwandige kreiszylindrische Rohre gültig.
Die maximale Schubspannung in einem Querschnitt an
der Stelle x tritt an den Stellen auf, wo mit t = tmin die
Wandstärke des Profils am dünnsten ist.
max
τxs
=
Mt
Mt
=
2Am tmin
Wt
(6.24)
(6.18)
Auf Grund von (6.17) und (6.18) muss das als Schubfluss
T bezeichnete Produkt aus τxs und t konstant sein
T = τxs (s) t(s) = konst.
Mt (x)
2Am (x) t(x, s)
(6.22)
Dabei definiert Wt = 2Am tmin für dünnwandig geschlossene Profile das Torsions-Widerstandsmoment.
6.3.2 Verformungen
Bleiben die Verformungen gegenüber den Bauteilabmessungen klein, dann kann angenommen werden, dass die
Form des Querschnitts im Wesentlichen erhalten bleibt.
Ein Volumenelement der Länge dx, der Höhe ds und der
Breite t wird dabei geschert, leicht zur Seite gebogen und
verwunden, Bild 6.7.
Auf Grund der Dünnwandigkeit des Profils sind die Verformungen am Volumenelement, die aus Biegung und
Verwindung resultieren, sehr klein und können in erster
Näherung unberücksichtigt bleiben. Die für die Torsion maßgebliche Scherung der Volumenelemente kann
durch die relevante Verschiebung der Endquerschnitte
beschrieben werden.
Die Position der Endquerschnitte eines Volumenelements an den Stellen (x, s) und (x+dx, s) wird durch die
Technische Mechanik II (Festigkeitslehre)
Prof. Dr.-Ing. G. Rill
s
Querschnitt an
der Stelle x
Stelle
x+dx
y
t(s)
z
τsx(x,s)
t(s+ds)
u(x,s+ds)
Bild 6.9: Belastung und Verformung
Scherung
Biegung +
Verwindung
dx
Für die Verzerrung (Scherung) in der xs-Ebene gilt
Bild 6.7: Verformungen eines Volumenelements
Punkte P0 und P1 gekennzeichnet. Wobei die Koordinaten s und ϕ über die differentielle Beziehung ds = R dϕ
miteinander verknüpft sind. In der y-z-Ebene kann die
Verschiebung der Endquerschnitte (P0 nach P1 ) durch
einen Kreisbogen der Länge R(ϕ) (ϕx+dx − ϕx ) dargestellt werden, Bild 6.8. Dabei beschreibt R(ϕ) den Ra-
γxs =
R(φ)
P0
γxs =
φ(x+dx)
z
Bild 6.8: Verschiebung der Endquerschnitte
dius der Profilmittellinie im Punkt P0 und ϕx = ϕ(x)
sowie ϕx+dx = ϕ(x + dx) geben die Verdrehwinkel der
Profilquerschnitte an den Stellen x und x + dx an. Bei
allgemeinen Querschnitten verläuft die Profilmittellinie
nicht senkrecht sondern unter dem Winkel α zum Radius
R = R(ϕ). Die Projektion des Bogens liefert dann die für
die Scherung maßgebliche Verschiebung der Endquerschnitte längs der Profilmittellinie
R (ϕ(x +dx) − ϕ(x)) sin α = w(x+dx, s)−w(x, s) (6.25)
Mit Näherungen analog zu (6.15) bleibt
∂w(x, s)
∂ϕ
= R(s)
sin α
∂x
∂x
(6.28)
(6.29)
Bei einem geschlossenen Querschnitt kann die Längsverschiebung u(x, s) am Anfang s = 0 und am Ende der
Profil-Mittellinie s = U keine unterschiedlichen Werte
annehmen. Das bedeutet
∫ s=U
∂u
ds = 0
(6.30)
u(x, s =U) − u(x, s = 0) =
s=0 ∂s
α
P1
1
τxs
G
Mt
∂u
∂ϕ
1
=
+ R
sin α
G 2Am t(s) ∂s
∂x
R(φ)(φx+dx– φx) α
w(x+dx,s)
(6.27)
wobei u und w die Verschiebungen in Richtung der x- und
der s-Koordinate bezeichnen. Mit dem linear elastischen
Materialverhalten folgenden Stoffgesetz
φ(x)
s
∂u
∂w
+
∂s
∂x
der durch (6.23) bestimmten Schubspannung und dem
Zusammenhang (6.26) erhält man aus der Beziehung
(6.27)
Profilmittellinie an der Stelle x
w(x,s)
π/2-γxs
ds
τxs(x,s)
P1
t
ds
y
w(x+dx,s)
φ(x+dx)
φ(x)
w(x,s)
dx
u(x,s)
x
P0
x
(6.26)
Dabei wird der Radius R nun als Funktion der Querschnittskoordinate s beschrieben und ∂ϕ
∂x gibt die Verwindung des Querschnitts an.
Die aus der Schubspannung resultierenden Verformungen an einem Volumenelement mit den Abmessungen
dx, t und ds sind in Bild 6.9 dargestellt.
oder
∂u
ds = 0
(6.31)
∂s
s=0
∮
wobei das Symbol des Kreisintegrals
die Integration um den Querschnitt herum kennzeichnet. Aus (6.29)
erhält man damit
∮
∮
1
Mt
∂ϕ
ds = 0 +
R
sin α ds (6.32)
G 2Am t(s)
∂x
∫
s=U
∂u
ds =
∂s
∮
Die Größen G, Mt , Am und die Verwindung des Querschnitts hängen nicht von der Koordinate s ab und können
deshalb vor die Kreisintegrale gestellt werden. Es bleibt
dann
∮
∮
Mt
ds
∂ϕ
=
R sin α ds
(6.33)
2Am G
t(s) ∂ x
Das Kreisintegral auf der rechten Seite ist unter Berücksichtigung von (6.31) durch (6.21) gegeben. Damit erhält
man
∮
Mt
ds
∂ϕ
=
2Am
(6.34)
2Am G
t(s) ∂ x
49
OTH Regensburg
Technische Mechanik II
Die Verwindung des Querschnitts kann damit analog zu
(2.116) durch
dϕ
=
dx
Mt
2
(2A )
G∮ m
ds
t(s)
=
6.4 Schmale Rechteckquerschnitte
6.4.1 Unterteilung in Hohlquerschnitte
Mt
G It
(6.35)
angegeben werden. Diese Beziehung wird in der Literatur
als 2. Bredtsche Formel bezeichnet.
Bei Bauteilen mit schmalen rechteckigen Querschnitten,
die auf Torsion belastet werden, kann angenommen werden, dass der Verlauf der Schubspannungen auch im Inneren des Querschnitts durch den Verlauf am Rand dominiert wird, Bild 6.11.
b
2y
6.3.3 Torsions-Flächenmoment
Mit (6.35) wird auch das Torsions-Flächenmoment für
dünnwandig geschlossene Profile definiert
(2Am )2
It = ∮
ds
t(s)
(6.36)
h
hy
y
y
Es entspricht dem polaren Flächenmoment I P , das ja auf
Querschnitte mit Kreisquerschnitt beschränkt ist.
τ(y)
Bei dünnwandigen Profilen mit konstant dünner Wandstärke t = t0 kann das Kreisintegral in (6.36) direkt angegeben werden
∮
∮
∫
1 s=U
ds
1
U
=
(6.37)
ds =
ds =
t0
t0
t0 s=0
t0
wobei U den Umfang der Profilmittellinie angibt. Das
Torsions-Flächenmoment vereinfacht sich dann zu
dy
(2Am )2 (2Am )2 t0
(6.38)
=
U
U
t0
Im Bild 6.10 sind für ein Kreisrohr und ein Vierkantrohr
die Profildaten zusammengestellt, die zur Berechnung
z
y
z
Bild 6.11: Verlauf der Schubspannungen in einem
schmalen Rechteckquerschnitt und Unterteilung in geeignete dünnwandige Hohlprofile
It =
Profildaten
Kreisrohr Vierkantrohr
= πa
π
Am = a2
4
k
n
U
k
n
U = 4a
Am = a
a
t0
Unterteilt man nun den Querschnitt mit der Höhe h und
der Breite b in ineinander geschachtelte dünnwandige
Hohlquerschnitte mit der Wandstärke dy, dann müssen
aus Kompatibilitätsgründen Höhe und Breite in gleichem
Maße abnehmen. Betrachtet man einen Hohlquerschnitt
mit der Breite 2y, dann haben Breite und Höhe um den
Betrag b − 2y abgenommen. Die Höhe eines Hohlquerschnittes an der Stelle y ist somit durch
h y = h − (b − 2y)
2
(6.40)
gegeben.
Bild 6.10: Kreisrohr und Vierkantrohr im Vergleich
des Torsions-Flächenmoment benötigt werden. Im Vergleich erhält man
2
2 π4 a2 t0
π
t0 a3 π
It
πa
4
=
=
= = 0.785 (6.39)
2
It
4
t0 a 3
2 a 2 t0
4a
k
n
Wegen U /U = π/4 = 0.785 benötigt der Kreisrohrquerschnitt im Vergleich zu einem umschriebenen Vierkantrohr auch entsprechend weniger Material.
k
n
50
6.4.2 Schubspannungen
Auf jeden Hohlquerschnitt kann nun die 1. Bredtsche
Formel angewendet werden. Aus (6.23) ergibt sich dann
eine von y abhängige Schubspannung
dMt
2 2y h y dy
(6.41)
Entsprechend der Unterteilung des Profils wurde das Torsionsmoment Mt dabei mit dMt in infinitesimale Beiträge
τxs (s) =
Mt
2Am t(s)
→
τ(y) =
Technische Mechanik II (Festigkeitslehre)
Prof. Dr.-Ing. G. Rill
zerlegt. Ferner wurden die von der Profilmittellinie umschlossene Querschnittsfläche Am durch 2y h y und die
Wandstärke t durch dy ersetzt. Mit (6.40) ergibt sich
zunächst
dMt = τ(y) 2 2y h − (b − 2y) dy
(6.42)
= τ(y) 4y (h − b + 2y) dy
Die Hohlprofile sind wie der Ausgangsquerschnitt
schmal. Mit 2y h und b h bleibt dann in erster
Näherung
dMt = 4 h τ(y) y dy
(6.43)
Mit dem linearen Spannungsansatz
τ(y) = C y
(6.44)
∫
dMt =
∫
y= b2
y=0
4 h C y y dy = 4 h C
1 b3
(6.45)
3 8
Die Konstante aus dem Spannungsansatz und die Schubspannung sind somit durch
C=6
Mt
h b3
und
τ(y)
=
6 Mt
y
h b3
(6.46)
gegeben. Die maximale Schubspannung tritt am Rand
bei y = b/2 auf und ist durch
τmax = τ y =
b
2
3 Mt
=
h b2
∫
dIt =
∫
y= b2
y=0
8 h y 2 dy = 8 h
Die Verwindung ist dann entsprechend (6.35) durch
dϕ
Mt
=
dx
G It
=
3 Mt
G h b3
(6.51)
gegeben. Sind das Torsionsmoment Mt und die Querschnittsabmessungen h und b über der Bauteillänge L
konstant, dann gibt
∫ L
dϕ
3 Mt
L
(6.52)
ϕ =
dx =
G h b3
0 dx
6.5 Dünnwandig offene Querschnitte
6.5.1 Prinzipielles Vorgehen
Dünnwandig offene Querschnitte, die z.B. bei L-, T-, Uund I-Profilen auftreten, können aus schmalen Rechteckprofilen zusammengesetzt werden. So lässt sich das in
Bild 6.12 dargestellte I-Profil sehr einfach in drei schmale Rechtecke unterteilen.
h1
(6.47)
τ1
y1
bestimmt.
b2
6.4.3 Verwindung
y2
Die Verwindung von Hohlquerschnitten kann über die
2. Bredtsche Formel errechnet werden. Das dabei erforderliche Torsions-Flächenmoment ist für konstante
Wandstärken durch (6.38) gegeben. Die ineinander geschachtelten Hohlquerschnitte verfügen über infinitesimal kleine Torsions-Flächenmomente, die gemäß (6.38)
durch
2
2 2y h y dy
(2Am )2 t0
It =
→ dIt =
(6.48)
U
2 2y + h y
gegeben sind, wobei
Am mit 2y h y , t durch dy und U
durch 2 2y + h y ersetzt wurde. Mit den Näherungen
h y ≈ h und 2y + h y ≈ h, die durch 2y h und b h
gerechtfertigt sind, bleibt
(2 2y h)2
dIt =
dy = 8 h y 2 dy
2h
1 b3 1
= h b3
3 8
3
(6.50)
die Verdrehung der beiden Endquerschnitte an.
kann in (6.43) auf beiden Seiten integriert werden
Mt =
It =
(6.49)
Die Integration liefert dann schließlich das TorsionsFlächenmoment für einen schmalen Rechteckquerschnitt
der Höhe h und der Breite b h zu
z1
b1
h2
z2
τ2
z3
τ3
y3
b3
h3
Bild 6.12: I-Profil unterteilt in Rechtecke
Jedes der n schmalen Rechtecke (hier: n = 3) wird dann
wieder in dünne Hohlquerschnitte unterteilt, die gemäß
(6.43) die Torsions-Momente
dMti = 4 hi τ(yi ) yi dyi ,
i = 1, 2 . . . n
(6.53)
übertragen. Das gesamte Torsions-Moment ist dann analog zu (6.43) durch
i=n ∫ yi = b i
Õ
2
Mt =
4 hi τ(yi ) yi dyi
(6.54)
i=1
yi =0
51
OTH Regensburg
Technische Mechanik II
gegeben, wobei zunächst über die einzelnen Rechtecke
integriert wird und dann die Anteile aufsummiert werden.
wobei das Torsions-Flächenmoment für dünnwandige offene Profile unter Berücksichtigung von (6.50) mit
It =
Õ
1Õ
hi b3i
3
Iti =
6.5.2 Schubspannung
additiv aus den Anteilen der einzelnen schmalen Rechteckquerschnitte zusammengesetzt wird.
Mit dem einfachen Ansatz
τi = C yi
(6.55)
nimmt man an, dass die Schubspannung in allen Rechtecken mit der gleichen Intensität (Konstante C) von Null
auf den jeweiligen maximalen Wert am Rand ansteigt.
Damit ergibt sich
Mt =
i=n ∫
Õ
i=1
yi =
bi
2
yi =0
4 hi C yi yi dyi
(6.56)
Nach der Integration bleibt
