Grundlagen der Elektronik
7.5.2016
Gleichstromtechnik:
Strom:
Widerstand
und Leitwert
𝐼=
𝑑𝑄
𝑑𝑡
=
|𝑒| 𝑑𝑁
𝑑𝑡
= |𝑒|
𝑛𝐴 𝑑𝑠
𝑑𝑡
= |𝑒|𝑛𝐴
𝑑𝑠
𝑑𝑡
𝑈
𝐴
𝑙
𝑙
= |𝑒|𝑛𝐴𝑣𝐷 = |𝑒|𝑛𝐴𝜇𝐸 = |𝑒|𝑛𝐴𝜇 = |𝑒|𝑛𝜇 𝑈; [𝐴] Spannung:
𝐴
1
𝑙
𝐴
𝑙
𝑅
𝐴
𝑙
𝐼 = |𝑒|𝑛𝜇 𝑈 ⇒ 𝐼 = 𝐺𝑈 = 𝑈; 𝑅 = 𝜌 … 𝑊𝑖𝑑𝑒𝑟𝑠𝑡. [𝛺]; 𝐺 = 𝜎 … 𝐿𝑒𝑖𝑡𝑤𝑒𝑟𝑡 [𝑆]
Kirchhoff’sche
∑ 𝐼𝑖 = 0 𝑏𝑧𝑤. ∑ 𝐼𝑖𝑧𝑢 = ∑ 𝐼𝑖𝑎𝑏 (wegen Ladungserhaltung)
Knotenregel
Kirchhoff’sche
Maschenregel:
Ohmsches
Gesetz:
𝑈 = 𝜙𝐴 − 𝜙𝐵 [𝑉]
𝑈 = 𝑅𝐼
(merke: „URI“)
∑ 𝑈𝑖 = 0 (weil ∮ 𝐸⃗ (𝑠) 𝑑𝑠 = ⃗0)
(1) Spannungspfeile an allen Spannungsquellen von plus nach minus einzeichnen
(2) Strompfeile an allen Stromquellen einzeichnen
(3) Vermutete Stromrichtung aller Ströme an allen Knoten einzeichnen (kein Problem, wenn Richtung falsch)
(4) Spannungspfeile an allen Widerständen parallel zur eingezeichneten Stromrichtung einzeichnen
(5) GLS mit Knoten- und Maschenregel aufstellen (alle Knoten minus einer sind nötig)
(6) Ersetze im GLS die Spannungen an den Widerständen durch Ui = RiIi
(7) GLS lösen
𝑅𝑛
𝑈1 𝑅1
Widerstände
durch alle Widerstände
Spannungs- 𝑈𝑛
=
; 𝑏𝑒𝑖 𝑧𝑤𝑒𝑖 𝑊𝑖𝑑𝑒𝑟𝑠𝑡ä𝑛𝑑𝑒𝑛:
=
𝑅𝑔𝑒𝑠 = ∑ 𝑅𝑛
𝑈𝑔𝑒𝑠 𝑅𝑔𝑒𝑠
𝑈2 𝑅2
in Serie:
fließt derselbe Strom.
teiler:
Widerstände
parallel:
1
1
𝑅1 𝑅2 An allen Widerst. liegt
= ∑ ; 𝑅𝑔𝑒𝑠 =
𝑅𝑔𝑒𝑠
𝑅𝑛
𝑅1 + 𝑅2 dieselbe Spannung an
𝑅𝑔𝑒𝑠
𝐼𝑛
𝐼1 𝑅2
=
; 𝑏𝑒𝑖 𝑧𝑤𝑒𝑖 𝑊𝑖𝑑𝑒𝑟𝑠𝑡ä𝑛𝑑𝑒𝑛: =
𝐼𝑔𝑒𝑠
𝑅𝑛
𝐼2 𝑅1
Stromteiler:
𝑅𝐴 𝑅𝐵 + 𝑅𝐴 𝑅𝐶 + 𝑅𝐵 𝑅𝐶
