null

2-1
半導体⼯学
名城大学理⼯学部材料機能⼯学科
岩谷素顕
講義内容  真性半導体の電気的特性
 不純物半導体
 不純物半導体の活性化エネルギー
本日の内容
回数
2-2
項目
内容
1
電子統計1
次元の制御と状態密度真性半導体
2
電子統計2
不純物半導体 n型 p型
3
電気伝導
移動度ホール効果拡散係数アインシュタイン関係式
4
ダイオード1
ポアソン方程式バンドダイヤグラム空乏層空間電荷層
拡散電位階段接合キャリア寿命
5
ダイオード2
傾斜接合接合容量逆方向飽和電流温度特性電子雪崩
6
バイポーラトランジスタ1 エミッタ効率ベース輸送効率ベース接地電流増幅率
7
バイポーラトランジスタ2 エミッタ接地電流増幅率アーリー効果
8
バイポーラトランジスタ3 周波数特性
9
サイリスタ
ターンオン条件 GTO
10
⾦属と半導体の接触
ショットキー障壁オーム性接触リチャードソン定数
11
FET1
MESFET 静特性高周波特性
12
FET2
MOSTFETのバンドダイアグラム静特性 Nチャネル P
チャネル
13
FET3
エンハンスメントディプレッション CMOS
14
IMPATT、PD、太陽電池
LED、LD
衝突イオン化、光吸収、量子効率、フィルファクター、タン
デムセル直接遷移、間接遷移、発光色とバンドギャップ、
反転分布、キャリア閉込、光閉込、ファブリ・ペロー共振器
TTL
真性半導体の
2-3
電気伝導特性
• 不純物が⼊っていない半導体を考える
2-4
電気伝導について考える
自由電子・自由正孔が電気伝導に寄与する
J: 電流密度[A/cm2]、σ：電気伝導率[S/cm]、E：電界[V/cm]、ρ：抵抗率の関係[Ω cm]
半導体⼯学ではcgs単位系を使う
J = σE =
E
ρ
σ=
自由電子が電気伝導に寄与する場合の伝導率、抵抗率は
σ = enμ
ρ=
1
ρ
1
enμ
自由正孔が電気伝導に寄与する場合の伝導率、抵抗率は
σ = epμ
ρ=
1
epμ
e: 電子の素電荷(1.6×10-19C)、n：自由電子濃度(cm-3)、
p:自由正孔濃度(cm-3)、μ：移動度(cm2/Vs)
自由電子濃度・自由正孔濃度は?
電子のエネルギーE
2-5
自由電子濃度は?
伝導帯に存在する単位体積あたりの電子数
∞
n =  Z ( E ) f ( E )dE
伝導帯
Eg
Z(E)；状態密度
禁制帯
バンドギャップ
Eg
Eg
f(E)；フェルミ・ディラック分布関数
⇒半導体中における電子の分布関数
0
波数k
自由正孔濃度は?
価電子帯に存在する単位体積あたりの正孔数
価電子帯
0
p =  Z ( E ){1 − f ( E )}dE
−∞
2-6
状態密度は?
3次元：
2次元：
1次元：
Z 3D ( E ) =
8π 2 1.5
m
E
3
h
1 m
Z2D (E) =
π 2
Z1 D ( E ) =
2m 1
π E
ℎ:プランク定数、E：エネルギー、ℏ:ディラック定数
m: 電子(正孔)の質量
⇒固体中の電子の質量は真空中の電子の静⽌質量(=m0)とは異なる
キャリアの有効質量：m*
2-7
有効質量：結晶内の電子の運動をきめる⾒かけの質量。
 2k 2
E=
をkで2回微分すると
2m
有効質量m*：
∂2E 2
=
∂k 2 m*
2

