3 □ 次の各問いに答えよ。 (1)△ ABC において,AB = 2,∠BAC = 60°,∠ABC = 45° であるとき,△ ABC の外接円の 半径を求めよ。 (2)tan 2𝜃 = 2 2 0° < 𝜃 < 45° であるとき,sin 𝜃 の値を求めよ。 : (3)cos 𝛼 + cos𝛽 = cos 𝛼 cos 𝛽 = − 0° < 𝛼 < 𝛽 < 180° であるとき,sin 𝛽 − 𝛼 の値を求めよ。 :; (4)𝑥𝑦 平面上に 2 直線 𝑦 = 2𝑥,𝑦 = 𝑎𝑥 𝑎 > 2 があり,2 直線のなす角を 𝜃 0° < 𝜃 < 90° とおく : と,tan 𝜃 = となる。このとき,𝑎 の値を求めよ。 C (はじめに) 3 角形に関する問題では,実際にその 3 角形の図を書くことを強くお勧めします! (1)△ ABC において,AB = 2,∠BAC = 60°,∠ABC = 45° であるとき,△ ABC の外接円の 半径を求めよ。 <解説> A (はじめに)に従って,まず △ ABC において与えられた条件を図で表すと 60° √2 右図のようになります. 「3 角形の内角の和 = 180°」ですから,右図より 45° B ∠ACB = 180° − 60° + 45° = 75° となりますよね!? 一方,この問題において求めるのは △ ABC の外接円の半径なのですが,3 角形の外接円の半径 と言えば,正弦定理ですよね!? ですから,求める外接円の半径を R とすると 正弦定理より EF GHI∠EJF = ; GHIKL° = 2R ∴R= ; ;GHIKL° C …① 次に,この sin75° の値についてですが,75° = 45° + 30° ですから,加法定理を用いれば sin75° の値が求まりますよね!? サインについての加法定理の基本形は sin 𝛼 + 𝛽 = sin𝛼cos𝛽 +cos𝛼 sin𝛽 ですから この式の 𝛼 のところに 𝛼 = 45°,𝛽 のところに 𝛽 = 30° を代入すると sin75° = sin 45° + 30° = sin 45° cos30° + cos 45° sin 30° = ; ; ∙ C ; + ; : ; ∙ = ります. よって,この sin75° = R= ; UV W ;∙ X = RS ; T ; ; RS ; = を①に代入して ; ; RS ; RY ; RY ; よって,求める外接円の半径は = ;∙ :;YT T = ;∙; CYT 3 − 1 です. T = 3−1 ; RS ; T と sin75° の値が求ま (2)tan 2𝜃 = 2 2 0° < 𝜃 < 45° であるとき,sin 𝜃 の値を求めよ。 (はじめに) サイン,コサイン,タンジェントの相互関係について説明致します. (ア)まず,sin 𝜃 と cos 𝜃 との間には cos ; 𝜃 + sin; 𝜃 = 1 …①という関係がありますよね!? ですから sin 𝜃 と cos 𝜃 のうち,一方の値が分かれば,もう一方の値が求まります. : : 例えば sin 𝜃 = と sin 𝜃 の値が分かっているとき,この sin 𝜃 = を①に代入すると ; : ; cos ; 𝜃 + ; (※ cos 𝜃 = ± ; C = 1 より cos ; 𝜃 = ∴ cos 𝜃 = ± T C ; : また例えば cos 𝜃 = : ; C C とは,cos 𝜃 の値が または − ; C ; C と cos 𝜃 の値が求まりますよね!? であることを意味します.以下同じ) ; と cos 𝜃 の値が分かっているとき,この cos 𝜃 = C \ ; ; ] C + sin; 𝜃 = 1 より sin; 𝜃 = ∴ sin 𝜃 = ± : を①に代入すると C と sin 𝜃 の値が求まりますよね!? つまり,sin 𝜃 と cos 𝜃 のうち,一方の値が分かれば,それを①に代入することによって,もう 一方の値が求まります. (イ)一方,sin 𝜃 と cos 𝜃 との間に成り立つ式である cos ; 𝜃 + sin; 𝜃 = 1 の両辺を cos ; 𝜃 で割ること により(途中で tan 𝜃 = GHI ^ _`G ^ であることを用いて) 1 + tan; 𝜃 = : _`GW ^ …②という式が導かれます がこの式により cos 𝜃 と tan 𝜃 のうち,一方の値が分かれば,もう一方の値が求まります. : : 例えば cos 𝜃 = と cos 𝜃 の値が分かっているとき,この cos 𝜃 = を②に代入すると ; : 1 + tan; 𝜃 = a W W ; すなわち 1 + tan; 𝜃 = 4 より tan; 𝜃 = 3 ∴ tan 𝜃 = ± 3 と tan 𝜃 の値が求まります. また例えば tan 𝜃 = : ; 1+ C : C = と tan 𝜃 の値が分かっているとき,この tan 𝜃 = : _`GW ^ : すなわち _`GW ^ = :b ] より cos ; 𝜃 = ] :b : を②に代入すると C ∴ cos 𝜃 = ± C :b と cos 𝜃 の値が求まります. つまり,cos 𝜃 と tan 𝜃 のうち,一方の値が分かれば,それを②に代入することによって,もう一 方の値が求まります. よって, (ア), (イ)より sin 𝜃,cos 𝜃,tan 𝜃 のうち,どれか 1 つの値が分かれば,残りの 2 つの値が 求まります. : : 例えば sin 𝜃 = と sin 𝜃 の値が分かっているとき,この sin 𝜃 = を①に代入することにより ; ; cos 𝜃 + : ; ; ; C ; = 1 より cos 𝜃 = ∴ cos 𝜃 = ± T 残りの tan 𝜃 については tan 𝜃 = GHI ^ C と cos 𝜃 の値が求まります. ; を用いることにより tan 𝜃 = _`G ^ a W ± c W =± : C と tan 𝜃 の値 が求まります. : : また例えば cos 𝜃 = とcos 𝜃 の値が分かっているとき,このcos 𝜃 = を①に代入することにより C : ; C ; ; \ ; ; ] C + sin 𝜃 = 1 より sin 𝜃 = ∴ sin 𝜃 = ± C 残りの tan 𝜃 については tan 𝜃 = GHI ^ _`G ^ と sin 𝜃 の値が求まります. を用いることにより tan 𝜃 = ± W W c a c = ±2 2 と tan 𝜃 の 値が求まります. : : さらに例えば tan 𝜃 = と tan 𝜃 の値が分かっているとき,この tan 𝜃 = を②に代入すること ; ; により : ; 1+ ; = : _`GW ^ すなわち : _`GW ^ = L T と cos 𝜃 の値が求まり,この求まった cos 𝜃 = ± ± ; L ; ; ; : T より cos ; 𝜃 = ∴ cos 𝜃 = ± ; L L L を①に代入することにより + sin 𝜃 = 1 より sin 𝜃 = ∴ sin 𝜃 = ± L ; : L と sin 𝜃 の値が求まります. このようにsin 𝜃,cos 𝜃,tan 𝜃のうち,どれか 1 つの値が分かれば,残りの 2 つの値が求まります. これを一般論として言えば ある角度について,その角度が 30°や 60°や 100° …,あるいは 𝜃や 2𝜃や 3𝜃 …,あるいは 𝛼や𝛽や𝛾 であろうと,その角度についてのサイン,コサイン,タンジェントのうち,どれか 1 つ の値が分かれば その角度についての残りの 2 つの値が求まります. つまり,cos 100° の値が分かれば sin 100° ,tan100° の値が求まりますし tan2𝜃 の値が分かれば sin 2𝜃 ,cos2𝜃 の値が求まりますし sin 𝛾 の値が分かれば cos 𝛾 ,tan𝛾 の値が求まります. この「ある角度について,サイン,コサイン,タンジェントのうち,どれか 1 つの値が分かれば その角度についての残りの 2 つの値が求まる」 ということは極めて重要ですので,キッチリと頭の中に入れて,いつでも活用できるようにして 下さい! (2)tan 2𝜃 = 2 2 0° < 𝜃 < 45° であるとき,sin 𝜃 の値を求めよ。 <解説> (はじめに)に従って考えると tan 2𝜃 = 2 2 と tan 2𝜃 の値が与えられている(分かっている)ので これにより(残りの 2 つである)sin 2𝜃 と cos 2𝜃 の値が求まります. sin 2𝜃 と cos 2𝜃 との間に成り立つ式:cos ; 2𝜃 + sin; 2𝜃 = 1 の両辺を cos ; 2𝜃 で割ることによって 導かれる式:1 + tan; 2𝜃 = : _`GW ;^ (途中で tan 2𝜃 = に tan 2𝜃 = 2 2 を代入すると 1 + 2 2 これにより 9 = : ; ; すなわち cos 2𝜃 = _`GW ;^ = : ] : _`GW ;^ GHI ;^ _`G ;^ であることを用いました) となります. であることが分かります. ここで 0° < 𝜃 < 45° より 0° < 2𝜃 < 90° ですから cos 2𝜃 > 0 が成り立ちます.よって cos 2𝜃 = : C <補足>ある範囲内の角度があって(ここでは0° < 2𝜃 < 90°),その範囲内におけるコサイン,サ インの符号についての考え方については(ここでは cos 2𝜃 , sin 2𝜃 の符号についての考 え方),実際の授業では,単位円の図を用いて詳しく解説致しますが,紙面上で図の意味 を文章で説明すると,かえってややこしくなる可能性がありますので,ここでは省略させ てもらいます. さらに sin 2𝜃 と cos 2𝜃 との間に成り立つ式:cos ; 2𝜃 + sin; 2𝜃 = 1 に,この cos ; 2𝜃 = ; ことにより sin 2𝜃 = \ ] : ] を代入する であることが分かります. ここで 0° < 2𝜃 < 90° ですから sin 2𝜃 > 0 が成り立ちます.よって sin 2𝜃 = ; ; C ここで,この問題において求めるのは sin 𝜃 の値です. cos 2𝜃 や sin 2𝜃 と sin 𝜃 との間に成り立つ式には 2 倍角の公式として cos 2𝜃 = cos ; 𝜃 − sin; 𝜃 cos 2𝜃 = 1 − 2 sin; 𝜃 sin 2𝜃 = 2 sin 𝜃 cos 𝜃 があります. これら 3 つの式のうち cos 2𝜃 や sin 2𝜃 の値が分かっているときに sin𝜃 の値を求めるのに 適しているのは cos 2𝜃 = 1 − 2 sin; 𝜃 ですよね!? cos 2𝜃 = cos ; 𝜃 − sin; 𝜃 や sin 2𝜃 = 2 sin 𝜃 cos 𝜃 を用いて,sin 𝜃 の値を求めるには 他に cos 𝜃 の値を求める必要があります. ですから,2 倍角の公式:cos 2𝜃 = 1 − 2 sin; 𝜃 を用いて,これに cos 2𝜃 = : C ; ; = 1 − 2 sin 𝜃 ∴ sin 𝜃 = sin𝜃 = : C = C C : C : C を代入すると ここで 0° < 𝜃 < 45° ですから sin𝜃 > 0 が成り立つので となります.よって,求める sin𝜃 の値は sin𝜃 = <補足>上の<解説>では sin𝜃 = 別に有理化せずに sin𝜃 = : √C : √C = √C C C C です. と有理化しましたが と,そのまま解答用紙に書いても構いません. (別解) tan 2𝜃 = GHI ;^ _`G ;^ ; ですから tan 2𝜃 = 2 2 のとき GHI ;^ _`G ;^ ; = 2 2 が成り立ちます. ここで cos 2𝜃 + sin; 2𝜃 = 1 ですから,この cos 2𝜃 + sin; 2𝜃 = 1 を用いるために GHI ;^ _`G ;^ = 2 2 の両辺に cos 2𝜃 をかけて sin 2𝜃 = 2 2 cos 2𝜃 と変形してから ; 両辺を 2 乗すると sin; 2𝜃 = 2 2 cos ; 2𝜃 すなわち sin; 2𝜃 = 8 cos ; 2𝜃 が得られます. これを cos ; 2𝜃 + sin; 2𝜃 = 1 に代入すると cos ; 2𝜃 + 8 cos ; 2𝜃 = 1 となり : 9 cos ; 2𝜃 = 1 より cos ; 2𝜃 = であることが分かります. ] ここで 0° < 𝜃 < 45° より 0° < 2𝜃 < 90° ですから cos 2𝜃 > 0 が成り立ちます.