練習問題４（科目名 解析入門ＩＩＣ/１０月３１日）
出題者 澤野嘉宏
氏名 合計点 点
学修番号 ○ １５１７２０ ○ １５１７５０ ○ １ １７ （その他）.
1. 1 の 5 乗根
１８ページ 問１．１６ 練習問題Ｂ（ＰＤＦの最後に解答あり）も必要に応じて参照，類題
多数
2
2
4
4
6
6
8
問題 1.1. α = cos π + i sin π, β = cos π + i sin π, γ = cos π + i sin π, δ = cos π +
5
5
5
5
5
5
5
8
i sin π とおく．
5
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
1, α, α2 , α3 , α4 を 1 つの複素数平面に図示せよ．
1, β, β 2 , β 3 , β 4 を 1 つの複素数平面に図示せよ．
1, γ, γ 2 , γ 3 , γ 4 を 1 つの複素数平面に図示せよ．
1, δ, δ 2 , δ 3 , δ 4 を 1 つの複素数平面に図示せよ．
(z − α)(z − α2 )(z − α3 )(z − α4 ) を展開せよ．
(z − β)(z − β 2 )(z − β 3 )(z − β 4 ) を展開せよ．
(z − γ)(z − γ 2 )(z − γ 3 )(z − γ 4 ) を展開せよ．
(z − δ)(z − δ 2 )(z − δ 3 )(z − δ 4 ) を展開せよ．
(3 − γ)(3 − γ 2 )(3 − γ 3 )(3 − γ 4 ) を計算せよ．
1 + β + β 2 + β 3 + β 4 を計算せよ．
δ 2 + δ 18 + δ 29 + δ 36 + δ 50 を計算せよ．
α8 + α16 + α22 + α29 を計算せよ．
2. 正則関数
先週の講義ノート（z が正則ではないことの説明など）
問題 2.1. 次の関数のうち，C で正則なものは何か？
(1) f1 (z) = z 2 (2) f2 (z) = 3z + 1
【注意】正則であるということと微分可能であることは同義である．
５０ページ例題２４
問題 2.2. z = x + iy (x, y ∈ R) という表示のもと，f (z) = ex cos y + i ex sin y は C 上でコー
シー・リーマンの関係式を満たすことを示せ．
1
練習問題４
2
3. コーシーの積分定理
１６ページ例題８，６２ページ定義４．１
問題 3.1. 次の曲線を図示せよ．その際に始点と終点を明記すること．
(1) z = 3eit , 0 ≤ t ≤ π
(2) z = 4eit , −π ≤ t ≤ π (3)
z=
{
eit
−1 + 3(t − π)i
0≤t≤π
π≤t≤4
１６ページ例題８，６２ページ定義４．１，６６ページ例題２９
問題 3.2. 次の曲線のパラメータ表示を求めよ．
(1)
(2)
(3)
(4)
0 を中心とする半径 1 の円を 1 を始点として反時計回りに 1 周する円
1 を中心とする半径 1 の円を 0 を始点として反時計回りに 1 周する円
4 から 5 + 3i へ至る向きのついた線分
0, 1, 1 + i, i, 0 の順番にこれらのなす正方形の辺を 1 周する折れ線
６３ページ例４．１，６４ページ例４．２，６４ページ例４．５
∫
∫
∫
問題 3.3. 次の積分 (1)
z dz (2)
z dz (3)
z |dz| を求めよ．
【注意】a → b
0→1+i
0→1+i
は a から b へ至る向きのついた線分である．
0→1+i
4. 複素三角不等式
６３ページ（４．２）式（講義中にも説明）
問題 4.1. R > 0 とする．以下の問に答えよ．
R cos θ+R i sin θ−i θ
(1) |e
| はいくらか．また，この値は eR を超えないことを示せ．
I
ez (2) dz ≤ 2πeR を示せ．
∂∆(R) z
練習問題４
3
問題 1.1
(1) 図示は省略するが，1, α, α2 , α3 , α4 は |z| = 1 上で正 5 角形を作る．頂点はこの順番に
並ぶ．
(2) β = α2 , β 2 = α4 , β 3 = α, β 4 = α3 に注意して 1, α, α2 , α3 , α4 と同じようにしてならべる．
(3) γ = α3 , γ 2 = α, γ 3 = α4 , γ 4 = α2 に注意して 1, α, α2 , α3 , α4 と同じようにしてならべる．
(4) δ = α4 , δ 2 = α3 , δ 3 = α2 , δ 4 = α に注意して 1, α, α2 , α3 , α4 と同じようにしてならべる．
(5) (6)(7)(8) z 4 + z 3 + z 2 + z + 1
(9) 121 (10) 5 (11) 0 (12) (−1)
問題 2.1
f1 (z + h) − f1 (z)
(z + h)2 − z 2
= lim
= lim (2z + h) = 2z であるから，f1 は正則
h→0
h→0
h→0
h
h
である．
f2 (z + h) − f2 (z)
h
(2) lim
= 3 lim が存在しないので，f2 は正則ではない．2
h→0
h→0 h
h
(1) lim
問題 2.2 u(x, y) = ex cos y, v(x, y) = ex sin y とおく．
∂u
∂v
∂v
∂u
(x, y) =
(x, y) = ex cos y,
(x, y) = − (x, y) = ex sin y
∂x
∂x
∂y
∂y
となるから，確かにコーシー・リーマンの関係式を満たす．2
問題 3.1
(1) 図示は省略，始点と終点はともに 4
(2) 図示は省略，始点と終点はともに −3
(3) 図示は省略，始点は 1 と終点は −1 + 12i − 4πi
問題 3.2
(1) z = cos t+i sin t, 0 ≤ t ≤ 2π, (2) z = 1+cos t+i sin t, −π ≤ t ≤ π, (3) z = 4+(1+i)t, 0 ≤
t ≤ 1, (4)
t
(0 ≤ t ≤ 1)
1 + (t − 1)i (1 ≤ t ≤ 2)
z=
3−t+i
(2 ≤ t ≤ 3)
(4 − t)i
(3 ≤ t ≤ 4)
問題 3.3
共通して，z = (1 + i)t (0 ≤ t ≤ 1) とパラメータ表示する．
∫
∫
∫ 1
(1 + i)t · (1 + i) dt = i (2)
z dz =
(1 − i)t · (1 + i) dt = 1
0
C
0
√
∫C
∫ 1
√
2
(3)
z |dz| =
(1 + i)t · 2 dt =
(1 + i) 2
2
C
0
(1)
∫
1
z dz =
問題 4.1
(1) eR cos θ , R cos θ ≤ R より，eR 以下であることが分かる．
∫ 2π
∫
2π R cos θ+R i sin θ−i θ (2) 左辺 = e
dθ ≤
eR cos θ dθ ≤ 2π eR . 2
0
0
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