講義全体のイントロダクションと複素数のABC

応用数学３－複素関数論
虚数単位と複素数
「応用数学III」：複素関数論，
（技術者のための高等数学４；E.クライツィッグ著，羽生慶四郎訳）
i  1
i 2  1
複素数を入力，複素数を出力する「関数」
y  f ( x)  x 2
w  f ( z)  z
実数の関数
 ( x  iy )
2
2
 x  y  2ixy
2
2
虚数は普通の数ではないが、数だと考えると都合の良い
ことがいろいろある
複素関数：
入力も出力も実部と虚部を持つ
２次方程式が解を持つようになる
2
 1 3
x  x 1   x     0
 2 4
講義の目標：複素関数の微分と積分
2
実数値多変数関数の微分と積分の復習をかねる
成績評価：出欠，期末（中間）試験
1   3 1  3i
x

2
2
複素数の初等的応用例

d
v (t )  L i (t )  I L  cos(  t    )
dt
2
スカラー場：点に対し値（スカラー）
V  V R  VC  V L
iC
I  j CV C
d
dt
vL  L
i
vR
R
vC
d
dt
i
定常解
V L  j LI
I
VR
R
複素係数の
連立方程式
v  v R  vC  v L
複素数ｚ = ｘ＋ｉｙ
z  x  iy
z2
 x 2  y 2  2ixy
 f ( x, y )  ig ( x, y )
sin  t
 sin t
ベクトル場：
点に勾配ベクトルを対応させる
I (t )  I (cos(  t   )  j sin(  t   )
V L ( t )  j  LI ( t )
実部ｘと虚部ｙを持つ
スカラー場，ベクトル場
i (t )  I cos(  t   )
微
分
方
程
式
実数の世界では絶
対に成り立たない式
f  (2 x,2 y )
g  ( 2 y , 2 x )
t
cos  t
∇ｆ，∇ｇが直交．
ｆと g の等高線は直交する
π/2 だけ位相が
ずれる
x2  y2  c
複素解析関数：等高線が直交する
実２変数関数の組
調和関数の組
調和関数（ラプラス方程式）
そもそも数とは何か？
• 解析的な複素関数の実部ｕと虚部ｖは調和関数
• 工学上重要なポテンシャル関数（e.g. 重力ポテンシャルなど）
は調和関数（ラプラス方程式の解）：
•演算が定義されている「もの」の体系（代数）として
システマティックに考える ⇒ 数とは演算体系を持つもの
•虚数を組み込んだ数＝複素数も、数の体系で、実数を拡張
u   2u  u xx  u yy  0
z2
 x 2  y 2  2ixy
の場合は：
u  x2  y2
ux  2x
v  2 xy
vx  2 y
どんな乗算？（回転）
• 乗算の定義
複素数
問題は具体的にどんな演算を考えるか ….
u xx  2
v xx  0
u yy  2
実数の拡張だから、加算と乗算（減算と剰算）は持つハズ
v yy  0
 x'   r cos(   ) 

   
 y '   r sin(   ) 


z1  x  iy  r (cos  i sin  )
 x   r cos 
   

 y   r sin  
z1r  ( x cos   y sin  )  i ( x sin   y cos  )
 (r cos cos   r sin  sin  )  i (r cos sin   r sin  cos  )
 r (cos(   )  i sin(   ))
一般に,
r  cos   i sin 
z1  r1 (cos 1  i sin  1 )
を乗ずる行為
z 2  r2 (cos 2  i sin  2 )
z  x  yi  r (cos   i sin  )
Re z  x
複素平面
i
Im z  y
虚部
大きさ
yi

r  cos   i sin 
回転は
x  iy
x
実部
| z | r 
x2  y2
偏角 θ：
y
x
主値
   Arg z  
arg z  arctan
極（座標）形式：大きさがｒで、偏角が θ の複素数の表現形式
z  rei  r (cos   i sin  )
z1 z 2  r1r2 (cos( 1   2 )  i sin( 1   2 ))
指数関数を虚数上の関数に拡張し、それが右辺に収束する。定義と証明が必要だが、とりあえず、形式的に導入しておく
乗算：一般の場合
z1  r1 (cos 1  i sin  1 )
割り算=乗算の逆演算～逆回転
z 2  z1 (cos   i sin  )
z 2  r2 (cos 2  i sin  2 )

z1 z 2  r1r2 (cos( 1   2 )  i sin( 1   2 ))
θの回転
θの逆回転
z1  z 2 (cos( )  i sin(  ))
 z2 (cos   i sin  )
大きさは掛け算
| z1 z 2 || z1 || z 2 |
角度は足し算
1
 cos( )  i sin(  )  cos   i sin 
cos   i sin 
e 
i 1
arg z1 z 2  arg z1  arg z 2
きょうやく
z  r (cos   i sin  )  x  iy
z  x  iy
z z  r 2  x 2  y 2 | z |2
1 z
z

 2
z zz | z |
 z   x  iy
1
  arg z
z
(a  ib)  ( x  iy )  (a  x)  i (b  y )
a  x a  x
      


b
y
b
y
    

z  x  iy
① 複素数にその共役複素数をかけると、
実数になり（角度は０で実軸方向）、大きさの２乗
① 共役複素数は、実軸に関して対称
arg
加算（足し算）：ベクトルの和
共役複素数
z  r (cos   i sin  )  x  iy
 e  i
(a  x)  i (b  y )
x  iy
a  ib
簡単な計算例
数の体系として持つ性質
z1 z 2  z 2 z1
可換性（加算も同様）
z1 ( z 2 z3 )  ( z1 z 2 ) z3
結合律（加算も同様）
z1 ( z 2  z3 )  z1 z 2  z1 z3
n乗根
w
n
z
n
分配律
1 i
  i
i i2
1
2   2  0.5i
2i
1  i (1  i )(2  3i )  1  5i


2  3i
13
13
3
i  e i /2
2
1 の n乗根
z
1 i
 eｉ/ 4
2

1 i 5ｉ/ 4
e
2
n
1
R (cos   i sin  ) 3  R 3 (cos 3  i sin 3 )  1
z  r (cos   i sin  )
3 
w n  R n (cos n  i sin n )  r (cos   i sin  )

Rn r
n    2k
主値 Arg は一意的だが，一般に偏角は多値
1 i
2
3
i  


 1

   cos  i sin 

4
4
2 
 2
i
3
3   1

  cos
 i sin


4
4 
2
2

  2 k
  2 k 

w  n r  cos
 i sin

n
n


i 
3
1
＝





1
2
2
 i sin
3
3
4
4
 2  cos
 i sin
3
3

  cos
1
2

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