i=n
Õ
4 b3i
C
Mt =
hi
C oder
=
3
8
2
i=1
Mt
1Í
hi b3i
3
(6.57)
In der Praxis werden bei Wt und It häufig noch von der
Profilform abhängige Korrekturfaktoren hinzugefügt.
6.5.4 Vergleich offen geschlossen
In dünnwandigen geschlossenen Profilen, die auf Torsion
belastet sind, ergibt sich der Verlauf der Schubspannungen direkt aus der 1. Bredtschen Formel (6.23). Ist das
Profil offen, dann muss die über den Umweg schmaler
Rechteckprofile aus der 1. Bredtschen Formel abgeleitete
Beziehung (6.58) verwendet werden.
Die Berechnung der Verwindung kann jedoch in beiden
Fällen über die 2. Bredtsche Formel
Mt (x)
dϕ
=
dx
G It (x)
Dem Ansatz (6.55) entsprechend ist dann die maximale
Schubspannung im Rechteck j durch
τjmax
bj
C
=
bj =
= C
2
2
Mt
bj
1Í
hi b3i
3
(6.58)
gegeben. Bei dünnwandig geschlossenen Profilen erreicht die Schubspannung an der Stelle mit der kleinsten Wandstärke den maximalen Wert. Bei dünnwandig offenen Profilen dagegen, tritt die insgesamt größte
Schubspannung in dem Rechteck mit der größten Breite
bmax = max (b1, b2, . . . bn ) auf. Man erhält dann
τ max =
Mt
Mt
max
b
=
Í
1
Wt
hi b3i
3
(6.59)
1
3
Í
hi b3i
bmax
(2Am )2
g
It = ∮
ds
t(s)
1Õ
hi b3i
3
Ito =
oder
(6.64)
gegeben, wobei Am die von Profil-Mittellinie umschlossene Fläche angibt und bei den Seiten der rechteckigen
Teilquerschnitte bi hi zu beachten ist.
Bei den im Bild 6.13 dargestellten Vierkantprofilen ist
die Wandstärke konstant. Damit vereinfacht sich die erste
a
a/2
a/2
1
5
t
(6.60)
das Torsions-Widerstandsmoment für dünnwandig offene
Querschnitte angibt.
(6.63)
durchgeführt werden. Das Torsion-Flächenmoment ist
dabei je nach Art des Profils (g: geschlossen, o: offen)
entweder durch
wobei
Wt =
(6.62)
a
2
Am
4
a
t
3
6.5.3 Verformung
Über die 2. Bredtsche Formel ergibt sich die Verwindung oder Drillung aus
dϕ
Mt
=
dx
G It
52
(6.61)
Bild 6.13: Vierkantrohr mit quadratischem Profil in geschlossener und geschlitzter Ausführung
Beziehung in (6.64) zu
g
It =
(2Am )2
U
t
= (2Am )2
t
U
(6.65)
Technische Mechanik II (Festigkeitslehre)
wobei U den Umfang der Profil-Mittellinie angibt. Das
Torsions-Flächenmoment für ein geschlossenes quadratisches Vierkantprofil mit der Kantenlänge a und der
Wandstärke t wurde bereits in (6.39) mit
2 t
= t a3
(6.66)
It = 2 a2
4a
angegeben. Das offene Profil aus Bild 6.13 kann zunächst
in 5 schmale Rechtecke unterteilt werden. Gemäß der
zweiten Beziehung in (6.64) gilt dann
5
1 Õ a
a 1
1
It = t 3
+a+a+a+ = t 3 4a = t 3U
3 i=1 2
2
3
3
(6.67)
wobei die konstante Wandstärke bereits vor die Summation gezogen wurde und U den Umfang, bzw. die Länge
der Profil-Mittellinie bezeichnet.
Prof. Dr.-Ing. G. Rill
6.6.2 Beispiel
Bei einem Bauteil, das, wie in Bild 6.14 dargestellt, an
einem Ende fest eingespannt und am anderen durch eine exzentrisch angreifende vertikale Kraft belastet wird,
x
L
y
a
z
t
2a
e
x
F
Die Beziehung It = 13 t 3 U gilt allgemein2 für alle offenen
Profile mit konstanter Wandstärke.
Setzt man nun die aus (6.63) folgenden Verwindungen
der beiden Profile ins Verhältnis, dann erhält man mit
(6.66) und (6.67) das Ergebnis
dϕ
M
1 3
g
t 4 a 4 t 2
dx
Io
G It
= M = tg = 3 3 =
(6.68)
dϕ
3
a
t
a
I
o
t
GI
dx
Bild 6.14: U-Profil mit exzentrischer Belastung
treten in einem Schnitt senkrecht zur x-Achse analog zu
(5.1) und (5.2) die Schnittreaktionen
N = 0,
Qy = 0 ,
Qz = F ,
(6.69)
t
Mx = e F ,
My = −F (L − x) ,
Mz = 0
(6.70)
Da die Wandstärke mit t a ja gemäß Voraussetzung
dünn sein muss, ist die Verwindung eines geschlossenen
Profils um ein Vielfaches kleiner als die eines vergleichbaren offenen.
auf, wobei F die in z-Richtung wirkende Kraft bezeichnet, e den Abstand der Wirkungslinie von F zur x-Achse
angibt und L die Länge des Bauteils beschreibt.
Profile, die auf Torsion belastet werden, sollten also möglichst geschlossen ausgeführt werden.
6.6.3 Spannungen aus der Biegebelastung
6.6 Torsion und Biegung
Das U-Profil ist im vorliegenden Fall symmetrisch zur
y-Achse angeordnet. Damit verschwindet das FlächenDeviationsmoment und die Verteilung der Normalspannung ist gemäß (5.17) durch
6.6.1 Allgemeines
Wird ein Bauteil auf Biegung belastet, dann können in
einem Schnitt senkrecht zur x-Achse entsprechend dem
Beispiel in Abschnitt 5.1 eine Normalkraft, Querkräfte
und Biegemomente auftreten. Die Normalkraft und die
Biegemomente haben im Querschnitt die Normalspannung σxx zur Folge. Die Querkräfte führen zu den Schubspannungen τx y und τxz , die nur noch für einfache Belastungen und Querschnittsformen , wie in Abschnitt 5.4.2
gezeigt, über passende Ansatzfunktionen ermittelt werden können. Schubspannungen, die nicht symmetrisch
über den Querschnitt verteilt sind, entsprechen einem
Torsionsmoment, das jedoch nicht notwendigerweise zu
einer zusätzlichen Belastung auf Torsion passt.
2
Das Torsions-Flächenmoment eines dünnwandigen geschlitzen
3
Kreisrohrs ist demnach durch It = 13 t 3 2πRm = 2π
3 Rm t gegeben, wobei t die Wandstärke und Rm den mittleren Radius
angeben.
σxx = σxx (x, z) =
My (x)
z
Iy y
(6.71)
gegeben, Bild 6.15.
Das Biegemoment ist durch (6.70) bestimmt und das
Flächenmoment 2. Grades ist für t a durch
Iy y =
1
8
t (2a)3 + a2 t a + (−a)2 t a = t a3
12
3
(6.72)
gegeben.
Mit t a wurde ein dünnwandiges Profil vorausgesetzt. Der Querschnitt des U-Profils kann deshalb in Flächenelemente dA = t ds unterteilt werden, wobei die
Koordinate s längs der Profil-Mittellinie verläuft. Die im
Flächenelement dA auftretende Schubspannung τxs kann
dann jeweils in Richtung der Mittellinie angesetzt werden, Bild 6.15. An den freien Enden des Profils bei s = 0
53
OTH Regensburg
Technische Mechanik II
s
ds
t
σxx(x,z)
S
τxs(x,s)
∂M y
∂σxx
Qz
= ∂x z =
z
∂x
Iy y
Iy y
S
x
y
wobei die aus den Schubspannungen resultierenden Terme analog zu (6.18) durch die Ableitung des Schubflusses T = τxs t ersetzt wurden. Gemäß (5.3) erhält man mit
(6.71) für die Ableitung der Normalspannung
x
y
Damit folgt aus (6.77) mit
z
∂
Q
τxs (x, s) t(s) = − z z t
∂s
Iy y
z
Bild 6.15: Spannungen aus der Biegebelastung in einem
Schnitt an der Stelle x
und bei s = 4a muss die Schubspannung verschwinden.
Ferner muss sie auch dem Kräftegleichgewicht genügen.
In Erweiterung zu Abschnitt 6.3.1 sind nun am Volumenelement auch die Normalspannungen zu berücksichtigen,
Bild 6.16. Das Kräftegleichgewicht in x-Richtung liefert
s
t(s)
x
dx
τxs(x, s)
σxx(x, s)
σxx(x+dx, s)
ds
t(s+ds)
τxs(x, s+ds)
Bild 6.16: Volumenelement belastet mit Normal- und
Schubspannungen
dann
τxs (x, s+ds) dx t(s+ds) − τxs (x, s) dx t(s) +
(σxx (x +dx, s)−σxx (x, s)) ds 21 (t(s)+t(s+ds)) = 0
(6.73)
wobei mit t = t(s) der allgemeine Fall einer variablen
Wandstärke berücksichtigt und eine Änderung der Wandstärke in x-Richtung als vernachlässigbar klein vorausgesetzt wurde. Mit den Näherungen
τxs (x, s+ds) ≈ τxs (x, s) +
t(s+ds) ≈ t(s) +
∂τxs
ds
∂s
∂t
ds
∂s
σxx (x +dx, s) ≈ σxx (x, s) +
(6.74)
(6.75)
∂σxx
dx
∂x
(6.76)
bleibt unter Vernachlässigung aller quadratisch kleinen
Terme
∂σxx
∂
τxs (x, s) t(s) +
t(s) dx ds = 0 (6.77)
∂s
∂x
54
(6.78)
(6.79)
eine Differentialgleichung für den Schubfluss, die durch
Separation gelöst werden kann. Die Integration wird nun
von einer beliebigen Position s bis zum Ende oder Rand
s = sR des Profils durchgeführt
∫ s=sR
∫ s=sR
Qz
z(s) t(s) ds
∂ τxs (x, s) t(s) = −
Iy y
s
s
(6.80)
wobei t = t(s) verdeutlicht, dass die Wandstärke längs
der Mittellinie variieren kann und z = z(s) zum Ausdruck bringt, dass die z-Koordinate eines Flächenelements dA = t ds, wie in Bild 6.15 zu sehen, eine Funktion der Koordinate s ist. Der Schubfluss τxs (s) t(s) bildet
die Stammfunktion des Integrals auf der linken Seite.
Die Querkraft Q z und das Flächenmoment 2. Grades,
die ja nicht von der Koordinate s abhängen, können auf
der rechten Seite vor das Integral gezogen werden. Man
erhält dann
∫
sR
Q z sR
τxs (x, s) t(s) s = −
z(s) t(s) ds
(6.81)
Iy y s
Am Rand des Profils muss die Schubspannung verschwinden. Mit τxs (sR ) = 0 bleibt
∫
Q z sR
0 − τxs (x, s) t(s) = −
z(s) t(s) ds
(6.82)
Iy y s
oder
τxs (x, s) =
Q z (x) SR (s)
I y y (x) t(s)
(6.83)
wobei das auf der rechten Seite verbleibende Integral,
das mit SR (s) abgekürzt wurde, das statische Moment
der Restfläche darstellt. Der Verlauf der Schubspannung
τxs = τxs (x, s) ist somit durch die entsprechende Belastung Q z (x) sowie durch die Profileigenschaften SR (s),
I y y (x) und t(s) bestimmt.
6.6.4 Statisches Moment der Restfläche
Gemäß (6.82) und (6.83) ist das statische Moment der
Restfläche durch
∫ sR
SR (s) =
z(s) t(s) ds
(6.84)
s
Technische Mechanik II (Festigkeitslehre)
Prof. Dr.-Ing. G. Rill
definiert. Das Produkt aus der Wandstärke t(s) und dem
Differential ds kann als Flächenelement dAR interpretiert
werden. Damit kann das statische Moment der Restfläche
über
SR (s) =
∫
sR
z(s) t(s) ds =
∫
s
(6.85)
a < s < 3a
a
y
S
zSR
AR
t
y
y
S
zSR
sR
a
sR
(i)
zSR
A(i)
R
i=1
(3a−s) t + a at
a− 3a−s
2
t
2
2 (2a−3a+s)(3a−s)+2a
t
2
2 (s−a)(3a−s)+2a
t
2
2
2
2 − s −4as + 3a +2a
2
t
2
2 − (s−2a) +3a
2
t
2
2 3a − (s−2a)
(6.88)
gegeben. Im dritten Teilbereich 3a ≤ s ≤ 4a kann das
statische Moment der Restfläche mit
SR (s)
= a t (4a − s)
(6.89)
3a ≤s ≤4a
direkt dem Bild 6.17 entnommen werden.
6.6.5 Schubspannungsverlauf
S
zSR
AR
z
=
i=2
Õ
t
a
AR
z
3a <= s <= 4a
s
zSR
=
=
=
=
z(s) dAR = zSR AR
Zur Auswertung von (6.85) wird das U-Profil aus Abschnitt 6.6.2 in drei Abschnitte unterteilt, Bild 6.17.
t
a<s<3a
=
=
auf ein Produkt zurückgeführt werden, das aus den geometrischen Größen Schwerpunkt zSR und Fläche AR des
Restquerschnittes besteht, der sich vom Rand sR bis zur
momentanen Position s erstreckt.
AR
SR (s)
sR
s
0 <= s <= a
s
Moment der Restfläche ist dann durch
s z sR
Bild 6.17: Statische Momente einzelner Restflächen
beim U-Profil
Im ersten Bereich von s bis sR mit 0 ≤ s ≤ a ist die Restfäche sehr groß und müsste zur Berechnung der Schwerpunktkoordinate zSR in drei Rechtecke zerlegt werden.
Die Komplementäre Restfläche A−R = t s ergänzt jedoch
die Restfläche AR zur Gesamtfläche A des Querschnitts.
Da das Koordinatensystem den Ursprung im Schwerpunkt S der Gesamtfläche hat, gilt für die Teilschwerpunkte
−
−
