Feuille 15 : algèbre linéaire
10/02/2014
4. Calculer f n pour n ∈ N.
Feuille 15 : algèbre linéaire
5. On suppose λ et µ non nuls. Démontrer que f est bijective et calculer f n pour n ∈ Z.
E XERCICE 8
Soit E un espace vectoriel sur un corps K . Soient a ∈ K ∗ et
f ∈ L (E ). On suppose que :
f 3 − 2a f 2 + a 2 f = 0L (E )
E XERCICE 1
Soit E = {(x, y, z) ∈ R3 , x + y + z = 0}. Montrer que E , muni des
lois usuelles sur les triplets de nombres, est un espace vectoriel réel.
Démontrer que :
E XERCICE 2
Soit E = { f ∈ C 1 (R, R), ∀x ∈ R, f 0 (x) = f (x 2 ) + x f (x)}. Montrer
que E , muni des lois usuelles sur les fonctions numériques,
est un espace vectoriel réel.
E XERCICE 9
Donner une condition nécessaire et suffisante sur les réels a,
b, c pour que les vecteurs (1, a, a 2 ), (1, b, b 2 ), (1, c, c 2 ) soient
linéairement indépendants dans l’espace vectoriel R3 .
E XERCICE 3
Soit E = {(u + v, u − v, v − u), (u, v) ∈ R2 }. Montrer que E , muni
des lois usuelles sur les triplets de réels, est un espace vectoriel réel.
E XERCICE 10
Démontrer que les suites (1), (n 2 ) et (2n ) sont linéairement
indépendantes dans l’espace vectoriel RN .
E XERCICE 4
Soit E = {(x, y) ∈ R2 , x 2 + y 2 = 1}. Montrer que E n’est pas un
sous-espace vectoriel de (R2 , +, ·).
E XERCICE 11
Pour tout n ∈ N, la fonction x 7→ x n sera notée a n . Montrer
que les fonctions a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , . . . sont linéairement indépendantes dans l’espace vectoriel RR .
E XERCICE 5
Soit E = {(u n ) ∈ CN , ∃n 0 ∈ N, ∀n ≥ n 0 , u n = 0}. Montrer que E
est un sous-espace vectoriel de (CN , +, ·).
E XERCICE 6
Soient E , F , G des espaces vectoriels sur un corps K . Soient
f ∈ L (E , F ) et g ∈ L (F,G). Démontrer les assertions suivantes :
1. Ker(g ◦ f ) = f −1 〈Ker(g )〉
2. Ker(g ◦ f ) ⊃ Ker( f )
3. Im(g ◦ f ) = g 〈Im( f )〉
4. Im(g ◦ f ) ⊂ Im(g )
5. Ker(g ◦ f ) = Ker( f ) ⇐⇒ Im( f ) ∩ Ker(g ) = {0F }
6. Im(g ◦ f ) = Im(g ) ⇐⇒ Ker(g ) + Im( f ) = F
E XERCICE 7
Soit E un espace vectoriel sur R. Soient λ et µ deux réels distincts. Soit f ∈ L (E ). On suppose que :
( f − λid) ◦ ( f − µid) = 0L (E )
On note E λ = Ker( f − λid) et E µ = Ker( f − µid).
1. Démontrer que E = E λ ⊕ E µ .
2. Soit p λ le projecteur sur E λ suivant E µ et soit p µ le projecteur sur E µ suivant E λ . Démontrer que f = λp λ +
µp µ .
3. Démontrer que p λ et p µ commutent.
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E = Ker( f ) ⊕ Im( f )
E XERCICE 12
Pour tout réel a ∈ R, on note f a la fonction x 7→ e ax . Soient
a 1 , a 2 , . . . , a n des réels distincts deux à deux. Montrer que les
fonctions f a1 , f a2 , . . . , f an sont linéairement indépendantes
dans l’espace vectoriel RR .
E XERCICE 13
Pour tout réel a ∈ R, on note f a la fonction x 7→ |x − a|. Soient
a 1 , a 2 , . . . , a n des réels distincts deux à deux. Montrer que les
fonctions f a1 , f a2 , . . . , f an sont linéairement indépendantes
dans l’espace vectoriel RR .
