第3回レポートの解答例

第 3 回レポートの解答例
1

 
3 2 −3 1
c1
 4 3 −4 2   c2 
(1) c1 a1 + c2 a2 + c3 a3 + c4 a4 = 0 は，
= 0 と同値．そこで係数行列を行基
2 1 2 −1   c3 
6 3 2 −2
c4
本変形すると，










1 0 0 − 54
3 2 −3 1
1 1 −5 2
1 1 −5 2
1 0 3 −2
 4 3 −4 2 
 0 1 −8 4 
 0 1 −8 4 
 0 1 −8 4 
0 1 0 2 
 2 1 2 −1  →  2 1 2 −1  →  0 −1 12 −5  →  0 0 4 −1  →  0 0 1 − 1 
4
6 3 2 −2
0 0 −4 1
0 0 −4 1
0 0 −4 1
000 0
 
 5 
c1
4
 c2 
 −2 
となって rank = 3 < 4 であるから，(a1 , a2 , a3 , a4 ) は一次従属．  = k  1  となる．k = 4
c3
4
c4
1
とすることで，非自明な一次関係式のひとつとして 5a1 − 8a2 + a3 + 4a4 = 0 が得られる．
(2) (1) と同様に，






1 2 4 −6
1 2 4 −6
1 2 4 −6
 0 1 1 −5 
 0 −5 −5 25 
3 1 7 7 
→
→
[b1 , b2 , b3 , b4 ] = 


0 0 10 60 
0 7 17 25
1 9 21 19
0 0 0 32
0 3 3 17
2 7 11 5
となって，rank = 4 とわかるから，(b1 , b2 , b3 , b4 ) は一次独立．
(3)
a1 f1 (x) + a2 f2 (x) + a3 f3 (x) + a4 f4 (x)
= a1 (1 + 2x2 + x3 ) + a2 (2 + 3x + 2x3 ) + a3 (−1 + x − x2 + x3 ) + a4 (5 − 4x + 4x2 + x3 )
= (a1 + 2a2 − a3 + 5a4 ) + (3a2 + a3 − 4a4 )x + (2a1 − a3 + 4a4 )x2 + (a1 + 2a2 + a3 + a4 )x3
これが 0 であると仮定すると，

a + 2a2 − a3 + 5a4

 1
3a2 + a3 − 4a4
2a

1 − a3 + 4a4

a1 + 2a2 + a3 + a4
=0
=0
=0
=0
係数行列を行基本変形すると





1
1 2 −1 5
1 2 −1 5
0
 0 3 1 −4 
 0 3 1 −4 
 2 0 −1 4  →  0 −4 1 −6  →  0
0
0 0 2 −4
12 1 1
2
−1
−4
0

⇔
−1
2
1
1
1
0
2
1
2
3
0
2
−1
1
−1
1


1
5
−10 
0
→
0
−6 
0
−2
 
a1
5
−4   a2 
=0
4   a3 
1
a4
2
−1
0
0
−1
2
−7
1


1
5
−10 
0
→
0
34 
0
−2
2
−1
0
0
−1
2
1
0

5
−10 
−2 
20
となって rank = 4 とわかるから連立一次方程式は自明解しか持たない．よって (f1 , f2 , f3 , f4 ) は
一次独立．
(4) (3) と同様に，
a1 g1 (x) + a2 g2 (x) + a3 g3 (x) + a4 g4 (x)
= a1 (1 + x + x2 + x3 ) + a2 (4 + 6x + 4x2 + x3 ) + a3 (2x − 2x2 + x3 ) + a4 (1 + 9x − 5x2 + x3 )
= (a1 + 4a2 + a4 ) + (a1 + 6a2 + 2a3 + 9a4 )x + (a1 + 4a2 − 2a3 − 5a4 )x2 + (a1 + a2 + a3 + a4 )x3



