Priv. Doz. Dr. A. Wagner
S. Bleß, M. Sc.
Aachen, 19. September 2016
Analysis
Übungsaufgaben
im Vorkurs Mathematik 2016, RWTH Aachen University
— Intervalle, Supremum und Infimum —
Für a, b ∈ R, a < b nennen wir eine Menge der Form
( a, b] := { x ∈ R : a < x 6 b} bzw. [ a, b) := { x ∈ R : a 6 x < b}
ein nach links bzw. ein nach rechts offenes Intervall.
Aufgabe 1
Bestimmen Sie jeweils, ob es sich bei den angegebenen Mengen um Intervalle handelt. Geben
Sie in diesem Fall bitte die Intervallschreibweise an.
a) [0, 1] ∪ (1, 2],
b) [−1, 0] ∪ [2, 3]
c) [−2, 3] ∩ (−2, 4),
d) (2, 5] \ (4, 5],
e) (−∞, 5] ∩ (1, 6),
f) { x2 : x ∈ R},
g) { n1 : n ∈ N},
h) {−1, 7},
i) { x ∈ R : x < 0},
j) (0, 2) ∩ Q,
k) { x ∈ R : x2 < 1},
l) { x ∈ R : x2 > 7}.
Aufgabe 2
Bestimmen Sie jeweils, ob die angegebenen Mengen nach oben und/oder unten beschränkt sind.
Geben Sie in den entsprechenden Fällen jeweils Supremum bzw. Infimum an. Handelt es sich
hierbei auch um Maxima bzw. Minima?
b) (0, 1),
c) {2, 7},
d) {π, e}
f) {0},
g) [0, 1] ∪ [2, 3],
h) {r ∈ Q : r < 2}
i) {r ∈ Q : r2 < 4},
j) {r ∈ Q : r2 < 2},
k) 1, π3 , π 2 , 10
l) { p : p Primzahl},
m) {(−1)n n : n ∈ N},
n) { x2 + 1 : x ∈ R},
o) { x ∈ R : x2 = −2x },
a) [0, 1],
e)
n
1+
1
n
o
:n∈N ,
p) {3−n : n ∈ N}.
Aufgabe 3
Sei S ⊆ R nach oben beschränkt. Zeigen Sie: Falls sup(S) ∈ S, so ist sup(S) = max(S).
1
Aufgabe 4 (∗)
Sei S ⊆ R nicht leer und nach oben (bzw. unten) beschränkt. Zeigen Sie, dass das Supremum
(bzw. Infimum) von S eindeutig bestimmt ist.
Aufgabe 5 (∗)
Sei S ⊆ R nicht leer, nach oben beschränkt und −S := {−s : s ∈ S}. Zeigen Sie, dass
inf(−S) = −sup(S).
— Funktionen —
Aufgabe 6
Bestimmen Sie jeweils den Definitionsbereich von f /g. Untersuchen Sie, ob sich f /g in den
Definitionslücken noch sinnvoll erklären lässt. Falls ja, mit welchem Funktionswert?
a) f : R → R, f ( x ) = x2 ,
g : R → R, g( x ) = x2 − 7x + 12
b) f : R → R, f ( x ) = x − 3,
c) f : R → R, f ( x ) = 1,
g : R → R, g( x ) = x2 − 10x + 21
g : R → R, g( x ) = | x | − 5
d) f : R → R, f ( x ) = x − 1,
g : R → R, g( x ) = x3 − 1
Aufgabe 7
√
Gegeben seien die Funktionen f : R → R, f ( x ) = 1 − x2 und g : R+ → R, g( x ) = x.
Bestimmen Sie die Definitionsbereiche D ( f ◦ g) und D ( g ◦ f ) und geben Sie f ◦ g und g ◦ f
explizit an.
Aufgabe 8
Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf ihrem Definitionsbereich auf (strenge) Monotonie.
