3 次の各問いに答えよ。（1） ABC において，AB = 2，∠BAC = 60

3 □
次の各問いに答えよ。
（1）△ ABC において，AB = 2，∠BAC = 60°，∠ABC = 45° であるとき，△ ABC の外接円の
半径を求めよ。
（2）tan 2𝜃 = 2 2 0° < 𝜃 < 45° であるとき，sin 𝜃 の値を求めよ。
:
（3）cos 𝛼 + cos𝛽 = cos 𝛼 cos 𝛽 = −
0° < 𝛼 < 𝛽 < 180° であるとき，sin 𝛽 − 𝛼 の値を求めよ。
:;
（4）𝑥𝑦 平面上に 2 直線 𝑦 = 2𝑥，𝑦 = 𝑎𝑥 𝑎 > 2 があり，2 直線のなす角を 𝜃 0° < 𝜃 < 90° とおく
:
と，tan 𝜃 = となる。このとき，𝑎 の値を求めよ。
C
（はじめに）
3 角形に関する問題では，実際にその 3 角形の図を書くことを強くお勧めします！
（1）△ ABC において，AB = 2，∠BAC = 60°，∠ABC = 45° であるとき，△ ABC の外接円の
半径を求めよ。
＜解説＞
A
（はじめに）に従って，まず △ ABC において与えられた条件を図で表すと
60°
√2
右図のようになります．
「3 角形の内角の和 = 180°」ですから，右図より
45°
B
∠ACB = 180° − 60° + 45° = 75° となりますよね！？
一方，この問題において求めるのは △ ABC の外接円の半径なのですが，3 角形の外接円の半径
と言えば，正弦定理ですよね！？
ですから，求める外接円の半径を R とすると
正弦定理より
EF
GHI∠EJF
=
;
GHIKL°
= 2R
∴R=
;
;GHIKL°
C
…①
次に，この sin75° の値についてですが，75° = 45° + 30° ですから，加法定理を用いれば
sin75° の値が求まりますよね！？
サインについての加法定理の基本形は sin 𝛼 + 𝛽 = sin𝛼cos𝛽 +cos𝛼 sin𝛽 ですから
この式の 𝛼 のところに 𝛼 = 45°，𝛽 のところに 𝛽 = 30° を代入すると
sin75° = sin 45° + 30° = sin 45° cos30° + cos 45° sin 30° =
;
;
∙
C
;
+
; :
;
∙ =
ります．
よって，この sin75° =
R=
;
UV W
;∙
X
=
RS ;
T
; ;
RS ;
=
を①に代入して
; ;
RS ;
RY ;
RY ;
よって，求める外接円の半径は
=
;∙ :;YT
T
=
;∙; CYT
3 − 1 です．
T
= 3−1
;
RS ;
T
と sin75° の値が求ま
（2）tan 2𝜃 = 2 2 0° < 𝜃 < 45° であるとき，sin 𝜃 の値を求めよ。
（はじめに）
サイン，コサイン，タンジェントの相互関係について説明致します．
（ア）まず，sin 𝜃 と cos 𝜃 との間には cos ; 𝜃 + sin; 𝜃 = 1 …①という関係がありますよね！？
ですから sin 𝜃 と cos 𝜃 のうち，一方の値が分かれば，もう一方の値が求まります．
:
:
例えば sin 𝜃 = と sin 𝜃 の値が分かっているとき，この sin 𝜃 = を①に代入すると
;
: ;
cos ; 𝜃 +
;
（※ cos 𝜃 = ±
;
C
= 1 より cos ; 𝜃 = ∴ cos 𝜃 = ±
T
C
;
:
また例えば cos 𝜃 =
: ;
C
C
とは，cos 𝜃 の値が
または −
;
C
;
C
と cos 𝜃 の値が求まりますよね！？
であることを意味します．以下同じ）
;
