数理科学特論B2 §12 ストークスの定理演習問題学生番号氏名

数理科学特論 B2 §12 ストークスの定理演習問題
学生番号
氏名
スカラーを表す文字 (A, B, C, . . . ) とベクトルをあらわす文字 (A, B, C, . . . ) を必ず使い分けるこ
と. また, スカラー倍 kA, 内積 A · B, 外積 A × B の記号も使い分けること. 混同して使用した場合
は不正解とする.
課題 ∫
r · dr = 0 を示せ.
問題 1. r = (x, y, z) とし, 曲面 S の境界を C とする. ストークスの定理により
C
問題 2.∫D を x2 + y 2 ≤ 1 で定まる平面の単位円板, C を D の境界とする.
( 2
)
線積分
(y − 7y)dx + (2xy + 2x)dy をグリーンの定理によって重積分で表わし, その値を計算
せよ.
C
問題 3. 前問の線積分を, パラメータ x = cos t, y = sin t (0 ≤ t ≤ 2π) により直接計算せよ.
問題 4. 平面 z = −1 上の単位円板 D = {x2 + y 2∫≤ 1, z = −1} の単位法ベクトルを n = k ととる.
ベクトル場 A = (y, xz 3 , −y 3 z) に対して線積分
換え, その値を計算せよ.
A · dr をストークスの定理により面積分に書き
C
問題 5. 前問の線積分をパラメータ x = cos t, y = sin t, z = −1 (0 ≤ t ≤ 2π) により直接計算せよ.
追加課題解答例は → http://www.lab2.toho-u.ac.jp/sci/c/math/noda/
∫
問題 6. スカラー場 φ に対して A = ∇φ とおく. 任意の閉曲線 C に対して
A · dr = 0 であること
を示せ. [Hint: C を境界とする曲面 S を考えてストークスの定理を使う.]
問題 7. 楕円の内部 D = {(x, y) |
x2
a2
+
y2
b2
C
≤ 1} の面積を求めよ.
1
問題 8. 平面内の領域 D の境界を C とする. 極座標 (r, θ) を用いて D の面積は
2
ることを示せ.
∫
r2 dθ で与えられ
C
解 1. ∇ × r =
(
−
∂z
∂y
∂y
,
∂z
∂x
∂z
∫
−
∂y
∂x
∂z
,
∂x
∫
r · dr =
C
解 2.
∫
(
−
∂x
∂y
)
= 0 であるから, ストークスの定理により
∫
(∇ × r) · ndS =
0 · ndS = 0
S
S
∫∫ {
)
}
∂
∂ 2
(2xy + 2x) −
(y − 7y) dxdy
∂x
∂y
(y − 7y)dx + (2xy + 2x)dy =
∫∫
∫∫ D
=
(2y + 2 − 2y + 7)dxdy = 9
dxdy = 9π.
2
C
[
D
∫∫
D
D
dxdy が D の面積であることを使った.]
解 3. x = cos t, y = sin t より dx = − sin tdt, dy = cos tdt. よって
(y 2 − 7y)dx + (2xy + 2x)dy = (sin2 t − 7 sin t)(− sin t)dt + (2 cos t sin t + 2 cos t) cos tdt
= (− sin3 t + 7 sin2 t + 2 cos2 t sin t + 2 cos2 t)dt
)
(
1 + cos 2t
1 − cos 2t
2
2
+ 2 cos t sin t + 2 ·
dt
= − sin t(1 − cos t) + 7 ·
2
2
(
)
9
7
2
=
− sin t − cos 2t + 3 cos t sin t + cos 2t dt.
2
2
ゆえに
∫
(
(y − 7y)dx + (2xy + 2x)dy
2
C
)
)
7
9
2
=
− sin t − cos 2t + 3 cos t sin t + cos 2t dt
2
2
0
[
]2π
9
7
1
3
=
+ cos t + sin 2t − cos t + sin 2t
= 9π.
2
4
2
0
∫
2π
(
[前問と同じ結果になり, グリーンの定理が検証される.]
解 4. ∇×A = (−3y 2 z+3xz 2 , 0, z 3 −1) であり, 特に D 上は z = −1 なので ∇×A = (3y 2 +3x, 0, −2).
また n = (0, 0, 1) であることから
∫
∫
∫
∫
A · dr = (∇ × A) · ndS = (−2)dS = −2
dS = −2π.
C
D
D
D
∫
[ D dS は D の面積である.]
解 5. パラメータから dx = − sin tdt, dy = cos tdt, dz = 0 なので,
∫
∫
∫ 2π
∫
3
3
2
2
A · dr =
(ydx + xz dy − y zdz) =
(− sin t − cos t)dt = −
C
C
= −2π.
0
[前問と同じ結果になり, ストークスの定理が検証される.]
0
2π
dt

Download Report