Skript Vorkenntnisse

Mathematische Vorkenntnisse für
Physik
Labor Technische Physik
Dipl. Ing. (FH) Michael Schmidt
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Grundbegriffe
1.1 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Wissenschaftliche Darstellung . . . . . . . . . . .
1.2 Physikalische Größen und Einheiten . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Physikalische Größen und deren Messung . . . . .
1.2.2 Einheiten von physikalischen Größen . . . . . . .
1.2.3 Darstellung einer physikalischen Größe . . . . . .
1.3 Vorsilben für dezimale Vielfache und Teile von Einheiten
1.3.1 Formelzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Funktionaler Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Kartesisches Koordinatensystem . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
4
4
5
5
6
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
7
8
9
9
10
10
11
11
12
13
14
15
15
3 Geometrie
3.1 Ebene geometrische Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1.1 rechtwinkliges Dreieck . . . . . . . . . . . . . . .
17
17
17
17
2 Rechenregeln
2.1 Addition und Subtraktion . . . . . . . . . . .
2.2 Multiplikation und Division . . . . . . . . . .
2.3 Bruchrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Kürzen und Erweitern . . . . . . . . .
2.3.2 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Multiplikation . . . . . . . . . . . . . .
2.3.5 Division . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.6 Doppelbrüche . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Rechenregeln bei Addition und Multiplikation
2.5 Binomische Formeln . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Potenzen und Wurzeln . . . . . . . . . . . . .
2.7 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
Inhaltsverzeichnis
3.2
3.1.1.2 Gleichschenkliges Dreieck
3.1.1.3 Gleichseitiges Dreieck . .
3.1.2 Quadrat . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Rechteck . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Parallelogramm . . . . . . . . . . .
3.1.5 Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . .
Räumlich geometrische Körper . . . . . . .
3.2.1 Würfel . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Quader . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Kreiszylinder . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Kugel . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Trigonometrie
4.1 Winkel . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Winkelfunktionen . . . . . . . . . .
4.2.1 Wichtige Funktionswerte . .
4.2.2 Symmetrien . . . . . . . . .
4.2.3 Wichtige Additionstheoreme
4.3 Sinussatz . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Kosinussatz . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Funktionen
5.1 Geraden und Potenzfunktionen . . . . . . . . . . .
5.2 Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Polynomfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen
5.5 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
18
18
18
18
19
19
19
19
20
20
.
.
.
.
.
.
.
21
21
23
24
25
25
25
26
.
.
.
.
.
27
27
30
30
32
34
6 Differenzieren von Funktionen
37
6.1 Ableitung und Differtialquotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.2 Ableitungen von elementaren Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 38
6.3 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7 Integrieren von Funktionen
39
7.1 Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.2 Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8 Vektoren
8.1 Definition eines Vektors
8.2 Spezielle Vektoren . . . .
8.2.1 Einheitsvektor . .
8.2.2 Ortsvektor . . . .
Version: 20. Juli 2016
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
43
43
44
44
44
iv
Labor Technische Physik
Inhaltsverzeichnis
8.3
8.4
8.5
8.6
Darstellung eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 Vektoren im kartesischen Koordinatensystem .
Vektoren und physikalische Größen . . . . . . . . . .
Vektoren in physikalischen Formeln . . . . . . . . . .
Rechnen mit Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6.1 Addition und Subtraktion von Vektoren . . .
8.6.2 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
8.6.3 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6.4 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
44
46
47
48
48
48
50
50
52
9 Vektoranalysis
55
9.1 Differentiation einer vektorielle physikalischen Größe nach der Zeit 55
9.2 Integration einer vektorielle physikalischen Größe nach der Zeit . 56
10 Komplexe Zahlen
10.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Darstellung einer komplexen Zahl . . . . . . . . . . .
10.3 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.1 Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.2 konjugiert komplexe Zahl . . . . . . . . . . . .
10.4 Darstellung einer komplexen Zahl . . . . . . . . . . .
10.4.1 Algebraische oder kartesische Form . . . . . .
10.4.2 Trigonometrische Form . . . . . . . . . . . . .
10.4.3 Exponentialform . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4.4 Umrechnung zwischen den Darstellungsformen
10.4.4.1 Polarform in kartesische Form . . . .
10.4.4.2 Kartesische Form in Polarform . . .
10.5 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.1 Addition und Subtraktion komplexer Zahlen .
10.5.2 Multiplikation komplexer Zahlen . . . . . . .
10.5.3 Division komplexer Zahlen . . . . . . . . . . .
10.5.4 Potenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
v
Version: 20. Juli 2016
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
59
59
59
60
60
61
62
62
62
63
64
64
64
64
64
65
66
67
Labor Technische Physik
1 Grundbegriffe
1.1 Reelle Zahlen
Im technisch-wissenschaftlichen Umfeld arbeitet man mit reellen Zahlen. Die
Menge der reellen Zahlen umfasst Brüche (siehe Kapitel 2.3) (rationalen Zahlen)
und die irrationale Zahlen.
Irrationale Zahlen sind Dezimalzahlen, die nicht als Verhältnis zwischen zweier
ganzer Zahlen darzustellen sind. Die Dezimaldarstellung einer irrationalen Zahl
bricht nicht ab und die Ziffernfolge ist nicht periodisch.
Beispiel für reele Zahlen:
√
2 = 1, 41421362 . . .
2
= 0, 6666666 . . .
3
0, 25
10
1.1.1 Wissenschaftliche Darstellung
Eine reelle Zahl x wird im technischen Bereich häufig in folgender Form dargestellt:
x = ±d · 10a
Die reelle Zahl d wird Mantisse genannt und die ganze Zahl a wird Exponent genannt. Den Exponenten wählt man so, dass man für die Mantisse eine
angenehme Größenordnung erhält. Bei physikalischen Größen wählt man den
Exponenten oft so, dass man den Term 10a durch eine Vorsilbe bei der Einheit
ersetzten kann (siehe Kapitel 1.3).
Beispiel für eine wissenschaftliche Darstellung:
Die Wellenlänge λ des Lasers beträgt:
λ = 0, 000000433 m
= 433 · 10−9 m
= 433 nm
1
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
1 Grundbegriffe
1.2 Physikalische Größen und Einheiten
1.2.1 Physikalische Größen und deren Messung
Der Begriff „physikalische Größe“ ist in DIN 1313 definiert. Eine physikalische
Größe kennzeichnet messbare Eigenschaften und Zustände von physikalischen
Objekten oder Vorgängen. Sie ist sowohl eine qualitative als auch eine quantitative Aussage über ein messbares Merkmal eines physikalischen Objektes, z. B.
eines Körpers (z.B. Länge), eines Zustands (z.B. Temperatur) oder eines Vorgangs (z.B. Beschleunigung). Die Messung einer physikalischen Größe besteht in
einem Vergleich der zu messenden Größe mit einer zuvor willkürlich festgelegten
Einheit und der Ermittlung des Zahlenwertes, welcher angibt wie oft die Einheit
in der zu messenden Größe enthalten ist.
1.2.2 Einheiten von physikalischen Größen
Der Begriff „Einheit“ ist ebenfalls in DIN 1313 definiert. Die Name der Einheiten
und die Einheitenzeichen für das Internationale Einheitensystem (SI System) und
die daraus abgeleiteten Größen sind in DIN 1301 aufgeführt.
1.2.3 Darstellung einer physikalischen Größe
Der Wert jeder physikalischen Größe wird dargestellt als Produkt aus Zahlenwert
und Einheit:
Physikalische Größe = Zahlenwert Einheit
G
=
{G}
[G]
Beispiel für eine physikalische Größe :
Spannung = 30 V
{U} = 30 (lies: die Maßzahl der Spannung ist 30)
[U] = V (lies: die Einheit der Spannung ist Volt)
Der Zahlenwert ist abhängig von der Wahl der Einheit, die physikalische Größe ist davon unabhängig (invariant). Bei der Messung können nur
gleichartige Eigenschaften miteinander verglichen werden, d.h. die Länge eines
Tisches kann nur mit einer Einheit der gleichen Eigenschaft, also einer Längeneinheit, verglichen werden.