Bestimmen Sie die maximalen Monotoniebereiche ohne Zuhilfenahme von Methoden der Differentialrechnung. Versuchen Sie dabei möglichst die jeweils voranstehenden Aufgabenteile zu
benutzen.
a) f : R → R, f ( x ) = x5 ,
b) f : R \ {0} → R, f ( x ) = 1x ,
c) f : R → R, f ( x ) = x2 ,
d) f : R+ → R, f ( x ) =
e) f : R → R, f ( x ) = | x |,
f) f : R → R, f ( x ) = x2 + 2x + 2,
g) f : [−1, 1] → R, f ( x ) =
√
1 − x2 ,
√
x,
h) f : R \ {3, 4} → R, f ( x ) = ( x2 − 7x + 12)−1 .
Hinweis: Benutzen Sie in Teil d) die 3. Binomische Formel.
Aufgabe 9
Seien D, E ⊆ R nichtleere Teilmengen. Zeigen Sie:
2
a) Ist f : D → R eine (streng) monoton wachsende Funktion, so ist − f : D → R mit
(− f )( x ) := − f ( x ) (streng) monoton fallend.
b) Seien f , g : D → R monoton wachsende Funktionen mit f , g > 0 auf D, so ist auch
f · g : D → R mit ( f · g)( x ) := f ( x ) · g( x ) monoton wachsend.
c) Seien f : D → R und g : E → R monoton mit g( E) ⊆ D. Zeigen Sie, dass dann auch
f ◦ g : E → R monoton ist. Welche Art von Monotonie liegt jeweils vor?
d) Sei f : D → W streng monoton und bijektiv. Zeigen Sie, dass dann auch f −1 : W → D
streng monoton ist.
Aufgabe 10
Bestimmen Sie den Wertebereich der folgenden Funktionen.
1
x−3
√
d) f : [−1, 1] → R, f ( x ) = 1 − x2
1
f) f : (−1, 1) → R, f ( x ) = √
1 − x2
1
,
x
c) f : (−4, −1] → R, f ( x ) = x2 + 2x + 2,
1
e) f : R → R, f ( x ) =
,
1 + x2
a) f : R \ {0} → R, f ( x ) =
b) f : [−1, 2] → R, f ( x ) =
g) f : (4, 5] → R, f ( x ) = ( x2 − 7x + 12)−1 .
Aufgabe 11
Betrachten Sie die Funktion f : [−2, 2] → R, welche gegeben ist durch
f ( x ) :=
x + 1, falls x 6 −1
x2 ,
falls − 1 < x < 1
x − 1, falls x > 1.
Untersuchen Sie die Funktion auf lokale und globale Maxima und Minima.
Aufgabe 12
Betrachten Sie die Funktion f : (−2, 2] → R, welche gegeben ist durch
f ( x ) :=
x + 1, falls x < −1
x2 ,
falls − 1 6 x 6 1
x − 1, falls x > 1.
Untersuchen Sie die Funktion auf lokale und globale Maxima und Minima.
Aufgabe 13
Betrachten Sie die Funktion f : (−2, 2) → R, welche gegeben ist durch
x + 1 falls x < −1
f ( x ) := x2
falls − 1 6 x 6 1
x − 1 falls x > 1.
Untersuchen Sie die Funktion auf lokale und globale Maxima und Minima.
3
Aufgabe 14
Untersuchen Sie die Folgen ( an )n∈N auf Monotonie und Beschränktheit.
a) an =
1
,
n2
b) an =
(−1)n
,
n+3
√
5n
g) an = √
,
n+1
n+1
,
5n
n2 − 1
,
n
√
n n + 10
,
h) an =
n2
d) an =
n
,
n2 + 1
c) an =
3n − 2n2
,
n2 + 1
√
√
i) an = n + 1 − n.
e) an =
f) an =
— Elementare Funktionen —
Aufgabe 15
Es seien a, u, v > 0 und r ∈ R. Beweisen Sie die Logarithmengesetze:
u
= loga (u) − loga (v),
v
b) loga (ur ) = r loga (u).
a) loga
Aufgabe 16
Bestimmen Sie die folgende Logarithmen.
a) log2 (4),
b) log4 (64),
c) log2
1
8
,
d) log4 (2),
e) log7 (7x ), x ∈ R.