E XERCICE 14
Soient p ∈ N, r 1 , r 2 , . . . , r p des réels strictement positifs deux
à deux distincts. Montrer que les suites géométriques (r 1n ),
(r 2n ), . . . , (r pn ) sont linéairement indépendantes dans l’espace
vectoriel RN .
E XERCICE 15
Soit f : R2 → R l’addition. Montrer que f est linéaire. Déterminer son noyau et son image.
E XERCICE 16
Soit f : R2 → R la multiplication. Montrer que f n’est pas
linéaire.
E XERCICE 17
Soit E = C ∞ (R, R) et soit φ : E → E l’application définie par
φ( f ) = f 00 − 2 f 0 + f (justifier).
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1. Montrer que φ est linéaire.
1. Montrer que Ker( f ) ∩ Im( f ) = {0}.
2. Déterminer le noyau de φ. L’application φ est-elle injective ?
2. Montrer que Ker( f ) + Im( f ) = E .
3. Montrer que φ est surjective.
E XERCICE 18
Soient u, v, w trois vecteurs d’un espace vectoriel réel E . Montrer que Vect(u, v, w) = Vect(v + w, u + w, u + v).
E XERCICE 19
Soient n ∈ N et E = Rn [X ]. Soit (P 0 , P 1 , . . . , P n ) ∈ E n+1 une
famille de polynômes tels que deg(P i ) = i , pour tout i ∈ {0, 1, . . . , n}.
Montrer que cette famile est une base de E .
E XERCICE 20
Soit f : R4 → R3 l’application définie par :
f (x, y, z, t ) = (x + y, 2t − y, z + 3x)
1. Montrer que f est linéaire.
2. Déterminer une base de son noyau.
E XERCICE 25
Soit F = { f ∈ C 1 (R, R), f (0) = f 0 (0) = 0} et G l’ensemble des
fonctions affines définies sur R et à valeurs dans R.
1. Démontrer que F est un sous-espace vectoriel de C 1 (R, R).
2. Démontrer que G est un sous-espace vectoriel de C 1 (R, R).
3. Démontrer que F et G sont supplémentaires dans C 1 (R, R).
4. Soit σ ∈ L (C 1 (R, R)) la symétrie par rapport à F parallèlement à G. Expliciter σ.
E XERCICE 26
Soit f : R3 → R3 définie par :
f (x, y, z) = (2x, x − z, x + y + z)
1. Montrer que f est linéaire.
2. Montrer que f est bijective et déterminer sa bijection
réciproque.
3. Déterminer une base de son image.
E XERCICE 21
Soit f : R3 → R2 l’application définie par :
f (x, y, z) = (x + 2y − z, x + y + z)
1. Montrer que f est linéaire.
2. Déterminer une base de son noyau.
3. Déterminer une base de son image.
E XERCICE 27
Partie I. Soit E un espace vectoriel réel ; on note L (E ) l’ensemble des endomorphismes de E . Pour tout ϕ ∈ L (E ), on note
ϕ0 = Id, ϕ1 = ϕ et pour tout entier n ≥ 2, ϕn = ϕn−1 ◦ϕ. Soient :
– Deux élément p et q de L (E ), non nuls et tels que p + q =
Id.
– Deux réels a et b, distincts et non nuls.
– Un élément f de L (E ) qui vérifie f = ap +bq et f 2 = a 2 p +
b 2 q.
1.
f (x 1 , x 2 , . . . , x n ) =
n
X
(a) Déterminer ( f − aId) ◦ ( f − bId).
(b) Déterminer une expression de p en fonction de
f , Id, a et b.
E XERCICE 22
Soit n ∈ N∗ . Soit f : Rn → R l’application définie par :
(c) Montrer que p ◦ q = q ◦ p = O L (E ) .
xi
i =1
1. Montrer que f est linéaire.
2. Déterminer une base de son noyau.
(d) Montrer que p et q sont des projections.
2. Prouver par récurrence que pour tout entier n ∈ N, f n =
a n p + b n q.
