〈補足 A：Sunyaev-Zel’dovich 効果〉
宇宙背景放射 (CMB) の光子が銀河団に含まれるような大量の熱い電子の集団を通り抜けると、光子は電子から逆
Compton 散乱を受け、CMB のスペクトルが歪む。これを Sunyaev-Zel’dovich 効果（スニヤエフ・ゼルドビッチ効
果；SZE）という。SZE は赤方偏移に依存しないので、遠方にある銀河団を観測するのに利用される。
A.1 Compton 散乱とその逆散乱
A.1.1 Compton 散乱
入射したガンマ線などの高エネルギー光子が電子に衝突し、エネルギー
γ
を 奪われる 過程を Compton 散乱という。Compton 散乱による波長やエ
ネルギーの変化を導こう。
散乱前後の物理量を右図 A.1 のようにとって、保存則を立てる。まずエ
e−
ネルギー保存則は
hν1 + me c2 = hν2 + E,
∴ E = h(ν1 − ν2 ) + me c2 ;
θ2
θ1
(A.1)
次に運動量保存則は
γ
hν1
hν2
n1 + 0 =
n2 + p,
c
c
[
]2
∴ p2 = h (ν1 n1 − ν2 n2 )
c
2
h
= 2 (ν1 2 − 2ν1 ν2 cos θ1 + ν2 2 )
c
2
2
h
= 2 (ν1 − ν2 )2 + 2h2 ν1 ν2 (1 − cos θ)
c
c
図 A.1 Compton 散乱における各物理
量の設定。
(A.2)
なので、式 (A.1) と (A.2) をエネルギーの関係式 E 2 = (me c2 )2 + c2 p2 に代入・整理して
1 − 1 = h (1 − cos θ) > 0
ν2
ν1
me c2
(A.3)
を得る。これは波長で書くと
λ2 − λ1 =
h (1 − cos θ) > 0,
me c
(A.4)
となって波長が伸びを、エネルギーで書くと
E2
=
E1
1+
1
,
hν1
me c2 (1 − cos θ)
hν1
me c2 (1 − cos θ)
∆E
∴
=−
<0
E1
1 + mhνc12 (1 − cos θ)
(A.5)
e
となってエネルギーの損失を表す。特に光子のエネルギーが電子の静止エネルギーに比べて十分に大きい/小さいとき、
式 (A.4) はそれぞれの場合について
me c2
−1
1 − hν (1 − cos θ)
1
∆E ≃
E1
− hν12 (1 − cos θ)
me c
(hν1 ≫ me c2 のとき),
(hν1 ≪ me c2 のとき)
と近似される。ちなみに Compton 散乱の断面積（Compton 散乱断面積）は、Klein-仁科の式
)2 (
)
(
)
ν2
ν1
ν
e2
+ 2 − sin2 θ
re ≡
は古典電子半径
,
ν1
ν2
ν1
4πε0 me c2
{
[
]
}
(
)
2x(1 + x)
σC = 3 σT 1 +3 x
− ln(1 + 2x) + 1 ln(1 + 2x) − 1 + 3x 2
x ≡ hν 2
4
1 + 2x
2x
x
(1 + 2x)
me c
dσC
r 2
= e
dΩ
2
(
で与えられる。特に σC は
1
)
(
2hν
σ
1
−
T
me c2
σC ≃
[
(
)]
2
1 + ln 2hν
3 σT me c
8
hν
2
me c2
と近似され、上の場合は Thomson 散乱断面積 σT ≡
(hν ≪ me c2 のとき),
(hν ≫ me c2 のとき)
8 πr 2 にだいたい一致する [1]。
3 e
A.1.2 逆 Compton 散乱
Compton 散乱とは逆に入射した光子が電子に衝突してエネルギーを 奪う 過程もあり、これを逆 Compton 散乱とい
う。これは電子のエネルギーが光子のエネルギーよりも高いときに起こる散乱であり、要するに 電子の静止系から見た
光子の Compton 散乱に他ならない。