よって cos 2𝜃 = さらに 2 倍角の公式より cos 2𝜃 = 1 − 2 sin; 𝜃 ですから cos 2𝜃 = : C = 1 − 2 sin; 𝜃 すなわち sin; 𝜃 = : C : C : C のとき であることが分かります. ここで 0° < 𝜃 < 45° ですから sin 𝜃 > 0 が成り立つので sin 𝜃 = : C = C C …とする方法もあります. (3)cos 𝛼 + cos𝛽 = cos 𝛼 cos 𝛽 = − : :; 0° < 𝛼 < 𝛽 < 180° であるとき,sin 𝛽 − 𝛼 の値を求めよ。 <解説> この問題は cos 𝛼 + cos𝛽 = cos 𝛼 cos 𝛽 = − cos 𝛼 + cos𝛽 = − : :; : ,すなわち :; , cos 𝛼 cos 𝛽 = − : という条件から cos 𝛼 , cos 𝛽 の値をいかにして :; 求めるか!?が問われている問題と言えるでしょう. : 確かに…代入法,すなわち cos 𝛼 + cos𝛽 = − から cos 𝛽 = − : これを cos 𝛼 cos 𝛽 = − : ; cos 𝛼 + :; cos 𝛼 − : :; :; :; に代入して cos 𝛼 − そして,cos 𝛼 = T cos 𝛼 = − C − cos 𝛼 = − :; とし = 0 すなわち 12 cos 𝛼 + cos 𝛼 − 1 = 0 とし のとき cos 𝛽 = − : :; − cos 𝛼 とし ; 4cos 𝛼 − 1 3cos 𝛼 + 1 = 0 より cos 𝛼 = : : : :; : : :; のとき cos 𝛽 = − : T または − − cos 𝛼 = − : :; : :; − cos 𝛼 = − よって cos 𝛼 , cos 𝛽 = : T ,− : C : C . : : T C : − =− : − − :; : , − , : C ところが 0° < 𝛼 < 𝛽 < 180° より cos 𝛼 , cos 𝛽 = − , よって cos 𝛼 = : T ,cos 𝛽 = − C : : T C : = : T . T は不適.<補足> C …という方法でも cos 𝛼 , cos 𝛽 の値を求めることができますし,この方法で cos 𝛼 , cos 𝛽 の 値を求めても減点されることはありません. しかし,出題者は,皆さんが「解と係数の関係」をきちんとマスターできてるか!?を試そうと しているハズです. 解と係数の関係は,本来 「2 次方程式 𝑎𝑥 ; + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑎 0 の 2 つの解を 𝛼,𝛽 とすると g i h h 𝛼 + 𝛽 = − ,𝛼𝛽 = が成り立つ」 というものですが,これを逆に言えば 「𝛼 + 𝛽 = 𝑠,𝛼𝛽 = 𝑡 のとき 𝛼,𝛽 を解にもつ 2 次方程式は 𝑥 ; − 𝑠𝑥 + 𝑡 = 0 と表せる」 ということが言えますよね!? : : ですから「解と係数の関係」を用いれば cos 𝛼 + cos𝛽 = − ,cos 𝛼 cos 𝛽 = − のとき cos 𝛼 , cos 𝛽 を解にもつ 2 次方程式は 𝑥 ; + : :; 𝑥− : :; :; :; = 0 と表せます. : : T C この式の両辺に 12 をかけて因数分解すると 4𝑥 − 1 3𝑥 + 1 = 0 ∴ 𝑥 = , − : ここで 0° < 𝛼 < 𝛽 < 180° ですから cos 𝛼 = , cos 𝛽 = − T ここまでをまとめると cos 𝛼 + cos𝛽 = cos 𝛼 cos 𝛽 = − : : T C cos 𝛼 = , cos 𝛽 = − : :; : C であることが分かります.<補足> 0° < 𝛼 < 𝛽 < 180° であることから であることが分かりました. 一方,この問題において求めるのは sin 𝛽 − 𝛼 の値です. : : cos 𝛼 = , cos 𝛽 = − であることから,例えば 𝛽 − 𝛼 = 30° と 𝛽 − 𝛼 の値が求まれば T C 良いのですが,それはムリですよね!? ですから sin 𝛽 − 𝛼 については,加法定理を用います. サインについての加法定理の基本形は sin 𝛼 + 𝛽 = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽 ですよね!? この式において 𝛼 と 𝛽 とを入れ換え,両辺の+(プラス)を-(マイナス)に変えることによって sin 𝛽 − 𝛼 = sin 𝛽 cos 𝛼 − cos 𝛽 sin 𝛼 …①が得られます. この sin 𝛽 − 𝛼 = sin 𝛽 cos 𝛼 − cos 𝛽 sin 𝛼 を用いて sin 𝛽 − 𝛼 の値を求めるのですが : : 今,分かっているのは cos 𝛼 = , cos 𝛽 = − であることです. T C よって①を用いて sin 𝛽 − 𝛼 の値を求めるには,さらに sin 𝛼 と sin 𝛽 の値を求める必要があります. 