Version: 20. Juli 2016
2
Labor Technische Physik
1.3 Vorsilben für dezimale Vielfache und Teile von Einheiten
1.3 Vorsilben für dezimale Vielfache und Teile von
Einheiten
Zur Kennzeichnung von dezimalen Vielfachen und Teilen der Einheiten sind folgende Vorsilben zu verwenden, wobei Hekto, Deka, Dezi und Zenti nur noch
benutzt werden sollen, wo sie bereits üblich sind.
Faktor Vorsilbe
Symbol
Faktor Vorsilbe
Symbol
10−1
10−2
10−3
10−6
10−9
10−12
10−15
10−18
10−21
10−24
d
c
m
µ
n
p
f
a
z
y
101
102
103
106
109
1012
1015
1018
1021
1024
d
h
k
M
G
T
P
E
Z
Y
Dezi
Zenti
Milli
Mikro
Nano
Piko
Femto
Atto
Zepto
Yokto
Deka
Hekto
Kilo
Mega
Giga
Tera
Peta
Exa
Zetta
Yotta
Tabelle 1.1: Übersicht für dezimale Vielfache und Teile von Einheiten
1.3.1 Formelzeichen
Ein Formelzeichen ist ein Symbol für den Namen eines Objekts zur Verwendung
in Formeln. Prinzipiell kann jedes beliebige Symbol als Formelzeichen verwendet
werden. Es wird anstelle des Objektnamens geschrieben und ist mit dessen Bedeutung identisch. Das bedeutet, dass ein Symbol immer durch den ihm zugeordneten Objektnamen ersetzt werden kann und umgekehrt. Für die physikalischen
Größen sind die Formelzeichen genormt und in der DIN 1304 festgelegt.
Beispiel für ein Formelzeichen:
Für die physikalische Größe „Zeit“ wird in Formeln das Formelzeichen „t“ verwendet.
1.4 Funktionaler Zusammenhang
Gibt es einen eindeutigen Zusammenhang zwischen mindestens zwei physikalischen Größen, so nennt man dies einen funktionalen Zusammenhang.
Beispiel für einen funktionalen Zusammenhang:
Wenn sich ein Körper geradlinig mit einer konstanten Geschwindigkeit v bewegt, dann
besteht ein funktionaler Zusammenhang zwischen dem betrachteten Zeitraum t und dem
zurückgelegten Weg s.
3
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
1 Grundbegriffe
Die physikalischen Größen zwischen denen ein funktionaler Zusammenhang besteht, können in einer Wertetabelle aufgelistet werden.
Beispiel für eine Wertetabelle:
Ein Körper bewegt sich geradlinig mit einer konstanten Geschwindigkeit v. Für den in der
Zeit t zurückgelegten Weg s erhält man folgende Wertepaare.
Zeit t in Sekunden
0
1
2
3
4
5
Zurückgelegter Weg s in Meter
0
5
10
15
20
25
Tabelle 1.2: Funktionaler Zusammenhang zwischen vergangener Zeit t und dem zurückgelegten Weg s
1.5 Formel
In der Physik dient eine Formel dazu, eine kurze abstrakte Beschreibung des
funktionalen Zusammenhangs zwischen verschiedenen physikalischen Größen zu
geben.
Beispiel für eine Formel:
Der funktionale Zusammenhang zwischen den physikalischen Größen Geschwindigkeit v,
Zeit t und zurückgelegter Weg s bei der geradlinigen Bewegung eines Körpers wird durch
folgende Formel beschrieben:
s = v·t
Dabei muss auch auf die geeignete Auswahl der Einheiten für die physikalischen Größen
geachtet werden. Wird in der Formel die Zeit t in Sekunden gemessen und die Geschwindigkeit in m/s dann ist der zurückgelegte Weg s im Meter anzugeben.
1.6 Gleichung
Wenn die physikalische Formel ein Gleichheitszeichen beinhaltet, dann stellt sie
auch eine Gleichung dar. Eine Gleichung besagt, dass die Größen auf der linken
und der rechten Seite des Gleichheitszeichens gleich sind.
Bei physikalischen Größen ist darauf zu achten, dass auf der linken und rechten
Seite der Gleichung die selben physikalischen Einheiten verwendet werden.
Gleichungen dienen in der Regel dazu, aus ihnen eine noch unbekannte Größe zu
bestimmen.
Beispiel für eine physikalische Gleichung:
Die Geschwindigkeit v wird in km/h angegeben und die Zeit t in s gemessen. Um den Weg
Version: 20. Juli 2016
4
Labor Technische Physik
1.7 Bezugssystem
s in der Einheit Meter angeben zu können, muss zunächst die Einheit der Geschwindigkeit
v umgerechnet werden:
s=
1 m·h
·v·t
3, 6 km · s
Diese Gleichung liefert nun den zurückgelegten Weg s in der gewünschten Einheit Meter.
An Gleichungen mit physikalischen Größen kann man folgende algebraische Operationen vornehmen:
• Auf beiden Seiten der Gleichung kann dieselbe physikalische Größe in der
passenden physikalischen Einheit addiert oder subtrahiert werden.
• Beide Seiten der Gleichung können mit derselben physikalische Größe in
der passenden physikalischen Einheit multipliziert oder durch sie dividiert
werden.
• Beide Seiten der Gleichung können in dieselbe Potenz erhoben werden.
• Beide Seiten können mit einem konstanten Faktor multipliziert werden.
Diese Operationen sind jeweils auf beiden Seiten der Gleichung anzuwenden.
1.7 Bezugssystem
In der Physik ist ein Bezugssystem ein räumliches Gebilde, das erforderlich ist,
um das Verhalten ortsabhängiger physikalischer Größen eindeutig und vollständig zu beschreiben.
Für ein Bezugssystem werden drei relativ zueinander ruhende und nicht auf einer Geraden liegenden Bezugspunkte ausgewählt, um die drei Raumrichtungen
festlegen zu können. Durch diese drei Punkte wird eine Ebene aufgespannt. Die
dritte Dimension erhält man dann z. B. als Normale auf dieser Ebene.
Damit hat man ein Bezugssystem definiert, welches als Voraussetzungen für die
Definition eines Koordinatensystems dient, dass zur Angabe von Raumpunkten
verwendet werden kann.
1.8 Koordinatensysteme
Ein Koordinatensystem dient zur eindeutigen Beschreibung von Punkten im
Raum. Diesen Raumpunkten kann dann eine ortsabhängige physikalische Größe
zugeordnet werden.
Die Position eines Punktes im Raum kann in verschiedenen Koordinatensystemen dargestellt werden. Je nach verwendetem Koordinatensystem hat derselbe
Punkt unterschiedliche Koordinatenwerte.
5
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
1 Grundbegriffe
Der Koordinatenursprung bezeichnet den Punkt in einem Koordinatensystem,
an dem alle Koordinaten den Wert Null annehmen.
1.8.1 Kartesisches Koordinatensystem
Dieses Koordinatensystem wird in der Physik besonders häufig verwendet. Es
ist ein orthogonales Koordinatensystem. Die drei Richtungsachsen (x-Achse, yAchse und z-Achse) stehen paarweise senkrecht aufeinander.
Die Lage eines Raumpunktes P wird in diesem Koordinatensystem durch Angabe
der drei Abstandskoordinaten x, y und z, die sogenannten rechtwinkligen oder
kartesischen Koordinaten, beschrieben. Diese Koordinaten sind die senkrechten
Projektionen des Punktes auf die drei Koordinatenachsen.
Abbildung 1.1:
Angabe der Lage des Raumpunktes P in einem kartesischen Koordinatensystem.
Version: 20. Juli 2016
6
Labor Technische Physik
2 Rechenregeln
2.1 Addition und Subtraktion
In der Physik können nur gleiche physikalische Größen addiert bzw. subtrahiert
werden. Dabei ist stets darauf zu achten, dass alle Größen die gleiche
Einheit besitzen.
Beispiel für Addition und Subtraktion :
Ein Flugzeugträger bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 10 Meter pro Sekunde in
eine gegebene Richtung. Ein Flugzeug startet vom Deck des Flugzeugträgers in dieselbe
Richtung. Es hat gemessen vom Flugzeugträger, eine Geschwindigkeit von 100 Meter pro
Sekunde. Wie schnell bewegt sich das Flugzeug in Bezug auf das Wasser?