γ
e−
γ
e−
θ2
θ1
θ2′
θ1′
γ
γ
図 A.2
観測者の静止系 Σ（左）と電子の静止系 Σ′ （右）から見た光子の散乱。
以降、電子の静止系 Σ′ は観測者系 Σ に対し x 方向に速さ v で動いているとし、各座標系で衝突前後の量を添字
1, 2 で表すことにする（上図 A.2）。まず Σ′ 系において衝突前後の光子の進行方向をそれぞれ n1 = (cos θ1′ , sin θ1′ ),
n′2 = (cos θ2′ , sin θ2′ ) とおくと、先程とまったく同様にして
1 − 1 = h [1 − cos Θ′ ]
ν2′
ν1′
me c2
(Θ′ ≡ θ1′ − θ2′ )
(A.6)
が成立する。これを Σ 系に戻すのだが、振動数の変換は
(
ν = γ(1 − β cos θ)ν
角度の変換は
cos θ′ =
)
β≡ v, γ≡ √ 1
c
1 − β2
′
cos θ − β
,
1 − β cos θ
sin θ′ =
,
sin θ
γ(1 − β cos θ)
で与えられることに注意する [2]。ここに θ1 , θ2 はそれぞれ観測者系における電子の入射角と反射角である。これらを式
(A.6) に代入すると、
1
1
−
= h2
γ(1 − β cos θ2 )ν2
γ(1 − β cos θ1 )ν1
me c
[
(
1−
cos θ1 − β cos θ2 − β
sin θ1
sin θ2
+
1 − β cos θ1 1 − β cos θ2
γ(1 − β cos θ1 ) γ(1 − β cos θ2 )
)]
2
2
h γ (1 − β cos θ1 )(1 − β cos θ2 ) − γ (cos θ1 − β)(cos θ2 − β) + sin θ1 sin θ2
me c2
γ 2 (1 − β cos θ1 )(1 − β cos θ2 )
1 − (cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2 )
= h2
me c
γ 2 (1 − β cos θ1 )(1 − β cos θ2 )
1 − cos Θ
= h2 2
,
(Θ ≡ θ1 − θ2 )
me c γ (1 − β cos θ1 )(1 − β cos θ2 )
=
より
1 − β cos θ2
1 − β cos θ1
h (1 − cos Θ)
−
=
ν2
ν1
γme c2
2
(A.7)
という、式 (A.3) とよく似た式を得る。これは波長で書くと
(1 − β cos θ1 )λ2 − (1 − β cos θ2 )λ1 =
h (1 − cos Θ)
γme c
(A.8)
となるが、式 (A.4) と違い λ1 と λ2 の大小は一定では ない。またエネルギーで書くと
1 − β cos θ1
E2
=
,
hν1
E1
1 − β cos θ2 + γm
2 (1 − cos Θ)
c
e
hν1
β(cos θ2 − cos θ1 ) − γm
2 (1 − cos Θ)
ec
∴ ∆E =
hν
E1
1 − β cos θ2 + γme1c2 (1 − cos Θ)
(A.9)
となる。特に電子の運動が非相対論的な場合、式 (A.9) は
hν1
∆E ≃ − me c2 (1 − cos Θ) < 0
E1
1 + mhνc12 (1 − cos Θ)
(β ≃ 0, γ ≃ 1 のとき)
e
となって Compton 散乱の結果 (A.5) を再現する。また光子のエネルギーが電子のエネルギーに比べて十分に大きい/小
さいとき、式 (A.9) はそれぞれの場合について
γme c2
−1
hν1
∆E ≃
E1
β(cos θ2 − cos θ1 )
1 − β cos θ2
<0
(hν1 ≫ γme c2 のとき),
≃0
(hν1 ≪ γme c2 のとき)
(?)
