微分積分学および演習Ⅱ 演習問題

微分積分学および演習Ⅱ 演習問題 6
2016 年度後期
工学部・未来科学部 1 年
担当: 原隆 (未来科学部数学系列・助教)
Report Problems レポート課題
※ レポートは自由提出です。レポートを提出したい人は、以下の注意点を守って提出して下さい。
(ⅰ) 必ず分かるところに学籍番号、学科、氏名を書いて下さい。
(ⅱ) A4 の紙を用いて、複数枚になる場合はホチキスや針無しステープラーで綴じて下さい。
(ⅲ) ∗ 印の付いた問題は少し難しめの問題、∗∗ 印のついた問題はチャレンジ問題です。これらの問題を解か
ないでレポート提出しても構いませんが、腕に自信のある人は是非チャレンジしてみて下さい。
(ⅳ) 提出期限は 11/11 (金) の講義時とします。レポートボックスは設けませんので、講義開始時に教卓へ
提出して下さい。
(ⅴ) If you are not good at writing Japanese sentences, you can draw up the report in English.
問題 6-1. (2 変数関数の微分法総合演習Ⅰ)
2 変数関数 f (x, y) = cos(x3 + 3xy) sin(x2 + 2y) について、以下の設問に答えなさい。
(1) f (x, y) を偏微分しなさい*1 。
(2) f (x, y) の 2 階偏導関数をすべて計算しなさい (等式 fxy (x, y) = fyx (x, y) が成り立ってい
ることを確認すること)。
(√
)
π 1 1
(3) z = f (x, y) のグラフ上の点
, − π,
における接平面の方程式を求めなさい。
2
6 2
∂z
∂z
(4) z = f (x, y), x = u − v, y = uv とするとき、
および
を計算しなさい。また、この座
∂u
∂v
標変換のヤコビ行列およびヤコビ行列式を求めなさい。
問題 6-2. (2 変数関数の微分法総合演習Ⅱ)
(x, y) ̸= (0, 0) で定義された 2 変数関数 g(x, y) =
log(1 + x2 + y 2 )
について、以下の設問に答え
x2 + y 2
なさい。
(1) 極座標変換 x = r cos θ, y = r sin θ により、g(x, y) を r と θ の関数と見做したものを
h(r, θ) = g(r cos θ, r sin θ) とおく。
(a) 関数 h(r, θ) の偏導関数 hr (r, θ), hθ (r, θ) を計算しなさい。
(y)
√
(b)∗ 等式 r = x2 + y 2 , θ = Arctan
が成り立つことを (図を描いて) 説明しなさい。
x
(√
( y ))
(c) (b) より g(x, y) は合成関数 h
x2 + y 2 , Arctan
と見做すことが出来る。このこ
x
とと合成関数の微分法を用いて偏導関数
(
)gx (x, y), gy (x, y) を計算しなさい。
1
1
(2) z = g(x, y) のグラフ上の点 √ , √ , log 2 における接平面の方程式を求めなさい。
2
2
∗
(3) 点 (x, y) =
(0, 0) に於ける関数 g(x, y) の値 g(0, 0) を適切に定めて g(x, y) が xy 平面上の
連続関数となるようにしたい。このとき g(0, 0) をどのように定めれば良いか答えなさい。
*1
つまり『x に関する偏導関数および y に関する偏導関数を両方とも計算しなさい』ということ。

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