2 - Keio University

宿題の解説 10 月 4 日
三井隆久
Department of Physics, Keio University School of Medicine,
c
4-1-1 Hiyoshi, Yokohama, Kanagawa 223-8521, Japan ⃝
(Dated: October 4, 2016)
I.
問I
半径 R の輪の上に電荷が一様に分布（単位長さあたり
λ）しているとき、輪の中心を通り輪の面に垂直な直線
上の電場をもとめよ。
A.
答え
電荷により作られる電場をあらわす、
∫
⃗ r) =
E(⃗
V
⃗
⃗
⃗r − R
ρ(R)dV
⃗ 3
4πϵ |⃗r − R|
(1)
を用いる。ただし、この式は、単位体積あたりの電荷密
度を用いて書かれているが、この問題では単位長さ当た
りの電荷が与えられている。
半径 R の輪が x-y 平面になるように座標系を選ぶと、
⃗ は、θ を媒介変数として、
輪の上の場所 R
⃗ = (R cos(θ), R sin(θ), 0),
R
0 ≤ θ < 2π,
(2)
(3)
となる。
θ から θ + dθ によって表される場所の電荷が z 軸上の
⃗ は、該当箇所の電荷が λRdθ
場所 (0,0,z) に作る電場 dE
であることから、
⃗ = λRdθ (0, 0, z) − (R cos(θ), R sin(θ), 0) , (4)
dE
4πϵ |(0, 0, z) − (R cos(θ), R sin(θ), 0)|3
λRdθ (−R cos(θ), −R sin(θ), z)
=
,
(5)
4πϵ
(R2 + z 2 )3/2
となることがわかる。
θ = 0 から θ = 2π までの電荷により作られる電場は、
式 (5) を積分して、
∫
2π
⃗ =
E
0
λRdθ (−R cos(θ), −R sin(θ), z)
,
4πϵ
(R2 + z 2 )3/2
(6)
II.
を証明せよ。
≈
ϕ(x(s) +
dx
ds ds, y(s))
− ϕ(x(s), y(s))
ds
− ϕ(x(s), y(s))
,
ds
ϕ(x(s) + dx
ds ds, y(s)) − ϕ(x(s), y(s)) dx
=
dx
ds
ds ds
+
+
ϕ(x(s), y(s) +
dy
ds ds)
ϕ(x(s), y(s) +
dy
ds ds)
dy
ds ds
− ϕ(x(s), y(s)) dy
,
ds
ϕ(x(s) + h, y(s)) − ϕ(x(s), y(s)) dx
h
ds
ϕ(x(s), y(s) + k) − ϕ(x(s), y(s)) dy
+
,
k
ds
dx
dy
(ここで h =
ds, k =
ds とおいた。)
ds
ds
∂ϕ dx ∂ϕ dy
≈
+
,
∂x ds
∂y ds
(12)
(13)
=
III.
(14)
(15)
問 III
⃗ = E0 (y 2 , 2xy),
E
(7)
(16)
があり、この電場の中を電子が経路、
出発点 A(R, 0),
√
√
終点 B(R/ 2, R/ 2),
問 II
dϕ(x(s), y(s))
∂ϕ dx ∂ϕ dy
=
+
,
ds
∂x ds
∂y ds
dϕ(x(s), y(s))
ds
ϕ(x(s + ds), y(s + ds)) − ϕ(x(s), y(s))
≈
定義, (9)
ds
dy
ϕ(x(s) + dx
ds ds, y(s) + ds ds) − ϕ(x(s), y(s))
, (10)
≈
ds
dx
(x(s + ds) ≈ x(s) +
ds という近似。)
ds
dy
dy
ϕ(x(s) + dx
ds ds, y(s) + ds ds) − ϕ(x(s), y(s) + ds ds)
=
ds
dy
ϕ(x(s), y(s) + ds ds) − ϕ(x(s), y(s))
+
,
(11)
ds
(同じ数を足して引く)
⃗、
x-y 平面上に電場 E
により得られる。これを積分して、
λRz
⃗ = (0, 0,
).
E
2ϵ(R2 + z 2 )3/2
答え
A.