¢
¡
3. (a) Calculer f ◦ a1 p + b1 q .
3. Déterminer une base de son image.
E XERCICE 23
Soit f : R3 [X ] → R3 [X ] l’application définie par :
(b) La fonction f est-elle bijective ? Si oui, déterminer
son inverse.
Partie II. On considère l’endomorphisme de R3 définie par :
∀(x, y, z) ∈ R3 , ϕ(x, y, z) = (2x − 2y, 3y, x + 2y + 3z)
f (P (X )) = P (X + 1) − P (X )
1. Justifier l’ensemble d’arrivée de f .
2. Montrer que f est linéaire.
3. Déterminer une base de son noyau.
4. Déterminer une base de son image.
E XERCICE 24
Soit E un espace vectoriel sur un corps K , soit a ∈ K ∗ , et soit
f ∈ L (E ). On suppose que f 3 − 2a f 2 + a 2 f = 0L (E ) .
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1. Montrer que ϕ2 = 5ϕ − 6IdR3 .
2.
(a) Montrer que la famille de fonctions (IdR3 , ϕ) est
libre dans L (E ).
(b) Montrer qu’il existe deux réels (a, b) ∈ R2 tels que :
(ϕ − aIdR3 ) ◦ (ϕ − bIdR3 ) = 0L (R3 ) .
3. Montrer qu’il existe un couple ( f , g ) d’éléments de L (R3 )
que l’on exprimera en fonction de ϕ et IdR3 tel que :
f + g = IdR3 ,
a f + bg = ϕ
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4. Déterminer ϕn pour tout entier n ∈ N.
E XERCICE 28
Notons E le R-espace vectoriel des applications de R dans
R de classe C ∞ et D : f ∈ E 7−→ f 0 . Il est clair que D est un
endomorphisme de E . Soient :
à p !
à p !
−t
−t
t 3
t 3
t
2
2
, f 3 : t → e cos
f 1 : t 7→ e , f 2 : t 7→ e sin
2
2
Nous noterons B = ( f 1 , f 2 , f 3 ) et G le sous-espace vectoriel de
E engendré par B.
2. Montrer que B est une base de G.
3. Démontrer que G est stable par D, c’est-à-dire que D(G) ⊂
G.
4. On considère l’équation différentielle :
∀t ∈ R, y (t ) = f 2 (t )
2. Montrer que f est une application linéaire.
On note f n la restriction de f à Cn [X ].
3. Montrer à l’aide du 1. que f n est un endomorphisme de
Cn [X ].
4. Dans cette question uniquement n = 2 et T (X ) = X 2 .
a) Déterminer f 2 (1), f 2 (X ) et f 2 (X 2 ).
b) Déterminer le noyau de f 2 .
c) Montrer que f 2 est bijective sur C2 [X ].
d) Déterminer f 2−1 (i X 2 − 2i X + 1).
1. Déterminer le noyau et l’image de D.
0
1. Énoncer le théorème de la division euclidienne dans le cas
présent.
(1)
t
On pose z = ye 2 . Montrer que y est solution de (1) si
et seulement si z est solution d’une équation différentielle d’ordre 1 à coefficients constants. Résoudre alors
(1).
5. On note D¯ l’application de G dans G induite par D.
Montrer que D¯ est un automorphisme de G. Calculer
également la matrice de D¯ dans la base B.
5. Dans cette question uniquement n = 2 et T (X ) = (X − 1 −
i )(X +i ). Donner l’image du polynôme U (X ) = X 2 +(1−
2i )X − 2i par f 2 .
E XERCICE 30
Soit E un K -espace vectoriel. Soit f ∈ L (E ) tel que pour tout
x ∈ E , f (x) soit colinéaire à x. Démontrer que f est une homothétie.
E XERCICE 31
Soit E un K -espace vectoriel et f ∈ L (E ).
1. Montrer que Ker( f ) ⊂ Ker( f 2 ).
2. Plus généralement, montrer que la suite (Ker( f n ))n∈N
est croissante (pour l’inclusion).