0 = zSR AR +zSR
A−R oder zSR AR = −zSR
A−R (6.86)
− = −a ergibt im vorliegenden Fall das statische
Mit zSR
Moment der Restfläche für den ersten Teilbereich aus
SR (s)
= −(−a) t s = a t s
(6.87)
0≤s ≤a
Im zweiten Teilbereich a < s < 3a wird die Restfläche in
zwei geeignete Rechtecke unterteilt, die hier jeweils die
Breite t und die Längen 3a−s und a haben. Das statische
Mit den statischen Momenten der Restflächen kann nun
aus (6.83) der aus der Querkraft Q = F resultierende Verlauf der Schubspannung angegeben werden. Mit (6.87),
(6.88), (6.89) und (6.72) erhält man
F at s
3 F s
τxs (s, x)
= 8
=
(6.90)
3
0≤s ≤a
2 Aa
3ta t
τxs (s, x)
a<s<3a
=
F
t
2
3a2 −(s−2a)2
8
3
t a3 t
s 2
3 F
=
3− −2
4 A
a
(6.91)
und
F a t (4a−s)
3 F s
4−
8
3
3a ≤s ≤4a
2 A
a
3ta t
(6.92)
wobei A = 4at die Fläche des U-Profils bezeichnet. Der
maximale Wert tritt in der Profilmitte bei s = 2a auf und
ist mit
τxs (s, x)
=
max
τxs
= τxs (s = 2a, x) =
=
9 F
= 2.25 τm
4 A
(6.93)
mehr als doppelt so groß wie die mittlere Schubspannung
τm = F/A.
6.6.6 Momentenwirkung und
Schubmittelpunkt
Der durch (6.90) bis (6.92) bestimmte Verlauf der Schubspannung hat bezüglich der durch den Schwerpunkt S
des Profils laufenden x-Achse eine Momentenwirkung,
Bild 6.18.
55
OTH Regensburg
3 F
2A
9 F
4A
Technische Mechanik II
der Fall. Der Hebelarm yS M und der aus einer Belastung
in y-Richtung resultierende Hebelarm zS M legen den
Schubmittelpunkt fest.
s=a
s=2a
τxs
S
y
R2
s=0
3 F
2A
yS=a/4
SM
R3
s=4a
s=3a
F
R1
Jede Symmetrieachse des Querschnitts ist ein geometrischer Ort für den Schubmittelpunkt. Beim U-Profil liegt
also SM mit yS M = 58 a und zS M = 0 auf der y-Achse, die
hier Symmetrieachse des Querschnitts ist, Bild 6.18.
S
y
ySM= 58 a
Die Berechnung kann oft vereinfacht werden, wenn die
Lage des Schubmittelpunktes nicht vom Flächenmittelpunkt sondern von einem geschickt gewählten Bezugspunkt aus bestimmt wird. Beim U-Profil ist der Schnittpunkt der y-Achse mit der Profilmittellinie ein geeigneter
Bezugspunkt, da diesbezüglich nur die Schubspannungen in den horizontal verlaufenden Teilen zur Momentenwirkung beitragen.
z
z
Bild 6.18: Schubspannungen im U-Profil mit
entsprechenden Hebelarmen und
Lage des Schubmittelpunktes
Mit den Schubspannungen (6.90) bis (6.92) und den entsprechenden Hebelarmen3
a
R1 = a , R2 = yS =
und R3 = a
(6.94)
4
erhält man
Mxτ =
i=3 ∫
Õ
(i)
Ri τxs
dA
i=1
∫
s=a
3 F s
t ds
2 4at a
∫s=0
s 2
s=3a
a 3 F
3− −2
t ds
+
4 4 4at
a
∫s=a
s=4a
3 F s
+
4−
t ds
a
2 4at
a
s=3a
=
(6.95)
MxF = e F
a)
b)
y
y
x
x
z
wobei dem Verlauf der Schubspannungen entsprechend
die Momentenwirkung in den horizontal verlaufenden
3
Schenkeln mit jeweil 16
aF identisch ist. Die exzentrisch
angreifende Kraft hat jedoch das Moment
(6.97)
zur Folge. Das Bauteil ist im Gleichgewicht, wenn das
durch die Schubspannungen hervorgerufene Torsionsmoment der äußeren Belastung entspricht. Im vorliegenden
ist das für
5
e = yS M = a
(6.98)
8
56
Läuft die Wirkungslinie der vertikalen Kraft F durch
den Schubmittelpunkt SM , dann ist das Moment aus den
Schubspannungen, die aus den Querkräften resultieren,
äquivalent zu dem Moment, das durch die exzentrisch angreifende Kraft hervorgerufen wird. Die Verformungen
des Bauteils beschränken sich dann auf die Durchbiegung w; eine Verdrehung der Endquerschnitte tritt dabei
nicht auf, Bild 6.19a.
a
wobei die Querschnittsfläche A durch den Wert 4at
ersetzt wurde und die Flächenelemente jeweils durch
dA = t ds gegeben sind. Nach der Auswertung der Integrale bleibt
5
3 1 3
τ
+ +
= aF
(6.96)
Mx = a F
16 4 16
8
3
6.6.7 Verformungen
Die y-Koordinate des Schwerpunkts eines aus mehreren TeilflächenÍzusammengesetzten Querschnitts ist allgemein durch
y A
yS = Í iA i gegeben. Im vorliegenden Fall erhält man yS =
i
1 a at + 0 + a at = a .
4a 2
2
4
F
SM
w
ySM
z
F
+F
S
w
−F
S
ϕ
Bild 6.19: Bauteilverformung bei verschiedenen
Belastungen: a) im Schubmittelpunkt
und b) im Schwerpunkt
In allen anderen Fällen, z.B. wenn die Wirkungslinie
der vertikalen Kraft F durch den Schwerpunkt S des
Querschnitts läuft, kommt es zu einer Verdrehung ϕ der
Endquerschnitte, Bild 6.19b. Durch Hinzufügen einer
Nullkraft +F, −F im Schubmittelpunkt SM können die
Durchbiegung w wie im Fall a) über die reine Biegung
und die Verdrehung mit dem Moment Mt = −F yS M aus
der reinen Torsion ermittelt werden.
Da dünnwandig offene Profile sehr wenig Widerstand
gegen Torsion aufweisen, kann die Verdrehung der Endquerschnitte relativ groß werden. Bei Querschnitten, die
5 3
wie das U-Profil mit I y y = 83 a3 t und Izz = 12
a t recht
unterschiedliche Flächenmomente 2. Grades bezüglich
Technische Mechanik II (Festigkeitslehre)
Prof. Dr.-Ing. G. Rill
der y- und z-Achse haben, wird die Durchbiegung dann
allerdings von der Drehung des Querschnitts um die xAchse beeinflusst, da mit der Drehung die Flächenmomente 2. Grades verändert werden und auch noch ein
Deviationsmoment entsteht.
Die Beziehung (6.83) setzt voraus, dass in einem Querschnitt Orte s = sR gefunden werden können, an den die
Schubspannung verschwindet. Bei offenen Querschnitte
sind das die Enden (Ränder) der Querschnitte. Bei dünnwandigen Profilen, die in Richtung einer Symmetrieachse durch Querkräfte belastet werden, kann die Koordinate
s in zwei symmetrisch verlaufende Linien unterteilt werden, Bild 6.20.
τ=0
y
dA
Qz
z(s1)
s1
S
th(s1) τ=0
tv(s1)
Qz
y
dA
z s2
z(s1)
s1
S
z
τ=0
t(s1)
y
s2
dA
Qz
S
z(s1)
s1
z s2
Bild 6.20: Dünnwandig geschlossene Profile mit Belastung in Richtung einer Symmetrieachse
An den Stellen, wo die Symmetrieachse die Profilmittellinie schneidet, müssen die Schubspannungen verschwinden. Analog zu (6.83) erhält man dann an der Stelle
s = s1 = s2 die Schubspannung in einem Schnitt an der
Stelle x aus
τxs (x, s) =
Q z (x) SR (s)
I y y (x) t(s1 ) + t(s2 )
2Rm
2
= 2Rm
t
π
|{z}
zSR
t+t
=
2F
F
=2 d
2πRm t
A
(6.101)
Bei unsymmetrischen dünnwandig geschlossenen Profilen ist die Berechnung der Schubspannungen etwas komplizierter aber noch analytisch möglich.
Zunächst startet man die Schubfluss-Berechnung mit der
Koordinate s an einer beliebigen Stelle des Profils. Allerdings kann jetzt die Schubspannung τxs (sR ) und damit
auch der Schubfluss TR = τxs (sR ) t(sR ) am Rand s = sR ,
der bei einem geschlossenen Profil ja mit dem Startpunkt
s = 0 zusammenfällt, nicht mehr direkt angegeben werden. Deshalb ist in Erweiterung zu (6.82) der Schubfluss
im Profil nun durch
∫
Q z sR
τxs (x, s) t(s) =
z(s) t(s) ∂s + TR (6.102)
Iy y s
festgelegt. Da der Schubspannungsverlauf aber auch dem
Torsionsmoment Mt äquivalent sein muss, kann dann
über (6.12) der Schubfluss TR = τxs (sR ) t(sR ) am Rand
s = sR bestimmt werden.
Die Beziehung (6.83) kann auch auf Vollquerschnitte
angewendet werden, Bild 6.21.
Qz
y
S
b(z)
z
Bei einem dünnwandigen Kreisrohr mit dem mittleren
Radius Rm und der Wandstärke t ist das Flächenmoment
d
3 gegeben. Die
2. Grades gemäß (6.8) durch I y y= π t Rm
maximale Schubspannung tritt in der Querschnittsmitte
bei z = 0, bzw. s = s1 = s2 = π2 Rm auf. Das statische
Moment der Restfläche, die dann aus der unterer Hälfte
des Rohres besteht, ist dann durch
AR
πt
3
Rm
(6.99)
wobei SR (s) das statische Moment der Restfläche ist,
die aus den Koordinaten s1 und s2 resultiert, I y y das
Flächenmoment des Gesamtquerschnitts angibt und auf
Grund der Symmetrie die Wandstärken des Profils an den
Stellen s1 und s2 gleich sein müssen.
SR(z = 0) = πRm t
|{z}
2t
F 2Rm
d
τmax =
die genau doppelt so groß wie die mittlere Schubspand
nung F/A ist.
6.6.8 Verallgemeinerung
t(s1)
Mit Q z = F erhält man dann aus (6.83) die maximale
Schubspannung zu
(6.100)
dz
τ(x,z)
dA
z
Bild 6.21: Schubfluss im Vollquerschnitt
Allerdings erhält man dann mit
τ̄(x, z) =
Q z (x) SR (z)
I y y (x) b(z)
(6.103)
eine über die Breite des Querschnitts gemittelte Schubspannung, die sich aus dem Schubfluss im Flächenelement dA = b(z) dz ergibt. Das statische Moment der
Restfläche ist dabei analog zu (6.84) durch
∫ zR
SR (z) =
z b(z) dz = zSR AR
(6.104)
z
bestimmt. Bei unsymmetrischen Querschnitten stellt
(6.103) nur eine grobe Näherung dar, weil die damit
57
OTH Regensburg
Technische Mechanik II
ermittelte Schubspannung in der Regel nicht mehr der
Äquivalenzbeziehung für das Torsionsmoment genügt.
6.7 Übungen
Beim Rechteckquerschnitt liefert (6.103) das in Abschnitt 5.4.2 angegebene Ergebnis. Sowohl beim Rechteck als auch bei einem Kreisquerschnitt tritt auf Grund
der Symmetrie die maximale Schubspannung in der
Querschnittmitte bei z = 0 auf.
6.7.1 Zusammengesetztes Bauteil
b
Qz
h/2
y
y
S
zSR
zSR
h/4
h/2
Qz
R
Ein Bauteil besteht aus einem kreisförmigen Vollquerschnitt und einem dünnwandigen quadratischen Hohlquerschnitt. Es ist an einem Ende fest eingespannt und
wird am anderen Ende durch das Torsionsmoment Mt
belastet.
a
S
a
4R/3π
AR
AR
z
z
b
Bild 6.22: Restflächen zur Bestimmung der maximalen
Schubspannung
Mit den Angaben in Bild 6.22 und den Flächenmomenten 2. Grades für einen Rechteck- und einen Kreisquerschnitt
Mt
G = 80 000 N/mm2
Mt = 1000 Nm
a = 1000 mm
b = 60 mm
3 mm
t=
r = 20 mm
t
2r
a) Um welchen Winkel verdreht sich der Endquerschnitt gegenüber der Einspannstelle?
b) Wie groß sind die maximalen Schubspannungen in
den beiden Bauteilabschnitten?
Lösung:
ϕ = ϕ + ϕ ,
Mt a
ϕ = π 4 = 0.050
G 2r
2 t
Mt a
ϕ =
mit It = 2b2
= t b3
G It
4b
erhält man ϕ = 0.019
Gesamtdrehung:
◦
ϕ = 0.050 + 0.019 = 0.069=3.955
ˆ
τmax
= 46.3 N/mm2 , τmax
= 79.6 N/mm2
a)
I yy
1
=
b h3
12
I yy
π
= R4
4
b)
(6.105)
erhält man aus (6.103) die maximalen Spannungen
τmax
=
Qz
1
12
h
4
b h2
b h3 b
=
3 Qz
3 Qz
=
2 bh 2 A
(6.106)
=
4 Qz
4 Qz
=
2
3 R π 3 A
(6.107)
und
τmax
=
4R R2 π
3π 2
π 4
R
2R
4
Qz
die um den Faktor 3/2 bzw. 4/3 größer als die mittlere
Spannung F/A sind.
6.7.2 Verkehrsampel
Eine Verkehrsampel wird bei Sturm in z-Richtung durch
die Windkraft W belastet. Der gebogene Träger mit der
Höhe h und der Kragweite a hat an der Einspannstelle
(x = 0) einen dünnwandigen Rohrquerschnitt mit dem
Durchmesser d und der Wandstärke t d.
h
W
d
t
x
a
z
y
Lösung:
Die Gleichgewichtsbeziehungen für die freigeschnittene Verkehrsampel (negatives Schnittufer) lauten:
 −N   0   0 
 
