Mathematischer Anhang
Vorlesung: Makroökonomik (B.Sc.)
Universität Leipzig
Makroökonomik
Prof. Dr. Thomas Steger
Oktober 2016
1
Funktionen
Makroökonomische Analyse bedeutet häufig den Einfluss einer oder mehrerer
Größen auf andere zu untersuchen. Solche theoretisch oder empirisch motivierten Zusammenhänge werden in mathematischen Funktionen ausgedrückt.
So wird der Output Y einer Volkswirtschaft als eine Funktion der Produktionsfaktoren Kapital (K) und Arbeit (L), Y = f (K, L), der Konsum als eine
Funktion des Einkommens, C = f (Y ), oder die Investitionen als Funktion des
Zinses (i), I = f (i), modelliert.
So ordnet beispielsweise eine Funktion f jedem x ∈ D eindeutig eine Zahl
y ∈ W zu, so dass y = f (x) gilt. Im Falle einer Funktion mehrerer Variablen
ordnet f jeder Wertekombination (x1 , ..., xn ) einen Funktionswert y zu.
D heißt der Definitionsbereich, W der Wertebereich. x wird die unabhängige
Variable oder Argument, y die abhängige Variable oder Funktionswert genannt.
Da Definitions- und Wertebereich in den meisten Fällen die Menge der nichtnegativen reelen Zahlen R ist, wird im Folgenden auf die Angabe verzichtet.
Oft wird die formale Analyse von Zusammenhängen durch Graphiken unterstützt.
Der Graph einer Funktion f ist die Menge aller Punkte
{(x, y) |x ∈ D ∧ y = f (x)}
in einem Koordinatensystem.
Funktionen können allgemein (global) oder in speziellen Bereichen (lokal)
bestimmte Eigenschaften aufweisen.
Eine Funktion heißt monoton steigend (fallend), wenn für alle x0 , x1 ∈ R mit
x1 > x0 die Ungleichung f (x1 ) ≥ (≤)f (x0 ) gilt. Ersetzt man die Relation ≥ (≤)
durch > (<), so liegt strenge Monotonie vor.
Von Konvexität (Konkavität) spricht man, wenn eine Verbindungslinie zweier
beliebiger Punkte des Graphen der Funktion stets oberhalb (unterhalb) des
Graphen verläuft. Für alle x0 , x1 ∈ R und alle a ∈ (0, 1) muss bei Konvexität
(Konkavität)
f (ax0 + (1 − a)x1 ) ≤ (≥) af (x0 ) + (1 − a)f (x1 ) gelten.
2
Stetigkeit
Eine naive Vorstellung von Stetigkeit einer Funktion auf einem bestimmten Intervall, ist die des nicht abgesetzten Bleistiftes beim Zeichnen der Funktion.
Nicht ganz präzise, trifft es aber den Sachverhalt. Stetige Funktionen weisen
also keine Sprungstellen auf.
2
fHx1 L
fHx0 L
fHx0 L
fHx1 L
x0
x1
x0
x1
Figure 1: Monotonie, Konvexität
Eine Funktion wird stetig an der Stelle x = a genannt, wenn die Funktionswerte durch das Annähern der Argumente von links und rechts an a, dem
Funktionswert von a entsprechen. Vorrausgesetzt natürlich, der Funktionswert
f (a) existiert.
lim f (x) = f (a) = lim f (x)
x→− a
x→+ a
y=fHxL
y=fHxL
x
x=a
x
x=a'
x=a'
Figure 2: stetig - unstetig
Für Funktionen mehrerer Veränderlicher ist obige Definition von Stetigkeit
für alle einzelnen Argumente zu überprüfen.
Eine Summe, Differenz und ein Produkt stetiger Funktionen ist wieder eine
stetige Funktion.
3
Steigung
Das Niveau einer Funktion f (x) an einer bestimmten Stelle x0 ist nicht immer
aufschlussreich. Vielmehr interessiert die Änderung des Funktionswertes bei
Variation von x. In den Wirtschaftswissenschaften ist die Steigung einer Funktion ein zentrales Analysekonzept. Wann immer von Grenzgewinn, Grenzkosten
oder Grenzproduktivität die Rede ist, meinen wir die Steigung der Funktion,
vielmehr die Änderung des Funktionswertes f (x) bei einer infinitesimalen (“sehr
3
kleinen”) Änderung des Argumentes.