Aufgabe 17
a) Drücken Sie 2 − log3 (4) als Logarithmus einer einzigen Zahl aus.
b) Vereinfachen Sie
log2
75
16
5
32
− 2 log2
+ log2
.
9
243
√
loga ( 3)
c) Vereinfachen Sie für a > 0 den Ausdruck
.
loga (27)
Aufgabe 18
Bestimmen Sie jeweils Definitionsbereich und Lösungsmenge der folgenden logarithmischen
Gleichungen.
a) log2 ( x ) = log2 (10),
b) log10 ( x ) = 2 log10 (5) − log10 (4),
c) log3 ( x − 1) = 2,
d) 2 ln(3x − 3) = 1,
e) − log4 (2x ) = log4 (6),
f) log√2 ( x2 − 1) = 0,
g) log10 ( x + 1) − log10 (2) = 2,
h) log2 ( x ) = log3 ( x ),
i) log10 ( x2 + 1) = 1.
4
Aufgabe 19
Bestimmen Sie jeweils den Definitionsbereich der folgenden Terme. Drücken Sie im Anschluss
die Terme durch einen Logarithmus aus.
a) loga ( x + 1) − 3 loga (1 − x ) + 2 loga ( x ),
b) loga
√
x2 − 1
+ 21 loga
x +1
x −1
.
Aufgabe 20
Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der folgenden Gleichungssysteme.
a)
(
)
x−y = 1
,
2x · 3y = 432
b)
log10 ( x ) + log10 (y) = 1
,
5
log10 ( x ) − log10 (y) = log10
2
x, y > 0
c)
(
4 x = 5y
2 · 4 x = 7y
)
.
Aufgabe 21
Beweisen Sie die Additionstheoreme für Tangens und Cotangens. Bestimmen Sie auch den
Definitionsbereich der Gleichungen.
a) tan(α + β) =
tan(α) + tan( β)
,
1 − tan(α) tan( β)
b) cot(α + β) =
cot(α) cot( β) − 1
.
cot(α) + cot( β)
Aufgabe 22
Zeigen Sie mit Hilfe der Addtionstheoreme:
a) sin α +
π
2
c) tan α +
π
2
= cos(α),
= − cot(α),
b) cos α +
π
2
= − sin(α),
d) cot α +
π
= − tan(α).
2
Aufgabe 23
Bestimmen Sie die Definitionsbereiche der folgenden Gleichungen. Bestimmen Sie im Anschluß
die Lösungsmenge.
5
a) tan( x ) =
√
2 sin( x ),
√
b) tan( x ) = 2 3 cos( x ),
c) sin(2x ) = tan( x ),
d) cos(3x ) = 5 − 4 cos2 ( x ).
Hinweis: Beweisen Sie für die Aufgabenteile c) bzw. d) zunächst die Identitäten
sin(2x ) =
2 tan( x )
,
1 + tan2 ( x )
cos(3x ) = 4 cos3 ( x ) − 3 cos( x ).
Aufgabe 24
Es seien α, β, γ ∈ R mit α + β + γ = π . Zeigen Sie:
a) sin( β) cos(γ) + cos( β) sin(γ) = sin(α),
b) sin(α) sin( β) − cos( β) cos(α) = cos(γ).
Aufgabe 25
In einiger Entfernung zu einer Antenne wird ein Lichstrahl vom Boden (Messebene) auf die
Spitze der Antenne gerichtet. Der Winkel des Strahls zur Messebene wird mit α bezeichnet. Nun
geht man a Meter auf den Antennenmast zu und wiederholt die Messung. Man erhält nun einen
Winkel β. Es ist insbesondere 0 < α < β < π2 . Wie hoch ist der Mast?
— Konvexe Funktionen —
Aufgabe 26
Es sei I ein offenes Intervall in R. Zeigen Sie, dass eine Funktion f : I → R genau dann konvex
ist, wenn − f konkav ist. Benutzen Sie nicht, dass f eine differenzierbare Funktion ist.