と cos 𝜃 の値が分かっているとき，この cos 𝜃 =
C
\
; ;
]
C
+ sin; 𝜃 = 1 より sin; 𝜃 = ∴ sin 𝜃 = ±
:
を①に代入すると
C
と sin 𝜃 の値が求まりますよね！？
つまり，sin 𝜃 と cos 𝜃 のうち，一方の値が分かれば，それを①に代入することによって，もう
一方の値が求まります．
（イ）一方，sin 𝜃 と cos 𝜃 との間に成り立つ式である cos ; 𝜃 + sin; 𝜃 = 1 の両辺を cos ; 𝜃 で割ること
により（途中で tan 𝜃 =
GHI ^
_`G ^
であることを用いて） 1 + tan; 𝜃 =
:
_`GW ^
…②という式が導かれます
がこの式により cos 𝜃 と tan 𝜃 のうち，一方の値が分かれば，もう一方の値が求まります．
:
:
例えば cos 𝜃 = と cos 𝜃 の値が分かっているとき，この cos 𝜃 = を②に代入すると
;
:
1 + tan; 𝜃 =
a W
W
;
すなわち 1 + tan; 𝜃 = 4 より tan; 𝜃 = 3 ∴ tan 𝜃 = ± 3
と tan 𝜃 の値が求まります．
また例えば tan 𝜃 =
: ;
1+
C
:
C
=
と tan 𝜃 の値が分かっているとき，この tan 𝜃 =
:
_`GW ^
:
すなわち
_`GW ^
=
:b
]
より cos ; 𝜃 =
]
:b
:
を②に代入すると
C
∴ cos 𝜃 = ±
C
:b
と cos 𝜃 の値が求まります．
つまり，cos 𝜃 と tan 𝜃 のうち，一方の値が分かれば，それを②に代入することによって，もう一
方の値が求まります．
よって，
（ア），
（イ）より sin 𝜃，cos 𝜃，tan 𝜃 のうち，どれか 1 つの値が分かれば，残りの 2 つの値が
求まります．
:
:
例えば sin 𝜃 = と sin 𝜃 の値が分かっているとき，この sin 𝜃 = を①に代入することにより
;
;
cos 𝜃 +
: ;
;
;
C
;
= 1 より cos 𝜃 = ∴ cos 𝜃 = ±
T
残りの tan 𝜃 については tan 𝜃 =
GHI ^
C
と cos 𝜃 の値が求まります．
;
を用いることにより tan 𝜃 =
_`G ^
a
W
±
c
W
=±
:
C
と tan 𝜃 の値
が求まります．
:
:
また例えば cos 𝜃 = とcos 𝜃 の値が分かっているとき，このcos 𝜃 = を①に代入することにより
C
: ;
C
;
;
\
; ;
]
C
+ sin 𝜃 = 1 より sin 𝜃 = ∴ sin 𝜃 = ±
C
残りの tan 𝜃 については tan 𝜃 =
GHI ^
_`G ^
と sin 𝜃 の値が求まります．
を用いることにより tan 𝜃 =
±
W W
c
a
c
= ±2 2 と tan 𝜃 の
値が求まります．
:
:
さらに例えば tan 𝜃 = と tan 𝜃 の値が分かっているとき，この tan 𝜃 = を②に代入すること
;
;
により
: ;
1+
;
=
:
_`GW ^
すなわち
:
_`GW ^
=
L
T
と cos 𝜃 の値が求まり，この求まった cos 𝜃 = ±
±
;
L
;
;
;
:
T
より cos ; 𝜃 = ∴ cos 𝜃 = ±
;
L
L
L
を①に代入することにより
+ sin 𝜃 = 1 より sin 𝜃 = ∴ sin 𝜃 = ±
L
;
:
L
と sin 𝜃 の値が求まります．
このようにsin 𝜃，cos 𝜃，tan 𝜃のうち，どれか 1 つの値が分かれば，残りの 2 つの値が求まります．
