Sn = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n (1) 数列 fang の一般項が

1
a を実数とする．円 x2 + y2 ¡ 4x ¡ 8y + 15 = 0 と直線 y = ax + 1 が異なる 2 点 A，B で交
4
わっている．
数列 fan g の初項から第 n 項までの和 Sn が
Sn = n 4 + 6n 3 + 11n 2 + 6n
(1) a の値の範囲を求めなさい．
(2) 弦 AB の長さが最大になるときの a の値を求めなさい．
で表されるとする．
(3) 弦 AB の長さが 2 になるときの a の値を求めなさい．
（大分大学 2015 ）
(1) 数列 fan g の一般項が an = 4n(n + 1)(n + 2) であることを示しなさい．
1
(n = 1; 2; 3; Ý) によって定まる数列 fbn g の初項から第 n 項までの和 Tn を n の
(2) bn =
an
式で表しなさい．
（大分大学 2015 ）
2
4ABC において，辺 AB を 2 : 1 に内分する点を P，辺 AC を 1 : 2 に内分する点を Q とし，辺
BC 上に点 R があるとする．
(1) 線分 PQ の中点を M とし，点 A，M，R が一直線上にあるとき，BR : RC を求めなさい．
(2) 4ABC の重心 G と 4PRQ の重心 H が一致するとき，BR : RC を求めなさい．
(3) 直線 AR，BQ，CP が一点で交わるとき，BR : RC を求めなさい．
5
k > 0 とし，f(x) = x(x + k)(x + 2k) とおく．曲線 y = f(x) を C とする．
(1) 関数 f(x) は異なる 2 つの極値をもつことを示しなさい．
(2) 曲線 C 上の極値をとる点を P，Q とする．線分 PQ の中点 R の座標を求めなさい．
(3) 点 R が曲線 C 上にあることを示し，点 R における曲線 C の接線の方程式を求めなさい．
（大分大学 2014 ）
（大分大学 2015 ）
6
3
k を実数とする．関数 y = x(x ¡ 1) のグラフと直線 y = kx が異なる 3 点を共有している．
p
原点 O を中心とする半径 2 2 の球面 S 上に 3 点 A，B，C があり，
¡! ¡!
OA ¢ OB = 4;
¡! ¡!
OB ¢ OC = 5;
¡! ¡!
OC ¢ OA = 6
これらで囲まれた 2 つの部分の面積の和を S とする．
をみたしている．三角形 ABC の重心を G とし，直線 OG と球面 S の交点のうち G から遠い方
(1) k の値の範囲を求めなさい．
を P とする．
(2) S を k の式で表しなさい．
(3) S が最小になるときの k の値を求めなさい．
（大分大学 2015 ）
¡!
¡!
(1) jOAj，jOGj の値を求めなさい．
¡! ¡! ¡! ¡!
(2) OP を OA，OB，OC を用いて表しなさい．
¡! ¡!
(3) OA と OP のなす角を求めなさい．
（大分大学 2014 ）
7
100 から 999 までの自然数の集合を全体集合 U とし，そのうち 14 で割ると 3 余るものの集合を
A，9 の倍数の集合を B とおく．
(1) A; B の要素の個数を求めなさい．
(2) A \ B の要素のうち，最小のものと最大のものを求めなさい．
(3) U の要素が 1 つずつ書かれた玉の入った袋から玉を 2 個取り出す．このとき，2 個の玉に書か
れている数がいずれも 14 で割ると 3 余り，かつ 9 で割り切れない場合の確率を求めなさい．
（大分大学 2014 ）
8
a; b を実数とし，f(x) = 22x¡1 ¡ a ¢ 2x + b とおく．
(1) a = 3; b = 4 のとき，方程式 f(x) = 0 の解を求めなさい．
(2) a > 0; b = 0 のとき，方程式 f(x) = 0 の解を求めなさい．
(3) 方程式 f(x) = 0 が異なる 2 つの実数解をもつとき，点 (a; b) の表す領域を図示しなさい．
（大分大学 2014 ）
9
n を 9 以上の自然数とする．袋の中に n 個の球が入っている．このうち 6 個は赤球で残りは白球
である．この袋から 6 個の球を同時に取り出すとき，3 個が赤球である確率を Pn とする．
(1) P10 を求めなさい．
Pn+1
(2)
を求めなさい．
Pn
(3) Pn が最大となる n を求めなさい．
（大分大学 2013 ）
10 連立不等式 W
y = 2x ¡ 3
y5x
の表す領域を D とする．
(1) 領域 D を図示しなさい．
(2) a を 2 でない正の定数とする．点 (x; y) が領域 D 内を動くとき，ax + y の最大値と最小値，
およびそのときの点 (x; y) を求めなさい．
(3) 点 (x; y) が領域 D 内を動くとき，x2 + y2 の最小値とそのときの点 (x; y) を求めなさい．
（大分大学 2013 ）

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