9. ÜBUNGSBLATT, 13. JUNI 2016
(1) Ermitteln Sie die bedingte Faktornachfragefunktion z(w, q) und die langfristige Kostenfunktion c(w, q) für die folgenden Produktionsfunktionen:
(a) f (z) = z1 + z2
(b) f (z) = min{z1 , z2 }
(2) Langfristige Kostenminimierung:
Gegeben sei die Cobb-Douglas Produktionsfunktion
f (z1 , z2 ) = z1α z2β ,
α > 0, β > 0
(a) Ermitteln Sie die bedingte Faktornachfragefunktion z(w, q).
(b) Ermitteln Sie die Kostenfunktion c(w, q) und stellen Sie diese graphisch als Funktion
der Produktionsmenge q dar (mit q auf der Abszisse). Unterscheiden Sie zwischen
den Fällen α + β < 1, α + β = 1 und α + β > 1.
(c) Berechnen Sie die langfristigen Grenzkosten M C(w, q) und stellen Sie diese graphisch
als Funktion der Produktionsmenge q dar (mit q auf der Abszisse). Unterscheiden
Sie zwischen den Fällen α + β < 1, α + β = 1 und α + β > 1.
(d) Berechnen Sie die langfristigen Durchschnittskosten AC(w, q). Diskutieren Sie den
Zusammenhang zwischen AC(w, q) und M C(w, q) in Abhängigkeit der Fälle α+β <
1, α + β = 1 und α + β > 1.
Anmerkung: (nicht zu beweisen) Wenn f (z) homogen vom Grad r > 0 ist, dann
gilt: c(w, q) = q 1/r c(w, 1) und z(w, q) = q 1/r z(w, 1)
(3) Eigenschaften der Grenkosten C 0 (q) und Durschnittskosten AC(q):
Zeigen Sie, dass AC(q̄) = C 0 (q̄) für jedes q̄ gilt welches die Bedingung AC(q̄) ≤ AC(q)
∀q erfüllt.
(4) (a) Zeigen Sie, dass gilt: wenn f (z) homogen vom Grad Eins ist, d.h. konstante Skalenerträge aufweist, dann ist z(w, q) homogen vom Grad Eins in q.
(b) Zeigen Sie, dass gilt: wenn f (z) konkav ist, dann ist c(w, q) eine konvexe Funktion
in q.
(5) Eine Firma hat 2 Betriebsstätten mit den Kostenfunktionen c1 (q1 ) = q12 /2 und c2 (q2 ) =
q2 . Wie sieht die Kostenfunktion der Firma aus?
(6) Eine Firma hat folgende Produktionsfunktion q = z1 z2 . Nehmen Sie an, dass die minimalen Kosetn der Produktion bei den Faktorpreisen w1 = w2 = 1 c(w, q) = 4 betragen.
Bestimmen Sie den Output q.
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(7) Zeigen Sie, daß im Falle einer Produktionsfunktion, welche die globale Eigenschaft konstanter Skalenerträge aufweist, die Lösung des Profitmaximierungsproblems nicht eindeutig ist und jeder profitmaximierenden Faktorkombination ein Profit in der Höhe von
Null entspricht.
(8) Nehmen Sie folgende Produktionsfunktion (mit nur einem Input z) an: f (z) = 20z − z 2
und nehmen Sie weiters an, daß der Preis des produzierten Gutes auf 1 normiert wurde.
Der Preis des Inputs z ≥ 0 sei w. Beantworten Sie folgende Fragen:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Geben Sie die Bedingung erster Ordnung für ein Profitmaximum z > 0 an.
Für welche Werte von w ist es optimal den Input z auf Null zu setzen?
Für welchen Wert von w wird der optimale Input auf z = 10 gesetzt?
Leiten Sie die Faktornachfragefunktion her.
Leiten Sie die Profitfunktion her.
Bilden Sie die Ableitung der Profitfunktion in Bezug auf w. Welchen Ausdruck
erhalten Sie?
(9) Betrachten Sie ein Unternehmen mit folgender kurzfristiger Gesamtkostenkurve:
C(q) = 100 + 2q + q 2
(a) Ab welchem Preis produziert das Unternehmen kurzfristig? Wie viel produziert das
Unternehmen bei einem Preis p = 25?
(b) Nehmen Sie an, daß langfristig für q > 0 die gleiche Kostenstruktur gilt und C(0) =
0 gilt. Ab welchen Preis produziert das Unternehmen langfristig?
(10) Betrachten Sie die folgende Graphik in welcher der Erlös R = py, die Kosten C und der
Profit π(y) als Funktion des Output y angegeben sind. Besprechen Sie anhand dieser
Graphik die Bedingungen der Profitmaximierung. Geben Sie in einem zweiten Diagramm
den entsprechenden Verlauf der Grenzkosten, der langfristigen Durchschnittskosten, des
Grenzprofit (dπ/dy), sowie des Preises p an.
ANMERKUNG:
Es werden folgende Beispiele zum ankreuzen sein: 1a, 1b, 2a, 2b, 2cd, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Das
Beispiel 4 wird in der Übung gezeigt und ist NICHT zum ankreuzen.
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