(1) 関数 f(x) = x(x 2 ¡ 4x + 3) (1)

年番号
1
4
次の問いに答えよ．
(1) 関数 f(x) = x(x2 ¡ 4x + 3) の極値を求めよ．
氏名
n を自然数とするとき，以下の問いに答えよ．
(1) 次の等式を示せ．
(2) k を定数とするとき，方程式 x x2 ¡ 4x + 3 = k の異なる実数解の個数を求めよ．
n+2 C3
+ n+2 C2 = n+3 C3
（弘前大学 2016 ）
(2) (1) の結果を利用して，数学的帰納法により，次の等式を証明せよ．
n
P
i=1
2
i+1 C2
= n+2 C3
f(x) = x2 ¡ 3x とする．次の問いに答えよ．
（会津大学 2015 ）
(1) ¡3 5 x 5 3 における f(x) の最大値と最小値を求めよ．
(2) 点 (3; ¡4) から放物線 y = f(x) に引いた接線の方程式を求めよ．
(3) 放物線 y = f(x) と (2) の接線で囲まれた図形の面積を求めよ．
（秋田大学 2016 ）
5
2 つの袋 A，B がある．袋 A には白玉が 2 つと，赤玉，青玉，黒玉が 1 つずつ，合計 5 つの玉が
入っている．袋 B には白玉と赤玉が 1 つずつ，青玉が 3 つの合計 5 つの玉が入っている．この
とき，以下の問いに答えよ．
3
B
1
1
= 2 を満たす数とし，An = tn + n （ n は自然数）とするとき，次の問いに答え
t
t
なさい．
tを t+
(1) A2 ; A3 ; A4 の値を求めなさい．
(1) 袋 A と袋 B から 1 つずつ玉を取り出すとき，同じ色になる確率を求めよ．
(2) 袋 A と袋 B から 1 つずつ玉を取り出すとき，異なる色になる確率を求めよ．
(3) 袋 A からは 1 つ，袋 B からは 3 つ同時に玉を取り出すとき，その 4 つの玉の色が 2 色以上にな
る確率を求めよ．
(2) n = 2 のとき，An+1 を An ; An¡1 を用いて表しなさい．
(4) 袋 A から 2 つ同時に玉を取り出し，袋 B からも 2 つ同時に玉を取り出すとき，その 4 つの玉の
(3) n = 3 のとき，An+2 を An¡2 を用いて表しなさい．
色がすべて異なる確率を求めよ．
(4) An のとりうる値をすべて求めなさい．
（会津大学 2014 ）
（福島大学 2016 ）
6
4ABC の外接円の中心を O とし，半径を 1 とする．辺 BC の中点を P，辺 AB を 1 : 2 に内分
する点を Q とするとき，次の問いに答えよ．
10 a を正の定数とする．曲線 y = x3 ¡ ax を C とし，直線 y = b を ` とする．C と ` がちょうど
2 点を共有しているとき，以下の問いに答えよ．
! ¡! ¡
! ¡! ¡
!
¡! ¡
! ¡
! ¡
!
¡! ¡
(1) OA = a ，OB = b ，OC = c とおくとき，PQ を a ， b ， c を用いて表せ．
¡!
¡
! ¡
!
¡!
¡
! ¡
!
(2) (1) における PQ は， a + b と平行で向きが同じとする．jPQj : j a + b j = s : 1 とすると
¡
! ¡
! ¡
! ¡
!
¡
! ¡
!
き， a ¢ c と b ¢ c を，それぞれ a ¢ b と s を用いて表せ．
¡
! ¡
!
1
(3) (2) において，さらに s =
であるとき， a ¢ b の値を求めよ．
6
(1) b を a で表せ．
(2) a = 3 で b が正のとき，C と ` で囲まれる部分の面積を求めよ．
（三重大学 2016 ）
（宇都宮大学 2015 ）
7
n は整数の定数とし，P(x) = x(x + 1)(x + 5) とする．次の問いに答えよ．
(1) x についての 3 次方程式 P(x) = P(1) を解け．
(2) x についての 3 次方程式 P(x) = P(n) が異なる 3 つの実数解をもつとき，n の値を求めよ．
（富山県立大学 2014 ）
8
点 P は正三角形 ABC の辺に沿って頂点を移動できる．このとき，次の操作を考える．
（操作）2 枚の硬貨を同時に投げる．表が 2 枚出れば，点 P は時計回りに隣の頂点に動く．
表が 1 枚だけ出れば，点 P は反時計回りに隣の頂点に動く．表が出なければ，点 P は動か
11 2 つの数列 fan g; fbn g を次のように定める．
a1 = 1;
b1 = 2;
an+1 = 2an + bn ;
2bn+1 = an + 3bn
(n = 1; 2; 3; Ý)
このとき，次の問に答えよ．
ない．
(1) cn = an + bn とおくとき，cn+1 と cn の関係式を求めよ．
この操作を続けて行うとき，次の問いに答えよ．ただし，点 P ははじめに頂点 A にあるとする．
(1) 2 回目の操作終了時に，点 P が頂点 A にある確率を求めよ．
(3) an ; bn をそれぞれ n を用いて表せ．
(2) 4 回目の操作終了時に，点 P が頂点 A にある確率を求めよ．
（香川大学 2016 ）
（信州大学 2015 ）
9
(2) cn を n を用いて表せ．
2
数列 fan g を a1 = 2; an+1 = an 26n (n = 1; 2; 3; Ý) で定める．次の問いに答えよ．
(1) bn = log2 an とし，fbn g の一般項を求めよ．
(2) 数列 fan g の一般項を求めよ．
(3) a10 の桁数を求めよ．ただし log10 2 = 0:3010 とする．
（静岡大学 2011 ）

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