  

 −Q y  +  0  =  0 
 
  

 −Q z   W   0 
 
  

und
 −Mx   h   0   0 

   
  
  

   
 −My  +  a  ×  0  =  0 
 −Mz   0   W   0 
  

   
Daraus entnimmt man:
N = 0, Q y = 0, Q z = W,
Mx = aW, My = −hW, Mz = 0
Die Querkraft Q z = W erzeugt eine Schubspannung, die aufgrund
der Symmetrie des Querschnittes auf Höhe der y-Achse (z = 0) ihr
Maximum erreicht, aber an den Rändern z = ± 21 d verschwindet.
Die maximale Schubspannung ist analog zu (6.101) durch
=
τmax
2
Qz
W
W
=2
=2
A
A
πdt
gegeben.
Das Biegemoment My führt in einem symmetrischen Querschnitt
(verschwindendes Deviationsmoment) auf die Normalspannung
σxx (z) =
My
z
Iy y
Das Flächenträgheitsmoment eines dünnwandigen Kreisrohres kann
über I P = I y y + Izz und mit I y y = Izz aus dem polaren Flächenmoment abgeleitet werden
Iy y =
1
1
π
3
3
IP =
2πRm
t = πRm
t = d3 t
2
2
8
An der Stelle z = 12 d erhält man somit
σxx (z = d/2) =
−hW d
−hW
= π 2
d3 t 2
4 d t
π
8
Bei dünnwandigen Kreisrohren ist die mittlere und damit auch in
guter Näherung die maximale Schubspannung durch
τm =
Mx
2 t
2π Rm
gegeben. Eingesetzt bleibt
τm =
aW
2π 14 d 2 t
=
aW
π 12 d 2 t
=
2a W
d πdt
Da die Kragweite a in der Regel sehr viel größer als der Durchmesser
d ist, kann der aus der Querkraft resultierende Schubspannungsanteil
bei der Dimensionierung vernachlässigt werden.
Ermitteln Sie die Schnittreaktionen an der Einspannstelle
(x = 0) sowie die Maximalwerte der dort im Querschnitt
auftretenden Spannungen.
6.7.3 Seilwinde
Für die skizzierte Seilwinde sind folgende Berechnungen
durchzuführen:
58
Technische Mechanik II (Festigkeitslehre)
y
Prof. Dr.-Ing. G. Rill
a) Ermitteln Sie die Schubspannungen in den Punkten
A bis E für den Bereich der größten Querkraft.
b) Skizzieren Sie den Schubspannungsverlauf über dem
Querschnitt unter Verwendung der errechneten Werte.
Lösung:
y
S
b2
B
x
r
z
3 F
9 F
a)τA = 0, τB =
, τC =
,
2 8at
4 8at
3 F
τD =
, τE = 0,
2 8at
b)
B
A
C
E
h
D
t
f
F
A
C
b1
a) Welche Kraft F ist erforderlich um der Seilkraft S
das Gleichgewicht zu halten?
b) Mit welchem Torsionsmoment Mt wird die Kurbel
A-B belastet?
c) Um welchen Winkel β neigt sich der Griff
A-C?
Lösung:
r
a)F = S,
h
r
b)Mt = −F f = − f F,
h
b1
3 Mt h ln b2
c) β =
G t 3 b2 − b1
6.7.4 Profil
Das skizzierte dünnwandige
Profil ist durch die
Abmessungen a = 50 mm
und t = 1 mm
gekennzeichnet.
a
Qz
Es wird in z-Richtung
durch eine Querkraft
Q z = 3.375 kN belastet,
deren Wirkungslinie durch
den Schubmittelpunkt
verläuft.
b
a
b
y
45°
a
Zunächst allgemein und
dann als Zahlenwerte sind
zu ermitteln:
t
z
a) das Flächenträgheitsmoment I y y und
b) die Schubspannung τ
im Schnitt b–b.
a
a
Lösung:
a) Unterteilt man den Querschnitt in Teilflächen, dann gilt für das
Flächenmoment bezüglich der y-Achse
Iy y =
n
Õ
2
{ zSi
Ai + Iζi ζi sin2 αi + Iηi ηi cos2 αi
i=1
+ 2 Iηi ζi sin αi cos αi
Die Teilflächen sind jeweils dünne Rechtecke mit der Breite t für die
Iηi ζi = 0 und Iζi ζi ≈ 0 gilt. Mit α1 = 45° und α2,3 = 0 ergibt sich
2
2
√2
1
1
1 √ 3 1 √2
Iy y = a t
a+
t 2a
2
2
12
2
2
3
1
+ a ta+
t a3 + (2a)2 t a + 0
2
12
b) Die Schubspannung in einem dünnwandigen Querschnitt ist allgemein durch
Q z (x) SR (s)
τxs (x, s) =
I y y (x) t(s)
definiert. Im Schnitt b–b kann das statische Moment der Restfläche
über die komplementäre Fläche ermittelt werden. Man erhält dann
3
3
1 √2a
S |
= − (−2a) t a + (− a) t a + (− a) t
R b−−b
oder
√2
1
4
Iy y =
2
+ 27 + 1 + 48 3
ta =
12
√2
2
4
2
bzw.
SR | b−−b =
16 + 12 + 3√2 2 28 + 3√2 2
ta =
t a = 4.03 t a2
8
8
Damit ergibt sich die Schubspannung zu
wobei auf Grund der Symmetrie nur die untere Querschnittshälfte betrachtet wurde. Es bleibt
!
1
1 √2 2√2 1 9
1
Iy y =
+
+ +
+ 4 t a3
2
4
12 2 4 12
τ=
28 + 3√2 2
ta
3 4 + 2√2 28 + 3√2
Qz
8
= 8
2√2 + 38 3
2√2 + 38
4 + 2√2 a t
ta t
3
Qz
3.375 · 103
= 2.02
= 19.99 N/mm2
A
341.42
Qz
= 2.02
+ 19 3
ta
3
bzw.
Iy y =
2√2 + 38 3
t a = 13.61 t a3 = 1701 · 103 mm4
3
6.7.5 Kragträger
Ein überkragender Balken mit dünnwandigem Querschnitt wird am freien Ende mit der Kraft F belastet.
F
F
B
z
L
L/3
x
A
t
C
E
a
D
2a
a
a
a
59
7 Rotationssymmetrische Belastungen
7.1 Grundgleichungen
x
φ
dφ
7.1.1 Belastungen
Rotierende Bauteile werden durch die an den einzelnen
Massenelementen dm angreifenden Fliehkräften dFz radial symmetrisch belastet. Auch bei Schrumpfverbindungen zwischen Wellen und Naben sowie bei zylindrischen
Behältern und Rohren, die unter Innen- und/oder Außendruck stehen, treten radial symmetrische Belastungen auf, Bild 7.1. Bei zylindrischen Behältern, die unter
a) rotierende Scheibe
p
x
x
r
dm dFr
y
z
z
pa
dφ/2
dFr
dx
dr
σtt(r, φ)
σtt(r, φ-dφ/2)
σrr(r+dr, φ)
dV = dx dr r dφ
dFr
σtt(r, φ+dφ)
dφ/2
σrr(r, φ)
σrr(r+dr, φ)
Bild 7.2: Spannungszustand bei rotationssymmetrischer
Belastung
Gegebenenfalls vorhandene Spannungen σxx in axialer
Richtung werden zunächst nicht berücksichtigt, da sie
später problemlos überlagert werden können.
Das Kräftegleichgewicht in tangentialer Richtung
dϕ
)−σ
(r,
ϕ−
)
cos dϕ
σtt (r, ϕ+ dϕ
tt
2
2
2 dx dr = 0 (7.1)
ist nur für
dϕ
σtt (r, ϕ+ dϕ
2 ) − σtt (r, ϕ− 2 ) = 0
x
pa
z
σtt (r, ϕ±
bleibt
c) Druckbehälter
Innen- pi und/oder Außendruck pa stehen, belastet der
Druck auf die Enden des Behälters (Bodenplatten) die
Wand des Behälters auch noch in axialer Richtung.
Der Spannungs- und Verformungszustand rotationssymmetrischer Bauteile kann am einfachsten in Polar- oder
Zylinderkoordinaten beschrieben werden.
7.1.2 Spannungen
Die Belastung durch Innen- und/oder Außendruck sowie die Belastung durch Fliehkräfte erfolgt ausschließlich in radialer Richtung. An einem krummlinigen Massenelement dm = %dV treten deshalb mit σrr und σtt
lediglich Normalspannungen und keine Schubspannungen auf, Bild 7.2.
(7.2)
erfüllt. Mit den Näherungen
y
Bild 7.1: Rotationssymmetrische Belastungen
60
r
σrr(r, φ)
z
pi
Bodenplatte
y
r
b) Schrumpfverbindung
Ω
y
σtt(r, φ+dφ/2)
oder
dϕ
∂σtt dϕ
) ≈ σtt (r, ϕ) ±
2
∂ϕ 2
(7.3)
∂σtt dϕ
∂σtt dϕ
− −
=0
∂ϕ 2
∂ϕ 2
(7.4)
∂σtt
=0
∂ϕ
(7.5)
Die Normalspannung in tangentialer Richtung kann sich
also nur mehr in radialer Richtung verändern
σtt = σtt (r, ϕ) → σtt = σtt (r)
(7.6)
Das Kräftegleichgewicht in radialer Richtung liefert
−σrr (r, ϕ) dx r dϕ
+σrr (r +dr, ϕ) dx(r +dr)dϕ
+dFr
dϕ
dϕ
dϕ
− σtt (r, ϕ− 2 )+σtt (r, ϕ+ 2 ) sin 2 dx dr = 0
(7.7)
Mit (7.3) sowie den Näherungen
σrr (r +dr, ϕ) ≈ σrr (r, ϕ) +
∂σrr
dr
∂r
(7.8)
Technische Mechanik II (Festigkeitslehre)
Prof. Dr.-Ing. G. Rill
und
dϕ dϕ
sin
≈
(7.9)
2
2
erhält man unter Vernachlässigung aller quadratisch kleinen Terme
∂σrr
dx dr dϕ − σtt dx dr dϕ = −dFr
σrr + r
∂r
(7.10)
Bezieht man diese Gleichung nun noch auf das Volumen
des Masseteilchens
dV = dx dr r dϕ
(7.11)
d σrr
σrr − σtt
dFr
+
= −
dr
r
dV
(7.12)
dann bleibt mit
eine Differentialgleichung erster Ordnung für die Spannung σrr in radialer Richtung, die allerdings auch die
radiale Spannung σtt enthält und somit noch nicht gelöst
werden kann. Beim Übergang von (7.10) auf (7.12) wurde die partielle Ableitung durch die gewöhnliche ersetzt.
Denn infolge der rotationssymmetrischen Belastungen
können σtt und σrr nur von r nicht aber von ϕ abhängen.
Dies wird für σtt durch (7.5) bestätigt.
7.1.3 Verformungen
Länge b(r) = r ϕ auf die Länge b(r +ur ) = (r +ur )ϕ. Die
Dehnung in tangentialer Richtung ist demnach durch
t =
b(r +ur )−b(r) (r +ur )ϕ−r ϕ ur
=
=
b(r)
rϕ
r
(7.14)
gegeben. Analog zu (7.12) können auch die Dehnungen
in einer Differentialgleichung zusammengefasst werden.
So liefert die Ableitung von (7.14) nach der Koordinate
r den Zusammenhang
dt
dur ur 1 r −t
dur 1 ur
=
=
−
−
=
(7.15)
dr
dr r r 2
dr
r r
r
wobei am Ende die Beziehungen (7.13) und (7.14) eingesetzt wurden. Umgestellt bleibt eine Differentialgleichung erster Ordnung für die tangentiale Dehnung
dt t −r
+
=0
dr
r
(7.16)
die allerdings von der radialen Dehnung r abhängt und
deshalb nicht direkt gelöst werden kann.
7.1.4 Linear elastisches Materialverhalten
Lässt man zunächst wieder gegebenenfalls vorhandene
Spannungen in axialer Richtung mit σxx = 0 außer Acht,
dann erhält man das Materialgesetz in der Form
1
(σrr − νσtt ) + αT ∆T
(7.17)
E
1
(σtt − νσrr ) + αT ∆T
t =
(7.18)
E
wobei der Term αT ∆T die Wärmedehnung beschreibt.
Die Differenz der beiden Beziehungen liefert
r =
Die radialsymmetrische Belastung führt zu entsprechenden Verformungen. Die radialen Dehnungen können jedoch nicht beliebig erfolgen, da das Bauteil auch im
verformten Zustand geschlossen und radialsymmetrisch
bleiben muss, Bild 7.3. Bezeichnet man mit ur = ur (r)
1
(σtt −νσrr ) + αT ∆T
E
1
(7.19)
− (σrr −νσtt ) − αT ∆T
E
1+ν
(σtt − σrr )
=
E
und die Ableitung von (7.18) nach der radialen Koordinate r führt auf
dt
1 d σtt
d σrr
=
−ν
(7.20)
dr
E
dr
dr
t −r =
x
ϕ
dϕ
y
z
r
ur(r)
ur(r+dr)
b(r)
b(r+ur)
unverformt
verformt
dr
Bild 7.3: Verformungen am krummlinigen Element
die Verschiebungen in radialer Richtung, dann erhält man
die entsprechende Dehnung aus
r =
ur (r +dr, ϕ) − ur (r, ϕ)
=
dr
∂ur
∂r
dr
∂ur
=
dr
∂r
(7.13)
Bei eine Verformung des Volumenelements, die mit dem
Bauteil verträglich ist, weitet sich der Bogen mit der
Damit kann die Differentialgleichung für die Dehnungen (7.16) in eine Spannungsdifferentialgleichung umgeschrieben werden