∆y
∆x
Der Quotient
gibt allgemein die Steigung an und wird Differenzenquotient
genannt. Im linearen Fall ist somit der Anstieg der Funktion bestimmt. In
allen anderen Fällen wird durch das Anlegen einer Sekante der durchschnittliche
Anstieg in einem Intervall bestimmt. Unten stehende Abbildung verdeutlicht,
daß durch ein immer kleiner werdendes ∆x sich die Steigung der Sekante, der
Steigung der Funktion an der Stelle x annähert. Wird ∆x nun immer kleiner
gewählt, infinitesimal, so wird im Grenzübergang aus der Sekante eine Tangente an der Stelle x und der richtige Anstieg ist gefunden. Da x ein beliebiger
Wert sein kann, gilt der gefundene Zusammenhang für alle x ∈ D. Aus dem
Differenzenquotient ist jetzt der Differentialquotient geworden.
0
f (x) ≡ lim
∆x→0
f (x + ∆x) − f (x)
∆x
auch
df
dx
Funktionswert
fHx+DxL
Dy
Dx
fHxL
Argument
x
x+Dx
Figure 3: Anstieg einer Funktion
Beispiel für f (x) = x2
0
(x + ∆x)2 − x2
∆x→0
∆x
x2 + 2x∆x + ∆x2 − x2
= lim
∆x→0
∆x
2x∆x ∆x2
+
= lim
∆x→0 ∆x
∆x
= lim 2x + ∆x
f (x) =
lim
∆x→0
0
f (x) = 2x
4
3.1
Partielle Ableitung
In der ökonomischen Theorie werden die technischen Bedingungen der Produktion durch eine Funktion abgebildet. Bereits bekannt ist die Produktionsfunktion vom Typ Cobb-Douglas. Die spezifischen Eigenschaften einer solchen
Funktion werden später analysiert. Hier soll nur darauf eingegangen werden,
wie eine Funktion mehrerer Veränderlicher in Bezug auf den Anstieg zu handhaben ist. Die Frage ist also auch hier wieder, wie sich der Funktionswert
(Output) ändert, wenn die Argumente (Inputs) variiert werden. Um deutlich
zu machen, dass eine Funktion mehrerer Veränderlicher nach einer Variablen
differenziert wird (partiell), schreibt man anstelle des d im Differentialquotienten ein “Fantasie-d” ∂. Gegeben sei folgende Funktion:
Y = F (K, L) = AK α L1−α
Um die Veränderung von Y bezüglich Kapital zu bekommen, halten wir einfach
Arbeit konstant, haben defacto nur ein Argument und können so wie oben
beschrieben vorgehen.
∂Y
= AαK α−1 L1−α
∂K
Für den Faktor Arbeit, jetzt also Kapital “festgehalten”, erhalten wir folgenden
Ausdruck
4
∂Y
= AK α (1 − α)L−α
∂A
Regeln zum Ableiten
Oft ist im studentischen Alltag keine Zeit oder Notwendigkeit gegeben, den
Anstieg einer Funktion über den Differenzen- bzw. Differentialquotienten zu
bestimmen. Viele Generationen vor uns haben die wichtigsten Anstiege spezieller
Funktionen bestimmt und niedergeschrieben. Diese werden jeweils an einem
Beispiel dargestellt.
Faktorregel:
f (x) = a · g(x)
Beispiel:
f 0 (x) = a · g 0 (x)
f (x) = 3 · ln(x) ; f 0 (x) = 3 ·
Summenregel:
f (x) = g(x) + h(x)
f 0 (x)
=
g 0 (x)
+
h0 (x)
1
x
Beispiel:
f (x) = 4x2 + 5x + ln(x) ; f 0 (x) = 8x + 5 +
Produktregel:
5
1
x
f (x) = g(x) · h(x)
f 0 (x)
=
g 0 (x)
Beispiel:
· h(x) + g(x) ·
h0 (x)
Qutientenregel:
g(x)
f (x) = h(x)
f 0 (x)
=
Beispiel:
g 0 (x)·h(x)−g(x)·h0 (x)
(h(x))2
Kettenregel:
f (x) = g(h(x))
f 0 (x)
5
5.1
=
f (x) = 4x2 · ln(x) ; f 0 (x) = 8x · ln(x) + 4x
f (x) =
3x−5
x−2
; f 0 (x) =
−1
(x−2)2
Beispiel:
g 0 (h(x))
·
h0 (x)
f (x) = (1 − x3 )5 ; f 0 (x) = −15x2 · (1 − x3 )4
Optimierung
Maximierung ohne Nebenbedingung
Optimierungsprobleme nehmen in den Wirtschaftswissenschaften ein zentrale
Rolle ein. Jedem untersuchten Wirtschaftssubjekt werden Verhaltensregeln unterstellt. Der Haushalt maximiert seinen Nutzen aus Freizeit und Konsum und
Unternehmen maximieren ihren Gewinn.