(17)
(18)
途中⃗r(θ) = (R cos(θ), R sin(θ)), for θ = 0..π/4,(19)
(8)
を通って移動する場合の仕事を求めよう。
まずはじめは、仕事の定義にしたがって求める。仕事
を求めるためには、経路を細かく分割して、個々の微小
経路における仕事を求めて、足し合わせる。
(a) 微小経路 d⃗l を dθ を用いてもとめよ。
2
∫
⃗ ⃗l に従い、
(b) 電場中での電荷の仕事の定義 W = q Ed
場所 A から B まで移動するための仕事量をもとめよ。
(c) 仕事は、静電ポテンシャルを用いて計算すること
もできる。式 (16) に従う電場の静電ポテンシャル ϕ(x, y)
をもとめよ。
(d) qϕ(場所 A) − qϕ(場所 B) をもとめよ。
A.
答え
A.
z > a のとき。
aQz
1
,
2
πϵ0 (z − a2 )2
1
aQ
,
ϕ =
2πϵ0 z 2 − a2
Ez =
1
a2 + z 2
Q,
2πϵ0 (a2 − z 2 )2
1
z
Q,
ϕ =
2πϵ0 a2 − z 2
Ez = −
(20)
によって表現されるとき、微小経路 d⃗l は、
d⃗l = ⃗r(θ + dθ) − ⃗r(θ),
= (−R sin(θ), R cos(θ))dθ,
(21)
(22)
である。
電場中での電荷の仕事の定義から、
∫
⃗ ⃗l,
W =
q Ed
1
aQz
,
2
πϵ0 (z − a2 )2
1
aQ
ϕ = −
,
2πϵ0 z 2 − a2
Ez = −
(23)
(24)
与えられた経路
∫
=
π
4
qE0 (R2 (sin θ)2 , 2R cos(θ)R sin(θ))
0
·(−R sin(θ), R cos(θ))dθ,
(25)
∫ π4
qE0 (−R3 (sin θ)3 + 2R3 (cos θ)2 sin(θ))dθ,(26)
=
0
√
2
=
qE0 R3 ,
(27)
4
となる。
(c) 与えられた電場、
⃗ = E0 (y 2 , 2xy),
E
V.
(37)
(38)
問V
図１
L
的の面積σ
(29)
(30)
L
L
図２
弾丸
面積σの的がN個
(31)
L
(32)
となる。したがって、先に仕事の定義に従い求めた結果
と同じになる。
IV.
(36)
(a) 図 1 に示すように、辺の長さが L の正方形の領域
に面積 σ の的がある。正方形領域中をランダムに通過す
る弾丸（大きさは無視）が的にぶつからずに通過できる
確率を求めよ。
(b) 図 2 に示すように、辺の長さが L の立方体の領域
に面積 σ の的が N 個ある。立方体領域中をランダムに
直進（ただし辺に平行）する物体（大きさは無視）が的
にぶつからずに直進できる確率を求めよ。的は、立方体
中にランダムに分散している。ヒント：この問題を解く
には、図 3 のように、分解して考える。そうすれば、
（a）
で求めた結果を使うことができる。
(c) (b) で求めた確率を、単位体積中の的の数 n = N/L3
を用いて書き直す。
(d) (c) で求めた確率は、nσL = 有限で、nL3 ≫ 1,
σ/L2 ≪ 1 の極限で近似すると、exp(−nσL) となること
を示せ。ヒント：(1 − x/n)n ≈ exp(−x) を使う。
である。
(d) 静電場中で、電荷 q を場所 A から B へ移動すると
きの仕事を静電ポテンシャル ϕ を用いて計算すると、
qϕ(場所 A) − qϕ(場所 B),
√
√
= qϕ(R, 0) − qϕ(R/ 2, R/ 2),
√
2
=
qE0 R3 ,
4
(35)
(28)
⃗ = −∇ϕ を満たす静電ポテンシャル ϕ は、
に対して、E
ϕ(x, y) = −E0 xy 2 ,
(34)
−a > z のとき。
となる。
(b) 経路は、⃗r(θ) = (R cos(θ), R sin(θ)) であり、電場
⃗ = E0 (y 2 , 2xy) なので、経路上の電場は、
は、E
⃗ = E0 (R2 (sin θ)2 , 2R cos(θ)R sin(θ)),
E
(33)
a > z > −a のとき。
(a) 経路の座標が、θ の関数として
⃗r(θ) = (R cos(θ), R sin(θ)),
答え
L
図３
問 IV
弾丸
z 軸上の z = a の点 A に +Q の電荷、z = −a の点 B
に −Q の電荷がある。このとき、z 軸上の各点における
電位と電場を求めよ。
N枚の面に１個ずつ的があり、
各面が重なっていると考える。
3
A.