m* = 2
∂ E
∂k 2
有効質量mは、E-k関係の曲率で決まる。
(但し,k=0付近のみ)
半導体材料中の状態密度は?
状態密度Z(E)：単位体積・単位エネルギーあたりに存在する状態数
3次元：
2次元：
1次元：
Z 3D ( E ) =
8π 2 *1.5
m
E
3
h
1 m*
Z2D (E) =
π 2
2m* 1
Z1 D ( E ) =
π
E
ℎ:プランク定数、E：エネルギー、ℏ:ディラック定数
m*:
電子(正孔)の有効質量
2-8
演習：以下のバンド図のような半導体がある場合、伝導帯電子と
価電子帯正孔のどちらが有効質量は重いか？また理由を答えなさい。
電子のエネルギーE
2-9
有効質量は以下の式で表される。
2
m = 2
∂ E
∂k 2
*
伝導帯
波数k
したがって、極率の小さい価電子帯正
孔の方が極率の大きい伝導帯電子の
方がより有効質量は重い
価電子帯
演習；伝導帯電子と価電子帯正孔の状態密度の概略を横軸
Z(E)、縦軸Eで書きなさい。ただし、伝導帯の基準はEgを
始点に、価電子帯は0を始点にし記載しなさい。ただし正孔
の場合はプラスマイナスが反転しているので注意すること。
ヒント：
電子のエネルギーE
伝導帯
Eg
波数k
価電子帯
Z 3D ( E ) =
8π 2 *1.5
m
E
h3
2-10
2-11
フェルミ・ディラック分布関数をグラフ化すると
E
f FD ( E ) =
1
 E − Ef
exp
 k BT

 + 1

T:上昇
1/2
Ef
f（E）
T=0[K]
分布関数
0Kの時のバンド図
この時、電界をかけても
電流は流れない
エネルギーE
伝導帯
2-12
N個のSiからなる
真性半導体の場合
T=0 [K] 真性半導体では
電子はゼロ個
禁制帯
バンドギャップ: Eg
波数k
電子は合計４N個で充満
価電子帯
（3ｓ）2（3p）2 →
sp3混成：4個
T≠0の時の伝導帯の電子濃度
E
伝導帯
n
2-13
価電子帯の正孔濃度
熱エネルギーによって
伝導帯に自由電子
価電子帯に自由正孔
が形成される
真性半導体の場合
伝導帯電子密度：n
＝価電子帯正孔密度：p
熱的励起etc.
E＝0
p
ｋ
価電子帯
価電子帯の頂をE=0してこの現象を解析する
2-14
真性半導体における電子と正孔のエネルギー状態密度
エネルギーE
エネルギーE
エネルギーE
伝導帯
T:上昇
波数k
Ef
T=0
価電子帯
Z(E)
0 1/2 1
f(Ｅ)
状態密度関数分布関数
状態密度関数Z(E)：単位体積・単位エネルギーあたりに存在する状態数
分布関数f(E)：電子の存在確率(0~1の値を取る)
2-15
真性半導体：伝導帯電子濃度/価電子帯正孔濃度
E
E
E
伝導帯
Ze(E-Eg)
Eg
Ef
電子の存在確率>0
電子が存在
3次元結晶の場合、
状態密度は E
に⽐例
電子(正孔)の定
在波の密度
ｋ
E＝0
f（E）
1/2
Zh(-E)
価電子帯
電子の存在確率<1
⇒正孔が存在
状態密度
分布関数
2-16
伝導帯の総電子数(単位体積あたり)を計算する
E
me: 電子の有効質量
kB:ボルツマン定数
∞
n =  Z ( E ) f ( E )dE
伝導帯
Eg
E=Eg
8π 2 3
me 2 E − E g
=
Eg
h3
1.5
ｋ
価電子帯
 2πme k BT  −
= 2
 e
2
 h

= Nc ⋅ e
−
dE
E−E f
e
禁制帯幅Eg
E＝0
1
∞
k BT
+1
Eg − E f
k BT
Eg − E f
k BT
Nc:伝導帯の実効状態密度
補足
2-17
∞
n =  Z ( E ) f ( E )dE
Eg
8π 2 3
me 2 E − E g
=
Eg
h3
1
∞
3
2
∞
3
2
∞
dE
E−E f
e
k BT
x2 =
+1