これを一般論として言えば
ある角度について，その角度が 30°や 60°や 100° …，あるいは 𝜃や 2𝜃や 3𝜃 …，あるいは
𝛼や𝛽や𝛾 であろうと，その角度についてのサイン，コサイン，タンジェントのうち，どれか 1 つ
の値が分かれば
その角度についての残りの 2 つの値が求まります．
つまり，cos 100° の値が分かれば sin 100° ，tan100° の値が求まりますし
tan2𝜃 の値が分かれば sin 2𝜃 ，cos2𝜃 の値が求まりますし
sin 𝛾 の値が分かれば cos 𝛾 ，tan𝛾 の値が求まります．
この「ある角度について，サイン，コサイン，タンジェントのうち，どれか 1 つの値が分かれば
その角度についての残りの 2 つの値が求まる」
ということは極めて重要ですので，キッチリと頭の中に入れて，いつでも活用できるようにして
下さい！
（2）tan 2𝜃 = 2 2 0° < 𝜃 < 45° であるとき，sin 𝜃 の値を求めよ。
＜解説＞
（はじめに）に従って考えると tan 2𝜃 = 2 2 と tan 2𝜃 の値が与えられている（分かっている）ので
これにより（残りの 2 つである）sin 2𝜃 と cos 2𝜃 の値が求まります．
sin 2𝜃 と cos 2𝜃 との間に成り立つ式：cos ; 2𝜃 + sin; 2𝜃 = 1 の両辺を cos ; 2𝜃 で割ることによって
導かれる式：1 + tan; 2𝜃 =
:
_`GW ;^
（途中で tan 2𝜃 =
に tan 2𝜃 = 2 2 を代入すると 1 + 2 2
これにより 9 =
:
;
;
すなわち cos 2𝜃 =
_`GW ;^
=
:
]
:
_`GW ;^
GHI ;^
_`G ;^
であることを用いました）
となります．
であることが分かります．
ここで 0° < 𝜃 < 45° より 0° < 2𝜃 < 90° ですから cos 2𝜃 > 0 が成り立ちます．よって cos 2𝜃 =
:
C
＜補足＞ある範囲内の角度があって（ここでは0° < 2𝜃 < 90°），その範囲内におけるコサイン，サ
インの符号についての考え方については（ここでは cos 2𝜃 ， sin 2𝜃 の符号についての考
え方），実際の授業では，単位円の図を用いて詳しく解説致しますが，紙面上で図の意味
を文章で説明すると，かえってややこしくなる可能性がありますので，ここでは省略させ
てもらいます．
さらに sin 2𝜃 と cos 2𝜃 との間に成り立つ式：cos ; 2𝜃 + sin; 2𝜃 = 1 に，この cos ; 2𝜃 =
;
ことにより sin 2𝜃 =
\
]
:
]
を代入する
であることが分かります．
ここで 0° < 2𝜃 < 90° ですから sin 2𝜃 > 0 が成り立ちます．よって sin 2𝜃 =
; ;
C
ここで，この問題において求めるのは sin 𝜃 の値です．
cos 2𝜃 や sin 2𝜃 と sin 𝜃 との間に成り立つ式には
2 倍角の公式として
cos 2𝜃 = cos ; 𝜃 − sin; 𝜃
cos 2𝜃 = 1 − 2 sin; 𝜃
sin 2𝜃 = 2 sin 𝜃 cos 𝜃
があります．
これら 3 つの式のうち cos 2𝜃 や sin 2𝜃 の値が分かっているときに sin𝜃 の値を求めるのに
適しているのは cos 2𝜃 = 1 − 2 sin; 𝜃 ですよね！？
cos 2𝜃 = cos ; 𝜃 − sin; 𝜃 や sin 2𝜃 = 2 sin 𝜃 cos 𝜃 を用いて，sin 𝜃 の値を求めるには
他に cos 𝜃 の値を求める必要があります．