d σtt
d σrr (1+ν) (σtt −σrr )
−ν
+
= 0
dr
dr
r
(7.21)
Nun steht eine weitere Differentialgleichung für die
Spannungen in radialer und tangentialer Richtung zur
Verfügung, die mit der Differentialgleichung (7.12) gekoppelt ist.
61
OTH Regensburg
Technische Mechanik II
7.2 Rohre und Behälter unter Innenund Außendruck
3
2
ν
d σrr d σtt
−
dr
dr
B
r2
und
σtt = A −
B
r2
-3
Bild 7.5: Rohr mit ra /ri = 2 unter Innendruck pi
r
ra
Bild 7.4: Rohr unter Innen- und Außendruck
Mit den Bezeichnungen aus Bild 7.4 gelten je nach Belastung für die radiale Spannung die Randbedingungen
Innendruck pi
σrr (r =ri ) = −pi
σrr (r =ra ) = 0
Außendruck pa
σrr (r =ri ) = 0
σrr (r =ra ) = −pa
1
ri
0
-2
−
-3
σrr
In den Bildern 7.5 und 7.6 sind für den Sonderfall
ra /ri = 2 die Spannungs-Verläufe über dem Rohrradius r
ra
r
σtt
8
3
Bild 7.6: Rohr mit ra /ri = 2 unter Außendruck pa
dargestellt. Man erkennt, dass die tangentiale Spannung
σtt in beiden Belastungsfällen mit
!
2
r
1
σtt(i) = σtt(i) (r =ri ) = 2
p r2 a + 1
max
ra − ri2 i i ri2
ra2
(7.27)
+1
ri2
22 + 1 5
= pi 2
= pi 2
= pi
ra
2 −1 3
−1
ri2
und
σtt(a) max
=
σtt(a) (r =ri )
(7.24)
wobei das Minuszeichen vor den Drücken berücksichtigt, dass Druckbelastungen negativen Normalspannungen entsprechen. Damit ergeben sich aus (7.23) die Spannungen in tangentialer und radialer Richtung zu
"
!#
2
2
r
r
1
σtt (r) = 2
p r 2 a + 1 − pa ra2 1 + i2
r
ra − ri2 i i r 2
(7.25)
"
!#
2
2
ri
−1
2 ra
2
σrr (r) = 2
pr
− 1 + p a ra 1 − 2
r
ra − ri2 i i r 2
(7.26)
62
Außendruck
2
(7.23)
ri
pi
σ/pa
-1
pa
r
Innendruck
-2
3
können die Differentialgleichungen (7.22) allgemein gelöst werden.
ra
σrr
-1
beschrieben werden, wobei eine Belastung durch zusätzliche Fliehkräfte mit dFr = 0 außer Acht gelassen und die
Differentialgleichung (7.21) mit −1 multipliziert wurde.
Mit den Ansatzfunktionen
σrr = A +
σtt
ri
0
Der Spannungszustand in Rohren, die durch Innen- und
Außendruck belastet werden, kann entsprechend (7.12)
und (7.21) durch die Differentialgleichungen
(7.22)
5
3
1
7.2.1 Tangentiale und radiale Spannungen
d σrr
σrr −σtt
+
=0
dr
r
σrr −σtt
+ (1+ν)
=0
r
σ/pi
2
= −pa
ra2
ri2
ra2
ri2
"
!#
2
r
1
= 2
−pa ra2 1 + i2
ra − ri2
ri
= −pa
−1
2 ∗ 22
8
= − pa
2
3
2 −1
(7.28)
am Innenrand extremale Werte erreicht. Die radiale
Spannung σrr fällt jeweils vom angelegten Druck pi bzw.
pa von Innen nach Außen bzw. von Außen nach Innen
auf Null ab.
7.2.2 Mittlere Spannung
Bei nicht allzu dicken Bauteilen kann eine erste Dimensionierung mit den über den Radius gemittelten Spannungen
∫ra
1
σ tt,rr =
σtt,rr (r) dr
(7.29)
ra − ri
ri
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durchgeführt werden. Mit (7.25) und (7.26) erhält man
σ tt =
pi ri − pa ra
ra − ri
σrr = −
und
Die mittleren Spannungen σ tt und σrr
weils an der Stelle
√
r = r = ri ra
pi ri + pa ra
ra + ri
(7.30)
treten dabei je(7.31)
auf.
Bild 7.8: Rotierende Hohlwelle
7.2.3 Axiale Spannung bei geschlossenen
Behältern
Rohres (Hohlwelle) mit dem mittleren Radius rm und
der Wandstärke t rm werden durch die Fliehkräfte
dFz = dm rm Ω2
Bei geschlossenen Behältern wird die Wand auch noch
in axialer Richtung belastet, Bild 7.7
(7.35)
belastet, Bild 7.8.
x
pa
Das Kräftegleichgewicht am Massenelement liefert in
tangentialer Richtung
ri r a
pi
x
dFz − 2 σt t dx
Bild 7.7: Geschlossener Behälter jeweils unter Innenund Außendruck
Innen- oder Außendruck erzeugen in einem Schnitt senkrecht zur Behälterachse unabhängig von der Form der
Bodenplatten die Normalkräfte
N i = pi ri2 π
bzw.
N a = −pa ra2 π
σxx =
+
A}
Na
=
π − pa ra2
ra2 − ri2 π
pi ri2
π
=
σa = σxx
wobei t die Wandstärke und dx die Breite des Massenelements angeben und der Sinus durch das Argument
approximiert wurde. Nach der tangentialen Spannung
aufgelöst, erhält man zunächst
σt =
dFz
t dx dϕ
(7.37)
Gemäß (7.35) ergibt sich die Fliehkraft zu
pi ri2 − pa ra2
ra2 − ri2
(7.33)
Ein Vergleich mit (7.25) und (7.26) zeigt, dass die Normalspannung in axialer Richtung σa mit
1
= (σrr + σtt )
2
(7.36)
(7.32)
Bei gleichmäßiger Verteilung über die ringförmige Querschnittsfläche resultieren daraus die Normalspannungen
Ni
dϕ
=0
2
(7.34)
jeweils dem arithmetischen Mittel aus den Spannungen
in radialer und tangentialer Richtung entspricht.
7.3 Sonderfälle
7.3.1 Rotierende dünnwandige Ringe und
Rohre
Die Massenelemente dm eines mit der Winkelgeschwindigkeit Ω rotierenden dünnwandigen Rings oder eines
dm
z }| {
dFz = dm rm Ω2 = % rm dϕ t dx rm Ω2
| {z }
dV
(7.38)
wobei rm den mittleren Radius bezeichnet. In (7.37) eingesetzt bleibt
2
Ω2
σtrot = % rm
(7.39)
Zu beachten ist dabei, dass % meist in der Einheit kg/m3
angegeben wird. Setzt man den mittleren Radius rm nun
auch in m an, dann erhält man mit der Winkelgeschwindigkeit Ω in der Einheit 1/s aus (7.39) die tangentiale
Spannung σt nicht in der üblichen Einheit N/mm2 sondern in kg/m3 m2 1/s2 = N/m2 .
Zusätzliche axiale Belastungen treten bei rotierenden
Hohlwellen und Ringen in der Regel nicht auf. Auf Grund
der Dünnwandigkeit gibt es auch keine radiale Spannung.
σarot = 0
und
σrrot = 0
(7.40)
63
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Technische Mechanik II
Damit reduziert sich das erweiterte Hookesche Gesetz
auf
t =
∆rm
1
2
=
% rm
Ω2 + αT ∆T
rm
E | {z
}
rot
σt
(7.41)
wobei ∆rm die radiale Aufweitung beschreibt und der
Term αT ∆T den Einfluss von Temperaturschwankungen
berücksichtigt.
7.3.3 Geschlossene dünnwandige Behälter
durch Unter- oder Überdruck belastet
Kritische Belastungen von geschlossenen dünnwandigen
Behältern liegen in der Regel vor, wenn sich Innen- und
Außendruck stark unterscheiden. Bei pi pa (Unterdruck) oder pi pa (Überdruck) ist dann die Druckdifferenz ∆p = |pi − pa | in der gleichen Größenordnung
wie die mittlere Druckbelastung pm = 12 (pi + pa ). Wegen t rm kann dann die Beziehung (7.44) zu
σt ≈ ( pi − pa )
7.3.2 Dünnwandige Rohre und Behälter unter
Innen- und Außendruck
Ersetzt man die Fliehkraft dFz in (7.36) durch die aus
der Druckbelastung resultierenden Kräfte, dann liefert
das Gleichgewicht in radialer Richtung
dϕ
pi ri dϕ dx − pa ra dϕ dx − 2 σt t dx
= 0 (7.42)
2
Die Radien an der Innen- und Außenseite des Rohres
können mit
t
t
und ra = rm +
(7.43)
ri = rm −
2
2
auf den mittleren Radius rm und die Wandstärke t zurück geführt werden. Für die tangentiale Spannung bleibt
dann
pi rm − 2t − pa rm + 2t
σt =
t
(7.44)
pi + p a
rm
= ( pi − pa )
−
t
2
Dies entspricht genau der mittleren tangentialen Spannung, die sich mit (7.43) aus (7.30) zu
pi rm − 2t − pa rm + 2t
σ tt =
rm + 2t − rm − 2t
(7.45)
rm
pi + p a
= ( pi − p a )
−
t
2
ergibt. Analog dazu kann aus (7.30) dann auch die mittlere Spannung in radialer Richtung mit
pi rm − 2t + pa rm + 2t
σrr = −
rm + 2t + rm − 2t
(7.46)
pi + p a
t
pi + pa
=−
− ( pa − pi )
≈−
2
4 rm
2
angegeben werden, wobei im Näherungswert die Dünnwandigkeit mit t rm berücksichtigt wurde.
Bei geschlossenen Behältern liefert (7.34) dann auch die
axiale Spannung
1
1
rm
pi + p a
σa = (σt + σr ) = ( pi − pa )
−
(7.47)
2
2
t
2
Stimmen Innen- und Außendruck überein (pi = pa = p),
dann herrscht in der Rohrmitte rm ≈ r ein isotroper
Spannungszustand
pi + p a
σt = σr = σa = −
= −p
(7.48)
2
64
rm
t
(7.49)
vereinfacht werden. Die mittlere Spannung in radialer Richtung σr , die entsprechend (7.46) der mittleren
Druckbelastung entspricht, kann dann gegenüber der genäherten tangentialen Spannung σt aus (7.49) vernachlässigt werden. Mit
σr ≈ 0
(7.50)
kann dann die zusätzlich auftretende axiale Spannung
mit
1 rm 1
0 + (pi − pa )
σa = (σr + σt ) =
2
2
t
(7.51)
1
rm
1
= (pi − pa )
= σtt
2
t
2
angegeben werden. Die Beziehungen (7.49) und (7.51)
werden häufig auch als Kesselformeln1 bezeichnet.
Der Spannungszustand und die daraus resultierenden
Verformungen eines unter Innendruck stehenden dünnwandigen zylindrischen Behälters mit dem mittleren Radius rm , der Wandstärke t rm und der Länge L ist
in Bild 7.9 dargestellt. Die Längsdehnung des Behälters
a sowie seine Dehnung in tangentialer Richtung sind
durch
∆r
∆L
und t =
(7.52)
a =
L
rm
gegeben. Über das erweiterte Hookesche Materialgesetz
∆L
1
= (σa − ν σt ) + αT ∆T
L
E
∆r
1
t =
= (σt − ν σa ) + αT ∆T
rm
E
a =
(7.53)
(7.54)
können sie mit den Spannungen σa , σt und einer Temperaturänderung ∆T verknüpft werden. Mit
1
Manchmal auch als Brat- oder Weißwurstformeln bezeichnet, da
Würste, wenn sie zu stark erhitzt werden, stets in Längsrichtung
platzen. Da die tangentiale Spannung mit σt = 2 σa doppelt so
groß wie die axiale Spannung ist, können auch lokal unterschiedliche Festigkeiten der Wursthaut daran in der Regel nichts ändern.
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7.4 Übungen
7.4.1 Schwungscheibe mit Ring
Auf eine als starr anzunehmende Schwungscheibe mit
dem Außendurchmesser DS wird ein dünner schmaler
Ring mit dem Innendurchmesser DR0 , der Dicke t DR0 ,
der Breite b DR0 , der Dichte % und dem Elastizitätsmodul E aufgeschrumpft.
t
Bild 7.9: Dünnwandiger zylindrischer Behälter unter
Innendruck (pi > 0, pa = 0)
DR0
TMII:Rotationssymmetrisch:Rohr:duenn:sigmat i approx und (7.51) bleibt
∆L
1 p rm
(1 − 2 ν) + αT ∆T
a =
=
L
2 E t