0
1

 E f − Eg
2
(k BT ) ⋅ x ⋅ exp
 k BT

3
 E f − Eg
2
2
 2
= 4π  2 me  ⋅ (k BT ) ⋅ exp

h
 k BT
3
3
 E f − Eg
 2πme k BT  2

exp
= 2

2

 h
 k BT
k BT
dE = k BT ⋅ 2 x ⋅ dx
1

 E f − E 
2

 2
dE
= 4π  2 me   (E − E g ) exp
k
T
 Eg 
h
 B 

 2
= 4π  2 me 

h
E − Eg


 ⋅ exp − x 2 ⋅ k BT ⋅ 2 x dx


(
)
 ∞ 2
  2 x ⋅ exp − x 2 dx
0
{
(



 {x
∞
0
)}
2
(
補足
π
4
2-18
 {x
∞
2
0
(
)}
∞
{
(
) }
⋅ exp − x 2 dx =  x ⋅ exp − x 2 ⋅ x dx
0
exp(− x 2 )
f’(x)⇒ f ( x ) =
(
)
(
∞
2
∞  exp − x
 x exp − x 2 
= −
 + 0 
2
2

0

=
)}
⋅ exp − x 2 dx =
)dx


π
4
ガウス積分：

∞
−∞
(
)
exp − x 2 dx = π
2
価電子帯の総正孔数(単位体積あたり)を計算する
2-19
正孔の存在確率
E
伝導帯
0
p =  Z ( E ) ⋅ {1 − f ( E )}dE
−∞
E=Eg




8π 2 3
1
2 − E 1−
m
=
h
E − EF

dE
−∞
h3


 e k BT + 1 
0
禁制帯幅Eg
1.5
k
E＝0
Ef
 2πmh k BT  − k BT
= 2
 e
2
h


価電子帯
= Nv ⋅ e
−
Ef
k BT
Nv:価電子帯の実効状態密度
mh: 正孔の有効質量
真性キャリア密度ni
E
伝導帯
n
熱的励起
E＝0
価電子帯
2-20
真性半導体の場合
伝導帯電子密度n
＝価電子帯正孔密度p
n=p=niと置くと
ｋ
p
演習
2-21
真性半導体において
n = Nc ⋅ e
−
Eg − E f
k BT
p = Nv ⋅ e
−
E f − EV
k BT
1 .5
1 .5
 2πmh k BT 
N v= 2

2
h


 2πme k BT 
N c = 2

2
 h

およびn=pという関係からEfを導きなさい
解答例
2-22
1.5
 2πme k BT  −
n = 2
 e
2

 h
Eg − E f
およびn=pより me1.5 × e
2E f
e
k BT
1.5
k BT
−
Ef
 2πmh k BT  − k BT
p = 2
 e
2
h