と近似される。すると ν の低い光子はエネルギーは電子からエネルギーを獲得し、高 ν 側（高エネルギー側）に移動す
る。したがって光子のスペクトルは下図 A.3 のように、全体的に高 ν 側にずれることになる [3-4]。
図 A.3
電子からの逆 Compton 散乱による、CMB のスペクトルの歪み。横軸は周波数、縦軸は輻射強度。
A.2 Thermal SZE
では次に、図 A.3 に現れている強度のずれの関数形を具体的に求めてみよう。議論は、粒子の流れが従う Boltzmann
の輸送方程式：
∂f ′
∂f ′
∂f ′
+u·
+F ·
=
∂t
∂x
∂p
(
∂f ′
∂t
)
(A.10)
coll
を出発点にする。ここに f ′ ≡ f × n (f = f (x, p, t) は 1 粒子分布関数, n = n(x, p, t) は粒子数密度); u, p はそれぞ
れ粒子の速度と運動量; F は外力であり、右辺は粒子どうしの衝突による分布関数の変化を表す。
3
A.2.1 Kompaneets 方程式
∂f ′
= 0、また外力ははたらかないので F = 0 である。さらに右辺につい
∂t
ては、運動量 p をもつ光子 (1) が電子 (2) に衝突して運動量 p′ + dp′ の状態に移る確率密度が
まず衝突の前後で全粒子数は保存するので
dσ(p, p′ ) × f1 (p)[1 + n1 (p′ )] × f2 (p)n2 (p) × u(p)
(単位時間あたり)
で与えられる*1 ので、
(
∂f ′
∂t
)
coll
≡ −[運動量 p の状態が減る割合] + [運動量 p′ の状態から p の状態に移る割合]
∫∫
=−
dσ(p, p′ ) × f1 (p)[1 + n1 (p′ )] × f2 (p)n2 (p) × u(p) × dp′
∫∫
+
dσ(p′ , p) × f1 (p′ )[1 + n1 (p)] × f2 (p′ )n2 (p′ ) × u(p′ ) × dp
∫
≃
(
∫
′
′
′
dp × f1 (p){−f2 (p)n2 (p)[1 + n1 (p )] + f2 (p )n2 (p )[1 + n1 (p)]} × u(p)
dσ
f1 (p) ≃ f1 (p′ ),
)
dp = dp′
と書ける。したがって、式 (A.10) は
∫
∫
∂(f1 × n1 )
u×
≃ dσ dp × f1 (p){−f2 (p)n2 (p)[1 + n1 (p′ )] + f2 (p′ )n2 (p′ )[1 + n1 (p)]} × u(p),
∂x
∫
∫
∂n1
∴
≃ dσ dp × {−f2 (p)n2 (p)[1 + n1 (p′ )] + f2 (p′ )n2 (p′ )[1 + n1 (p)]}
(A.11)
∂s
(
)
∂ は方向微分 。
と近似できる
∂s
次に電子は温度が十分に高く、Maxwell 分布に従うと仮定する：
f2 (p) = f2 (ν) ∝ e−hν/kB T .
すると f2 (p′ ) = f2 (ν ′ ) は ν ′ = ν の周りで
2
′
∂f2 (ν ′ ) 1 ∂ f2 (ν ) ′
(ν
−
ν)
+
(ν ′ − ν)2
∂ν ′ ν ′ =ν
2 ∂ν ′ 2 ν ′ =ν
(
)2 ]
h(ν ′ − ν)
h(ν ′ − ν)
1
+
= f2 (ν) 1 −
kB T
2
kB T
(
)
(
)
2
h(ν ′ − ν)
∆
= f2 (ν) 1 − ∆ +
∆≡
2
kB T
f2 (ν ′ ) ≃ f2 (ν) +
[
と展開され、n1 (p′ ) = n2 (p′ ) = n(ν ′ ) も同様に
∂n(ν ′ ) ∂ 2 n(ν ′ ) 1
′
n(ν ) ≃ n(ν) +
(ν − ν) +
(ν ′ − ν)2
∂ν ′ ν ′ =ν
2 ∂ν ′ 2 ν ′ =ν
(
)2
h(ν ′ − ν) ∂n
h(ν ′ − ν)
∂2n
= n(ν) +
+ 1
kB T
∂x
2
kB T
∂x2
′
(
)
x ≡ hν
kB T
2
2
= n(ν) + ∆ ∂n + ∆ ∂ n2
∂x
2 ∂x
と展開される。これらを式 (A.11) の {
} に代入すると
)[
]
(
]
2
2
2
2
2
n(ν) + ∆ ∂n + ∆ ∂ n2 (1 + n(ν))
{ } ≃ −f2 (ν)n(ν) 1 + n(ν) + ∆ ∂n + ∆ ∂ n2 + f2 (ν) 1 − ∆ + ∆
∂x
2 ∂x
2
∂x
2 ∂x
[
= ...