今,cos 𝛼 と cos 𝛽 の値が分かっているので sin 𝛼 の値を求めるには sin 𝛼 と cos 𝛼 との間に成り立つ式:cos ; 𝛼 + sin; 𝛼 = 1 を用い sin 𝛽 の値を求めるには sin 𝛽 と cos 𝛽 との間に成り立つ式:cos ; 𝛽 + sin; 𝛽 = 1 を用いれば sin 𝛼 と sin 𝛽 の値が求まりますよね!? 従って cos ; 𝛼 + sin; 𝛼 = 1 に cos 𝛼 = : を代入すると T : ; T + sin; 𝛼 = 1 ∴ sin; 𝛼 = :L :R ここで 0° < 𝛼 < 𝛽 < 180° ですから sin 𝛼 > 0, sin 𝛽 > 0 です.よって sin 𝛼 = また cos ; 𝛽 + sin; 𝛽 = 1 に cos 𝛽 = − sin 𝛽 > 0 であることから sin 𝛽 = : つまり,cos 𝛼 = , cos 𝛽 = − T sin 𝛼 = :L T : C : C ; ; を代入すると − : ; C + sin; 𝛽 = 1 ∴ sin; 𝛽 = :L T <補足> \ ] C であることから , sin 𝛽 = ; ; C であることが分かりました. あとは①にこれらの値を代入するだけです. よって sin 𝛽 − 𝛼 = sin 𝛽 cos 𝛼 − cos 𝛽 sin 𝛼 = sin 𝛽 − 𝛼 = ; ;S :L :; ; ; : C ∙ − − T : C ∙ :L T = ; ;S :L :; より となります. : : C T <補足>なぜ 0° < 𝛼 < 𝛽 < 180° のとき lcos 𝛼 , cos 𝛽m = n− , o は不適であるか!? : また 0° < 𝛼 < 𝛽 < 180° のとき,なぜ cos 𝛼 = , cos 𝛽 = − T : C となるか!? さらに 0° < 𝛼 < 𝛽 < 180° のとき,なぜ sin 𝛼 > 0, sin 𝛽 > 0 となるか!? については,実際の授業では,単位円の図を用いて詳しく解説致しますが 紙面上で図の意味を文章で説明すると,かえってややこしくなる可能性がありますので ここでは省略させてもらいます. (※)実際の試験においては,𝛼 + 𝛽,𝛼𝛽 の値が与えられたとき 「解と係数の関係」を用いて 𝛼,𝛽 の値を求めるようにして下さい. (4)𝑥𝑦 平面上に 2 直線 𝑦 = 2𝑥,𝑦 = 𝑎𝑥 𝑎 > 2 があり,2 直線のなす角を 𝜃 0° < 𝜃 < 90° とおく : と,tan 𝜃 = となる。このとき,𝑎 の値を求めよ。 C (はじめに) 直線の傾きと tan 𝜃 との関係について説明致します. 右図のように,傾きが 𝑚 である直線 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 と x 軸とのなす角を 𝜃 とすると 直線 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 上の点 P は(P から Q へと)x 軸方向に 1 だけ進むと y 軸方向には(Q から R へと)𝑚 だけ進むので 右図の 3 角形 PQR において tan 𝜃 = rs ts = u : =𝑚 𝑦 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 R P 𝜃 1 𝑚 Q 𝑛 𝜃 𝑥 0 すなわち 𝑚 = tan 𝜃 が成り立ちます. つまり,(直線の傾き) = tan 𝜃 となります. この(直線の傾き) = tan 𝜃 というとらえ方は xy 平面上において “直線のなす角”を考えるときに非常に役立ちますので,しっかりと頭の中に刻み込んでおいて下さい. 