Eg − E f
1.5
k BT
= mh × e
1.5
Eg
−
Ef
k BT
m
= h1.5 e k BT
me
 m  Eg
3
= × ln h  +
k BT 2
 me  k BT
Eg 3
 mh  E g 3
m 
+ k BT × ln  =
− k BT × ln e 
Ef =
2 4
 me  2 4
 mh 
2E f
真性キャリア密度ni
n=p=niと置くと
ni = N c × N v e
2-23
−
Eg
2 k BT
nｉを真性キャリア密度と呼ぶ。
また、n=pより
 me 
3
Ef =
− k BT ln 
2 4
 mh 
Eg
me: 電子の有効質量
mh: 正孔の有効質量
kB: ボルツマン定数
Eg: バンドギャップエネルギー
真性半導体のフェルミ準位
 me 
3
Ef =
− k BT ln 
2 4
 mh 
Eg
低温：バンドギャップエネルギーの中間のエネルギーを取る
温度上昇にしたがって、第2項の式にしたがって変化する
2-24
演習下の表の空欄を埋めなさい。
3
2-25
Eg
−
3
 2πk BT  2
2k T
ni = 2 ⋅ 
 ⋅ (me ⋅ mh )4 ⋅ e B
2
 h 
半導体材料
Si
Ge
GaAs
GaN
電子の有効質量
me /m0
0.26
0.12
0.065
0.2
正孔の有効質量
mh /m0
0.52
0.35
0.45
1.1
Eg[eV]
1.11
0.66
1.43
3.42
6.7×1012
1.7×106
1.5×10-10
項目
ni[cm-3]@300[K]
2.6×109
2-26
不純物半導体
• 不純物が⼊っている半導体を考える
• n型/p型半導体の考え方
• 半導体デバイスではpn接合が基本
Si pn接合ダイオードの特性
p
2-27
n
⼩型整流⽤ダイオード
I-V特性
赤色発光ダイオードのI－V特性
2.0V
⽴ち上がり電圧
2-28
緑色発光ダイオードのI－V特性
2-29
2.5V
⽴ち上がり電圧
⻘色発光ダイオードのI－V特性
2.8V
⽴ち上がり電圧
2-30
太陽電池
2-31
Si系太陽電池の場合は0.6~0.7V
http://eco.nikkeibp.co.jp/em/ecolabo/47/02.shtml
ダイオードの⽴ち上がり電圧は、何によって決まるか?
2-32
Siのpn接合ダイオードの模式図
自由正孔がたくさんある
(自由正孔が多数キャリア)
－
－
－
Si
－
－
－
B,Al,Gaなど
＋
－
p型
＋
＋
－
－
＋
＋
＋
＋
＋
＋
＋
－
－
－
＋
－
－
－
自由電子がたくさんある
（自由電子が多数キャリア）
Si
＋
＋
＋
n型
＋
P,As,Sbなど
pn接合におけるエネルギーバンドダイヤグラム
電子のエネルギー
※理解すべきポイント
2-33
エネルギー的にどのよ
うに分布しているのか?
フェルミエネル
ギーの位置は?
伝導帯下端EC
フェルミエネルギーEf
電子や正孔がどれくらいたまるのか?
価電子帯上端EV
p型
n型
演習：Siの原子密度(cm-3)はどの程度か？
格子定数=5.430 Å
単位格子中に原子は8個
Siの原子密度 =
8
(5.43 ×10 )
−8 3
= 5.0 ×10 22 [cm −3 ]
2-34
2-35
どういう原子が不純物半導体に使われるか?
• V族半導体(Si)の場合
p型
n型
2-36
どういう原子が不純物半導体に使われるか?
• III-V族化合物半導体(GaN・GaAs・GaP等)
p型/n型
p型
p型
n型
2-37
半導体における不純物：濃度はどれくらいか?
正イオン密度
負イオン密度
エミッタ：E
1018
= 20[ ppm]
5 ×10 22
ベース：B
〜1018cm-3
コレクタ：C
npn Tr
〜1016cm-3
1015
= 20[ ppb]
5 ×10 22
Siの原子密度 : 5.0 ×10 22 [cm −3 ]
〜1015cm-3
n型半導体(npn-TrにおけるE、C)
14族のシリコンの中に15族の元素
燐(P)、砒素(As)、アンチモン(Sb)
などが少量混じっている。
2-38
Si
一つ余った電子
Si
P
Si
Si
共有結合
燐(P)の最外殻電子
(3s)2(3p)3 →5個
エネルギーバンドにおけるドナーのエネルギー
Si
Si
ー
2-39
伝導帯電子
電子を供給(donate)する
のでドナー(donor)と呼ぶ。
P
Si
Si
価電子帯電子
自由電子(negative)が多
数キャリアのためn型半導
体と呼ぶ
n型半導体
2-40
自由電子(自由に動く)
(負電荷)
－
Si
Si
強い
共有結合
Si
P＋
Si
Si
Si
P＋
Si
Si
固定電荷(動かない)
(正イオン)
ドナーから供給される自由電子のエネルギー固有値
もし、P原子から離れると
伝導帯電子となる。
－
Si
一価のプラス
イオン
Si
2-41
P＋
P＋と、伝導帯に励起された電子
Si
Si
イオン化した場合、
水素原子と類似
活性化と呼ぶ.
シュレーディンガー方程式を使って、電子が活性化するのに
必要なエネルギー（活性化エネルギー）を求める
電子のエネルギー固有値の求め方の復習
シュレーディンガー方程式
Hˆ ψ = Eˆ ψ
ｚ
電子
真空中の水素の場合
θ
ｙ
陽子
x
φ
2 2
2
e

∇
Hˆ = [−
−
]
2m0 4πε 0 r
=
h
：ディラック定数
2π
m0：電子の静⽌質量
e：素電荷
ε0: 真空の誘電率
2-42
真空中とSi中の違い：有効質量補正
2-43
水素原子の場合の電子のエネルギー固有値
1
me 4 1
≅
−
13
.
56
[eV ]
En = −
2 2
2
2
n
8ε 0 h n
シリコン
－
P+
誘電率ε=ε0εr
n
：
主量子数
Si中のドナーの場合
この電子は伝導帯電子として振舞う
→伝導帯電子の有効質量m=me
ドナー：例えば燐(P)
真空中とSi中の違い：誘電率補正
ドナー準位
n=1として
me  1
ED ≅ −13.56 
m0  ε r
有効質量による補正
2