Abbildung 2.1
Um die Geschwindigkeit des Flugzeugs relativ zum Wasser zu erhalten, addiert man die
Geschwindigkeit des Flugzeugs bezogen auf das Schiff zu der Geschwindigkeit des Schiffes
in Bezug auf das Wasser:
m
m
vges = va + vc = 100 + 10
s
s
m
= 110
s
Die Reihenfolge, in der man die einzelnen Größen addiert ist völlig egal, bei der
Addition gilt das Vertauschungsgesetz auch Kommutativgesetz genannt
(siehe Kapitel 2.4). Achtung, bei der Subtraktion gilt das Kommutativgesetz
nicht.
7
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
2 Rechenregeln
2.2 Multiplikation und Division
Werden physikalische Größen mit einer natürlichen Zahl multipliziert bzw. dividiert dann ändert sich nur der Wert der physikalischen Größe.
Beispiel für die Multiplikation einer physikalischen Größe mit einer natürlichen Zahl
In einem Eimer können maximal 10 Liter Wasser eingefüllt werden. Wie viel Wasser können
maximal in 5 Eimer eingefüllt werden? Die Berechnung lautet:
Fassungsvermögen eines Eimers:
Ve = 10 Liter
Anzahl der Eimer:
n=5
Fassungsvermögen aller Eimer:
Vg = ? Liter
Vg = n · Ve
Vg = 5 · 10 Liter
Vg = 50 Liter
Werden physikalischen Größen multipliziert bzw. dividiert, dann erhält man als
Ergebnis eine neue physikalische Größe.
Beispiel für Multiplikation von zwei physikalischen Größen
Wie groß ist die Fläche eines rechteckigen Grundstücks mit den Kantenlängen l1 = 26 m
und l2 = 31 m?
Länge 1:
l1 = 26 m
Länge 2:
l2 = 31 m
Fläche :
A =? m2
A = l1 · l2 = 26 m · 31 m
= 806 m2
Beispiel für die Division von zwei physikalischen Größen:
Ein Auto fährt in 1,4 Stunden eine Strecke von 84 Kilometer. Wie groß ist seine Geschwindigkeit?
Zeit:
t = 1, 4 h
Weg:
s = 84 km
Geschwindigkeit:
v =? km
h
v=
s
84 km
km
=
= 60
t
1, 4 h
1, 4 h
Werden zwei physikalische Größen mit gleichen Einheiten dividiert, dann kürzen
sich die Einheiten und man erhält als Ergebnis eine Zahl ohne Einheiten:
Beispiel für die Division von zwei physikalischen Größen mit gleichen Einheiten:
Wie groß ist der Brechungsindex von Wasser wenn die Lichtgeschwindigkeit in Wasser
Version: 20. Juli 2016
8
Labor Technische Physik
2.3 Bruchrechnung
2, 25 · 109 ms ist?
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum:
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum:
Brechungsindex:
nWasser =
2, 998 · 109
2, 254 · 109
nWasser =?
m
s
m
s
m
2, 998 · 109 s
m = 1, 33
9
2, 254 · 10 s
2.3 Bruchrechnung
Die Bruchrechnung beruht darauf, dass sich das Ganze noch unterteilen lässt.
Ein ganzer Kuchen kann man zum Beispiel in vier Teile teilen. Wenn diese Teile
gleich groß sind, so ist jedes Teil ein Viertel des Kuchens.
Geschrieben wird dies in der „Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise“. Die Zahl
unter dem Bruchstrich wird Nenner genannt. Sie gibt an in wie viele Teile das
Ganze geteilt worden ist. Die Zahl über dem Bruchstrich wird Zähler genannt.
Sie gibt an, wie viele Teile davon im aktuellen Fall gemeint sind. So erhält man
einen Bruch (siehe Abb. 2.2).
Abbildung 2.2: Beispiel für einen Bruch.
Man erhält den Kehrbruch eines Bruches indem man den Zähler und den Nenner vertauscht.
2.3.1 Kürzen und Erweitern
Der Wert eines Bruches ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner des
Bruches mit derselben Zahl multipliziert, den Bruch also erweitert oder durch
einen gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner teilt, den Bruch also kürzt.
Beispiel für das Kürzen von Brüchen
44
cm =
92
44
cm =
92
9
4 · 11
4 · 11
cm =
cm
4 · 23
4 · 23
11
cm
23
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
2 Rechenregeln
Es gilt:
→ kürzen
a
a·c
=
|b · c{z b}
z
}|
{
←erweitern
2.3.2 Addition
Zwei Brüche addiert man, indem man sie so erweitert, dass sie einen gemeinsamen Nenner haben, den sogenannten Hauptnenner. Die Summe der Brüche
ist dann die Summe der beiden Zähler der erweiterten Brüche, dividiert durch
den Hauptnenner. Als Hauptnenner eignet sich immer das kleinste gemeinsame
Vielfache der zu addierenden Brüche.
Handelt es sich bei den Brüchen um physikalische Größen, ist darauf zu achten,
dass alle Brüche die gleiche Einheit besitzen.
Beispiel für die Addition von Brüchen:
Es ist die Gesamtlänge der beiden Längen 43 cm und
Länge 1:
l1 = 43 cm
9
Länge 2:
l2 = 10
mm
Gesamtlänge:
lg =? cm
l2 =
9
10
mm zu berechnen.
9
9 1
9
mm =
·
cm =
cm
10
10 10
100
lg = l1 + l2
3
9
= cm +
cm
4
100
9
3 · 25
cm +
cm
=
4 · 25
100
75
9
=
cm +
cm
100
100
84
21 · 4
=
cm =
cm
100
25 · 4
21
lg =
cm
25
2.3.3 Subtraktion
Man subtrahiert Brüche, indem man sie zuerst erweitert, so dass sie einen gemeinsamen Nenner haben (Hauptnenner). Danach bildet man die Differenz der
Zähler und behält den Hauptnenner bei.
Handelt es sich bei den Brüchen um physikalische Größen, dürfen nur Brüche
mit gleicher Einheit subtrahiert werden.
Version: 20. Juli 2016
10
Labor Technische Physik
2.3 Bruchrechnung
Beispiel für die Subtraktion von Brüchen
Die beiden Kräfte 23 N und 43 N greifen in entgegengesetzter Richtung an einem Körper an.
Kraft 1:
F1 = 23 N
F2 = 34 N
Wie groß ist die Gesamtkraft? Kraft 2:
Gesamtkraft:
Fg =? N
Fg = F1 − F2
3
2
3·3
2·4
Fg = N − N =
N−
N
4
3
4·3
3·4
9
8
Fg =
N−
N
12
12
1
Fg =
N
12
2.3.4 Multiplikation
Brüche werden multipliziert, indem man ihre Zähler und Nenner miteinander
multipliziert. Das Produkt der Zähler ist dann der Zähler des Ergebnisses. Das
Produkt der Nenner ist dann der Nenner des Ergebnisses.
Werden die Brüche von zwei physikalischen Größen multipliziert, dann erhält
man als Ergebnis eine neue physikalische Größe.
Beispiel für die Multiplikation von Brüchen:
Eine rechteckige Fläche hat die Kantenlängen 43 m und
Rechtecks?
Länge 1:
l1 = 34 m
Länge 2:
l2 = 23 m
Fläche:
A =? m2
2
3
m. Wie groß ist die Fläche des
A = l1 · l2
3
2
3·2 2
m
= m· m=
4
3
4·3
6 2 1 · 6 2
=
m =
m
12
2 · 6
1
A = m2
2
2.3.5 Division
Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit seinem Kehrbruch multipliziert. Bei physikalischen Größen ist bei der Kehrbruchbildung zu beachten, dass
die Einheiten im Zähler und Nenner auszutauschen sind. Werden die Brüche von
zwei physikalischen Größen dividiert, dann erhält man als Ergebnis eine neue
11
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
2 Rechenregeln
physikalische Größe oder wenn die beiden Größen die gleiche Einheit besitzen
erhält man einen Zahlenwert ohne Einheit.