𝑦 <解説> 𝑦 = 𝑎𝑥 (はじめに)に従って考えると 直線 𝑦 = 2𝑥 と x 軸とのなす角を 𝛼 とすると 𝑦 = 2𝑥 直線 𝑦 = 2𝑥 の傾きは 2 ですから tan 𝛼 = 2 となります. 𝛽 また,直線 𝑦 = 𝑎𝑥 と x 軸とのなす角を 𝛽 とすると 𝜃 𝛼 𝑥 直線 𝑦 = 𝑎𝑥 の傾きは 𝑎 ですから tan 𝛽 = 𝑎 となります. 0 そして,これらのことを図で表すと,右図のようになります. (※メンドウかも知れませんが,図はきちんと書いて下さい.また図を書く際には 𝑎 > 2 であることに 注意して下さい) ここで,問題文にあるように 𝑦 = 2𝑥 と 𝑦 = 𝑎𝑥 とのなす角を 𝜃 とすると,右図より 𝜃 = 𝛽 − 𝛼 と表 せますよね!? : この問題では tan 𝜃 = とタンジェントについての条件が与えられているので,タンジェントについて C 考えると : : 𝜃 = 𝛽 − 𝛼 であることから tan 𝜃 = のとき tan 𝛽 − 𝛼 = が成り立ちます. C C ここまでをまとめると 直線 𝑦 = 2𝑥 と x 軸とのなす角を 𝛼 とし,直線 𝑦 = 𝑎𝑥 と x 軸とのなす角を 𝛽 とすると : : tan 𝛼 = 2, tan 𝛽 = 𝑎 が成り立ち,tan 𝜃 = であることから,この 𝛼,𝛽 について tan 𝛽 − 𝛼 = が C C 成り立つことが分かりました. この問題において求めるのは 𝑎 の値ですから, tan 𝛼 = 2, tan 𝛽 = 𝑎, tan 𝛽 − 𝛼 = : C であることを用いて 𝑎 の値を求めます. まず tan 𝛽 − 𝛼 についてですが 𝛽 − 𝛼 の値が分かりませんので tan 𝛽 − 𝛼 に加法定理を用います. タンジェントについての加法定理の基本形は tan 𝛼 + 𝛽 = vwI xSvwI y :YvwI x vwI y ですよね!? この式において 𝛼と𝛽 とを入れ換え,両辺の+(プラス)を-(マイナス)に,-(マイナス)を+(プ ラス)に変えることによって tan 𝛽 − 𝛼 = vwI yYvwI x :SvwI y vwI x が得られます. この式に tan 𝛼 = 2, tan 𝛽 = 𝑎 を代入すると tan 𝛽 − 𝛼 = ここで tan 𝛽 − 𝛼 = : C ですから hY; :S;h = : C hY; :S;h となります. が成り立ちます. よって 3 𝑎 − 2 = 1 + 2𝑎 より 𝑎 = 7 と 𝑎 の値が求まります. これが求める 𝑎 の値です. (まとめ) このように,ある直線(例えば 𝑦 = 2𝑥)と x 軸とのなす角は (直線の傾き) = tan 𝜃 とカンタンにとらえることができます. (𝑦 = 2𝑥 と x 軸とのなす角を 𝜃 とすると 𝑦 = 2𝑥 の傾きは 2 ですから 2 = tan 𝜃 となります) しかし,2 つの直線(例えば 𝑦 = 3𝑥と𝑦 = 2𝑥)のなす角を一気にとらえることはできません. (𝑦 = 3𝑥と𝑦 = 2𝑥 とのなす角を一気にとらえることはできません) ですから,2 つの直線がそれぞれ x 軸とのなす角を文字でおきかえ,その差をとるのです. (傾きが 3 である 𝑦 = 3𝑥 と x 軸とのなす角を 𝛼,傾きが 2 である 𝑦 = 2𝑥 と x 軸とのなす角を 𝛽 と すると 3 = tan 𝛼 ,2 = tan 𝛽 が成り立ち 𝑦 = 3𝑥と𝑦 = 2𝑥 とのなす角は 𝛼 − 𝛽 となります) ですから,今後 2 つの直線のなす角について考える際には まず,それぞれの直線が x 軸とのなす角を 𝛼,𝛽 などの文字でおきかえて下さい! そうすれば,l一方の直線の傾きm = tan 𝛼 ,lもう一方の直線の傾きm = tan 𝛽 が成り立ち 2 つの直線のなす角については |𝛼 − 𝛽|と表せますから… <補足>2 つの直線のなす角が負になることはありません.𝛼 − 𝛽 と表すと 𝛼 < 𝛽 のとき 𝛼 − 𝛽 は負となります.ですから |𝛼 − 𝛽| と絶対値記号を用いて表しました.
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