ですから，2 倍角の公式：cos 2𝜃 = 1 − 2 sin; 𝜃 を用いて，これに cos 2𝜃 =
:
C
;
;
= 1 − 2 sin 𝜃 ∴ sin 𝜃 =
sin𝜃 =
:
C
=
C
C
:
C
:
C
を代入すると
ここで 0° < 𝜃 < 45° ですから sin𝜃 > 0 が成り立つので
となります．よって，求める sin𝜃 の値は sin𝜃 =
＜補足＞上の＜解説＞では sin𝜃 =
別に有理化せずに sin𝜃 =
:
√C
:
√C
=
√C
C
C
C
です．
と有理化しましたが
と，そのまま解答用紙に書いても構いません．
（別解）
tan 2𝜃 =
GHI ;^
_`G ;^
;
ですから tan 2𝜃 = 2 2 のとき
GHI ;^
_`G ;^
;
= 2 2 が成り立ちます．
ここで cos 2𝜃 + sin; 2𝜃 = 1 ですから，この cos 2𝜃 + sin; 2𝜃 = 1 を用いるために
GHI ;^
_`G ;^
= 2 2 の両辺に cos 2𝜃 をかけて sin 2𝜃 = 2 2 cos 2𝜃 と変形してから
;
両辺を 2 乗すると sin; 2𝜃 = 2 2 cos ; 2𝜃 すなわち sin; 2𝜃 = 8 cos ; 2𝜃 が得られます．
これを cos ; 2𝜃 + sin; 2𝜃 = 1 に代入すると cos ; 2𝜃 + 8 cos ; 2𝜃 = 1 となり
:
9 cos ; 2𝜃 = 1 より cos ; 2𝜃 = であることが分かります．
]
ここで 0° < 𝜃 < 45° より 0° < 2𝜃 < 90° ですから cos 2𝜃 > 0 が成り立ちます．よって cos 2𝜃 =
さらに 2 倍角の公式より cos 2𝜃 = 1 − 2 sin; 𝜃 ですから cos 2𝜃 =
:
C
= 1 − 2 sin; 𝜃 すなわち sin; 𝜃 =
:
C
:
C
:
C
のとき
であることが分かります．
ここで 0° < 𝜃 < 45° ですから sin 𝜃 > 0 が成り立つので sin 𝜃 =
:
C
=
C
C
…とする方法もあります．
（3）cos 𝛼 + cos𝛽 = cos 𝛼 cos 𝛽 = −
:
:;
0° < 𝛼 < 𝛽 < 180° であるとき，sin 𝛽 − 𝛼 の値を求めよ。
＜解説＞
この問題は cos 𝛼 + cos𝛽 = cos 𝛼 cos 𝛽 = −
cos 𝛼 + cos𝛽 = −
:
:;
:
，すなわち
:;
， cos 𝛼 cos 𝛽 = −
:
という条件から cos 𝛼 ， cos 𝛽 の値をいかにして
:;
求めるか！？が問われている問題と言えるでしょう．
:
確かに…代入法，すなわち cos 𝛼 + cos𝛽 = −
から cos 𝛽 = −
:
これを cos 𝛼 cos 𝛽 = −
:
;
cos 𝛼 +
:;
cos 𝛼 −
:
:;
:;
:;
に代入して cos 𝛼 −
そして，cos 𝛼 =
T
cos 𝛼 = −
C
− cos 𝛼 = −
:;
とし
= 0 すなわち 12 cos 𝛼 + cos 𝛼 − 1 = 0 とし
のとき cos 𝛽 = −
:
:;
− cos 𝛼 とし
;
4cos 𝛼 − 1 3cos 𝛼 + 1 = 0 より cos 𝛼 =
:
:
:
:;
:
:
:;
のとき cos 𝛽 = −
:
T
または −
− cos 𝛼 = −
:
:;
:
:;
− cos 𝛼 = −
よって cos 𝛼 ， cos 𝛽 =
:
T
，−
:
C
:
C
．
:
:
T
C
:
− =−
:
− −
:;
:
， − ，
:
C
ところが 0° < 𝛼 < 𝛽 < 180° より cos 𝛼 ， cos 𝛽 = − ，