Aufgabe 27
Die Funktionen f , g : I → R seien beide konkave Funktionen. Keine der Funktionen ist notwendigerweise differenzierbar.
• Untersuchen Sie die Funktion h( x ) = f ( x ) + g( x ) auf Konvexität und Konkavität.
• Untersuchen Sie die Funktion h( x ) = f ( x ) · g( x ) auf Konvexität und Konkavität.
Aufgabe 28
Die Funktion f : I → R sei konkav aber nicht notwendigerweise differenzierbar. Finden Sie alle
Werte für die Konstanten a und b, so dass a f ( x ) + b konkav ist. Argumentieren Sie ohne die
Annahme der Differenzierbarkeit.
Aufgabe 29
Die Funktion g : R → R ist gegeben durch g( x ) = f ( ax + b). Die Funktion f sei eine konkave
Funktion, die nicht notwendigerweise differenzierbar ist. a und b sind Konstanten in R mit a 6= 0.
Beweisen oder widerlegen Sie: g ist eine konkave Funktion.
6
— Stetigkeit —
Aufgabe 30
Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit in den angegebenen Punkten.
a) f : R → R, f ( x ) = 2| x | in x0 = 0.
b)
(
f : R → R, f ( x ) =
1
x,
x 6= 0
0,
x=0
in x0 = 0
c)
(
f : R → R, f ( x ) =
x2 −2x +1
x −1 ,
x 6= 1
0,
x=1
in x0 = 1
d)
(√
f : R → R, f ( x ) =
√
x,
x>0
1 − x, x < 0
in x0 = 0.
Aufgabe 31
Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit in ihrem Definitionsbereich.
a) f : R → R, f ( x ) = x + 4
x2 − 16
b) f : R \ {4} → R, f ( x ) =
x−4
(
x + 4, −∞ < x 6 4
c) f : R → R, f ( x ) =
x + 6, 4 < x < ∞
2
x − 16
, x 6= 4
d) f : R → R, f ( x ) =
x−4
10,
x=4
7
— Differentialrechnung —
Aufgabe 32
Bestimmen Sie jeweils die Ableitung f 0 der Funktionen f , welche auf geeigneten Definitionsbereichen durch folgende Abbildungsvorschriften gegeben sind:
a) f ( x ) = 5x3 + 7x2 − 4x + 9,
c) f ( x ) = 4x4 −
e) f ( x ) =
√
√
1 6
x + x + x,
3
b) f ( x ) =
√
3
d) f ( x ) = 8x2 − x + 2 + 6 x4 ,
4x,
1 −2
x + 2x −3 − 3x −4 ,
2
f) f ( x ) =
√
1
1
x+ √ + √
,
3
x
x5
g) f ( x ) = e x · x2 + 3x5 ,
h) f ( x ) = 4x4 · 4x ,
i) f ( x ) = 2x · ln( x ) + ln( x3 ),
j) f ( x ) = 3x4 · sin( x ),
k) f ( x ) = (e− x + 4x )2 ,
l) f ( x ) = ln( x )2 · e x ,
3x2 + 4
,
2x
7x2 + 3x + 1
,
o) f ( x ) =
2
4
x +x
2
4
q) f ( x ) = 3x − + 7 ,
x
m) f ( x ) =
1
√ ,
2+ x
n) f ( x ) =
p) f ( x ) = (5x − 3)5
r) f ( x ) =
p
3
(2x3 + 3x )5 .
Aufgabe 33
Untersuchen Sie die Funktion
f : R → R,
x 7 → | x 2 − 1|
auf Differenzierbarkeit.
Aufgabe 34
Untersuchen Sie die Funktion
f : R → R,
x 7→ x | x |
auf Differenzierbarkeit im Nullpunkt. Bestimmen Sie gegebenenfalls f 0 (0).