Was aber genau heißt optimieren? Optimierungsprobleme ohne Nebenbedingung können mit Hilfe der Schulmathematik gelöst werden. Die Aufgabe besteht
darin, die Argumente eines funktionalen Zusammenhangs zu finden, die f (x),
den Funktionswert, maximieren. Im Folgenden soll anhand einer kleinen Kurvendiskussion das Vorgehen wiederholt werden.
Funktionswert
10
f''HxL
8
f'HxL=0
fHxL
6
4
2
Argument
1
-1
-2
2
3
4
5
f'HxL
f'HxL=0
Figure 4: Optimierung ohne Nebenbedingung
6
Abbildung 4 zeigt drei Funktionen. f (x), die erste Ableitung f 0 (x) (Anstieg)
und die zweite Ableitung (Krümmung) f 00 (x).
Ein lokales Maximum, im folgenden mit x∗ bezeichnet, muss zwei Kriterien
erfüllen. Zum einen darf eine Erhöhung von x keine Steigerung von f (x) mit
f (x) > f (x∗ ) zur Folge haben. Diese Bedingung erster Ordnung ist genau dann
erfüllt, wenn der Anstieg der Funktion Null ist.
notwendige Bedingung für Maximum:
f 0 (x∗ ) = 0
Zum anderen müssen in einer beliebig kleinen -Umgebung um x∗ die Funktionswerte kleiner als f (x∗ ) sein, so dass f (x∗ ± ) < f (x) gilt. Die Bedingung
zweiter Ordnung ist genau dann erfüllt, wenn f (x) bei x∗ konkav ist. Konkavität
bedeutet, dass die zweite Ableitung der Funktion negativ ist, der Anstieg also
kleiner wird.
hinreichende Bedingung für Maximum:
5.2
f 00 (x∗ ) < 0
Maximierung mit Nebenbedingung
In Optimierungsproblemen gibt es typischerweise Einschränkungen. Der Haushalt
maximiert seinen Konsum beispielsweise unter der Nebenbedingung, dass seine
Budgetbeschränkung erfüllt ist. Um Probleme dieser Art zu lösen, verwenden
Ökonomen häufig die Methode der Lagrange-Multiplikatoren. Im folgenden
Beispiel soll ohne die Funktionsfähigkeit des Lagrangeansatzes zu beweisen,
das allgemeine Vorgehen erläutert werden.
Gegeben sei eine Produktionsfunktion Y = f (K, L) = AK α L1−α und die mit
Preisen gewichteten Faktormengen als Kostenfunktion, C(K, L) = pK ·K+pL ·L.
Welche Kombination der Inputs führt nun bei einem bestimmten Outputniveau
Ȳ zu minimalen Kosten?
Die Lagrangefunktion für dieses Problem lautet:
L(K, L, λ) = pK · K + pL · L + λ(AK α L1−α − Ȳ )
Die Nebenbedingung AK α L1−α = Ȳ wurde zu AK α L1−α −Ȳ = 0 umgeschrieben,
so dass die Produktion im Optimum dem geforderten Niveau entspricht.
Die Bedingung erster Ordnung muss für alle Variablen erfüllt sein. Die Lagrangefunktion ist also nach allen Variablen abzuleiten und Null zu setzen.
∂L
∂f (K, L)
= pK + λ
=0
∂K
∂K
(1)
7
∂f (K, L)
∂L
= pL + λ
=0
(2)
∂L
∂L
∂L
= f (K, L) − Ȳ = 0
(3)
∂λ
Das Gleichungssystem (bestehend aus obigen notwendigen Bedingungen) determiniert K, L und λ. Für eine ökonomische Interpretation ist es hilfsreich,
Bedingung 1 durch Bedingung 2 zu teilen:
−λ ·
pK
=
pL
−λ ·
pK
=
pL
∂f (K,L)
∂K
∂f (K,L)
∂L
∂f (K,L)
∂K
∂f (K,L)
∂L
=
(4)
r
w
(5)
Eine bestimmte Menge wird also zu minimalen Kosten produziert, wenn das
Verhältnis der Faktorpreise gerade dem Verhältnis der Grenzproduktivitäten
der Faktoren entspricht.
