(1) 関数 f(x) = x(x 2 ¡ 4x + 3) (1)

年 番号
1
4
次の問いに答えよ.
(1) 関数 f(x) = x(x2 ¡ 4x + 3) の極値を求めよ.
氏名
n を自然数とするとき,以下の問いに答えよ.
(1) 次の等式を示せ.
(2) k を定数とするとき,方程式 x x2 ¡ 4x + 3 = k の異なる実数解の個数を求めよ.
n+2 C3
+ n+2 C2 = n+3 C3
( 弘前大学 2016 )
(2) (1) の結果を利用して,数学的帰納法により,次の等式を証明せよ.
n
P
i=1
2
i+1 C2
= n+2 C3
f(x) = x2 ¡ 3x とする.次の問いに答えよ.
( 会津大学 2015 )
(1) ¡3 5 x 5 3 における f(x) の最大値と最小値を求めよ.
(2) 点 (3; ¡4) から放物線 y = f(x) に引いた接線の方程式を求めよ.
(3) 放物線 y = f(x) と (2) の接線で囲まれた図形の面積を求めよ.
( 秋田大学 2016 )
5
2 つの袋 A,B がある.袋 A には白玉が 2 つと,赤玉,青玉,黒玉が 1 つずつ,合計 5 つの玉が
入っている.袋 B には白玉と赤玉が 1 つずつ,青玉が 3 つの合計 5 つの玉が入っている.この
とき,以下の問いに答えよ.
3
B
1
1
= 2 を満たす数とし,An = tn + n ( n は自然数)とするとき,次の問いに答え
t
t
なさい.
tを t+
(1) A2 ; A3 ; A4 の値を求めなさい.
(1) 袋 A と袋 B から 1 つずつ玉を取り出すとき,同じ色になる確率を求めよ.
(2) 袋 A と袋 B から 1 つずつ玉を取り出すとき,異なる色になる確率を求めよ.
(3) 袋 A からは 1 つ,袋 B からは 3 つ同時に玉を取り出すとき,その 4 つの玉の色が 2 色以上にな
る確率を求めよ.
(2) n = 2 のとき,An+1 を An ; An¡1 を用いて表しなさい.
(4) 袋 A から 2 つ同時に玉を取り出し,袋 B からも 2 つ同時に玉を取り出すとき,その 4 つの玉の
(3) n = 3 のとき,An+2 を An¡2 を用いて表しなさい.
色がすべて異なる確率を求めよ.
(4) An のとりうる値をすべて求めなさい.
( 会津大学 2014 )
( 福島大学 2016 )
6
4ABC の外接円の中心を O とし ,半径を 1 とする.辺 BC の中点を P,辺 AB を 1 : 2 に内分
する点を Q とするとき,次の問いに答えよ.
10 a を正の定数とする.曲線 y = x3 ¡ ax を C とし,直線 y = b を ` とする.C と ` がちょうど
2 点を共有しているとき,以下の問いに答えよ.
! ¡! ¡
! ¡! ¡
!
¡! ¡
! ¡
! ¡
!
¡! ¡
(1) OA = a ,OB = b ,OC = c とおくとき,PQ を a , b , c を用いて表せ.
¡!
¡
! ¡
!
¡!
¡
! ¡
!
(2) (1) における PQ は, a + b と平行で向きが同じとする.jPQj : j a + b j = s : 1 とすると
¡
! ¡
! ¡
! ¡
!
¡
! ¡
!
き, a ¢ c と b ¢ c を,それぞれ a ¢ b と s を用いて表せ.
¡
! ¡
!
1
(3) (2) において,さらに s =
であるとき, a ¢ b の値を求めよ.
6
(1) b を a で表せ.
(2) a = 3 で b が正のとき,C と ` で囲まれる部分の面積を求めよ.
( 三重大学 2016 )
( 宇都宮大学 2015 )
7
n は整数の定数とし,P(x) = x(x + 1)(x + 5) とする.次の問いに答えよ.
(1) x についての 3 次方程式 P(x) = P(1) を解け.
(2) x についての 3 次方程式 P(x) = P(n) が異なる 3 つの実数解をもつとき,n の値を求めよ.
( 富山県立大学 2014 )
8
点 P は正三角形 ABC の辺に沿って頂点を移動できる.このとき,次の操作を考える.
( 操作)2 枚の硬貨を同時に投げる.表が 2 枚出れば,点 P は時計回りに隣の頂点に動く.
表が 1 枚だけ出れば,点 P は反時計回りに隣の頂点に動く.表が出なければ,点 P は動か
11 2 つの数列 fan g; fbn g を次のように定める.
a1 = 1;
b1 = 2;
an+1 = 2an + bn ;
2bn+1 = an + 3bn
(n = 1; 2; 3; Ý)
このとき,次の問に答えよ.
ない.
(1) cn = an + bn とおくとき,cn+1 と cn の関係式を求めよ.
この操作を続けて行うとき,次の問いに答えよ.ただし,点 P ははじめに頂点 A にあるとする.
(1) 2 回目の操作終了時に,点 P が頂点 A にある確率を求めよ.
(3) an ; bn をそれぞれ n を用いて表せ.
(2) 4 回目の操作終了時に,点 P が頂点 A にある確率を求めよ.
( 香川大学 2016 )
( 信州大学 2015 )
9
(2) cn を n を用いて表せ.
2
数列 fan g を a1 = 2; an+1 = an 26n (n = 1; 2; 3; Ý) で定める.次の問いに答えよ.
(1) bn = log2 an とし,fbn g の一般項を求めよ.
(2) 数列 fan g の一般項を求めよ.
(3) a10 の桁数を求めよ.ただし log10 2 = 0:3010 とする.
( 静岡大学 2011 )