Beispiel für die Division von Brüchen:
Geschwindigkeitsänderung: ∆v = 35 ms
Zeitdauer:
∆t = 23 s
Beschleunigung:
a =? sm2
3 m
∆v
= 52 s
∆t
3s
3m 3 1
=
· ·
5 s 2 s
9 m
a=
10 s2
a=
2.3.6 Doppelbrüche
In physikalischen Anwendungen kommen häufig Doppelbrüche vor. Um diese
Doppelbrüche zu vereinfachen, formt man den Term so um, dass sowohl im Zähler als auch im Nenner nur ein Bruchstrich vorkommt. Dann kann man die Division als Multiplikation mit dem Kehrbruch schreiben und wenn möglich weiter
vereinfachen.
Beispiel für einen Doppelbruch:
R1
Ue
R2
Ra Ua
Abbildung 2.3: Bei der Ermittlung des Spannungsverhältnisses am belasteten Spannungsteiler muss ein Doppelbruch vereinfacht werden.
Bei einem mit dem Widerstand Ra belasteten Spannungsteiler ergibt sich für das Verhältnis
Version: 20. Juli 2016
12
Labor Technische Physik
2.4 Rechenregeln bei Addition und Multiplikation
von Ausgangsspannung Ua zur Eingangspannung Ue :
R ·R
a
2
Ua
Ra +R2
=
·R2
Ue
R1 + RRaa+R
2
=
Ra ·R2
· (R
+
R2 )
a
Ra
+R
2 (Ra + R2 ) · R1 +
Ra ·R2
Ra +R2
Ra · R2
Ra ·R2
(Ra + R2 ) · R1 + (R
+
R2 ) · a
Ra
+R
2
Ra · R2
=
R1 · Ra + R1 · R2 + Ra · R2
=
2.4 Rechenregeln bei Addition und Multiplikation
Für das Rechnen mit reellen Zahlen x, y, z gelten folgende Rechenregeln:
• Bei der Addition und Multiplikation reeller Zahlen dürfen die Zahlen in ihrer Reihenfolge vertauscht werden. Diese Operationen sind kommutativ:
Beispiel für das Kommutativgesetz:
Abbildung 2.4
In einem fahrenden Zugwagen mit vz = 30 ms bewegt sich ein Passagier mit vP =
0, 6 ms in Fahrtrichtung. Wie groß ist für einen ruhenden Beobachter am Bahndamm
die Gesamtgeschwindigkeit vg der Person?
m
m
m
+ 0, 6 = 30, 6
s
s
s
m
m
m
vg = vp + vz = 0, 6 + 30 = 30, 6
s
s
s
vg = vz + vp = 30
• Bei der Addition und Multiplikation reeller Zahlen dürfen die Zahlen beliebig geklammert werden, die Operationen sind assoziativ:
Beispiel für das Assoziativgesetz:
Das Volumen V eines Quaders der Höhe h = 2, 4 m, der Breite b = 120 cm und der
13
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
2 Rechenregeln
Tiefe t = 2, 5 m, soll berechnet werden.
V = h · b · t = (h · t) · t
= (2, 4 m · 2, 5 m) · 120 cm
= 6 m2 · 1, 2 m
= 7, 2 m3
• Für das Ausmultiplizieren von geklammerten Termen gilt das Distributivgesetz:
Beispiel für das Distributivgesetz:
R1
R2
Abbildung 2.5: Reihenschaltung von Widerständen
Die Widerstandswerte von R1 = 120 W und R2 = 330 W sollen verfünffacht werden
und durch einen einzelnen Widerstand Rg ersetzt werden.
Rg = 5 · R1 + 5 · R2 = 5 · (R1 + R2 )
= 5 · (120 W + 330W) = 5 · 450 W
= 2, 25 kW
• Punktrechnung geht vor Strichrechnung.
2.5 Binomische Formeln
Als binomische Formeln werden üblicherweise die folgenden drei Umformungen
bezeichnet:
• (x + y)2 = x2 + 2 · x · y + y 2 erste binomische Formel (Plus-Formel)
• (x − y)2 = x2 − 2 · x · y + y 2 zweite binomische Formel (Minus-Formel)
• (x+y)·(x−y) = x2 −y 2
Version: 20. Juli 2016
dritte binomische Formel (Plus-Minus-Formel)
14
Labor Technische Physik
2.6 Potenzen und Wurzeln
2.6 Potenzen und Wurzeln
Die n-te Potenz einer reellen Zahl x ist:
xn = x
| · x{z· · · x}
n Faktoren
in der obigen Formel ist x die Basis und n der Exponent. Es gibt folgende
Definitionen:
1
xn
Def
x0 = 1
√
1
Def
n
x = xn
Def
x−n =
Für die Potenzrechnung gelten folgende Rechenregeln:
• xa · xb = x(a+b)
xa
xb
Beispiel:
32 · 32 = 3(2+2) = 34 = 81
Beispiel:
34
32
• (xa )b = x(a·b)
Beispiel:
(33 ) · 3(3·2) = 36 = 729
• xa · y a = (x · y)a
Beispiel:
32 · 42 = (3 · 4)2 = 122 = 144
Beispiel:
122
32
•
•
xa
ya
= x(a−b) für x 6= 0
=
a
x
y
für b 6= 0
= 3(4−2) = 32 = 9
2
=
12
3
2
= 42 = 16
2.7 Logarithmen
Wenn zwischen den reellen Zahlen a, b, c die Beziehung
a = bc
besteht, dann nennt man die Zahl c den Logarithmus von a zur Basis b. Man
schreibt:
c = logb a
Der Logarithmus einer positiven reellen Zahl a zur Basis b ist also der Wert
des Exponenten c, wenn a als Potenz zur Basis b dargestellt wird.
Mit Hilfe von einem Logarithmus kann man also berechnen, mit welcher Zahl eine
andere Zahl potenziert wurde. Logarithmen sind nur für positive reelle Zahlen
definiert und auch die Basis muss eine positive reelle Zahl sein.
Bei Logarithmen handelt es sich also um Exponenten und es gelten bestimmte
Rechenregeln:
15
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
2 Rechenregeln
• Für Produkte:
logb (a1 · a2 · · · an ) = logb (a1 ) + logb (a2 ) + · · · + logb (an )
Beispiel: log10 (100 · 1000) = log10 (100) + log10 (1000) = 2 + 3 = 5
• Für Quotienten:
logb aa21 = logb (a1 ) − logb (a2 )
Beispiel: log10
1000
100
= log10 (1000) − log10 (100) = 3 − 2 = 1
• Für Potenzen:
logb (ar ) = r · logb (a)
Beispiel: log10 (1005 ) = 5 · log10 (100) = 5 · 2 = 10
• Für Wurzeln:
1
√
logb n a = logb a n = n1 · logb a
√
1
Beispiel: log10 3 1000 = log10 1000 3 =
1
3
· log10 (1000) =
1
3
·3=1
In der Physik werden nur bestimmte Zahlen als Basis verwendet.
Ein Logarithmus zur Basis 10 heißt Briggs’scher, dekadischer, gewöhnlicher oder
Zehnerlogarithmus, die Logarithmen zur Basis e (e = 2, 781 . . . ) werden natürliche Logarithmen genannt da viele Abläufe in der Natur mit Hilfe dieser
Logarithmen berechnet werden können.
Für die Logarithmen mit der Basis 10 oder e gibt es eigene Symbole:
log10 a = ln a
loge a = lg a
Version: 20. Juli 2016
16
Labor Technische Physik
3 Geometrie
Bei geometrische Figuren handelt es sich, um in zwei oder drei Dimensionen
begrenzte Formen, deren Längen, Flächeninhalte oder Rauminhalte durch bestimmte Verhältnisse verbunden sind.
In den folgenden Formeln steht A für die Fläche der Figur und U für deren
Umfang.