Aufgabe 35
Bestimmen Sie zunächst die Definitionsbereiche der Funktionen f , welche durch die folgenden
Abbildungsvorschriften gegeben sind. Bestimmen Sie im Anschluss f 0 .
a) f ( x ) =
x−1
,
x2 + 1
b) f ( x ) =
3x + 2
( x 2 − 4)
8
3
,
c) f ( x ) =
2x − 1
( x2 − 4x + 3)
2
.
Aufgabe 36
Bestimmen Sie die maximalen Definitionsbereiche der Funktionen f , welche durch die folgenden
Abbildungsvorschriften gegeben sind. Bestimmen Sie in jedem Punkt, in welchem f differenzierbar ist, die Ableitung. (Randpunkte des Definitionsbereichs sind dabei zu vernachlässigen.)
a) f ( x ) =
√
3
x3 + 4x − 5,
b)
p
x+
√
4
x+
√
5
x,
c) f ( x ) = cos tan(1 + x2 ) .
Aufgabe 37
Bestimmen Sie die lokalen und globalen Maxima und Minima der Funktionen aus Aufgabe 35.
Aufgabe 38
Betrachten Sie die Funktion
f : R → R, f ( x ) = 3x5 − 25x3 + 60x − 3.
a) Bestimmen Sie die lokalen Maxima und Minima von f .
b) Bestimmen Sie die Wendepunkte von f .
c) Bestimmen Sie die größten Intervalle, auf denen f streng monoton wachsend ist.
d) Fertigen Sie eine Skizze von f an.
Aufgabe 39
Untersuchen Sie analog zu vorigen Aufgabe die Funktion
3x2 ( x − 2)
.
( x + 2)
√
3
Hinweis: Die einzige reelle Nullstelle von f 00 ist x0 = 2 2 − 2.
f : R \ {−2} → R, f ( x ) =
Aufgabe 40
Untersuchen Sie die Funktionen
a) f : [−2, 3] → R, f ( x ) = 4 − x2 ,
b) f : [−1, 4] → R, f ( x ) = x5 − 5x4 + 5x3 + 7
auf lokale und globale Maxima und Minima. Bestimmen Sie auch die entsprechenden Extremalwerte.
Aufgabe 41
Entscheiden Sie ob die Funktion f ( x ) = −(1/3) x2 + 8x − 3 konvex oder konkav ist.
Aufgabe 42
Es sei f : (0, ∞) → R mit f ( x ) = Ax α , wobei A > 0 und α Parameter sind. Für welche Werte
von α ist f monoton steigend und konkav auf dem Intervall (0, ∞)?
9
Aufgabe 43
Finden Sie Zahlen a und b, so dass der Graph von f ( x ) = ax3 + bx2 den Punkt (−1, 1) enthält
und einen Wendepunkt in x = 1/2 besitzt.
Aufgabe 44
Seien a ∈ R, m, n ∈ Z mit m 6= −n und m, n 6= 0.
a) Zerlegen Sie a so in zwei Summanden, dass deren Produkt möglichst groß wird.
b) Zerlegen Sie a so in zwei Summanden, dass das Produkt der m-ten Potenz des einen
Summanden und der n-ten Potenz des anderen Summanden möglichst groß wird.
Aufgabe 45
Die Summe der Kathetenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks ergibt k. Wie groß müssen die
einzelnen Kathetenlängen gewählt werden, damit die Hypothenusenlänge möglichst klein wird?
Aufgabe 46
Der Querschnitt eines Tunnels habe die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis.
Sein Umfang sei U . Für welchen Halbkreisradius wird der Flächeninhalt des Querschnitts am
grössten?
— Integralrechnung —
Aufgabe 47
Bestimmen Sie jeweils eine Stammfunktion F der Funktionen f , welche durch folgende Abbildungsvorschriften gegeben sind.
a) f ( x ) = 4x3 + 3x + 1,
1
b) f ( x ) =
√
5
d) f ( x ) = √
,
4
e) f ( x ) = 5x4 + 4 +
g) f ( x ) = ( x − 2)2 ,
h) f ( x ) = 4x .
