¨Ubungen zur Vorlesung Gew ¨ohnliche Differentialgleichungen

Übungen zur Vorlesung
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Wintersemester 2016/17
H. Olbermann
Übungsblatt Nr. 6, Abgabe 25.11.16 vor der Vorlesung
Aufgabe 1: Maximale Existenzintervalle, 5 Punkte
Bestimmen Sie für jedes (x0 , y0 ) ∈ R2 die maximale Lösung und das maximale Existenzintervall
des AWP
( 0
y (x) = x2 y2 (x)
y(x0 ) = y0 .
Aufgabe 2: Existenz auf ganz R, 5 Punkte
Es sei ρ > 0 und f ∈ C0 (R1+N ; RN ), f (x, y) sei Lipschitz-stetig bezüglich y, und es sei f = 0 auf
der Menge
n
o
Mρ = (x, y) ∈ R1+N : kyk > ρ .
Zeigen Sie, dass das maximale Existenzintervall der Lösung des AWP
( 0
y (x) = f (x, y(x))
y(x0 ) = y0
gleich ganz R ist.
Aufgabe 3: Mathematisches Pendel, 5 Punkte
Wir betrachten ein Pendel der Masse m an einem Faden der Länge l unter dem Einfluss der
Gravitationskraft g und dem Luftwiderstand mit Reibungskoeffizient µ. Das folgende AWP
bestimmt den Auslenkungswinkel α(t) des Pendels aus der Ruhelage in Abhängigkeit der Zeit
t:
 00
µ
g

α (t) = − m α0 (t) − l sin α(t)


 0
α (t0 ) = α1



 α(t0 ) = α0 .
Hierbei sind α0 und α1 der Auslenkungswinkel und die Winkelgeschwindigkeit zur Zeit t0 .
Zeigen Sie, dass das obige AWP für alle (t0 , α0 , α1 ) ∈ R3 eine eindeutige Lösung auf ganz R
besitzt.
Aufgabe 4: Randverhalten, 5 Punkte
Es sei D ⊂ R1+N offen, (x0 , y0 ) ∈ D, f ∈ C0 (D; R1+N ), f (x, y) sei lokal Lipschitz-stetig bezüglich
y, und λmax sei die maximale Lösung des AWP
( 0
y (x) = f (x, y(x))
y(x0 ) = y0
auf dem maximalen Lösungsintervall Imax (x0 , y0 ) = (I− , I+ ). Wir nehmen an, dass I+ < ∞, und
dass lim supx→I+ dist((x, λmax (x)), ∂D) > 0. In der Vorlesung haben wir gezeigt, dass unter diesen
Annahmen gilt: λmax ist unbeschränkt auf [x0 , I+ ).
Zeigen Sie folgende stärkere Aussage:
Es gilt entweder limx→I+ λmax (x) = +∞ oder limx→I+ λmax (x) = −∞.
Begründen Sie zuerst, warum diese Aussage stärker ist.

Download Report