6
Elastizität
Wie schon im Kapitel “Steigung” erwähnt, sind Ökonomen nicht nur an Niveaugrößen,
sondern insbesondere auch an Veränderungen interessiert. Manchmal reicht
das Konzept des Anstiegs, die absolute Veränderung des Funktionswertes bei
Variation des Argumentes, nicht aus. Die Änderung der nachgefragten Menge
von Mittelklassewagen durch Erhöhung des Preises um einen Euro, mag nicht
ins Gewicht fallen. Anders bei Butter. Um solche Sensitivitäten vergleichbar
zu machen und von ihrer Einheit zu trennen, muss ein dimensionsloses Maß
her. Elastizitäten messen also die Änderung der einen Größe im Verhältnis zur
Änderung der anderen Größe nicht absolut, sonder relativ.
Beispiel: Gegeben sei die Funktion y = f (x).
Der absolute Anstieg von f (x) durch Erhöhung des Argumentes x auf x + ∆x
lautet:
∆y
f (x + ∆x) − f (x)
=
.
∆x
∆x
Die relative Änderung, die Elastizität von f bezüglich x, lautet:
yx =
∆y ∆x
∆y x
x ∆y
x f (x + ∆x) − f (x)
/
=
·
= ·
= ·
.
y
x
y ∆x
y ∆x
y
∆x
Diese Definition der Elastizität wird auch durchschnittliche oder Bogenelastizität von y im Intervall [x, x + ∆x] genannt.
8
Um die Elastizität “unabhängig” vom Zuwachs in x zu erhalten, kann für differenzierbare Funktionen ∆x gegen 0 betrachtet werden
lim
∆x→0
x f (x + ∆x) − f (x)
x 0
x df (x)
·
=
· f (x) =
·
.
y
∆x
y
y
dx
Wegen infinitesimalen Änderungen in x wird diese Elastizität auch Punktelastizität genannt.
7
Verschiebung von Graphen
Regeln:
• y = f (x) + c verschiebt Graphen um c Einheiten für c > 0 nach oben, für
c < 0 nach unten.
• y = f (x + c) verschiebt den Grphen für c > 0 nach links, für c < 0 nach
rechts.
y
y
x
x
Figure 5: Graphenverschiebung oben/unten - links/rechts
• y = c · f (x) streckt (staucht) den Graphen vertikal für c > 1 (0 < c < 1 ),
für c < −1 (−1 < c < 0) vertikale Streckung (Stauchung) und Spiegelung
an der X-Achse.
y
y
x
x
Figure 6: Graphenverschiebung strecken/spiegeln
9
8
Unsicherheit
Viele Entscheidungen, die Wirtschaftssubjekte tätigen, haben mit der Zukunft
zu tun. Unternehmen bilden Erwartungen über die Entwicklung auf den Märkten
für die eigenen Produkte oder nehmen eine künftige Zinsentwicklung in die Planung der Investitionsvorhaben auf. Konsumenten und Arbeitnehmer machen
sich Gedanken über die zukünftige Preis- und Lohnentwicklung und beziehen
diese in heutiges Verhalten ein. Erwartungsbildung bedeutet in diesem Zusammenhang häufig, dass Unsicherheit über das Eintreten eines bestimmten Ereignisses
in der Zukunft herrscht. Aus der statistischen Grundausbildung sind einige Momente von Zufallsvariabeln bekannt, die hier nochmal erwähnt werden.
8.1
Erwartungswert
Der Erwartungswert einer Zufallsvariable X ist die Summe der einzelnen Ausprägungen,
gewichtet mit ihrer Eintrittswahrscheinlichkeit.
E(X) :=
M
X
xj · f (xj )
j=1
Der Erwartungswert entspricht dem arithmetischen Mittel bei statistischen
Variablen. Die Wahrscheinlichkeiten f (xj ) übernehmen hier die Rolle relativen
Häufigkeiten. Der Erwartungswert einer Variablen X wird häufig auch mit µX
bezeichnet.
8.2
Varianz
Die Varianz von Zufallsvariablen ist wie bei statistischen Variablen ein Streuungsmaß.
Die Varianz gibt die erwartete, quadrierte Abweichung der Zu-
fallsvariable von ihrem Erwartungswert an.
