a = $ 1 2 - SUUGAKU.JP

1
¡
! ¡
! ¡
!
空間のベクトル a ; p ; q を
¡
!
1
a =$ ;
2
p
3
; 0< ;
2
¡
!
p = $1;
p
3
; 1< ;
3
B
¡
!
q = (¡1; 3; 2)
¡
! ¡
!
¡
! ¡
!
で定める．また ® = p ¢ a ; ¯ = q ¢ a とおく．次の問いに答えよ．
¡
! ¡
!
¡
!
¡
!
(1) b = p ¡ ® a とする． b を成分で表せ．
¡
! ¡
!
!
¡
!
¡
! ¡
!
¡
!
q ¢ b ¡
(2) c = q ¡ ¯ a ¡ ¡
! 2 b とする． c を成分で表せ．
jbj
¡
! ¡! ¡
! ¡! ¡
! ¡!
(3) 座標空間の原点を O とする． a = OA; b = OB; c = OC となる 3 点 A; B; C に対
して，四面体 OABC の体積 V を求めよ．
（東京農工大学 2012 ）
2
区間 1 5 x 5 4 で定められた関数 f(x) =
C
F
4x ¡ x2 ; g(x) =
x log
4
について，次
x
の問いに答えよ．ただし対数は自然対数とする．
(1) 曲線 y = f(x) と x 軸および直線 x = 1 で囲まれた部分を，x 軸の周りに 1 回転させて
できる回転体の体積 V を求めよ．
(2) 区間 1 5 x 5 4 において ff(x)g2 ¡ fg(x)g2 = 0 が成り立つことを示せ．
(3) 2 つの曲線 y = f(x); y = g(x) と直線 x = 1 で囲まれた部分を D とおく．D を x 軸
の周りに 1 回転させてできる回転体の体積 W を求めよ．
（東京農工大学 2012 ）
3
Z
2¼
2
cos x の最
3
大値，最小値を求めよ．また，最大値を与える x の値と最小値を与える x の値をすべて求
区間 0 5 x 5 2¼ で定められた関数 f(x) =
0
(sin x ¡ t ) cos 2t dt +
めよ．
（東京農工大学 2012 ）
4
座標平面上に放物線 y = x2 ¡ 2x + 3 と点 A(2; t) (t < 3) がある．この放物線に点 A
から引いた 2 本の接線の接点をそれぞれ P，Q とする．ただし，x 座標の大きな方を P と
する．また，2 点 P，Q を通る直線と y 軸との交点を R とする．このとき，次の問いに答
えよ．
(1) 点 P の x 座標を t の式で表せ．
(2) 点 R の y 座標を t の式で表せ．
¡! ¡!
(3) ベクトル AP と AQ が垂直になるような t の値を t0 とする．t0 を求めよ．
¡!
¡!
¡!
(4) t = t0 のときの A，P，Q，R について，AR = ®AP + ¯AQ と表す．®; ¯ の値を求め
よ．ただし，®; ¯ は実数とする．
（東京農工大学 2011 ）
5
2 つの関数
f(x) = sin 3x + sin x + cos x;
g(x) = cos 3x
について，次の問いに答えよ．
(1) 区間 0 5 x 5 n¼ における 2 つの曲線 y = f(x); y = g(x) の交点の個数を r とする．r
を n の式で表せ．ただし，n は正の整数とする．
(2) 区間 0 5 x 5 ¼ において f(x) < g(x) をみたす x の範囲を求めよ．
(3) 定積分
I=
Z
¼
0
f(x) ¡ g(x) dx
の値を求めよ．
（東京農工大学 2011 ）
6
c を正の実数とする．関数 f(x) = (x + c)e2x について，次の問いに答えよ．ただし，e
は自然対数の底とする．
(1) y = f(x) は x = k のとき最小値 m をとる．このとき，k と m を c の式で表せ．
(2) k を (1) で求めた値とする．このとき，定積分
T=
Z
¡c
k
f(x) dx
を c の式で表せ．
(3) T を (2) で求めた値とする．区間 ¡c 5 x 5 0 において，曲線 y = f(x)，x 軸および
e
y 軸のすべてで囲まれた部分の面積を S とする．S =
T となるときの c の値を求
2¡e
めよ．
（東京農工大学 2011 ）
7
O を原点とする座標空間にある，中心 C(1; 1;
p
p
10)，半径 3 3 の球面を S とする．次の
問いに答えよ．
(1) S と x 軸の正の部分との交点を P とし，S と y 軸の正の部分との交点を Q とする．P，Q
の座標を求めよ．
(2) 2 点 O，C を通る直線と S との交点のうち，z 座標が正であるものを R とする．R の座標
を求めよ．
(3) 四面体 OPQR の体積 V を求めよ．
(4) 4 点 O，P，Q，R を通る球面の半径 r1 を求めよ．
(5) 四面体 OPQR に内接する球面の半径を r2 とする．このとき，
r1
の値を求めよ．
r2
（東京農工大学 2010 ）
8
座標平面上を運動する点 P の時刻 t における座標 (x; y) が
x = 2 cos t;
y=
B
3 sin t
で与えられているとする．このとき，次の問いに答えよ．
¡
!
¡
!
(1) 時刻 t における点 P の速度 v と速さ j v j を求めよ．
!
d ¡
(2) f(t) = ¡2 cos t +
j v j2 とおく．0 5 t 5 2¼ における f(t) の最大値，最小値を求
dt
め，そのときの t の値を求めよ．
Z ¼
f(t)
2
(3) (2) の関数 f(t) について定積分 I =
¡
! dt を求めよ．
0
j v j2
（東京農工大学 2010 ）
9
xy 平面上に
ye2x ¡ 6ex ¡ 8 = ¡(ex ¡ 2)(ex ¡ 4)
で定まる曲線がある．この曲線によって囲まれる図形の面積 K を求めよ．ただし，e は自
然対数の底である．
（東京農工大学 2010 ）
10 2 枚の硬貨を同時に投げる試行を 2 回続ける．1 回目に表が出る硬貨の枚数を m とし，2 回
目に表が出る硬貨の枚数を n とする．このとき，O を原点とする xy 平面上に点 P(m; n)
をとる．次の問いに答えよ．
¡!
¡! ¡
!
(1) ベクトル OP について，OP Ë 0 となる確率を求めよ．
¡!
¡!
(2) ベクトル OP の大きさ jOPj の期待値 E を求めよ．
(x ¡ p)2
9 2 27
45
y ¡
y+
= 0 で表される楕円を C とする．この楕円の方程式を
+
4
4
16
a2
(y ¡ q)2
= 1 の形に表すとき，実数 a; b; p; q を求めよ．ただし，a; b は正とする．
b2
(4) 点 P が楕円 C によって囲まれた部分にある確率を求めよ．
(3) x2 +
（東京農工大学 2009 ）

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