∆r
1 p rm
( 2 − ν ) + αT ∆T
t =
=
rm
2 E t
b
DS
DS
Ω
(7.55)
(7.56)
wobei mit p = pi − pa die Dehnungen infolge einer
gleichzeitigen Belastung durch Innen- und Außendruck
erfasst werden können.
a) Wie groß muss DR0 vor dem Aufschrumpfen sein,
damit sich der Ring bei einer Drehung der Scheibe
mit der Winkelgeschwindigkeit Ω nicht löst?
b) Wie groß ist dann im Stillstand (Ω = 0 die Flächenpressung zwischen dem Ring und der Schwungscheibe?
Lösung:
a)Mit ∆T = 0 erhält man zunächst aus (7.41)
∆R
1
= % R2 Ω2
R
E
Mit R = DS /2 und ∆R = (DS − DR0 ) /2 bleibt
D −D
1
= % (DS /2)2 Ω2 oder nach DR0 aufgelöst
DS
E
% 3 2
DR0 = DS −
D Ω
4E S
b)Das Kräftegleichgewicht an einem Massenelement des Rings in radialer
Richtung analog zu (7.36) liefert
dϕ
dFN − 2 σt t b
=0
2
wobei dx durch die Breite b ersetzt wurde, dFN die auf das Massenelement wirkende Normalkraft beschreibt und die tangentiale Spannung
gemäß (7.39) durch σt = % R2 Ω2 gegeben ist. Mit p als Flächenpressung gilt dFN = p Rdϕ b und es bleibt dann % R2 Ω2 t b ϕ = p Rϕ b
nach p aufgelöst erhält man schließlich das Ergebnis
DS
p = % R t Ω2 = %
t Ω2
2
S
R0
7.4.2 Behälter
Ein zylindrischer Behälter aus Stahl mit dem Elastizitätsmodul E = 206 000 N/mm2 , der Querdehnzahl
ν = 0.3, dem mittleren Durchmesser Dm = 1600 mm,
der Wandstärke t = 20 mm und der Länge L = 4000 mm
erfährt unter dem Innendruck pi die radiale Weitung
∆R = 0.396 mm.
a) Wie groß ist der Innendruck pi ?
b) Wie groß sind die Spannungen in der Behälterwand?
c) Wie groß ist die Längenänderung?
Lösung:
a)Mit p = pi , R = Dm /2 und ∆T = 0 erhält man aus (7.56)
1 pi Dm /2
∆R
(2 − ν) = t =
2 E
t
Dm /2
Nach pi aufgelöst bleibt
E
∆R
t
pi = 2
2 − ν Dm /2 Dm /2
mit den Zahlenwerten erhält man: pi = 3 N/mm2
b)Kesselformel: σtt = pi Rt und σxx = 12 pi Rt
Mit R = Dm /2 bleibt: σtt = 120 N/mm2 und σxx = 60 N/mm2
c)Aus (7.55) folgt sofort
∆L
1 pi R
L = 2 E t (1 − 2 ν)
Mit den Zahlenwerten erhält man: ∆ L = 0.46588 mm
65
8 Spannungs- und Verformungszustände
y0 yφ
dy cos(φ)
8.1 Der zweiachsige
Spannungszustand
8.1.1 Beispiel
Wird ein dünnwandiger zylindrischer Behälter, der unter
dem Innendruck p = pi steht noch durch ein Torsionsmoment belastet, dann tritt an einem Volumenelement der
Länge dx der Breite dy und der Höhe t neben den Normalspannungen σxx und σy y noch die Schubspannung
τx y auf, Bild 8.1.
dy
dx
Mt
t
dy
xφ
φ
φ
τxy
0
σxx
σxxφ
τxy0
φ
τxy0
dy sin(φ)
x0
σyy0
Bild 8.2: Spannungen an einem
prismatischen Volumenelement
Sie sind für
Mt
pi
φ
x
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
0
σxx cos ϕ−τx y sin ϕ = σxx
cos ϕ+τx0y sin ϕ
σxx
τ
σyy τxy xy
σxx sin ϕ+τx y cos ϕ = σy0 y sin ϕ+τx0y cos ϕ
ϕ
y
z
ϕ
erfüllt. Nach σxx und τx y aufgelöst bleibt
ϕ
Bild 8.1: Spannungen in einem dünnwandigen zylindrischen Druck-Behälter, der zusätzlich auf Torsion belastet wird
Auf Grund der dünnwandigkeit können in z-Richtung
keine Spannungen auftreten σzz = 0, τxz = 0 und
τyz = 0. Die verbleibenden Spannungen σxx , σy y und
τx y kennzeichen einen zweiachsigen oder ebenen Spannungszustand.
8.1.2 Spannungen für verschiedene
Schnittrichtungen
Ein zweiachsiger Spannungszustand ist in den Schnit0 , σ0
trichtungen x0 und y0 durch die Spannungen σxx
yy
und τx0y bestimmt. Um die Spannungen in einer beliebigen Schnittrichtung zu erhalten, wird ein dünnes prismatisches Volumenelement mit dreieckiger Grundfläche
betrachtet, Bild 8.2.
Bezeichnet t die Dicke des prismatischen Volumenelements, dann liefert das Kräftegleichgewicht in x0 - und
y0 -Richtung die Beziehungen
ϕ
ϕ
σxx cos ϕ − τx y sin ϕ dy t
(8.1)
0
−σxx
dy cos ϕ t − τx0y dy sin ϕ t = 0
ϕ
ϕ
σxx sin ϕ + τx y cos ϕ dy t
(8.2)
−σy0 y dy sin ϕ t − τx0y dy cos ϕ t = 0
66
0
σxx = σxx
cos2 ϕ+σy0 y sin2 ϕ+2τx0y sin ϕ cos ϕ
(8.3)
ϕ
0
τx y = τx0y cos2 ϕ−sin2 ϕ − σxx
−σy0 y sin ϕ cos ϕ (8.4)
Mit den in Abschnitt 5.3.2 angegebenen trigonometrischen Beziehungen erhält man schließlich analog zu den
Beziehungen (5.35) und (5.37) die Ergebnisse
ϕ
1
1
σxx +σy y + σxx −σy y cos 2ϕ
2
2
+ τx y sin 2ϕ
σxx =
ϕ
τx y = τx y cos 2ϕ −
1
σxx −σy y sin 2ϕ
2
(8.5)
(8.6)
Dabei wurden trigonometrische Umformungen angewandt und der hochgestellte Index 0 zur Kennzeichnung
der Spannungen, die in Schnitten senkrecht zur x0 - und
y0 -Achse auftreten, wurde nicht mehr verwendet.
ϕ
Die Normalspannung σy y erhält man durch einen um
90◦ gedrehten Schnitt. Analog zu (5.36) erhält man
ϕ
1
1
σxx +σy y − σxx −σy y cos 2ϕ
2
2
− τx y sin 2ϕ
σy y =
(8.7)
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8.1.3 Hauptspannungen
Für die durch
tan 2ϕ? =
τx y
1
2
σxx −σy y
=
2τx y
σxx −σy y
(8.8)
bestimmte Schnittrichtung verschwindet die Schubspannung, τx y (ϕ?) = 0 und beide Normalspannungen σxx
sowie σy y erreichen wegen
dσ ∓2
=
σxx −σy y sin 2ϕ? ± 2τx y cos 2ϕ?
dϕ ϕ?
2
= ∓ σxx −σy y tan 2ϕ? ± 2τx y cos 2ϕ?
= ∓2τx y ± 2τx y cos 2ϕ? = 0
(8.9)
extremale Werte, die als Hauptspannungen bezeichnet
werden. Sie sind analog zu den Hauptflächenmomenten
durch
r
σ −σ 2
σxx +σy y
xx
yy
σ1,2 =
±
+ τx2y
(8.10)
2
2
gegeben. Da ein ebener Spannungszustand vorliegt, gibt
σ3 = 0 die dritte Hauptspannung an.
Bei räumlichen Spannungszuständen können die drei
Hauptspannungen σ1 , σ2 und σ3 analog zum Vorgehen
in Abschnitt 1.2.3.3 aus dem Eigenwertproblem (1.15)
ermittelt werden. Die nicht trivialen Lösungen des linearen und homogen Gleichungssystems (1.14) liefern
dann die aufeinander senkrechten Hauptspannungsrichtungen, die durch die Einheitsvektoren e1,0 , e2,0 und e3,0
im Koordinatensystem 0 definiert werden.
8.1.4 Maximale Schubspannungen
Die notwendige Bedingung für einen Extremwert der in
der x y-Ebene auftretenden Schubspannung
ϕ
dτx y 1 = −2τx y 2 sin 2ϕ − σxx −σy y 2 cos 2ϕ = 0
dϕ 2
(8.11)
liefert die durch
tan 2ϕ̄ = −
σxx −σy y
2τx y
(8.12)
festgelegte Schnittrichtung. Im Vergleich zu (8.8) sind
im Argument der Tangensfunktion Zähler und Nenner
vertauscht. Die Winkel 2ϕ̄ und 2ϕ? sind somit um 90◦
verschoben. Die durch
r
σ −σ 2
xx
yy
max/min
τx y
= ±
+τx2y
2
(8.13)
1
= ± (σ1 − σ2 )
2
gegebenen extremalen Schubspannungen treten also stets
in einem Schnitt auf, der um −45◦ zur Hauptspannungsrichtung gedreht ist. Die Normalspannungen verschwinden allerdings dabei nicht, sondern sind durch den mittleren Wert
ϕ̂
ϕ̂
σxx = σy y = 12 σxx +σy y = 12 (σ1 +σ2 ) = σm (8.14)
bestimmt.
Auch bei räumlichen Spannungszuständen gibt es ausgezeichnete Schnittrichtungen, die durch extremale Schubbeanspruchung gekennzeichnet sind. In Erweiterung zu
(8.13) ermittelt man die betragsmäßig maximale Schubspannung nun mit
τ max =
1
2
max (|σ1 −σ2 | , |σ2 −σ3 | , |σ3 −σ1 |)
(8.15)
aus allen möglichen Differenzen der Hauptspannungen.
8.1.5 Der Mohrsche Spannungskreis
Mit der in (8.14) definierten mittleren Spannung σm und
der Abkürzung
r
σ −σ 2
xx
yy
σR = τxmax
+τx2y
(8.16)
y =
2
sind die Hauptspannungen sehr einfach darstellbar
σ1,2 = σm ± σR
(8.17)
ϕ
Für die Normalspannung σ = σxx und die Schubspanϕ
nung τ = τx y , die in einer unter dem Winkel ϕ geneigten Schnittrichtung auftreten, erhält man dann ausgehend
von (8.5) und (8.6) die Beziehungen
τx y
σxx −σy y
cos 2ϕ +
sin 2ϕ (8.18)
σ = σm + σR
2 σR
σR
sowie
τ = σR
σxx −σy y
τx y
cos 2ϕ −
sin 2ϕ
σR
2 σR
(8.19)
Die Faktoren mit denen dabei die Winkelfunktionen
cos 2ϕ und sin 2ϕ multipliziert werden, können durch
die entsprechenden Winkelfunktionen der Hauptschnittrichtung ϕ? ersetzt werden
sin 2ϕ? =
τx y
σxx −σy y
und cos 2ϕ? =
σR
2 σR
(8.20)
Sie genügen der Beziehung (8.8) und erfüllen die trigonometrische Bedingung sin2 +cos2 = 1. Für die in (8.18)
und (8.19) angegebenen Spannungen erhält man dann
σ = σm + σR cos 2ϕ?cos 2ϕ+sin 2ϕ?sin 2ϕ
(8.21)
= σm + σR cos 2ϕ? −2ϕ
67
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τ = σR sin 2ϕ?cos 2ϕ − cos 2ϕ?sin 2ϕ
= σR sin 2ϕ? −2ϕ
(8.22)
wobei σm die mittlere Spannung bezeichnet und die Additionstheoreme cos x cos y + sin x sin y = cos(x−y) sowie sin x cos y − cos x sin y = sin(x − y) verwendet wurden. Die Beziehungen (8.21) und (8.22) entsprechen in
der σ-τ-Ebene der Parameterdarstellung eines Kreises
mit dem Mittelpunkt M in σ = σm und τ = 0 und dem
Radius σR .
Der nach Mohr benannte Spannungskreis ist für die Zah0 = 177 N/mm2 , σ
2
lenwerte σxx
y y = 84 N/mm und
0
2
τx y = 89 N/mm in Bild 8.3 dargestellt.
τ
τmax
100
80
σR
60
2φ
40
20
0
P0
σm
σ2
20
-20
φ
σyy
0
σyy
0
τxy
2φ
Pφ
φ
τxy
2φ* - 2φ
2φ*
M
0
σxx
φ
σxx
σ1 σ
2ϕ? = 62.4°, σ1 = 230.9 N/mm2, σ2 = 30.1 N/mm2
2ϕ̄ = −27.6° und
überein.
τmax = 100.4 N/mm2
8.2 Vergleichsspannungen
8.2.1 Bauteildimensionierung
Die Festigkeitsberechnung liefert bei räumlichen Spannungszuständen mit σxx , σx y , σxz , τx y , τxz und τyz sechs
Spannungen. Zur Dimensionierung eines Bauteils wird
deshalb eine Vergleichspannung σV benötigt, die in geeigneter Form
σxx, σx y, σxz, τx y, τxz, τyz ⇒ σV
(8.24)
den vorhandenen Spannungszustand so gut wie möglich
abbildet. Mit einem Sicherheitsbeiwert ν, der abhängig
von der Belastung, der Bauteilform, der Genauigkeit der
Berechnung mit Werten im Bereich 1 < ν < 10 angesetzt
wird, kann dann die Dimensionierung in der Form
ν σV ≤ σzul
-40
-60
-80
τmin = -τmax
-100
(8.25)