よって cos 𝛼 =
:
T
，cos 𝛽 = −
C
:
:
T
C
:
=
:
T
．
T
は不適．＜補足＞
C
…という方法でも cos 𝛼 ， cos 𝛽 の値を求めることができますし，この方法で cos 𝛼 ， cos 𝛽 の
値を求めても減点されることはありません．
しかし，出題者は，皆さんが「解と係数の関係」をきちんとマスターできてるか！？を試そうと
しているハズです．
解と係数の関係は，本来
「2 次方程式 𝑎𝑥 ; + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑎 0 の 2 つの解を 𝛼，𝛽 とすると
g
i
h
h
𝛼 + 𝛽 = − ，𝛼𝛽 =
が成り立つ」
というものですが，これを逆に言えば
「𝛼 + 𝛽 = 𝑠，𝛼𝛽 = 𝑡 のとき 𝛼，𝛽 を解にもつ 2 次方程式は 𝑥 ; − 𝑠𝑥 + 𝑡 = 0 と表せる」
ということが言えますよね！？
:
:
ですから「解と係数の関係」を用いれば cos 𝛼 + cos𝛽 = −
，cos 𝛼 cos 𝛽 = −
のとき
cos 𝛼 ， cos 𝛽 を解にもつ 2 次方程式は 𝑥 ; +
:
:;
𝑥−
:
:;
:;
:;
= 0 と表せます．
:
:
T
C
この式の両辺に 12 をかけて因数分解すると 4𝑥 − 1 3𝑥 + 1 = 0 ∴ 𝑥 = ， −
:
ここで 0° < 𝛼 < 𝛽 < 180° ですから cos 𝛼 = ， cos 𝛽 = −
T
ここまでをまとめると cos 𝛼 + cos𝛽 = cos 𝛼 cos 𝛽 = −
:
:
T
C
cos 𝛼 = ， cos 𝛽 = −
:
:;
:
C
であることが分かります．＜補足＞
0° < 𝛼 < 𝛽 < 180° であることから
であることが分かりました．
一方，この問題において求めるのは sin 𝛽 − 𝛼 の値です．
:
:
cos 𝛼 = ， cos 𝛽 = − であることから，例えば 𝛽 − 𝛼 = 30° と 𝛽 − 𝛼 の値が求まれば
T
C
良いのですが，それはムリですよね！？
ですから sin 𝛽 − 𝛼 については，加法定理を用います．
サインについての加法定理の基本形は sin 𝛼 + 𝛽 = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽 ですよね！？
この式において 𝛼 と 𝛽 とを入れ換え，両辺の＋（プラス）を－（マイナス）に変えることによって
sin 𝛽 − 𝛼 = sin 𝛽 cos 𝛼 − cos 𝛽 sin 𝛼 …①が得られます．
この sin 𝛽 − 𝛼 = sin 𝛽 cos 𝛼 − cos 𝛽 sin 𝛼 を用いて sin 𝛽 − 𝛼 の値を求めるのですが
:
:
今，分かっているのは cos 𝛼 = ， cos 𝛽 = − であることです．
T
C
よって①を用いて sin 𝛽 − 𝛼 の値を求めるには，さらに sin 𝛼 と sin 𝛽 の値を求める必要があります．
今，cos 𝛼 と cos 𝛽 の値が分かっているので
sin 𝛼 の値を求めるには sin 𝛼 と cos 𝛼 との間に成り立つ式：cos ; 𝛼 + sin; 𝛼 = 1 を用い
sin 𝛽 の値を求めるには sin 𝛽 と cos 𝛽 との間に成り立つ式：cos ; 𝛽 + sin; 𝛽 = 1 を用いれば
sin 𝛼 と sin 𝛽 の値が求まりますよね！？
従って cos ; 𝛼 + sin; 𝛼 = 1 に cos 𝛼 =
:
を代入すると
T
: ;
T
+ sin; 𝛼 = 1 ∴ sin; 𝛼 =
:L
:R