答え
σ
(a) 1 − 2 ,
L
(
σ )N
(b) 1 − 2
,
L
3
(
σ )nL
(c) 1 − 2
,
L
3
(
σ )nL
(d) 1 − 2
,
L
[(
)n ]L3
σn/L2
=
1−
,
n
[
]L3
= exp(−σn/L2 )
,
= exp(−nσL),
VI.
(39)
(40)
(41)
である。散乱された光はさらに別な脂肪球で散乱され、
結果として、牛乳は光を強く乱反射する。これが牛乳が
白い理由である。牛乳に光を照射したとき、散乱されず
に光 (光を光子、弾丸のようなものと見なす) が通過する
確率が 0.5 になる牛乳の厚みを求めよ。
(b) 血液には、赤血球が含まれ、光を強く散乱する。ヘ
マトクリットと呼ばれる値は、血液中に含まれる赤血球
の体積分率を表し、成人では 40% 程度である。赤血球を
直径 7 µm の球として、血液中を散乱されずに光が通過
する確率が 0.5 になる血液の厚みを求めよ。
(42)
A.
答え
(43)
(44)
(45)
問 VI
問 V の結果から、面積 σ の散乱体が単位体積中に n
個存在するような物体中を何かが伝搬するとき、散乱
（衝突）することなく距離 L 進むことができる確率は、
exp(−nσL) であることがわかる。σ のことを散乱断面積
という。このことを用いて答えよ。
(a) 牛乳には 4% の脂肪が含まれている。その脂肪の
大部分は直径 10µm 以上であり、このままでは浮上して
クリーム層となり品質の低下をまねく。そこで、均質機
（ホモゲナイザー）で、脂肪球を機械的に均質化（ホモ
ゲナイズ）して小さくする。ホモゲナイザーは、牛乳を
100 気圧の圧力下で 1/100mm の隙間に急速に通過させ、
脂肪球を直径 2µm まで細かくする。
牛乳中の脂肪球は、透明な液体球であり、光に対して
焦点距離の短いレンズのような働きをして、脂肪球を通
過した光を全て四方八方へ散乱してしまう。このため、
脂肪球の光に対する散乱断面積は、幾何学的面積と同じ
(a) r = 10−6 m の球なので、散乱断面積 σ = πr2 =
3.14×10−12 m2 である。単位体積中の脂肪球の数は、n =
0.04m3 /4πr3 /3 = 9.5×1015 個である。
exp(−nσL) = 0.5 を解いて、L = 23µm となる。牛乳
はかなり薄い膜状に広げても、白いことがわかる。実際、
二枚のガラス板の間に牛乳を入れて押さえると 0.1 mm
以下の隙間になるが、不透明なままである。
(b) r = 3.5×10−6 m の球なので、散乱断面積 σ = πr2 =
3.8×10−11 m2 である。単位体積中の赤血球の数は、n =
0.4m3 /4πr3 /3 = 2.2×1015 個である。
exp(−nσL) = 0.5 を解いて、L = 8µm となる。血液の
ほうが牛乳より不透明であることがわかる。さらに赤血
球などで光が多重散乱されるので、手のひらを太陽に透
かすと、一部の光が透過して来るにもかかわらず骨は見
えない。しかしながら、光を用いた人体の計測は非侵襲
なので新生児から老人まで害を気にせず行うことができ
るため、広く研究され、成果も上がっている。たとえば、
指先に光を当ててヘモグロビンの酸素吸着率を測定する
装置 (pulse oximeter) は広く普及している。また、頭部
に光 (波長 600nm-900nm 程度) をあて、多重散乱されて
頭部から出てくる光の強度には、精神活動と相関がある
ことが知られており、非侵襲な脳活動計測装置として普
及しつつある（NIRS, near‐ infrared spectroscopy）。

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