4 x
c) f ( x ) = 2e x ,
x3 ,
Aufgabe 48
Bestimmen Sie:
10
6
,
x
f) f ( x ) =
2x + 3
√ ,
x
Z2
a)
2
(3x + 1) dx,
b)
0
x4 dx −
d)
1
i)
Z1
x4 dx +
3
f)
Z1
Z1
( x + x ) dx,
c)
1
1
+ 5
4
x
x
Z5
Z4
x4 dx,
e)
3
x ( x2 + x ) dx +
1
Z4
dx,
g)
Z7
4
5x dx,
j)
−3
0
2( x − 1) dx,
Z7
( x3 + x2 ) dx,
1
Z1
√
5 4 x dx,
Z1
0
( x3 + x2 ) dx −
h)
x
e 3 + 3x2 dx,
−1
1
Z−1
(2 − x ) dx +
0
1
Z1
0
Z2
Z4 √
4
dx.
x
Aufgabe 49
Bestimmen Sie mit Hilfe der Substitutionsmethode jeweils eine Stammfunktion F der Funktionen
f , welche durch folgende Abbildungsvorschriften gegeben sind.
a) f ( x ) = (2x + 3)3 ,
d) f ( x ) =
9x2 + 1
,
x (3x2 + 1)
2e x
,
3 + 2e x
3
e) f ( x ) =
,
3x ln( x ) + 2x
b) f ( x ) =
c) f ( x ) = √
2x
,
x2 + 3
1
f) f ( x ) =
.
( x + 2) ln( x + 2)
Aufgabe 50
Bestimmen Sie den Wert I der folgenden Integrale mit Hilfe der Substitutionsmethode.
Z1
a)
(2x + 3)4 dx,
Z1
b)
0
Z10
d)
2
(1 + x3 )2 · 3x2 dx,
Z5
c)
0
x
√
dx,
2x + 5
Z1
e)
3
(6x + 5) · e
3x2 +5x
dx,
Z12
f)
2x + 4
dx,
x2 + 4x
√
4
4x x + 4 dx.
−4
0
Aufgabe 51
Bestimmen Sie mit Hilfe der partiellen Integration jeweils eine Stammfunktion F der Funktionen
f , welche durch folgende Abbildungsvorschriften gegeben sind.
a) f ( x ) = x · e x ,
b) f ( x ) = e x ( x2 + 3x ),
c) f ( x ) = ln( x ),
d) f ( x ) = x2 · ln( x ),
e) f ( x ) = log2 ( x ),
f) f ( x ) = ln( x )2 .
Aufgabe 52
Bestimmen Sie die folgenden Integrale unter Benutzung des Hauptsatzes der Differential- und
Integralrechnung.
11
√
1/
Z 7
a)
0
Z−4
d)
−8
0
1
dx,
3 + 7x2
b)
0
Z3
1
dx,
x2 − 2x − 15
2π/3
Z
g)
√
2/
Z 3
e)
2
h)
0
c)
6
Z3
1
dx,
4x2 − 5x + 1
π/6
Z
sin( x )
dx,
2 + 3 cos( x )
Z11
1
dx,
4 + 9x2
f)
2
x2
1
dx,
− 2x − 15
8x − 5
dx,
4x2 − 5x + 1
cos( x )
dx.
3 + 4 sin( x )
Aufgabe 53
Bestimmen Sie mit Hilfe partieller Integration die folgenden Integrale.
Zπ
π/4
Z
cos( x ) ln(sin( x )) dx,
a)
b)
0
π/6
Z1
c)
x2 sin( x ) dx,
5
3
x ln( x + 1) dx,
Z1
d)
0
x3 e2x dx.
0
Aufgabe 54
Bestimmen Sie die folgenden Integrale mit Hilfe der Substitutionsmethode.
3 sinh
Z (1)
p
a)
9+
x2
dx,
b)
9 − x2 dx,
−3
0
3 cosh
Z (1)
p
c)
Z3 p
x2
− 9 dx,
Z7
d)
3
0
12
√
3
x2 x + 1 dx.
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