a1 + 4a2 + a4
a1 + 6a2 + 2a3 + 9a4

 a1 + 4a2 − 2a3 − 5a4
a1 + a2 + a3 + a4
係数行列を行基本変形すると



14 0 1
1
1 6 2 9 
0
 1 4 −2 −5  →  0
11 1 1
0
1
3
5
3
=0
=0
=0
=0
1
−1
1
−3

⇔
1
1
1
1


1
1
0 
0
→
8 
0
−6
0
0
1
0
0
4
6
4
1
0
2
−2
1
2
−1
2
6
 
1
a1
9   a2 
=0
−5   a3 
1
a4


3
10
−2 
0 1
→
6 
00
18
00
0
0
1
0

−3
1 
3 
0
となり，
 = 3 < 4 だから連立一次方程式には非自明解があり，(g1 , g2 , g3 , g4 ) は一次従属．
  rank
3
a1
 −1 
 a2 
 a  = k  −3  であるから，k = 1 とすれば非自明な一次関係式のひとつ 3g1 (x) − g2 (x) −
3
a4
1
3g3 (x) + g4 (x) = 0 が得られる．
(5) ロンスキー行列式を考える．
ex cos x
ex sin x
e−x cos 2x
e−x sin 2x
x
−e−x (cos 2x + 2 sin 2x) −e−x (−2 cos x + sin 2x) e (cos x − sin x) ex (cos x + sin x)
−2ex sin x
2ex cos x
−e−x (3 cos 2x − 4 sin 2x) −e−x (4 cos x + 3 sin 2x) −2ex (cos x + sin x) 2ex (cos x − sin x) −e−x (−11 cos 2x − 2 sin 2x) −e−x (2 cos x − 11 sin 2x) 1 0 1 0 1 0 1 0 1 −2 2 1 −2 2 0
1
−2
2
x→0 1 1 −1 2 −→ =
= 2 −3 −4 = 0 1 −8 = 130 ̸= 0
0 2 −3 −4 0 2 −3 −4 2 13 −2 0 17 −6 −2 2 11 −2 0 2 13 −2 となるので，(f1 , f2 , f3 , f4 ) は一次独立．
[
]
a1 a2
(6) a1 M1 +a2 M2 +a3 M3 =
= 0 とすると，a1 = a2 = a3 = 0 となるので，(M1 , M2 , M3 )
a3 −a1
は一次独立．
(7) α{an } + β{bn } + γ{cn } の初めの 3 項は，(2α − 5β − 3γ, −α − 3β + 4γ, −4α − β + 11γ) で
ある．もしこれらがすべて 0 であるとすると，


]
][ ]
[
]
[
[
29
1 0 − 11
1 3 −4
2 −5 −3
α
2 −5 −3
5 
−1 −3 4 → 0 −11 5 →  0 1 − 11
β = 0,
−1 −3 4
0 11 −5
−4 −1 11
γ
−4 −1 11
00 0


[ ]
29
α
11
5 
が成り立つ．よって β = k  11
となる．ここで，等差数列の一次結合は再び等差数列で
γ
1
あることと，初項と交差が一致する 2 つの等差数列はすべての項が等しいことに注意すれば，
5
29
{a} n + 11
{bn } + {cn } = 0 が成り立つ．従って 3 つの数列 ({an }, {bn }, {cn }) は一次従属で上が
11
非自明な一次関係式のひとつである．
(8) (7) と同様に，α{xn }+β{yn }+γ{zn } の初めの 3 項は，(α+β+γ, −3α+5β−7γ, 9α+25β+49γ)
であり，もしこれらがすべて 0 であるとすると，
][ ]
[
α
1 1 1
β =0
−3 5 −7
γ
9 25 49
である．この係数行列の行列式は x1 = −3, x2 = 5, x3 = −7 として得られるファンデルモンド行
列式であり，x1 , x2 , x3 がすべて相異なることから行列式の値は 0 でない．よって係数行列が正則
となり α = β = γ = 0 となる．よって 3 つの数列 ({xn }, {yn }, {xn }) は一次独立である．

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