V (X) := E [X − E(X)]2
8.3
Kovarianz
Die Kovarianz zweier Zufallsvariablen mißt den Gleichlauf, die gemeinsame Tendenz, den stochastischen Zusammenhang dieser beiden Größen. Formal ist die
Kovarianz als der Erwartungswert des Produktes der Abweichungen der einzelnen Komponenten von ihrem jeweiligen Mittelwert definiert.
Cov(X, Y ) := E [(X − µY ) · (Y − µY )]
10
Sind die untersuchten Größen unabhängig voneinander, ist die Kovarianz Null.
Umgekehrt kann aus einer Kovarianz von Null nicht gleich auf Unabhängigkeit
geschlossen werden. Ist die Kovarianz aber verschieden von Null, so kann
bei positiven Werten von einem Gleichlauf, bei negativen Werten von einer
gegenläufigen Bewegung ausgegangen werden. Da Kovarianzen mit obiger Definition nicht untereinander vergleichbar sind, sondern von den absoluten Abweichungen abhängen, kann durch das Produkt der Standardabweichungen geteilt
werden und man erhält den Korrelationskoeffizienten
Cov(X, Y )
ρXY :=
σX · σY
Der Korrelationskoeffizient hat dasselbe Vorzeichen wie die Kovarianz, liegt
aber stets zwischen −1 und +1. Er gibt die Strenge des linearen stochastischen Zusammenhangs unabhängig von den Größenordnungen und Varianzen
der Variablen an.
9
Reihen
Eine Summe aus Zahlen der Form
sn = a + ak + ak 2 + . . . + ak n−2 + ak n−1
wird geometrische Reihe mit dem Quotienten k genannt. In der ökonomischen
Analyse treffen wir häufig auf solche Reihen. Beispielsweise beim Aufsummieren
eines diskontierten Zahlungsstromes oder dem Berechnen des Zeitpunktes an
dem eine Umweltresource erschöpft sein wird. Zwei Dinge sind hier für uns von
Bedeutung. Einmal interessiert uns der Wert der betrachteten Summe, zum
Anderen ob diese gegen einen festen endlichen Wert konvergiert. Die Antwort
auf die erste Frage wäre ein einfaches aufsummieren der Reihenglieder. Bei
großen Reihen werden wir aber schnell an unsere Grenzen stoßen. Ein kleiner
Trick hilft uns weiter. Multipliziert man auf beiden Seiten mit k, erhält man
ksn = ak + ak 2 + . . . + ak n−1 + ak n
Anschließende Subtraktion dieser von der ersten Gleichung ergibt
(1 − k)sn = a − ak n
a − ak n
sn =
1−k
Die Frage nach der Konvergenz (Divergenz) lässt sich für geometrische Reihen
schnell beantworten. Für k < 1 konvergiert die Summe für steigendes n gegen
a
1−k
und für k > 1 divergiert die geometrische Reihe.
11
10
Produktionsfunktion
Die in der makroökonomischen Analyse am häufigsten unterstellte Produktionsfunktion ist vom Typ Cobb-Douglas. Sie beschreibt die Kombinationsmöglichkeiten
der Inputs (Kapital, Arbeit) und den damit erreichbaren Output (Y ).
Y = f (K, L) = K α · L1−α
mit 0 < α < 1
Y=F[K,A]
Kapital
Arbeit
Figure 7: Cobb-Douglas Produktionsfunktion
10.1
Substitionsmöglichkeiten
Isoquanten beschreiben alle Kombinationen der Inputs, die zum gleichen Output führen. Der Anstieg der Isoquante (Grenzrate der Substitution) gibt das
Substitutionsverhältnis der Faktoren an. Für Y = konst. kann der Anstieg
über das totale Differential der Produktionsfunktion
dY =
∂f (K, L)
∂f (K, L)
· dK +
· dL = 0
∂K
∂L
∂f (K,L)
dL
αK α−1 L1−α
α
α L
= − ∂f ∂K
=
=
K α−1 K −α L1−α Lα =
α
−α
(K,L)
dK
(1 − α)K L
1−α
1−αK
∂L
10.2
Grenzproduktivität
Sie zeigt näherungsweise an, um welchen Betrag die Produktion steigt, wenn der
Faktoreinsatz um eine Einheit erhöht wird. Unter vollkommener Konkurrenz
12
werden die Produktionsfaktoren nach ihrem Grenzprodukt entlohnt.