𝑅𝐴 𝑅𝐵 + 𝑅𝐴 𝑅𝐶 + 𝑅𝐵 𝑅𝐶
𝑅𝐴 𝑅𝐵 + 𝑅𝐴 𝑅𝐶 + 𝑅𝐵 𝑅𝐶
; 𝑅𝐴𝐵 =
; 𝑅𝐵𝐶 =
𝑅𝐵
𝑅𝐶
𝑅𝐴
𝑅𝐴𝐶 𝑅𝐴𝐵
𝑅𝐴𝐵 𝑅𝐵𝐶
𝑅𝐴𝐶 𝑅𝐵𝐶
Dreieck-Stern: 𝑅𝐴 =
; 𝑅𝐵 =
;𝑅 =
𝑅𝐴𝐵 + 𝑅𝐴𝐶 + 𝑅𝐵𝐶
𝑅𝐴𝐵 + 𝑅𝐴𝐶 + 𝑅𝐵𝐶 𝐶 𝑅𝐴𝐵 + 𝑅𝐴𝐶 + 𝑅𝐵𝐶
Stern-Dreieck: 𝑅𝐴𝐶 =
Spannungsquelle:
𝐼𝑑𝑒𝑎𝑙: 𝑅𝑖 = 0, 𝑈 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Strom𝑅𝑒𝑎𝑙: 𝑅𝑖 𝑖𝑛 𝑆𝑒𝑟𝑖𝑒. 𝐼 ↑⇒ 𝑈 ↓ quelle:
𝐼𝑑𝑒𝑎𝑙: 𝑅𝑖 → ∞, 𝐼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Ersatz𝑅𝑒𝑎𝑙: 𝑅𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙. 𝑈 ↑⇒ 𝐼 ↓ zweipol:
Spannungsqu. mit Ri: 𝑈 = 𝑈𝐿𝐿 − 𝑅𝑖 𝐼
𝑈
Stromqu. mit Ri: 𝐼 = 𝐼𝐾𝑆 − ; 𝑈𝐿𝐿 = 𝐼𝐾𝑆 𝑅𝑖
𝑅𝑖
Superpositionsprinzip: Nacheinander alle Spannungs- u. Stromquellen bis auf jeweils eine entfernen und mit Ri ersetzen. Aufsummieren.
Wheatstone-Brücke: Abgeglichen, wenn
Voltmeter
ideal: 𝑅𝑖 → ∞.
=
𝑅𝑅𝑂
𝑅𝑅𝑈
. Innenwiderstand: Spannungsquelle durch KS ersetzen; 𝑅 = (𝑅𝐿𝑂 ||𝑅𝐿𝑈 ) + (𝑅𝑅𝑂 ||𝑅𝑅𝑈 )
Erweiterung Messbereich: 𝑅𝑠 in Serie schalten. Z.b. Verzehnfachung: 𝑅𝑠 = 9𝑅𝑖 ⇒ 𝑅𝑔𝑒𝑠 = 10𝑅𝑖 .
1
1
Erweiterung Messbereich: 𝑅𝑝 parallel schalten. Z.b. Verzehnfachung: 𝑅𝑝 = 9 𝑅𝑖 ⇒ 𝑅𝑔𝑒𝑠 = 10 𝑅𝑖 .
Amperemeter ideal: 𝑅𝑖 =0
Stromrichtige Messung:
𝑅𝐿𝑂
𝑅𝐿𝑈
Amperemeter auf Verbraucherseite; Strommessung OK; Voltmeter misst um 𝑈𝐴 = 𝑅𝑖𝐴 𝐼𝑙 zu viel (subtrahieren!)
𝑈
𝐿
Spannungsrichtig (besser) Voltmeter auf Verbraucherseite; Spannungsmessung OK; Amperemeter misst um 𝐼𝑉 = 𝑅 zu viel (subtrahieren!)