3.1 Ebene geometrische Körper
3.1.1 Dreiecke
3.1.1.1 rechtwinkliges Dreieck
α + β = 90◦
1
1
A= ·h·c= ·a·b
2
2
Phytagoras: c2 = a2 + b2
Höhensatz: h2 = p · q
Kathetensatz: a2 = c · p
b2 = c · q
3.1.1.2 Gleichschenkliges Dreieck
a = b und α = β
√
1
1
A = · h · c = · c · 4a2 − c2
2
4
1 √ 2
h = · 4a − c2
2
17
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
3 Geometrie
3.1.1.3 Gleichseitiges Dreieck
a = b = c und α = β = γ = 60◦
√
1
1
A = · h · a = · a2 · 3
2
4
√
1
h= ·a· 3
2
3.1.2 Quadrat
A = a2
U =4·a
√
d=a· 2
3.1.3 Rechteck
A=a·b
U = 2a + 2b
√
d = a2 + b 2
3.1.4 Parallelogramm
A = a · h = a · b · sin α
U = 2a + 2b
h = b · sin α
d1/2 =
q
a2 + b2 ± 2a ·
Version: 20. Juli 2016
√
b2 − h2
18
Labor Technische Physik
3.2 Räumlich geometrische Körper
3.1.5 Kreis
A = π · r2
U =2·π·r
Beispiel für die Verwendung von ebenen Körpern in der Physik:
A
In einem runden Leiter mit dem Radius 0, 5 mm darf die Stromdichte den Wert von 16 mm
2
nicht übersteigen. Wie groß ist der maximale Strom der durch den Leiter fließen darf?
A
Stromdichte:
S = 16 mm
2
Radius :
r = 0, 5 mm
Strom:
I =? A
I = S · A = S · r2 · π = 16
I = 12, 57A
A
· (0, 5 mm)2 · π
mm2
3.2 Räumlich geometrische Körper
3.2.1 Würfel
V = a3
O = 6 · a2
√
d=a· 3
3.2.2 Quader
V =a·b·c
O = 2 · (a · b + a · c + b · c)
√
d = a2 + b 2 + c 2
19
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
3 Geometrie
3.2.3 Kreiszylinder
V = π · r2 · h
M =2·π·r·h
O = 2 · π · r · (r + h)
3.2.4 Kugel
4
· π · r3
3
O = 4 · π · r2
V =
Beispiel für die Verwendung von räumlichen Körpern in der Physik:
Ein Würfel mit der Kantenlänge 10 cm schwimmt im Wasser und taucht dabei 8 cm in die
Wasseroberfläche ein. Wie groß ist seine Dichte?
Kantenlänge:
a = 10 cm
Eintauchtiefe:
h = 8 cm
Dichte von Wasser:
ρW = 1000 mkg3
Dichte des Würfels:
ρ =? mkg3
h · a · a · ρW
a3
8
h
cm
kg
= · ρW =
· 1000 3
a
10 cm
m
kg
ρ = 800 3
m
ρ=
Version: 20. Juli 2016
20
Labor Technische Physik
4 Trigonometrie
Die Grundaufgabe der Trigonometrie besteht darin, aus drei Größen eines gegebenen Dreiecks (Seitenlängen und Winkelgrößen) andere Größen dieses Dreiecks
zu berechnen. Als Hilfsmittel werden dabei die trigonometrischen Funktionen
verwendet.
4.1 Winkel
Ein Winkel ist in der Geometrie ein Teil der Ebene, der von zwei in der Ebene
liegenden sich schneiden Geraden begrenzt wird. Der gemeinsame Schnittpunkt
der beiden Geraden wird Scheitelpunkt genannt, die Geraden heißen Schenkel
des Winkels. Die Größe des Winkels wird mit einem Winkelmaß angegeben. Bildet der Scheitelpunkt den Mittelpunkt eines Kreise, dann kann man die Größe
des Winkels mit der Länge s des Kreisbogens zwischen den Schenkeln und dem
Radius r des Kreises berechnen.
Zur Angabe der Größe eines Winkels, auch Winkelweite genannt, dient das Winkelmaß. Je nach Einsatzgebiet werden verschiedene Maße und deren Einheiten
verwendet. Der Vollwinkel ist der kleinste Winkel, um den ein Strahl um seinen
Ursprung gedreht wieder seine Ausgangsrichtung erreicht. Die Winkelweite wird
als Vielfaches oder Teil eines Vollwinkels angegeben.
Das vom Geodreieck vertrauteste Winkelmaß ist das Gradmaß mit der Einheit
Grad (Einheitszeichen ◦ ).
1 ° ist als der 1/360 Teil eines Vollwinkels festgelegt.
Sind kleinere Winkel zu bestimmen, teilt man das Grad in Minuten (Einheitszeichen 0 ) und Sekunden (Einheitszeichen 00 ) ein oder man gibt das Gradmaß als
gewöhnliche Dezimalzahl an. Es gilt:
1°
60
10
1°
1 00 =
=
60
3600
10 =
In vielen Berechnungen der Physik und der Mathematik ist das Bogenmaß mit
der Einheit Radiant (Einheitszeichen rad) das zweckmäßigste Winkelmaß. Das
Bogenmaß berechnet sich aus der Länge des Kreisbogens von einem Schenkel des
Winkels zum anderen, geteilt durch den Radius des Kreises (siehe Abbildungen
21
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
4 Trigonometrie
4.1). Wenn die Bogenlänge mit s und der Kreisradius mit r bezeichnet wird,
dann ergibt sich für den Winkel α im Bogenmaß:
α=
s
r
Abbildung 4.1: Das Bogenmaß für den Winkel α in der Einheit Radiant ist definiert als das
Verhältnis s/r. Dabei ist s die Länge des Kreisbogens, der durch die Schenkel des Winkels
α aus einem Kreis vom Radius r ausgeschnitten wird.
Da das Bogenmaß sich als Quotient zweier Längen ergibt ist es dadurch eigentlich
ohne Einheit. In Rechnungen wird daher im Fall des Winkels im Bogenmaß oft
keine Einheit angegeben. Durch das nicht notwendige aber bewusst vorgenommene Hinzufügen der Einheit „rad“ lässt sich in manchen Fällen darauf hinweisen,
welche physikalische Größe gemeint ist, ohne sie namentlich anzugeben.
Bei Geraden, die sich in der Ebene kreuzen, gibt es wichtige Beziehungen zwischen den Winkeln (siehe Abb. 4.2).
Abbildung 4.2: Einige nützliche Beziehungen zwischen Winkel
Version: 20. Juli 2016
22
Labor Technische Physik
4.2 Winkelfunktionen
4.2 Winkelfunktionen
Die elementaren Winkelfunktionen sind:
• die Sinusfunktion (abgekürzt: sin),
• die Kosinusfunktion (abgekürzt: cos),
• die Tangensfunktion (abgekürzt: tan oder tg),
Die Winkelfunktionen sind als Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken
(siehe Abb. 4.3) definiert.
Abbildung 4.3: Rechtwinkliges Dreieck
Die Kathete a ist die Ankathete des Winkels α und die Gegenkathete des Winkels β. Die
Kathete b ist die Gegenkathete des Winkels α und die Ankathete des Winkels β.
Sie sind daher zunächst nur für Winkel von 0◦ bis 90◦ bzw. zwischen 0 rad und
π/2 rad definiert:
Gegenkathete b
Hypotenuse c
Ankathete a
cos α =
Hypotenuse c
Gegenkathete b
tan α =
Ankathete a
sin α =
Gegenkathete a
Hypotenuse c
Ankathete b
cos β =
Hypotenuse c
Gegenkathete a
tan β =
Ankathete b
sin β =
Die Winkelfunktionen können aber am Einheitskreis auch auf größere Winkel
erweitert werden. Vom Schnittpunkt des einen Winkelschenkels mit dem Einheitskreis werden die Lote auf die beiden Koordinatenachsen gefällt und liefern
Sinus und Kosinus des Winkels (siehe Abb. 4.4). Auf diese Weise können jedem Winkel von 0◦ bis 360◦ Werte der Winkelfunktionen zugeordnet werden, die
auch negativ werden können. Die oben angegebenen Beziehungen gelten dabei
weiterhin. Eine eingehende Beschreibung erfolgt in Kapitel 5.5.
23
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
4 Trigonometrie
Abbildung 4.4: Rechtwinkliges Dreieck
Die Kathete a ist die Ankathete des Winkels α und die Gegenkathete des Winkels β. Die
Kathete b ist die Gegenkathete des Winkels α und die Ankathete des Winkels β.
4.2.1 Wichtige Funktionswerte
Für ausgewählte Winkel sind in nachfolgender Tabelle die Werte der Sinus- und
Kosinusfunktion angegeben.