 [eV ]

誘電率による補正
例 me=0.25m0、εr=12のとき
E1=-13.56×0.25×(1/12)2=-0.0235[eV]〜-0.024[eV]
この式の場合のエネルギーの基準は伝導帯下端
2-44
バンド構造におけるドナー準位
2-45
エネルギーE
ドナーの活性化エネルギー: ΔED
伝導帯
Pの電子にとって自由電子の状態
Pの電子にとって、通常の束縛状態
バンドギャップ
Eg
波数k
価電子帯
Si:P の場合
Eg=1.11eV
ΔED=0.024eV
p型半導体(npn-TrにおけるB)
Si
Si
2-46
最外殻が(2s)2(2p)1なので、
電子がひとつ不足
B
Si
Si
価電子帯電子
14族のシリコンに13族のホウ素B、
アルミニウムAl、ガリウムGa、イ
ンジウムInなどが添加される.
アクセプタ不純物
もし、価電子帯正孔
として飛び出すと、
Si
Si
2-47
電子を受容(accept)するのでアクセ
プタ(acceptor)と呼ばれる.
Bー
Si
Si
負イオンになる
アクセプタ準位のエネルギー固有値
シリコン
＋
Bー
誘電率ε=ε0εr
エネルギーの基準
は価電子帯最上端
2-48
シリコン中の正孔の場合
価電子帯正孔として振舞う
→ 価電子帯正孔の有効質量m=mh
mh  1

E A ≅ 13.56
m0  ε r
符号にも注意
2

 [eV ]

誘電率補正
有効質量補正
バンド構造におけるアクセプタ準位
2-49
エネルギーE
伝導帯
緑が電子とすると
バンドギャップ
Eg
価電子帯
波数k
アクセプタの活性化エネルギーΔEA
高濃度不純物半導体になると
2-50
⇒活性化エネルギーはクーロン相互作⽤によって変化する
Activation energy is known to follow this formula:
Hydrogen-like effective mass
Coulomb interaction
1
q2
E A or D (N A or D ) = E A or D (0) − f
(N A or D ) 3
4 πε
f: geometric factor
Activation E depends with the one third power of the impurity concentration
G.L. Pearson, J. Bardeen, Phys. Rev. 79 (1949) 1013 (in Si)
P. Debye, E.M. Conwell, Phys. Rev. 93 (1954) 693 (in Ge)
G.E. Stillman et al., GaInAsP Alloys Semi., Wiley, New York, 1982 (in GaAs)
W. Gӧtz et al., Mater. Sci. Eng., B59, 211(1999). (in p-GaN)
P. Kozodoy et al, J. Appl. Phys., 87, 1832 (2000). (in p-GaN)
K. Nagamatsu et al, Physica Status Solidi 6 (2009) S437. (in p-AlGaN)
Activation energy [meV]
例； p型GaN
2-51
Hydrogen-like effective mass acceptor
EA(0)=0.202[eV]
E A (NA ) = E A (0 ) − f
NA 1018cm-3
1019cm-3
1
q2
(NA )3
4ππ
1020cm-3
NA1/3 ×105 [cm-1]
(Data review series No.23, An INSPEC publication, J. W. Orton and C. T. Foxon, 1999)
⇒EA decreases with increase of Mg concentration, and
⇒EA depends with the 1/3 power of the concentration of Mg.
実際のキャリア濃度
2-52
活性化していない場合、電気伝導しない
ドーピングしたドナー不純物のうち、どれだけの割
合で伝導帯に電子を供給しているか?
温度および活性化エネルギーにより異なる。
伝導帯下端
伝導帯に電子を供給
したドナーはプラス1
価のイオン
EC
供給していないものは中性
（伝導しない）
価電子帯上端
EV
伝導帯に電子を供給したドナーはプラス1価のイオン
⇒活性化したドナーと呼ぶ。
本講義のまとめ
• 真性半導体
• 不純物半導体
ドナーとアクセプタ
誘電率補正
有効質量補正
ドナー準位
アクセプタ準位
2-53

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