𝑖𝑉
Leistung:
𝑃=𝑁
𝑑𝑊𝑒
𝑑𝑡
=𝑁
𝑒𝐸 𝑑𝑠
𝑑𝑡
𝑈
𝑈2
𝑙
𝑅
= 𝑁𝑒𝐸𝑣𝐷 = 𝑛𝑉𝑒𝐸𝑣𝐷 = 𝑛𝐴𝑙𝑒𝐸𝑣𝐷 = 𝐸𝑙 𝐴𝑣𝐷 𝑛𝑒 = 𝑙 ∙ 𝐼 ⇒ 𝑃 = 𝑈𝐼 (Merke: „PFUI“) = 𝐼2 𝑅 =
[𝑊]
Leistungsanpassung: Leistung an RL wird maximal, wenn RL=Ri
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Wechselstromtechnik:
Impedanz
Admittanz
𝐼𝑚
𝑋
= arctan
𝑅𝑒
𝑅
𝑌 = = 𝐺 + 𝑗𝐵; G...Wirkleitwert (Konduktanz), B...Blindleitwert (Suzeptanz)
𝑍
𝑍 = √𝑅 2 + 𝑋 2 ; 𝑢̂ = 𝑍𝑖̂; 𝜑𝑢 = 𝜑 + 𝜑𝑖
𝑍 = 𝑅 + 𝑗𝑋; R...Wirkwiderstand (Resistanz), X...Blindwiderstand (Reaktanz)
𝜑 = arctan
1
𝐴
𝑑𝐼𝐿
1
[𝐻] = [𝛺𝑠]; 𝑢𝐿 = 𝐿
; 𝑖 = ∫ u𝐿 (𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑖0
𝑙
𝑑𝑡 𝐿 𝐿
Induktivität
𝜋
Strom eilt Spannung nach⇒
𝑍 = 𝑗𝜔𝐿; 𝜑 = 𝜑𝑈 − 𝜑𝐼 =
𝜑𝑖 < 0
2
1
1
𝐿1 𝐿2
InduktivitäInduktivitäten
=∑ =
𝐿 = ∑ 𝐿𝑛
𝐿𝑔𝑒𝑠
𝐿𝑛 𝐿1 + 𝐿2
ten in Serie: 𝑔𝑒𝑠
parallel:
𝐿 = 𝜇𝑟 𝜇0 𝑁 2
𝐴
𝐶 = 𝜀0 𝜀𝑟
Kapazität:
𝑠
𝑑𝑄
𝛺
𝑑𝑡
[𝐹] = [ ] ; 𝑖𝑐 =
𝑑
Spannung eilt Strom nach ⇒
Strom eilt vor 𝜑𝑖 > 0;
𝑑𝑢𝑐
=𝐶
𝑑𝑡
𝑍 = −𝑗
1
; 𝑢𝑐 = ∫ i𝐶 (𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑢0
𝐶
1
𝜋
; 𝜑 = 𝜑𝑈 − 𝜑𝐼 = −
𝜔𝐶
2
1
𝐶1 𝐶2 Kapazitäten
Kapazitäten 1
=∑ =
𝐶𝑔𝑒𝑠 = ∑ 𝐶𝑛
in Serie:
𝐶𝑔𝑒𝑠
𝐶𝑛 𝐶1 + 𝐶2 parallel:
RLC Serie
𝑢𝑅 + 𝑢𝐿 + 𝑢𝑐 − 𝑢 = 0 ⇒ u(𝑡) = 𝑅 i(𝑡) + 𝐿
𝑑𝑖 1 𝑡
𝑑𝑢
𝑑2 𝑖
𝑑𝑖 1
+ ∫ i(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑢𝑐 (0) ⇒
= 𝐿 2 +𝑅 + 𝑖
𝑑𝑡 𝐶 0
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝐶
𝑑𝐼𝐿
𝑖𝐿2 Energie
𝑑𝑢𝑐
𝑢𝐿2
Energie
Induktivität 𝑊 = ∫ u(𝑡) i(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ 𝐿 𝑑𝑡 𝑖𝐿 𝑑𝑡 = 𝐿 ∫ 𝑖𝐿 𝑑𝑖𝐿 = 𝐿 2 Kapazität 𝑊 = ∫ u(𝑡) i(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ 𝑢𝐶 𝐶 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = 𝐶 ∫ 𝑢𝑐 𝑑𝑢𝑐 = 𝐶 2
Effektivwerte
̂
1 𝑇
𝑈
1 𝑇
𝐼̂
𝑈𝑒𝑓𝑓 = √̅̅̅
𝑢2 = √ ∫ u2 (𝑡) 𝑑𝑡 =
; 𝐼𝑒𝑓𝑓 = √𝑖̅2 = √ ∫ i2 (𝑡) 𝑑𝑡 =
𝑇 0
𝑇
√2
√2
0
1
𝑇
2
Wirkleistung 𝑃𝑊 = ∫𝑜 u(𝑡) i(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑈𝑒𝑓𝑓 𝐼𝑒𝑓𝑓 cos 𝜑 = 𝐼𝑒𝑓𝑓
𝑅 ⇒ Beim Verbraucher wirklich nutzbare Leistung.
𝑇
2
𝑋 ⇒ Der Teil der Leistung, der „zurückfließt“ und beim Verbraucher nicht nutzbar ist.