durchgeführt werden. Die zulässige Spannung σzul ist
dabei eine aus Versuchen ermittelte Kenngröße, die vom
Werkstoff und der Art der Belastung (statisch, dynamisch, wechselnd, schwellend) abhängt.
Bild 8.3: Der Mohrsche Spannungskreis
Ein Mohrscher Spannungskreis wird wie folgt konstruiert. Man startet mit dem Mittelpunkt M, der hier mit
σm =
0
σxx
+
2
σy0 y
=
177 + 84
= 130.5 N/mm2 (8.23)
2
gegeben ist. Nun wird der Punkt P0 mit den Koordinaten
0 und τ
0
σP0 = σxx
P 0 = τx y eingetragen. Die Punkte auf
dem Kreis um M mit dem Radius σR = MP0 liefern dann
ϕ
ϕ
ϕ
die Spannungszustände σxx , σy y und τx y für beliebige
Schnittrichtungen. Zu beachten ist dabei, dass alle Winkel ϕ, ϕ? und ϕ̄ ausgehend von der Bezugslinie MP0 in
Uhrzeigersinn positiv zu zählen sind. Die Schnittpunkte
des Mohrschen Kreises mit der σ- und der τ-Achse liefern die Hauptspannungen σ1,2 und die maximale Schubspannung ±τmax . Der Mohrsche Spannungskreis, der in
analoger Weise als Mohrscher Trägheitskreis auch für
die Flächenmomente 2. Grades verwendet werden kann,
verdeutlicht zweidimensionale Spannungszustände sehr
anschaulich.
Die aus der Grafik abgelesenen Werte
2ϕ? ≈ 60°, σ1 ≈ 230 N/mm2, σ2 ≈ 30 N/mm2
2ϕ̄ ≈ −30° und τmax ≈ ±100 N/mm2
stimmen recht gut mit den aus (8.8), (8.10), (8.12) und
(8.13) ermittelten Ergebnissen
68
8.2.2 Spannungsorientiert
8.2.2.1 Die Normalspannungshypothese
Bei spröden Materialien, wie Grauguss oder gehärteter
Stahl, ist meist die maximale Normalspannung für die
Zerstörung des Bauteils verantwortlich.
Die Normalspannungshypothese liefert dann mit
σVN = max (|σ1 | , |σ2 | , |σ3 |)
(8.26)
eine passende Vergleichsspannung. Häufig verzichtet
man auf die Betragsstriche und zieht je nach Belastung die maximale oder minimale Hauptspannung in Betracht.
Bei einem zweidimensionalen Spannungszustand kann
mit (8.10) die Vergleichspannung direkt aus den Spannungen σxx , σy y und τx y in einer beliebigen Schnittrichtung berechnet werden
q
2
1 N
2
σV2 =
σxx +σy y + σxx −σy y + 4 τx y
2
(8.27)
Technische Mechanik II (Festigkeitslehre)
Prof. Dr.-Ing. G. Rill
wobei der Faktor 21 aus der Wurzel herausgezogen und
dann als gemeinsamer Faktor ausgeklammert wurde.
8.2.3 Verformungsorientiert
Beim Zugstab ist der Spannungszustand in einem Schnitt
senkrecht zur Stabachse in trivialer Weise durch σxx = σ,
σy y = 0 und τx y = 0 gegeben. Die aus (8.10) errechnete
Vergleichspannung
p
σVNZ = 12 |σ| + σ 2 +0 = 12 (|σ|+|σ|) = |σ| (8.28)
8.2.3.1 Formänderungsarbeit
In Schnitten senkrecht zur Hauptspannungsrichtung wird
das Volumenelement dV = dx dy dz nur durch die Hauptspannungen σ1 , σ2 und σ3 belastet, Bild 8.4.
σ3
liefert dann auch das erwartete Ergebnis.
σ1
8.2.2.2 Die Schubspannungshypothese
Die maximale Schubspannung ist in vielen Fällen verantwortlich, wenn das Bauteil durch plastische Verformungen versagt oder ein spröder Werkstoff auf Druck beansprucht wird. Da in Schnittrichtungen mit maximaler
Schubspannung auch noch Normalspannungen auftreten,
kann die Vergleichspannung nicht einfach der maximalen Schubspannung gleichgesetzt werden, sondern wird
zunächst nur proportional zu ihr angesetzt
σVS = p τmax
=p
1
2
max (|σ1 −σ2 | , |σ2 −σ3 | , |σ3 −σ1 |)
(8.29)
wobei mit (8.15) die maximale Schubspannung auf die
Hauptspannungen σ1 , σ2 und σ3 zurückgeführt wurde.
Der Proportionalitätsfaktor p wird nun so gewählt, dass
man für den Zugstab mit σVS = σ wieder das erwartete
Ergebnis erhält. Mit σ1 = σ, σ2 = 0 und σ3 = 0 führt der
Ansatz (8.29) auf die Vergleichsspannung
σVS
=
p 21 max (|σ−0| ,
|0−0| , |0−σ|) =
p 12 σ
(8.30)
bestimmt. Bei einem zweidimensionalen Spannungszustand mit σ3 ≡ 0 vereinfacht sich (8.31) zu
σVS 2 = max {|σ1 −σ2 | , |σ2 | , |σ1 |}
(8.32)
Die Differenz der Hauptspannungen kann dann gemäß
(8.10) mit
r
σ −σ 2
xx
yy
σ1 − σ2 = 2
+ τx2y
2
(8.33)
q
2
σxx −σy y + 4 τx2y
=
auch noch auf die in der x y-Ebene wirkenden Spannungen σxx , σy y und τx y zurückgeführt werden.
ε2dy
σ1
σ2
ε1dx
dz
ε3dz
σ3
Bild 8.4: Hauptspannungen und Verformungen
Die auf das Volumen dV bezogene innere Arbeit, die
auch als spezifische Formänderungsenergie bezeichnet
wird, ist allgemein durch
∫
WV =
σ d
(8.34)
bestimmt. Die am räumlichen Volumenelement verrichtete spezifische innere Arbeit bzw. die spezifische Formänderungsenergie ist dann durch
∫
∫
∫
WV =
σ1 d1 +
σ2 d2 +
σ3 d3
(8.35)
gegeben. Das Hooksche Materialgesetz verknüpft die
Spannungen mit den Dehnungen. Es gilt dann auch
d1 =
d2 =
dz =
Die Forderung σVS = σ wird somit für p = 2 erfüllt.
Damit ist die Vergleichspannung gemäß der Schubspannungshypothese durch
σVS = 2 τmax = max (|σ1 −σ2 | , |σ2 −σ3 | , |σ3 −σ1 |)
(8.31)
dz
dx
dy
dx
σ2
dy
1
E
1
E
1
E
[dσ1 − ν (dσ2 + dσ3 )]
[dσ2 − ν (dσ3 + dσ1 )]
[dσ3 − ν (dσ1 + dσ2 )]
(8.36)
Damit können die Integrale in (8.35) mit den Grenzen
von jeweils 0 bis σ1 , σ2 und σ3 gelöst werden. Zusammengefasst bleibt
1
(σ1 + σ2 + σ3 )2
18K
(8.37)
1 2
2
2
(σ1 −σ2 ) +(σ2 −σ3 ) +(σ3 −σ1 )
+
12G
WV =
wobei die Querdehnzahl ν und der Elastizitätsmodul E
über
K=
E
3 (1 − 2ν)
und G =
E
2 (1 + ν)
(8.38)
im Kompressionsmodul K und im Schubmodul G zusammengefasst sind.
69
OTH Regensburg
Der erste Anteil der spezifischen Formänderungsarbeit
(8.37) beschreibt die zur Volumenänderung erforderliche Arbeit. Er verschwindet für inkompressible Stoffe,
die durch K → ∞ oder ν → 12 charakterisiert werden.
Der zweite Anteil kann der Gestaltänderung zugeordnet
werden.
Technische Mechanik II
σ ' τ '
und
1
2γ
Entsprechend (8.5) bis (8.7) gilt dann
ϕ
x = 12 x + y + 12 x − y cos 2ϕ
+ 12 γx y sin 2ϕ
8.2.3.2 Gestaltänderungshypothese
Nimmt man die Gestaltänderung als Maß für die Zerstörung des Werkstoffs, dann kann die Vergleichspannung
zunächst mit
q σVGE = p (σ1 −σ2 )2 +(σ2 −σ3 )2 +(σ3 −σ1 )2 (8.39)
angesetzt werden. Die Proportionalitätskonstante wird
wieder durch Vergleich mit dem durch σ1 = σ, σ2 = 0,
σ3 = 0 gegebenen einachsigen Spannungszustand und
σV = σ bestimmt. Mit dem aus
q GE
σV = σ = p σ12 + 0 + σ12
(8.40)
folgenden Wert p = 21 ist dann die Vergleichspannung
nach der Gestaltänderungshypothese durch
r
σVGE =
1
(σ1 −σ2 )2 +(σ2 −σ3 )2 +(σ3 −σ1 )2 (8.41)
2
ϕ
y =
−
1 ϕ
2 γx y
1
1
2 x + y − 2
1
2 γ x y sin 2ϕ
x − y cos 2ϕ
= 21 γx y cos 2ϕ −
1
2
x − y sin 2ϕ
(8.43)
(8.44)
(8.45)
(8.46)
wobei x , y , γx y die Dehnungen und die Verzerrung
in der ursprünglichen Schnittrichtung angeben und der
hochgestellte Index ϕ den Verformungszustand in der um
den Winkel ϕ gedrehten Schnittrichtung kennzeichnet.
Analog zu (8.8) treten dann die Hauptdehnungen in der
durch
1
2 γx y
?
tan 2ϕ =
1
2
x − y
=
γx y
x − y
(8.47)
bestimmten Schnittrichtung auf und sind in Analogie zu
(8.10) durch
s
2
− 2 1
x + y
x
y
1,2 =
±
+ γx y
(8.48)
2
2
2
gegeben. Die Vergleichspannung kann mit den Spannungen in beliebigen Schnittrichtungen ausgedrückt werden.
Für zweiachsige Spannungszustände erhält man
q
2
σxx −σy y +σxx σy y + 3 τx2y
σVGE
=
(8.42)
2
gegeben. Die extremale Verzerrung in der x y-Ebene tritt
analog zu (8.12) in der durch
Im Vergleich zu (8.32) wird hier mit dem Ersetzen von
einem τx2y durch den Term σxx σy y die Schubspannung
weniger stark gewichtet.
festgelegte Schnittrichtung auf. Entsprechend (8.13) erhält man
8.3 Der zweiachsige
Verformungszustand
8.3.1 Grundgleichungen
Die Elemente des Spannungstensors σ und des Verzerrungstensors oder Deformators D beschreiben allgemeine Spannungs- und Verformungszustände. Die Elemente
beider Tensoren sind in gleicher Weise von den Schnittrichtungen abhängig. Damit können die Ergebnisse aus
Abschnitt 8.1 analog auch für die Dehnungen und Verzerrungen angewendet werden. Vergleicht man die Elemente des Spannungstensors (1.12) mit den entsprechenden
Elementen im Verzerrungstensors (1.37) dann erkennt
man folgende Analogie
70
tan 2ϕ̄ = −
1 ext
1
γx y = ± (1 − 2 )
2
2
x − y
γx y
bzw.
(8.49)
γxext
y = ± (1 − 2 )
(8.50)
8.3.2 Auswertung gemessener Dehnungen
Dehnmessstreifen, die auf Bauteilen geklebt werden,
können Dehnungen in der Oberfläche des Bauteils messtechnisch erfassen. Drei in unterschiedlichen Richtungen
aufgeklebte Messstreifen reichen aus, um die Verformungen und die Verzerrung in der Oberfläche vollständig zu
beschreiben, Bild 8.5.
Technische Mechanik II (Festigkeitslehre)
εb
Prof. Dr.-Ing. G. Rill
y
Bei einem zweiachsigen Spannungszustand, der durch
σxx , 0, σy y , 0, σzz = 0, τx y , 0, τxz = 0 und τyz = 0
gekennzeichnet ist, können aus der Verzerrung γx y sowie den Dehnungen x und y auch noch die Spannungen
berechnet werden. Dazu wird das verallgemeinerte Hookesche Materialgesetz verwendet. Die Verzerrung γx y
liefert über
τx y = G γx y
(8.55)
εa
αb
αc
αa
x
εc
sofort die Schubspannung. Mit σzz = 0 und ∆T = 0
reduzieren sich die ersten beiden Gleichungen in (1.47)
auf
Bild 8.5: Anordnung von Dehnmessstreifen
Die Winkeln αa , αb und αc geben die Orientierung der
Messstreifen gegenüber der x-Richtung an. Die Dehnungen x , y und die Verzerrung γx y sind dann entsprechend
(8.44) über
i = 21 x + y + 21 x − y cos 2αi
(8.51)
+ 21 γx y sin 2αi, i = a, b, c
mit den in den Messstreifen gemessenen Dehnungen a ,
b und c verknüpft. Zusammengefasst bleibt mit
 1 cos 2αa sin 2αa 


