Wie werden Schnittwinkel von Graphen bestimmt?

Schnittwinkel von Graphen
Gegeben sind die Funktionen
1
.
x
Unter welchem Winkel schneiden sich die beiden Graphen?
f (x) = x2 und
g(x) =
y
2
α
1
-3
-2
bc
-1
1
-1
c Roolfs
1
2
3
x
Schnittwinkel von Graphen
Gegeben sind die Funktionen
1
g(x) = x .
Unter welchem Winkel schneiden sich die beiden Graphen?
f (x) = x2 und
y
2
α
1
-3
-2
bc
-1
1
-1
Lösung:
f ′ (1) = 2
g ′ (1) = −1
tan(α1 ) = 2 =⇒ α1 = 63,4◦
tan(α2 ) = −1 =⇒ α2 = −45◦
α = 180◦ − 45◦ − 63,4◦ = 71,6◦
Variation der Aufgabe
g(x) = x + 2
Unter welchen Winkeln schneiden sich die Graphen von f und g?
Lösung:
x1 = −1, α = 71,6◦
x2 = 2, β = 31,0◦
c Roolfs
2
2
3
x
Orientierte Winkel
y
y = 2x − 2
4
3
α
2
bc
1
α = arctan(2) = 63,43◦
1
y
2
3
4
5
x
y = −3x + 8
4
3
2
bc
β
1
β = arctan(−3) = −71,57◦
1
2
3
4
5
x
y
4
3
γ
2
α
bc
β
1
γ = 180◦ − 71,57◦ − 63,43◦ = 45,0◦
1
2
3
4
5
c Roolfs
3
x
Winkel
y
y = 2x − 2
4
3
α
2
bc
1
α = arctan(2) = 63,43◦
1
2
3
4
x
5
y
4
y=
3
1
x−
4
2
3
β
2
bc
1
3
β = arctan( ) = 36,87◦
4
1
2
3
4
5
x
y
4
γ
3
2
bc
1
γ = 63,43◦ − 36,87◦ = 26,6◦
1
2
3
4
5
c Roolfs
4
x
Winkel
y
y = −2x + 6
4
3
2
bc
α
1
α = arctan(−2) = −63,43◦
1
2
3
4
5
x
y
4
3
2
bc
β
3
7
y =− x+
4
2
1
1
2
3
4
5
3
β = arctan(− ) = −36,87◦
4
x
y
4
3
2
bc
1
γ
1
2
3
γ = 63,43◦ − 36,87◦ = 26,6◦
4
5
c Roolfs
5
x
Schnittwinkel von Graphen
Unter welchem Winkel schneiden sich die beiden Graphen der Funktionen?
a) f (x) = x2 − 8, g(x) = −x2 + 10
b) f (x) =
√
1
x, g(x) = x
9
c) f (x) = x(2 − x), g(x) = −x + 4
Der Schnittwinkel α zwischen Geraden (Tangenten) mit den Steigungen m1 und m1
(Ableitungen an einer Stelle) kann mit
m − m2 tan α = 1
1 + m1 m2
ermittelt werden.
Die Reihenfolge ist wegen der Betragsstriche unerheblich.
Gilt für die Steigungen m1 m2 = −1, so schneiden sich die Geraden rechtwinklig.
Für die Herleitung der Formel wird das Additionstheorem des Tangens benötigt.
c Roolfs
6
Schnittwinkel von Graphen
Unter welchem Winkel schneiden sich die beiden Graphen der Funktionen?
a) f (x) = x2 − 8, g(x) = −x2 + 10
b) f (x) =
√
xs = ±3, 18,9◦
1
x, g(x) = x
xs = 1, 71,6◦
9
c) f (x) = x(2 − x), g(x) = −x + 4
3
xs = 2 , 0◦ (Tangente)
c Roolfs
7
Startseite
8

Download Report