Blindleistung 𝑃𝐵 = 𝑈𝑒𝑓𝑓 𝐼𝑒𝑓𝑓 sin 𝜑 = 𝐼𝑒𝑓𝑓
Scheinleist. 𝑃𝑆 = 𝑈𝑒𝑓𝑓 𝐼𝑒𝑓𝑓 = √𝑃𝑊2 + 𝑃𝐵2 ⇒ „Naiv“ berechnete Leistung, die aber tatsächlich insgesamt die Stromleitungen belastet.
Reale C u. L 𝐷 = tan 𝛿 =
Wheatstone
-Brücke
RLC Serienschwingkreis
RLC Parallelschwingkreis
Hochpass
𝑍𝐿𝑂
𝑍𝐿𝑈
𝑍𝑅𝑂
=
𝑍𝑅𝑈
𝑃𝑊
𝑃𝐵
=
|𝑍
𝑖 2 𝑅𝑆
𝑖 2 𝑋𝑠
|
=
𝑅𝑆
𝑋𝑠
|𝑍
1
; 𝑄 = ; 𝑅𝑝 = (1 + 𝑄2 )𝑅𝑆 ; 𝐷 … 𝐷ä𝑚𝑝𝑓𝑢𝑛𝑔; 𝛿 … 𝑉𝑒𝑟𝑙𝑢𝑠𝑡𝑤𝑖𝑛𝑘𝑒𝑙: 𝑄 … 𝐺ü𝑡𝑒
𝐷
|
⇔ (|𝑍𝐿𝑂 | = |𝑍𝑅𝑂 |) ∧ (𝜑𝐿𝑂 − 𝜑𝐿𝑈 = 𝜑𝑅𝑂 − 𝜑𝑅𝑈 )
𝐿𝑈
𝑍 = 𝑅 + 𝑗 (𝜔𝐿 −
𝑅𝑈
1
𝜔𝐶
) = 𝑅(1 + 𝑗𝑄𝑣); 𝑣 =
Resonanz: Im(𝑍) = 0 ⇔ 𝜔𝐿 −
1
1
𝑅
𝜔𝐿
𝑌 = + 𝑗 (𝜔𝐶 −
1
𝜔𝐶
𝜔
𝜔0
−
𝜔0
1
= 0 ⇒ 𝜔0 =
1
𝜔
𝑅
𝜔0
) = (1 + 𝑗𝑄𝑣); 𝑣 =
−
Güte: 𝑄 =
𝜔
√𝐿𝐶
𝜔0
1
2 )𝑋
(𝐼𝑒𝑓𝑓
𝑟𝑒𝑠
2 )𝑅
(𝐼𝑒𝑓𝑓
𝜔0 𝐿
=
𝑅
=
𝑃𝐵
𝑃𝑊
𝐿/𝐶
=
2
(𝑈𝑒𝑓𝑓
)𝐵𝑟𝑒𝑠
2 )𝐺
(𝑈𝑒𝑓𝑓
=
1
𝜔0 𝐶
𝐺
=
1
𝑪𝑹: 𝑔𝐻𝑃 =
𝑈2
𝑈1
=
𝑅
1
+𝑅
𝑗𝜔𝐶
=
𝑗𝜔𝑅𝐶
1+𝑗𝜔𝑅𝐶
; 𝑹𝑳: 𝑔𝐻𝑃 =
𝐿
𝑗𝜔𝐿
𝑅+𝑗𝜔𝐿
=
𝑗𝜔𝑅
𝐿
1+𝑗𝜔𝑅
𝑹𝑪: 𝑔𝑇𝑃 =
𝑈2
𝑈1
=
1
𝑗𝜔𝐶
1
+𝑅
𝑗𝜔𝐶
=
1
1+𝑗𝜔𝑅𝐶
; 𝒂𝒍𝒍𝒈.: 𝑔𝐻𝑃 =
𝜋
1
2
√2
; 𝑳𝑹: 𝑔𝑇𝑃 =
𝑅
𝑅+𝑗𝜔𝐿
𝑔𝑇𝑃 (𝜔 → 0) = 1; 𝜑𝑇𝑃 (𝜔 → 0) = 0; 𝑔𝑇𝑃 (𝜔𝑐 ) =
1
√2
=
1
1+𝑗𝜔
𝐿
𝑅
𝑗𝜔𝜏
1+𝑗𝜔𝜏
1
̂𝐶/𝐿
𝑢
̂
𝑢
≈
1
𝜔0 𝐿𝐺
𝑖𝐶/𝐿
𝑖̂
𝐿
1
= √ ; Dämpfung 𝐷 =
𝑅 𝐶
𝑄
𝜔0 𝐶𝑅
Resonanz: Im(𝑌) = 0 ⇔ 𝜔𝐶 − 𝜔𝐿 = 0 ⇒ 𝜔0 = √𝐿𝐶 ⇒ |𝑌| → 𝑚𝑖𝑛. ; 𝑈 → 𝑚𝑎𝑥. ; 𝜑 = 0°;
𝑔𝐻𝑃 (𝜔 → 0) = 0; 𝜑𝐻𝑃 (𝜔 → 0) = (𝑒𝑖𝑙𝑡 𝑣𝑜𝑟); 𝑔𝐻𝑃 (𝜔𝑐 ) =
Tiefpass:
𝐿/𝐶
=
⇒ |𝑍| → 𝑚𝑖𝑛. ; 𝐼 → 𝑚𝑎𝑥. ; 𝜑 = 0°;
Güte: 𝑄 =
𝜔
𝑃𝐵
𝑃𝑊
𝑄
√1+(𝑄𝑣)2
𝑓0
Bandüberh. breite 𝐵 = 𝑄
1
𝐶
𝐶
1
𝐺
𝐿
𝐿
𝑄
= √ = 𝑅√ ; 𝐷 =
≈
𝑄
√1+(𝑄𝑣)2
überh.
