Blatt3 - II. Institut für Theoretische Physik

UNIVERSITÄT STUTTGART – II. INSTITUT FÜR THEORETISCHE PHYSIK
Prof. Dr. Udo Seifert
Sebastian Goldt MSc, David Hartich MSc, Sebastian Weber MSc, Dipl.-Phys. Pavel Anisimov
Übungen zur Kursvorlesung Elektrodynamik (SS 2016)
Blatt 3
Aufgabe 8: Auf der z-Achse sei bei z = −a und z = a jeweils eine Punktladung mit Ladung q
R
angebracht. Berechnen Sie sowohl das Dipolmoment p ≡ dV 0 r0 ρ(r0 ) als auch das QuadruR
polmoment Qij ≡ dV 0 (3x0i x0j − r02 δij )ρ(r0 ) dieser Ladungsanordnung.
(2 Punkte)
Aufgabe 9: Im Allgemeinen hängen die Ladungsverteilung ρ(r) und das elektrostatische Potential
φ(r) durch die Poisson-Gleichung zusammen,
−∆φ(r) = ρ(r).
(1)
In dieser Aufgabe wollen wir dieses Ergebnis durch eine Variationsrechnung herleiten. Hierzu
nehmen wir zunächst Dirichlet-Randbedingungen an, d.h. φ(x) sei auf den Rändern gegeben,
und betrachten das Funktional
Z
Z
1
0
0
0
dV 0 ρ(r0 )φ(r0 ).
(2)
I[φ] =
dV ∇φ(r ) · ∇φ(r ) −
2 V
V
a) Interpretieren Sie die beiden Terme in (2). Betrachten Sie die Änderung des Funktionals (2)
unter einer infinitesimalen Änderung φ → φ + δφ bis zur ersten Ordnung und leiten Sie die
Poisson-Gleichung aus der Bedingung δI ≡ I[φ + δφ] − I[φ] = 0 her. Tipp: Nutzen Sie die
erste Greensche Identität.
b) Die elektrische Kapazität eines Leiters ist gegeben durch
Z
C=
dV 0 |∇φ(r0 )|2
(3)
V
wobei φ(r0 ) wieder die Lösung der Poisson-Gleichung mit den gegebenen Randbedingungen ist. Zeigen Sie, dass für eine beliebige Funktion ψ(r0 ), die die Randbedingungen des
Problems erfüllt,
Z
C[ψ] =
dV 0 |∇ψ(r0 )|2
(4)
V
eine obere Schranke für die wahre Kapazität darstellt. Dies ist das Variationsproblem für
die Kapazität.
c) Wir betrachten das Feld in einem unendlich langen Leiter mit quadratischem Querschnitt
(0 ≤ x, y ≤ 1) an dessen Oberfläche φ = 0 gilt. Die Ladungsdichte ist ρ = 1. Wenden Sie
das Variationsprinzip (2) mit dem Potential φ(x, y) = A · x(1 − x) · y(1 − y) an und finden
Sie den optimalen Wert für A. Überprüfen Sie die Qualität Ihrer Näherung, indem Sie Ihr
Ergebnis und die exakte Lösung,
∞
16 X sin[(2m + 1)πx]
cosh[(2m + 1)π(y − 1/2)]
4πφ(x, y) = 2
1−
,
(5)
π m=0
(2m + 1)3
cosh[(2m + 1)π/2]
für y = 0.25 und y = 0.5 als Funktion von x plotten.
(4 Punkte)
Aufgabe 10: Zwei unendlich lange, gerade Leiter liegen parallel zueinander im Abstand a. Sie
werden jeweils von den Strömen J1 und J2 durchflossen. Welche Kraft pro Länge üben sie
aufeinander aus?
(3 Punkte)
Aufgabe 11: Betrachten Sie eine unendlich lange Spule mit NS Windungen der Länge lS . Die
Spule sei so gewickelt, dass jede Windung als kreisförmig mit Radius R angenommen werden
darf. Die Stromdichte lässt sich dann folgendermaßen in Zylinderkoordinaten ausdrücken:
j(r) = j(ρ) eφ =
NS J
δ(ρ − R) eφ .
lS
(6)
Bestimmen Sie die magnetische Flussdichte B(r) dieser Spule.
Hinweis: Nutzen Sie die Symmetrieeigenschaften der Systemanordnung aus.
(3 Punkte)

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