α in rad
0
π
18
π
12
π
9
π
6
π
4
π
3
5π
12
π
2
α in
◦
0
10
15
20
23,6
30
36,9
40
45
50
53,1
60
64,2
70
75
80
90
sin α
cos α
0
0,17
√
√ 1
6
−
2
4
0,34
0,4
1
0,98
√
√ 1
6
+
2
4
0,94
0,92
√
1
3
2
0,8
0,77
√
1
2
2
0,64
0,6
1
2
0,60
0,64
√
1
2
2
0,77
0,8
√
1
3
2
0,9
√0,94 √ 1
6+ 2
4
0,98
1
1
2
0,44
√0,34 √ 1
6− 2
4
0,17
0
Tabelle 4.1: Werte der Winkelfunktionen Sinus und Kosinus
Die Winkelwerte sind auf eine Stelle nach dem Komma gerundet, die Funktionswerte sind auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet
Version: 20. Juli 2016
24
Labor Technische Physik
4.3 Sinussatz
4.2.2 Symmetrien
Die trigonometrischen Funktionen haben einfache Symmetrien. Daher ergeben
sich folgende Beziehungen:
sin(−x) = − sin x
cos(−x) = cos x
π
+ x = cos x
sin
2
π
cos
+ x = − sin x
2
π
sin
− x = cos x
2
π
cos
− x = sin x
2
Für den Tangens gilt:
tan(x) =
sin(x)
cos(x)
4.2.3 Wichtige Additionstheoreme
Sehr oft braucht man folgende Formeln:
(sin x)2 + (cos x)2 = 1
sin(x ± y) = sin x · cos y ± cos x · sin y
cos(x ± y) = cos x · cos y ∓ sin x · sin y
sin 2x = 2 · sin x · cos x
cos 2x = (cos x)2 − (sin x)2
4.3 Sinussatz
Der Sinussatz stellt eine Beziehung zwischen den Winkeln eines allgemeinen ebenen Dreiecks und den gegenüberliegenden Seiten her.
Sind a, b und c die Seiten eines Dreiecks mit dem Flächeninhalt A und α,β und
γ die jeweils gegenüber liegenden Winkel und R der Radius des Umkreises (siehe
Abbildung 4.5), dann gilt:
a
b
c
a·b·c
=
=
=
=2·R
sin(α)
sin(β)
sin(γ)
2·A
25
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
4 Trigonometrie
4.4 Kosinussatz
Der Kosinussatz stellt eine Beziehung zwischen den drei Seiten eines Dreiecks
und dem Kosinus eines der drei Winkel des Dreiecks her.
Für die drei Seiten a, b und c eines Dreiecks sowie für den der Seite c gegenüberliegenden Winkel γ ((siehe Abbildung 4.5)gilt:
c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos(γ)
Entsprechend gilt für die anderen Winkel α und β:
a2 = b2 + c2 − 2 · b · c · cos(α)
b2 = a2 + c2 − 2 · a · c · cos(β)
Die zuvor genannten drei Gleichungen sind ihrerseits Folgerungen aus den folgenden drei Kosinusformeln:
a = b · cos(γ) + c · cos(β)
b = c · cos(α) + a · cos(γ)
c = a · cos(β) + b · cos(α)
Abbildung 4.5: Bezeichnungen im Dreieck für Sinussatz und Cosinussatz
Version: 20. Juli 2016
26
Labor Technische Physik
5 Funktionen
Eine Funktion ist eine Beziehung zwischen zwei Mengen, dem sogenannten Definitionsbereich und Bildbereich der Funktion. Elemente des Defintionsbereiches werden als Funktionsargumente bzw. unabhängige Variable bezeichnet.
Elemente des Bildbereiches werden als Funktionswert oder als abhängige Variable bezeichnet. Eine Funktion ordnet nun jedem Element des Defintionsbereiches
genau ein Element des Bildbereiches zu., d.h. jedes Funktionsargument liefert als
Resultat der Funktion einen eindeutigen Funktionswert.
Wird die Funktion f genannt und sind Definitionsbereich und Bildbereich der
Funktion reelle Zahlen, so kann man diese Zusammenhänge in kurzer Form notieren:
• R→R
f bildet reelle Zahlen in reelle Zahlen ab.
• x 7→ f (x)
f (x) (lies f von x) ist der eindeutige Funktionswert von x.
• x 7→ y = f (x)
Die reelle Zahl y ist der Funktionswert von x.
Definitionsbereich und Bildbereich von Funktionen können auch auf komplexe
Zahlen (siehe Kapitel 10.1) erweitert werden.
Eine reelle Funktion hat meist vier Erscheinungsformen:
• Die Beschreibung der Zuordnung mit Angabe des Definitionsbereichs.
• Die Funktionsgleichung.
• Den Graphen der Funktion.
• Die Liste der zugeordneten Werte, die sogenannte Wertetabelle.
Physikalischen Größe sind voneinander abhängig. Zwischen den Größen besteht
ein funktionaler Zusammenhang. In der Physik kommen dabei häufig die nachfolgenden Funktionen zur Anwendung.
5.1 Geraden und Potenzfunktionen
Eine Gerade g, die nicht parallel zur y-Achse verläuft, heißen lineare Funktion.
Eine Ursprungsgerade ist eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung
27
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
5 Funktionen
eines kartesischen Koordinatensystems verläuft. Daher werden Ursprungsgeraden
durch besonders einfache Geradengleichungen beschrieben:
y =m·x
Die Konstante m ist die Steigung der Geraden. Sie ist ein Maß für die Steilheit
der Geraden. Sie gibt das Verhältnis der Änderung von y zur entsprechenden
Änderung von x an. Steigt die Gerade in positiver x-Richtung an, so ist ihre
Steigung positiv. Für eine fallende Gerade ist die Steigung negativ. Eine Steigung
mit dem Wert Null bedeutet, dass die Gerade waagrecht, also parallel zur x-Achse
verläuft.
y
4
3
2
1
∆y
∆x
−1
−2
−3
−4
−4 −3 −2 −1
x
1 2 3 4
Abbildung 5.1: Ursprungsgerade mit Steigungsdreieck
In der Abbildung 5.1 sind zwei Punkte der Linie hervorgehoben, ferner sind
die Änderungen ∆x und ∆y eingezeichnet. ∆x und ∆y sind die Katheten des
Steigungsdreiecks.
Die Steigung m ergibt sich dann als Verhältnis:
m=
∆y
y2 − y1
=
x2 − x1
∆x
Beispiel für eine Ursprungsgerade
An einem konstanten Widerstand R werden unterschiedliche Spannungen U angelegt und
die Stromstärke I durch den Widerstand gemessen. Es ergibt sich folgende Wertetabelle:
Spannung U in Volt
2,1
3,3
4,5
6
12
15
25
Stromstärke I in Milliampere
14
22
30
40
80
100
166,66
Tabelle 5.1: Wertetabelle, eingestellte Spannung U und gemessene Stromstärke I an einem
konstanten Widerstand R
Version: 20. Juli 2016
28
Labor Technische Physik
5.1 Geraden und Potenzfunktionen
Abbildung 5.2:
gemessene Stromstärke I bei eingestellter Spannung U an einem Widerstand
Die Wertepaare der Wertetabelle sind in 5.2 in einem Diagramm dargestellt.
Durch diese Messung kann das Ohmsche Gesetz nachgeprüft werden. Es besagt, dass sich
bei konstantem Widerstand R die Stromstärke I und die Spannung U im gleichen Verhältnis
ändern müssen. Es gilt:
R=
U
∆U
=
I
∆I
Durch Addition einer Zahl c erreicht man eine senkrechte Verschiebung, c heißt
auch y-Achsenabschnitt.
y
4
3
2
∆y
1
∆x
x
c
−1
−2
−3
−4
−4 −3 −2 −1
1
2
3
4
Abbildung 5.3: Gerade mit einer senkrechten Verschiebung um c
Als Funktionsgleichung erhält man:
y =m·x+c
29
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
5 Funktionen
5.2 Potenzfunktionen
Die Funktionsgleichung einer Potenzfunktion hat folgende Form:
f (x) = a · xn
Dabei ist:
a und x sind also reelle Zahlen außer die Null
n ist also eine ganze Zahl außer die Null
a, n ∈ R\0
n ∈ Z\0
Beispiel für eine Potenzfunktion:
Bei einer homogen geladenen Kugel mit dem Radius rK ergibt sich für die elektrische
#»
Feldstärke E außerhalb der Kugel:
#»
E=
Q
· r−2 · e#»r
4 · π · 0
für: r ≥ rK
Abbildung 5.4:
Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugel wächst im Innenraum der Kugel linear
mit r und nimmt außen umgekehrt proportional zu r2 ab.