= f2 (ν)
*1
[(
(
(
)) ]
)
∂n + n(1 + n) ∆ + 1 ∂ 2 n − (1 + n) ∂n + n
∆2
∂x
2 ∂x2
∂x
2
dσ は微分断面積; f1 , f2 はそれぞれ光子・電子の分布関数である。各物理量の (x, t) 依存性は省略して書いた。ただし 1 + n1 (p′ ) の項は、
粒子 1（光子）が Boson であることによる補正を表す。
4
を得るが、さらに
∂n ≃ −n(1 + n) なる平衡条件を仮定すると、これは
∂x
(
) ]
)
∂n + n(1 + n) ∆ + 1 ∂ 2 n + (1 + n) ∂n ∆2
∂x
2 ∂x2
∂x
[ (
)]
1
∂
∂n
4
≃ f2 (ν) · 2
x
+ n(1 + n)
∂x
x ∂x
≃ f2 (ν)
[(
と変形できる。
?????????????????????????????????????????
したがって、
[ (
)]
∂n = n σ kB T 1 ∂ x4 ∂n + n(1 + n)
e T
2
2
∂s
∂x
mc x ∂x
を得る。最後に
dy ≡ ne
kB T
σT ds,
mc2
∫
∴ y≡
ne
kB T
σT ds
mc2
(A.12)
なる y を導入すれば、結局
[ (
)]
∂n ≃ 1 ∂ x4 ∂n + n(1 + n)
∂y
∂x
x2 ∂x
(A.13)
が導かれる。ここに式 (A.12) の y を Compton の y パラメータ、式 (A.13) を Kompaneets 方程式という。
A.2.2 Kompaneets 方程式の近似形
A.2.3 Thermal SZE
A.3 Non-thermal SZE
CMB の光子を逆 Compton 散乱する高温の電子は、銀河団のプラズマ中に大量に存在する。すると銀河団を通り抜け
た CMB 光子はスペクトルが歪み、特に低 ν 側では強度が小さくなる。すると CMB の温度は元々の温度 Tr から下がる
ことになるが、その低下分 ∆Tr は
∆Tr
k T
= −2σT B 2e
Tr
me c
(
∫
ne ds
kB は Boltzmann 定数, Te は電子の温度,
)
ne は電子の個数密度, ds は接線方向
と表される [7]。
A.4 Kinetic SZE
A.5 参考文献
[1] Kenneth R. Lang, Astrophys. Formulae, Springer-Verlag, 4.5.1.8 節 (1980)
[2] 「天体物理学演習 II」講義, 問 SR.1
[3] 中井真正他, 『宇宙の観測 II—電波天文学』（シリーズ現代の天文学 16）, 日本評論社, 2.2.2 節 (2009)
[4] T. Padmanabhan, Galaxies and Cosmology, Cambridge University Press (2002)
[5] 久保亮五, 『大学演習 熱学・統計力学』（修訂版）, 裳華房 (1998)
[6] 「天体輻射論 II」講義ノート
[7] 平成 20 年度天文学専攻修士課程入試, 問 [天文学 2]
5
(A.14)
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