ここで 0° < 𝛼 < 𝛽 < 180° ですから sin 𝛼 > 0， sin 𝛽 > 0 です．よって sin 𝛼 =
また cos ; 𝛽 + sin; 𝛽 = 1 に cos 𝛽 = −
sin 𝛽 > 0 であることから sin 𝛽 =
:
つまり，cos 𝛼 = ， cos 𝛽 = −
T
sin 𝛼 =
:L
T
:
C
:
C
; ;
を代入すると
−
: ;
C
+ sin; 𝛽 = 1 ∴ sin; 𝛽 =
:L
T
＜補足＞
\
]
C
であることから
， sin 𝛽 =
; ;
C
であることが分かりました．
あとは①にこれらの値を代入するだけです．
よって sin 𝛽 − 𝛼 = sin 𝛽 cos 𝛼 − cos 𝛽 sin 𝛼 =
sin 𝛽 − 𝛼 =
; ;S :L
:;
; ; :
C
∙ − −
T
:
C
∙
:L
T
=
; ;S :L
:;
より
となります．
:
:
C
T
＜補足＞なぜ 0° < 𝛼 < 𝛽 < 180° のとき lcos 𝛼 ， cos 𝛽m = n− ， o は不適であるか！？
:
また 0° < 𝛼 < 𝛽 < 180° のとき，なぜ cos 𝛼 = ， cos 𝛽 = −
T
:
C
となるか！？
さらに 0° < 𝛼 < 𝛽 < 180° のとき，なぜ sin 𝛼 > 0， sin 𝛽 > 0 となるか！？
については，実際の授業では，単位円の図を用いて詳しく解説致しますが
紙面上で図の意味を文章で説明すると，かえってややこしくなる可能性がありますので
ここでは省略させてもらいます．
（※）実際の試験においては，𝛼 + 𝛽，𝛼𝛽 の値が与えられたとき
「解と係数の関係」を用いて 𝛼，𝛽 の値を求めるようにして下さい．
（4）𝑥𝑦 平面上に 2 直線 𝑦 = 2𝑥，𝑦 = 𝑎𝑥 𝑎 > 2 があり，2 直線のなす角を 𝜃 0° < 𝜃 < 90° とおく
:
と，tan 𝜃 = となる。このとき，𝑎 の値を求めよ。
C
（はじめに）
直線の傾きと tan 𝜃 との関係について説明致します．
右図のように，傾きが 𝑚 である直線 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 と x 軸とのなす角を 𝜃 とすると
直線 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 上の点 P は（P から Q へと）x 軸方向に 1 だけ進むと
y 軸方向には（Q から R へと）𝑚 だけ進むので
右図の 3 角形 PQR において tan 𝜃 =
rs
ts
=
u
:
=𝑚
𝑦
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛
R
P
𝜃
1
𝑚
Q
𝑛
𝜃
𝑥
0
すなわち 𝑚 = tan 𝜃 が成り立ちます．
つまり，（直線の傾き） = tan 𝜃 となります．
この（直線の傾き） = tan 𝜃 というとらえ方は xy 平面上において
“直線のなす角”を考えるときに非常に役立ちますので，しっかりと頭の中に刻み込んでおいて下さい．
𝑦
＜解説＞
𝑦 = 𝑎𝑥
（はじめに）に従って考えると
直線 𝑦 = 2𝑥 と x 軸とのなす角を 𝛼 とすると
𝑦 = 2𝑥
直線 𝑦 = 2𝑥 の傾きは 2 ですから tan 𝛼 = 2 となります．
𝛽
また，直線 𝑦 = 𝑎𝑥 と x 軸とのなす角を 𝛽 とすると
𝜃
𝛼
𝑥
直線 𝑦 = 𝑎𝑥 の傾きは 𝑎 ですから tan 𝛽 = 𝑎 となります．
0
そして，これらのことを図で表すと，右図のようになります．