Potenzfunktionen mit ganzen Exponenten sind die Bausteine für Polynomfunktionen und sie werden im nachfolgenden Kapitel behandelt.
5.3 Polynomfunktionen
Eine Polynomfunktion ist eine Summe von Vielfachen von Potenzfunktionen mit
natürlichen Exponenten einer Variablen. Die Funktionsgleichung einer Polynomfunktion hat die Form:
f (x) = an · xn + an−1 · xn−1 + · · · + a1 · x + a0
Version: 20. Juli 2016
30
Labor Technische Physik
5.3 Polynomfunktionen
Ist an 6= 0, dann wird die Funktion als Polynom n- ten Grades bezeichnet.
Beispiel für eine Polynomfunktion:
Abbildung 5.5: senkrechter Wurf nach oben mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 = 7 ms und
der Anfangshöhe r0 = 2 m
Bei einem senkrechten Wurf eines Körpers nach oben mit der Anfangsgeschwindigkeit v0
und der Anfangshöhe r0 ergibt sich für den zeitlichen Verlauf der Geschwindigkeit v(t) und
für den zeitlichen Verlauf des zurückgelegten Weges r(t):
m
·t
s2
1
m
r(t) = r0 + v0 · t − · 9, 81 2 · t2
2
s
v(t) = v0 − 9, 81
Für bestimmte Werte der Variablen x wird die Polynomfunktion als Funktionswert Null (f (x) = 0) ergeben. Diese besondere x-Werte werden Nullstellen
der Polynomfunktion genannt. Dabei haben Polynome n-ten Grades höchstens
n reelle Nullstellen.
In der Physik muss man oft die Nullstellen eines Polynoms bestimmen.
Beispiel für die Bestimmung der Nullstellen eines Polynoms 2-ten Grades:
Ein Polynom 2-ten Grades ist eine quadratische Gleichung. Die Berechnung der Nullstellen
dieser Gleichung kann recht einfach erfolgen, indem man diese Gleichung auf die erste
oder zweite Binomische Formel umformt. Dies kann z. B. mit Hilfe der quadratischen
Ergänzung erfolgen. Im letzten Beispiel war der zeitliche Verlauf des Weges gegeben durch
r(t) = r0 + v0 · t − 12 · g · t2 , mit g = 9, 81 sm2 . Wenn man nun die Zeit wissen möchte,
31
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
5 Funktionen
wann der Körper wieder den Erdboden erreicht, dann muss man mathematisch gesehen,
die Nullstellen r(t) = 0 der Funktion bestimmen.
1
· g · t2 = 0
2
1
v0 · t − · g · t2 = −r0
2
2 · v0
2 · r0
t2 −
·t=
g
g
2
2
2 · v0
2 · r0
v0
v0
2
t −
=
·t+
+
g
g
g
g
2
v0 2 2 · r0
v0
t−
=
+
g
g
g
r0 + v0 · t −
s
v0
t−
=±
g
s
t1 =
2 · r0
+
g
s
t2 = −
2 · r0
+
g
v0
g
v0
g
2 · r0
+
g
| − r0
g
2
2
v0
|+
g
|: −
√
|
2
2
v0
g
|+
+
2
v0
g
v0
g
+
v0
g
Die mathematische Berechnung liefert zwei Lösungen, wobei die Lösung t2 mit einer negativen Zeit physikalisch nicht möglich ist.
5.4 Exponentialfunktionen und
Logarithmusfunktionen
Eine wichtige Klasse von Funktionen im physikalischen, technischen Bereich sind
die Exponentialfunktionen und ihre Umkehrfunktionen, die Logarithmusfunktionen.
y
y = ex
7
6
5
4
3
2
y = ln(x)
y = e−x
1
x
0
0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Abbildung 5.6: Exponentialfunktion ex ,e− x, und die natürliche Logarithmusfunktion ln(x)
Version: 20. Juli 2016
32
Labor Technische Physik
5.4 Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen
Exponentialfunktionen sind Funktionen, die sich dadurch auszeichnen, dass die
Variable im Exponenten steht. Die wichtigste Exponentialfunktion ist die sogenannte e-Funktion:
f (x) = ex
Sie hat als Basis die eulersche Zahl e = 2, 718 281 828 459 . . .
Beispiel für die e-Funktion:
Bei Anschluss eines Kondensators an eine Gleichspannung fließen elektrische Ladungen auf
die Platten des Kondensator und dieser wird aufgeladen.
Mit dem Zufluss von elektrischen Ladungen auf die Platten erhöht sich auch die Spannung
uC (t) zwischen den Platten des Kondensators. Die Spannung uC (t) hat den zeitlichen
Verlauf:
t
uC (t) = U0 · 1 − e− R·C
uC (t)
R
3
2
U0
C uC (t)
1
t
1
2
3
4
Abbildung 5.7: Kondensatorspannung uc (t) beim Aufladen des Kondensators C über einen
Widerstand R
33
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
5 Funktionen
5.5 Trigonometrische Funktionen
In der Physik begegnet man den trigonometrischen Funktionen oft ohne Bezug
auf ein Dreieck. Die Winkelfunktionen sind für die Physik wichtig, da sie die
Eigenschaft haben, periodische Funktionen zu sein:
sin (x + 2 · n · π) = sin x
cos (x + 2 · n · π) = cos x
wobei n eine beliebige ganze Zahl ist.
y
y = sin x
1
x
−2π
−3π
2
−π
π
2
−π
2 −1
π
3π
2
2π
y
1
−2π
−3π
2
−π
−π
2 −1
y = cos x
π
2
π
x
3π
2
2π
6
5
4
3
2
1
−3π
2
−π
−π
2 −1
y = tan x
π
2
π
3π
2
−2
−3
−4
−5
−6
Abbildung 5.8: Die trigonometrischen Funktionen
Version: 20. Juli 2016
34
Labor Technische Physik
5.5 Trigonometrische Funktionen
Beispiel für trigonometrische Funktionen:
Ein sinusförmiger Wechselstrom
i(t) = io · sin (ω · t)
erzeugt in einem ohmschen Widerstand R die zeitabhängige Leistung
p(t) = R · [i(t)]2 = R · i2o · sin2 (ω · t)
p(t)
R · i2o
π
2·ω
π
ω
t
3·π
2·ω
2·π
ω
5·π
2·ω
3·π
ω
Abbildung 5.9: Die trigonometrischen Funktionen
35
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
6 Differenzieren von Funktionen
6.1 Ableitung und Differtialquotient
In der Physik treten sehr oft zeitabhängige Größen auf. Das bedeutet, dass der
Wert der physikalischen Größe eine Funktion der Zeit ist. Bei diesen zeitabhängigen physikalischen Größen interessiert man sich meistens auch für die Veränderung des Größenwertes bezogen auf die Zeit. Dieses zeitliche Änderungsverhalten
kann mit Hilfe des Begriffs der Ableitung genauer beschrieben werden.
Die Ableitung der Funktion f (x) an der Stelle x0 bezeichnet man mit f 0 (x0 ).
Die Ableitung f 0 (x0 ) beschreibt das Änderungsverhalten der Funktion in der
Umgebung der betrachteten Stelle x0 .
Wenn man nun für jede Zahl x aus dem Definitionsbereich der Funktion f (x)
das Änderungsverhalten der Funktion bestimmt, erhält man auf diese Weise eine
neue Funktion f 0 (x). Diese Funktion heißt die Ableitungsfunktion oder kurz die
Ableitung von f (x).
