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量子力学2および演習演習問題
学籍番号
2回目
氏名
E
2. 左図のように、幅がdの無限に深い一次元井戸型ポテンシャルに閉じ
込められた質量mの電子について下記の問に答えなさい。
(1) この問題における、時間に依存しないシュレーディンガー方程式を導
出しなさい。
(2) 規格化された波動関数を求めなさい。
(3) 存在確率を求め、図で示しなさい。n=3まで書きなさい
(4) エネルギー固有値を求めなさい。
m

(1)
d
2
d
2
x
ポテンシャルが∞の領域では粒子は存在し得ないので-d/2 ≦x≦d/2 のみ考えれば良
い。
 2 2

2 d 2
  V ( x)  E  
  E (-d/2 ≦x≦d/2)
シュレーディンガー方程式 
2
 2m

(2) (x)  A  coskx   B  sin kx 
E
2m dx
この井戸中で存在できる波動関数は、右図のように離散的になる。図より
n=3
n=2
(x)  A  coskx 
n=1 x

d
2
0
境界条件から
（ｉ）n=2a-1 (a=1,2,3･･･)の場合
(
規格化条件から
d
2
d
2
d

2

d
2
d

2
d
n
 kd 
)  A  cos   0  k 
d
2
 2 
A  coskx  dx   A  cos kx dx  A
2
2
2
2
d
2
d

2

1  cos2kx 
dx
2
d
2
d
2
x 1

 A2   sin 2kx   A2  1  A  
d
 2 4k
d 2
2
2
n 

 coskx   k   (n=1,3,5,･･・)
規格化された波動関数は (x)  
d 

d
境界条件から
（ｉi）n=2a ((a=1,2,3･･･))の場合
(
(x)  B  sin kx 
d
n
 kd 
)  A  sin    0  k 
2
d
 2 
規格化条件から
d
2
d

2

d
2
d

2
A  sin kx  dx   A  sin kx dx  A
2
2
2
2
d
2
d

2

1  cos2kx 
dx
2
d
2
d
2
x 1

 A2   sin 2kx   A2  1  A  
d
 2 4k
d 2
2
規格化された波動関数は
(x)  
2
 sin kx 
d
n 

k 
 (n=2,4,6,･･・)
d 

(3) 存在確率は
（ｉ）n=2a-1 (a=1,2,3･･･)の場合
規格化された波動関数は
(x)  
2
2
2
 coskx  従って存在確率は (x)   cos 2 kx 
d
d
(x)  
2
 sin kx 
d
（ｉi）n=2a ((a=1,2,3･･･))の場合
規格化された波動関数は
(x)
O
2
d
2
 sin 2 kx 
d
2
2
d
x
d
2

d
2
O
(4) エネルギー固有値は
 2 k 2  2  n 
E



2m 2 m  d 
2
(x)
2
x
d
2
(x) 
n=3
n=2
n=1
2
(x)
2
d

従って存在確率は
2
(n=1,2,3・・・)
d
2
x

d
2
d d
 O
6 6
d
2

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