M PK
=
M PL =
10.3
dY
∂f (K, L)
=
= αK α−1 L1−α = r
dK
∂K
dY
∂f (K, L)
=
= (1 − α)K α L−α = w
dL
∂L
Homogenität
Eine Funktion y = f (x1 , . . . , xn ) heißt homogen vom Grad k, k ∈ R, wenn für
jedes a ∈ R
f (ax1 , ax2 , . . . , axn ) = ak f (x1 , x2 , . . . , xn ) gilt.
Eine Steigerung aller Inputs um den Faktor a bewirkt einen Anstieg der Produktion um den Faktor ak . Für die Cobb-Dougloas Produktionsfunktion ergibt
sich folgender Homogenitätsgrad
f (aK, aL) = (aK)α (aL)1−α
= aα K α a1−α L1−α
= a1 K α L1−α
= a1 · f (K, L)
Es liegt für die Cobb-Douglas Produktionsfunktion Homogenität vom Grad 1
vor. Solche Funktionen werden auch linear homogen genannt. Ökonomisch interpretiert bedeudet eine linear homogene Produktionsfunktion konstante Skalenerträge. Eine Verdoppelung der Inputs (Kapital, Arbeit) hätte eine Verdoppelung des Outputs zur Folge.
10.4
Eulers Theorem - Ausschöpfungstheorem
Aus dem Grad der Homogenität einer Funktion lässt sich eine weitere wichtige,
ökonomisch relevante, Eigenschaft ableiten.
Ist eine Funktion f (K, L) homogen vom Grad k, dann gilt
K·
∂f (K, L)
∂f (K, L)
+L·
= k · f (K, L)
∂K
∂L
Für die hier betrachtete Produktionsfunktion vom Typ Cobb-Douglas und die
eben gezeigte Eigenschaft linear homogen zu sein, ergibt sich
K·
∂f (K, L)
∂f (K, L)
+L·
= K · r + L · w = 1 · f (K, L) = Y
∂K
∂L
Somit wird in kompetetiven Ökonomien das Produktionsergebnis vollständig
auf die Faktoren verteilt.
13
10.5
Substitutionselastizität
Die “Schwierigkeit” bei einer isolierten Faktorpreisänderung (Produktivitätssteigerung)
eine geeignete Substitution der Faktoren vorzunehmen, wird dimensionslos in
der Substitutionselastizität ausgedrückt. Eine relative Änderung der Faktorpreise als Ursache und die daraus resultierende relative Änderung des Faktoreinsatzverhältnisses, kann geschrieben werden als
d( K
L)
K
L
w
r
w
r
σ=
d(
=
)
d
K
L
K
L
·
d
w
r w
r
d
=
d
K
L
w
r
·
w
r
K
L
(6)
Mit dem Wissen aus Kapitel 10.2 können wir den Ausdruck
w
r
auch schreiben
als
w
(1 − α)K α L−α
(1 − α) K
=
=
·
α−1
1−α
r
αK
L
α
L
Umstellen nach
w
r
K
L
=
w
r
K
L
(7)
ergibt
(1 − α)
α
(8)
Den Ausdruck in (7) nach
K
L
umgestellt und als linear in
w
r
interpretiert, ergibt
sich
d
d
K
L
w
r
=
α
(1 − α)
(9)
(8) und (9) in (6) eingesetzt ergibt sich für σ
σ=
α
(1 − α)
·
=1
(1 − α)
α
Die Produktionsfunktion vom Typ Cobb-Douglas weist demnach eine Substituionselastizität von 1 auf. Unternehmen mit einer solchen Produktionsfunktion
reagieren auf eine Änderung des Lohn-Zins Verhältnisses mit einer gleichen
Änderung der Kapitalintensität.
11
Ableitungen elementarer Funktionen
f(x)
f ’(x)
Konstante c
0
xn
n · xn−1
expx
expx
ax (a > 0; a 6= 1)
ax · ln(a)
a−x (a > 0; a 6= 1)
−a−x · ln(a)
ln(x)
1
x
14
References
[1] A. Chiang, K. Wainwright (2005), Fundamental Methods of Mathematical Economics, 4. Auflage, NewYork.
[2] P. Dörsam (2005), Mathematik anschaulich dargestellt, 12. Auflage, Heidenau.
[3] K. Sydsaeter, P. Hammond (2006), Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, 2. Auflage, München.
15
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