3. Montrer que Im( f ) ⊃ Im( f 2 ).
E XERCICE 29
4. Plus généralement, montrer que la suite (Im( f n ))n∈N
est décroissante (pour l’inclusion).
Partie I.
Notons E le R espace vectoriel des applications de R dans R
de classe C ∞ et D : f ∈ E 7−→ f 0 . Il est clair que D est
un endomorphisme de E .
1. Déterminer le noyau et l’image de D.
³ p ´
³ p ´
−t
−t
Soient f 1 : t → e t , f 2 : t → e 2 sin t 2 3 et f 3 : t → e 2 cos t 2 3 .
Nous noterons B = ( f 1 , f 2 , f 3 ) et G le sous-espace vectoriel de E engendré par B.
2. Montrer que B est une base de G.
E XERCICE 32
Soit E = RR et soit φ : E → E définie par φ( f ) = (x 7→ f (−x)).
1. Montrer que φ est une symétrie de E .
2. En déduire que si l’on note P (resp. I ) l’ensemble des
fonctions paires (resp. impaires) sur R, alors P et I
sont des sous-espaces vectoriels de E et E = P ⊕ I .
3. Quelle est la décomposition des fonctions x 7→ x 2 + x +
1, sin et exp relativement à cette somme directe ?
3. Déterminer D(G) et en déduire que G est stable par D.
4. On considère l’équation différentielle (D 2 ) ∀t ∈ R, y 0 (t ) =
t
f 2 (t ), en posant le changement de variable z = ye 2 ,
montrer que z est solution d’une équation différentielle
d’ordre 1 à coefficients constants. Déterminer les solutions de (D 2 ).
5. On considère D¯ la restriction de D à G. Montrer que D¯ est
un automorphisme.
Partie II.
Soit n un entier naturel non nul fixé. On définit les deux applications suivantes :
E XERCICE 33
Soit E un K -espace vectoriel et f ∈ L (E ) tel que f 2 − 3 f +
2idE = 0L (E ) . On pose F = Ker( f − idE ) et G = Ker( f − 2idE ).
Démontrer que E = F ⊕G.
E XERCICE 34
Soit E un espace vectoriel sur un corps K . Soient p, q ∈ L (E ).
Démontrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
1. p ◦ q = p et q ◦ p = q.
2. p et q sont des projecteurs de même noyau.
E XERCICE 35
Soient p et q deux projecteurs qui commutent, sur un espace
où Q et R sont le quotient et le reste de la division euclidiennevectoriel
de P (X 2E) .par T (X ) un polynôme de degré n.
f : C[X ] → C[X ] : P 7−→ Q(X ) + X R(X )
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1. Montrer que p ◦ q est un projecteur.
2. Montrer que son noyau est la sommes des noyaux de p
et q.
3. Montrer que son image est l’intersection des images
de p et q.
E XERCICE 36
Soient p et q deux projecteurs sur un espace vectoriel E . Montrer que p+q est un projecteur si et seulement si p◦q = q◦p =
0L (E ) .
E XERCICE 37
p p
(?) Dans le Q-espace vectoriel R, montrer que 1, 2, 3 sont
linéairement indépendants.
E XERCICE 38
Soient u 1 , u 2 , . . . , u n des vecteurs linéairement indépendants
dans un espace vectoriel réel E . On pose v 1 = u 2 +u 3 +· · ·+u n ,
v 2 = u 1 +u 3 +· · ·+u n , . . . , v n = u 1 +u 2 +· · ·+u n−1 . Montrer que
les vecteurs v 1 , v 2 , . . . , v n sont linéairement indépendants.
E XERCICE 39
Soit E un espace vectoriel et soit f ∈ L (E ).
1. Montrer que Im( f ) ∩ Ker( f ) = {0} ⇐⇒ Ker( f ) = Ker( f 2 ).
2. Montrer que Im( f ) + Ker( f ) = E ⇐⇒ Im( f ) = Im( f 2 ).
E XERCICE 40
Soit f une forme linéaire sur un K -espace vectoriel E . On
suppose qu’il existe u ∈ E tel que f (u) 6= 0. Montrer que E =
Ker( f ) ⊕ Vect(u).
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