 1 cos 2αb sin 2αb 


 1 cos 2αc sin 2αc 


 x + y   2 a 

 

 x − y  =  2 b 

 

 γ x y   2 c 

 

1 σxx − νσy y
E
1 σy y − νσxx
E
(8.56)
Nach den Spannungen aufgelöst erhält man.
x =
und
y =
E
x + ν y
2
1−ν
E
y + ν x
=
2
1−ν
σxx =
(8.57)
σy y
(8.58)
Ersetzt man die Dehnungen x und y durch die Hauptdehnungen 1 und 2 , dann liefern die Beziehungen (8.57)
und (8.58) direkt die die Hauptspannungen σ1 und σ2 .
(8.52)
ein linearen Gleichungsystems der Form Ax = b, das nach
den Dehnungen x , y und der Verzerrung γx y aufgelöst
werden kann.
y
εc
εb
45o
45o
y
εc
60o
εa
εb
60o
x
εa
x
Bild 8.6: Typische Dehnungsrosetten
Für die in Bild 8.6 dargestellten Sonderfälle kann das
Gleichungssystem sehr einfach gelöst werden.
αa = 0°
αb = 45°
αc = 90°
αa = 0°
αb = 60°
αc = 120°
=⇒
x = a
y = c
γx y = 2b − (a +c )
(8.53)
x = a
=⇒
y =
γx y =
1
3 (2b
√2 (b
3
+ 2c − a ) (8.54)
− c )
Anschließend können dann über (8.47) und (8.48) die
Hauptdehnungen 1 und 2 sowie deren Winkellage ϕ?
ermittelt werden.
71
OTH Regensburg
Technische Mechanik II
8.4.3 Dehnmessrosette
8.4 Übungen
8.4.1 Hohlprofil
Ein dünnwandiges Hohlprofil ist an einem Ende fest eingespannt und wird durch eine Einzelkraft F und die Streckenlast q(x) belastet.
2q0
Eine dünnwandige Rohrleitung mit dem Durchmesser
dm = 125 mm und der Wandstärke t = 5 mm wird
für eine Online-Überwachung der Belastungen auf der
Außenfläche mit einer Dehmmessrosette beklebt. Ein
Dehnmessstreifen zeigt dabei in axialer Richtung und
die beiden anderen sind um jeweils 45° gedreht angeordnet. Die Werkstoffkennwerte der Rohrleitung sind mit
E = 2 ∗ 105 N/mm2 und ν = 0.3 gegeben.
εc
P
Lösung:
− 2 q0 a2
1
b
− = 50 N/mm2
a)σxx x = 0, y = 0, z = − b = 23
3
2
2
3b t
F 3 b2 t
1
τxz x = 0, y = 0, z = − b = 2 4
= 27 N/mm2
3
2
3 b t 2t
ebener Spannungszustand in xz-Ebene wird mit
σxx = 50 N/mm2 , σy y = 0 und τx y = 27 N/mm2
in x y-Ebene abgebildet.
σ1 = 61.8 N/mm2 , σ2 = 11.8 N/mm2 , ϕ? = 23.6◦
y
dm
x
z
45o εb
45o
b)σVGE = 68.5 N/mm2
q0
y
εa
x
t
b
Die Beziehungen (7.55) und (7.56) liefern die Dehnungen
Lösung:
F
a
t
a) die Hauptspannungen nach Größe und Richtung
b) und die Vergleichsspannung nach der Hypothese der
Gestaltänderung.
8.4.2 T-Profil
t
F
x
a
b
Ein einseitig fest eingespanntes Bauteil mit dünnwandigem Querschnitt wird am freien Ende mit der Kraft F
belastet.
Lösung:
a)σ1 = 5.88 N/mm2 , σ2 = −16.99 N/mm2 , ϕ? = 30.47◦
b)σVN = 5.88 N/mm2
Für F = 2500 N, I y y = 225 ∗ 103 mm4 , a = 80 mm,
b = 60 mm, t = 5 mm und e = 12.5 mm sind für die Stelle
x = 0, y = 0 und z = e sind zu ermitteln:
a) die Hauptspannungen nach Größe und Richtung
b) und die Vergleichsspannung nach der Normalspannungshypothese.
72
t = y = 79.68 ∗ 10−5
Welche Dehnungen zeigen die Dehnmessstreifen an,
wenn die an beiden Enden abgeschlossene Rohrleitung
mit dem Innendruck pi = 1.5 bar beaufschlagt wird?
Mit den Zahlenwerten
F = 24 000 N, q0 = 20 N/mm,
a = 500 mm, b= 100 mm und t = 5 mm sind für den Punkt
P (x = 0, y = 0, z = − 21 b) zu ermitteln:
z
und
a = x = 18.75 ∗ 10−5
1
b =
x + y = 49.22 ∗ 10−5
2
c = y = 79.68 ∗ 10−5
b
y e
x = 18.75 ∗ 10−5
Bei einer reinen Druckbelastung treten keine Verzerrungen
auf. Mit den Winkeln αa = 0°, αb = 45° und αc = 90° erhält man über (8.51) die von den Messstreifen angezeigten
Dehnungen zu

Einstieg: (Umkehrfunktion) Anna behauptet: „Wie am Einheitskreis

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