6. Uebungsblatt - Institut für Funktionelle Materie und

Uni Stuttgart – Institut für Funktionelle Materie und Quantentechnologien
Prof. Dr. M. Daghofer
Fortgeschrittene Vielteilchentheorie (WS 2016/2017) – Blatt 6
Aufgabe 16: Stationäre Störungstheorie (8 Punkte)
I. Gegeben ist ein Teilchen in einem unendlich hohem eindimensionalem Potentialtopf der Breite
a. Dieser Topf wird mit dem Potential V̂ (x) gestört. Berechnen Sie die Korrekturen erster
Ordnung der Energie für die verschiedene Störungen V̂ (x).
(a) Die Störung habe die Form
V̂ (x) =
V0
(a − |2x − a|) .
a
(1)
(b) Nun sei die Störung
(
V̂ (x) =
V0 ,
0,
b<x<a−b
0 < x < b und a − b < x < a
(2)
(1)
(c) Zeigen Sie, dass der von n abhängige Anteil der erste Korrektur En des obigen Teilchens
mit einer beliebigen Störung V̂ (x) für n → ∞ verschwindet.
(d) Bonusaufgabe: Man betrachte nun V̂ (x) = αδ(x − a/2). Finden Sie die Energieverschiebungen bis zur zweiten Ordnung der Störungstheorie.
(+3 Punkte)
II. Gegeben sei der Hamiltonoperator
Ĥ =
mω 2 2
p̂2
+
x
2m
2
(3)
und das Störpotential V̂ (x) = βx4 , wobei β 1. Berechnen Sie die Energieänderung bis zur
ersten Ordnung.
Aufgabe 17: Variationsprinzip für das Wasserstoffatom (6 Punkte)
Der Hamiltonoperator für das Wasserstoffatom im Schwerpunktsystem ist durch
H=
p2
e2
−
2µ
r
(4)
gegeben, wobei µ die reduzierte Masse ist und e die Elementarladung.
(a) Mit Hilfe des Variationsprinzip soll die Grundzustandsenergie E0 näherungsweise bestimmt
werden. Verwenden Sie hierzu die folgenden drei Funktionsansätze
ψ1 (r) = N re−r/a ,
ψ2 (r) =
N
,
r2 + a2
und
ψr (r) = N e−r/a .
(5)
Hierbei ist N stets eine Normierungskonstante und a ∈ R der Variationsparameter. Berechnen
(1)
(2)
(3)
Sie die genäherten Grundzustandswerte E0 , E0 , E0 , sowie die optimalen Parameterwerte
(1)
(2)
(3)
a ,a ,a .
(b) Plotten Sie die optimierten Wellenfunktionen und vergleichen Sie sie mit dem exakten Ergebnis. Welcher Ansatz liefert die besten Resultate?
1
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Fortgeschrittene Vielteilchentheorie (WS 2016/2017) – Blatt 6
Aufgabe 18: Stark-Effekt
Im Folgenden betrachten wir ein Wasserstoffatom in einem zeitlich konstanten und homogenen elektrischen Feld E = Eez . Wir betrachten hier das Wasserstoffatom ohne Fein- und Hyperfeinstruktur,
also den aus der Schrödingertheorie bekannte Hamiltonoperator im Schwerpunktssystem
H0 =
p2
e2
− ,
2µ
r
(6)
wobei e der Elementarladung entspricht und µ der reduzierten Masse. Das elektrische Feld soll nun
als kleine Störung H1 gegenüber den ungestörten System angenommen werden. Es gilt
H = H0 + εH1
mit H1 = −z,
mit ε ≡ eE.
(7)
Ziel dieser Aufgabe ist es, die durch das elektrische Feld verursachte Verschiebung der Energieniveaus En störungstheoretische zu berechnen.
(a) Zeigen Sie, dass [H1 , Lz ] = 0 gilt.
(b) Es seien |n, l, mi die normierten Eigenzustände von H0 . Zeigen Sie, dass
hn0 , l0 , m0 |H1 |n, l, mi =
6 0
(8)
nur für m0 = m und l0 = l ± 1.
(c) Berechnen Sie die Korrektur zur Grundzustandsenergie bis einschließlich zur zweiten Ordnung
in ε.
(Hinweis: Die hierbei auftauchende Summe kann analytisch ausgewertet werden. Recherchieren Sie!)
Das erste angeregte Energieniveau E2 hat eine vierfache Entartung. Zur Berechnung der Energiekorrekturen müssen Sie die entartete Störungstheorie verwenden.
(d) Gehen Sie zunächst in den Eigenraum H2 von H0 zum Eigenwert E2 zu einer geeigneten
Basis über, sodass in der ersten Ordnung Störungsentwicklung für die Eigenzustände keine
divergenten Energienenner auftreten. Berechnen Sie dann die Korrekturen zu ersten Anregungsenergie, sowie die zugehörigen Zustandskorrekturen bis zur ersten Ordnung in ε.
(e) Skizzieren Sie die Aufspaltung des Niveaus E2 schematisch.
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