𝐿
1
1
𝑅
𝜏
𝜔𝜏
𝑚𝑖𝑡 𝜏 = 𝑅𝐶 = ; 𝜔𝑐 = ; 𝜑 = arctan
𝜋
; 𝜑𝐻𝑃 (𝜔𝑐 ) = ; 𝑔𝐻𝑃 (𝜔 → ∞) = 1; 𝜑𝐻𝑃 (𝜔 → ∞) = 0
4
; 𝒂𝒍𝒍𝒈.: 𝑔𝑇𝑃 =
1
1+𝑗𝜔𝜏
𝐿
1
1
𝑅
𝜏
𝜔𝜏
𝑚𝑖𝑡 𝜏 = 𝑅𝐶 = ; 𝜔𝑐 = ; 𝜑 = − arctan
𝜋
𝜋
4
2
; 𝜑𝑇𝑃 (𝜔𝑐 ) = − ; 𝑔𝑇𝑃 (𝜔 → ∞) = 0; 𝜑𝑇𝑃 (𝜔 → ∞) = −
𝑡
𝑓0
Band𝐵=
breite
𝑄
Impulsverhalten:
𝑔𝑃 [𝑑𝐵] = 10 log(𝑃̂2 /𝑃̂1 )
Ausschaltvorgang (RC-Entladung):𝑢2𝐻𝑃 = −𝑈0 𝑒 ; 𝑢2𝑇𝑃 = 𝑈0 𝑒
;
̂2 /𝑈
̂1 ); 𝑔𝐼 [𝑑𝐵] = 20 log(… )
Einschaltvorgang. (RC-Aufadung): 𝑢2𝐻𝑃 = 𝑈0 𝑒 −𝑡/𝜏 ; 𝑢2𝑇𝑃 = 𝑈0 (1 − 𝑒 −𝑡/𝜏 ) 𝑔𝑈 [𝑑𝐵] = 20 log(𝑈
Vierpol
𝑢1
𝑍11
(𝑢 ) = (
𝑍21
2
−𝜏
Idealer Trafo 𝑢2 =
−𝑡/𝜏
𝑍12 𝑖1 𝑍11 … eingangseitiger LL-Widerstand (LL am Ausg.) 𝑍12 … 𝐾𝑒𝑟𝑛𝑤𝑖𝑑𝑒𝑟𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑 𝑟𝑢̈ 𝑐𝑘𝑤𝑎̈ 𝑟𝑡𝑠 (𝑢1 /𝑖2 )
)( )
𝑍22 𝑖2 𝑍22 … ausgangsseitiger LL-Widerstand (𝑖1 = 0)
𝑍21 … 𝐾𝑒𝑟𝑛𝑤𝑖𝑑𝑒𝑟𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑 𝑣𝑜𝑟𝑤𝑎̈ 𝑟𝑡𝑠 (𝑢2 /𝑖1 )
𝑁2
𝑁12
𝑁2 𝜇 𝜇 𝐴
𝑁
𝑢
𝑢1 ; 𝑍1 = 2 𝑍2 Hauptinduktivität 𝐿1 = 1 𝑙𝑟 0 ; 𝑖1 = 𝑁2 𝑖2 + 𝑗𝜔𝐿1
1
1
𝑁1
𝑁2
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