（※メンドウかも知れませんが，図はきちんと書いて下さい．また図を書く際には 𝑎 > 2 であることに
注意して下さい）
ここで，問題文にあるように 𝑦 = 2𝑥 と 𝑦 = 𝑎𝑥 とのなす角を 𝜃 とすると，右図より 𝜃 = 𝛽 − 𝛼 と表
せますよね！？
:
この問題では tan 𝜃 = とタンジェントについての条件が与えられているので，タンジェントについて
C
考えると
:
:
𝜃 = 𝛽 − 𝛼 であることから tan 𝜃 = のとき tan 𝛽 − 𝛼 = が成り立ちます．
C
C
ここまでをまとめると
直線 𝑦 = 2𝑥 と x 軸とのなす角を 𝛼 とし，直線 𝑦 = 𝑎𝑥 と x 軸とのなす角を 𝛽 とすると
:
:
tan 𝛼 = 2， tan 𝛽 = 𝑎 が成り立ち，tan 𝜃 = であることから，この 𝛼，𝛽 について tan 𝛽 − 𝛼 = が
C
C
成り立つことが分かりました．
この問題において求めるのは 𝑎 の値ですから，
tan 𝛼 = 2， tan 𝛽 = 𝑎， tan 𝛽 − 𝛼 =
:
C
であることを用いて 𝑎 の値を求めます．
まず tan 𝛽 − 𝛼 についてですが 𝛽 − 𝛼 の値が分かりませんので tan 𝛽 − 𝛼 に加法定理を用います．
タンジェントについての加法定理の基本形は tan 𝛼 + 𝛽 =
vwI xSvwI y
:YvwI x vwI y
ですよね！？
この式において 𝛼と𝛽 とを入れ換え，両辺の＋（プラス）を－（マイナス）に，－（マイナス）を＋（プ
ラス）に変えることによって tan 𝛽 − 𝛼 =
vwI yYvwI x
:SvwI y vwI x
が得られます．
この式に tan 𝛼 = 2， tan 𝛽 = 𝑎 を代入すると tan 𝛽 − 𝛼 =
ここで tan 𝛽 − 𝛼 =
:
C
ですから
hY;
:S;h
=
:
C
hY;
:S;h
となります．
が成り立ちます．
よって 3 𝑎 − 2 = 1 + 2𝑎 より 𝑎 = 7 と 𝑎 の値が求まります．
これが求める 𝑎 の値です．
（まとめ）
このように，ある直線（例えば 𝑦 = 2𝑥）と x 軸とのなす角は
（直線の傾き） = tan 𝜃 とカンタンにとらえることができます．
（𝑦 = 2𝑥 と x 軸とのなす角を 𝜃 とすると 𝑦 = 2𝑥 の傾きは 2 ですから 2 = tan 𝜃 となります）
しかし，2 つの直線（例えば 𝑦 = 3𝑥と𝑦 = 2𝑥）のなす角を一気にとらえることはできません．
（𝑦 = 3𝑥と𝑦 = 2𝑥 とのなす角を一気にとらえることはできません）
ですから，2 つの直線がそれぞれ x 軸とのなす角を文字でおきかえ，その差をとるのです．
（傾きが 3 である 𝑦 = 3𝑥 と x 軸とのなす角を 𝛼，傾きが 2 である 𝑦 = 2𝑥 と x 軸とのなす角を 𝛽 と
すると
3 = tan 𝛼 ，2 = tan 𝛽 が成り立ち 𝑦 = 3𝑥と𝑦 = 2𝑥 とのなす角は 𝛼 − 𝛽 となります）
ですから，今後 2 つの直線のなす角について考える際には
まず，それぞれの直線が x 軸とのなす角を 𝛼，𝛽 などの文字でおきかえて下さい！
そうすれば，l一方の直線の傾きm = tan 𝛼 ，lもう一方の直線の傾きm = tan 𝛽 が成り立ち
2 つの直線のなす角については |𝛼 − 𝛽|と表せますから…
＜補足＞2 つの直線のなす角が負になることはありません．𝛼 − 𝛽 と表すと 𝛼 < 𝛽 のとき 𝛼 − 𝛽
は負となります．ですから |𝛼 − 𝛽| と絶対値記号を用いて表しました．

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