第2回授業演習課題

第2回授業　演習課題
【解答】
問題.以下の式を計算する際には桁落ち誤差が問題になる場合がある。それ
ぞれ，どのような条件の場合に桁落ちが問題になるか説明し，それを避
けるための式の変形を行え。式変形の過程も示すこと。
(1)
(2)
x +1 − x
問題.以下の式を計算する際には桁落ち誤差が問題になる場合がある。それ
ぞれ，どのような条件の場合に桁落ちが問題になるか説明し，それを避
けるための式の変形を行え。式変形の過程も示すこと。
(1)
sin x
1− cos x
x +1 − x
大きさが非常に近い数の減算が行われる際に桁落ちが起きる。
x >> 1 の場合，　となるので桁落ちが問題になる。
x +1 ≈ x
x
(3) e −1
桁落ちを防ぐために次のように変形する。
∑
∞
n
x
ex =
（＜参考＞　）
n!
n=0
x +1 − x =
=
=
( x + 1 − x )( x + 1 + x )
( x +1 + x )
x +1− x
x +1 + x
1
x +1 + x
(3) e x − 1
sin x
(2)
1− cos x
x ≈ 0 ( x ≠ 0)
cos x ≈ 1
の場合（例えば　）に分母は同程度の数の
減算になり，桁落ちが生じる。
x ≈0
ex ≈ 1
の場合，　であり，同程度の数の減算なので桁落ちが
生じる。
 ∞ xn 
e x − 1 =  ∑  − 1
 n =0 n! 
桁落ちを防ぐために次のように変形する。
桁落ちを防ぐために次のように変形する。
sin x
(sin x)(1 + cos x)
=
1 − cos x (1 − cos x)(1 + cos x)
=
(sin x)(1 + cos x)
1 − cos 2 x
(sin x)(1 + cos x)
sin 2 x
1+ cos x
=
sin x
=


x 2 x3 x 4
= 1 + x + + + +L − 1
2! 3! 4!


2
3
4
x
x
x
= x + + + +L
2! 3! 4!

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