Bei einer zeitabhängigen physikalischen Größe y = f (t) ist die Ableitungsfunktion y 0 = f 0 (t) ein Maß für die Steigung der Funktion f (t) im Zeitpunkt t und
kann auch folgendermaßen ausgedrückt werden:
y 0 = f 0 (t) =
dy
dt
Beispiel für die Ableitung einer physikalischen Größe:
y(t) = 0, 2 m + 0, 3 ms · t + 0, 1 sm2 · x2
y(t)
5
y(t0 )
4
dy
dt
3
y ′ (t) = 0, 3 ms + 0, 2 sm2 · t
dy
dt
2
1
t
1
2
3
4
5
6
Abbildung 6.1: Wegfunktion y(t) und ihre zeitliche Ableitung y 0 (t)
y 0 (t) ist die Ableitung des zurückgelegten Weges eines Körpers nach der Zeit t. Diese
Ableitung ergibt eine neue physikalische Größe, die Geschwindigkeit v(t) des Körpers.
37
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
6 Differenzieren von Funktionen
(gelesen dy nach dt) bezeichnet man als Differentialquotient.
Der Ausdruck dx
dt
Ableitung und Differentialquotient sich also dasselbe:
f 0 (t) =
dy
dt
Durch Umformen dieser Gleichung erhält man:
dy = f 0 (t) · dt
Dieser Ausdruck wird als das Differential der Funktion y = f (t) bezeichnet und
erweist sich in der Physik als besonders zweckmäßig.
6.2 Ableitungen von elementaren Funktionen
Potenzfunktion
Trigonometrische Funktion
Exponentialfunktion
Logarithmusfunktion
Funktion f (x)
Ableitung f 0 (x)
xn
sin x
cos x
ex
ln x
n · xn−1
cos x
− sin x
ex
1
x
Tabelle 6.1: Übersicht Ableitung der elementaren Funktionen
6.3 Ableitungsregeln
Funktion f (x)
Ableitung f 0 (x)
Konstante
Faktorregel
y(t) = C
y(t) = C · f (t)
y 0 (t) = 0
y 0 (t) = C · f 0 (t)
Summenregel
y(t) = f1 (t)+f2 (t)+· · ·+fn (t)
y 0 (t) = f10 (t)+f20 (t)+· · ·+fn (t)0
Produktregel
y(t) = u(t) · v(t)
y 0 (t) = u0 (t) · v(t) + u(t) · v 0 (t)
Quotientenregel
y(t) =
Kettenregel
y(t) = f (g(t))
u(t)
v(t)
y 0 (t) =
u0 (t)·v(t)+u(t)·v 0 (t)
[v(t)]2
y 0 (t) =
df (g)
dg
·
dg(t)
dt
Tabelle 6.2: Übersicht über die Ableitungsregeln
Version: 20. Juli 2016
38
Labor Technische Physik
7 Integrieren von Funktionen
Man kann das Integrieren einer Funktion als die Umkehroperation zum Differenzieren einer Funktion ansehen. Wenn man eine Funktion f (t) integriert, dann
sucht man eine sogenannte Stammfunktion F (t), deren Ableitung nach der
Variablen t wiederum gerade die Funktion f (t) ergibt.
Leider ist die Stammfunktion F (t) nicht eindeutig. Wird ein konstanter Term
C ∈ R zur Stammfunktion F (t) addiert oder subtrahiert und anschließend die
Summe differenziert, dann erhält man egal welchen Wert der Term C annimmt
immer die Funktion f (t).
Es gilt daher:
d
[F (t) + C] = f (t)
dt
oder als Integral geschrieben:
Z
f (t) dt = F (t) + C
Dabei wird der Ausdruck f (t) dt als unbestimmtes Integral und C als Integrationskonstante bezeichnet.
R
7.1 Stammfunktionen
Physikalische Größen sind oft von der Zeit abhängig. Ist ihr zeitlicher Verlauf als
Funktion der Zeit bekannt, können diese Größen über die Zeit integriert werden.
Durch die Integration ergeben sich dann weitere physikalische Größen.
Für die wichtigsten in der Physik verwendeten Funktionen sind in der nachfolgenden Tabelle die Stammfunktionen aufgeführt.
39
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
7 Integrieren von Funktionen
Funktion f (t)
Stammfunktion F (t)
konstante Funktion
f (t) = k
F (t) = k · t + C
Potenzfunktion
f (t) = tk k 6= −1
F (t) =
Hyperbel
f (t) =
F (t) = ln(|t|) + C
e-Funktion
f (t) = ek·t , k 6= 0
F (t) =
Logarithmus
f (t) = ln(t)
F (t) = −t + t · ln(t) + C
Sinus
f (t) = sin(k · t), k 6= 0
F (t) = − k1 · cos(k · t) + C
Cosinus
f (t) = cos(k · t), k 6= 0
F (t) =
1
t
= t−1
1
k+1
1
k
1
k
· tk+1 + C
· ek·t + C
· sin(k · t) + C
Tabelle 7.1: Stammfunktionen von häufig verwendeten Funktionen mit t, k ∈ R
7.2 Das bestimmte Integral
Wenn man die Funktion f (t) über ein bestimmtes Intervall integriert, beispielsweise von t1 nach t2 dann erhält man das bestimmte Integral, indem die
Integrationskonstante C nicht mehr vorkommt.
Das bestimmte Integral ist von großer Bedeutung, denn das bestimmte Integral
einer Funktion
Zt2
f /t) dt = F (t)|tt21 = F (t1 ) − F (t2 )
t1
ist die Maßzahl der Fläche unter der Funktionskurve f (t) und der x-Achse im
Intervall [t1 , t2 ]. Manchmal kann diese Fläche direkt einer physikalischen Größe
zugeordnet werden.
Beispiel für das bestimmte Integral
Wird eine mechanische Feder zusammengedrückt, muss man dafür eine Kraft aufwenden.
F (s1 )
F (s2 )
s
Abbildung 7.1: Die zum Stauchen einer Feder aufzuwendende Kraft F ist abhängig davon
wie stark die Feder gestaucht wird.
Version: 20. Juli 2016
40
Labor Technische Physik
7.2 Das bestimmte Integral
Zwischen der Wegstrecke s um welche die Feder zusammengedrückt wird und der dazu
aufzuwendenden Kraft F gilt mit Hilfe der Federkonstanten k die Beziehung:
F (s) = k · s
Die dabei aufzuwendende infinitesimale Verformungsarbeit d E ist proportional zur momentan aufgewendeten Kraft F und zur infinitesimalen Wegstrecke d s:
d E = F (s) · ds
Die bei einer Stauchung der Feder von s1 nach s2 aufzuwendende Verformungsarbeit E12
ergibt:
E12 =
=
Zs2
s1
Zs2
F (s)d s
k · s ds
s1
s2
1
= · k · s2 2
s1
1
= · k · s22 − s21
2
F (s)
F (s) = k · s
b
E12 =
s1
Rs2
s1
F (s)ds
s2
s
Abbildung 7.2: Das bestimmte Integral entspricht der Fläche zwischen der Funktionskurve
und der x-Achse.
41
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
8 Vektoren
8.1 Definition eines Vektors
Vektoren sind Objekte, die durch eine Zahl und eine Richtung vollständig beschrieben werden. Vektoren können durch einen Pfeil dargestellt werden (siehe
Abb. 8.1(a)). In Formel werden Vektoren durch einen Pfeil symbolisiert.
Beispiel für Vektoren in einer Formel:
#»
F = m · #»
a
Die Länge wird auch als Betrag des Vektors bezeichnet. In Formeln wir der
Betrag des Vektors gekennzeichnet, indem man
• entweder
#» das Formelzeichen mit Vektorpfeil mit Betragsstriche kennzeich net: F #»
• oder auf den Vektorpfeil verzichtet: F = F
Abbildung 8.1: (a) Darstellung eines Vektors (b)Anfangspunkt und Endpunkt eines Vektors
Ein Vektor lässt sich auch eindeutig durch einen Anfangs- und Endpunkt festlegen (siehe Abb. 8.1(b)). Man unterteilt die Vektoren in:
• Freie Vektoren:
Sie dürfen parallel zu sich selbst verschoben werden.
• Linienflüchtige Vektoren :
Sie sind längs ihrer Wirkungslinie verschiebbar.
• Gebundene Vektoren:
Sie werden von einem festen Anfangspunkt aus abgetragen.
43
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
8 Vektoren
8.2 Spezielle Vektoren
8.2.1 Einheitsvektor
Ein Vektor mit dem Betrag 1 wird als Einheitsvektor #»
e bezeichnet. Er kann
dargestellt werden als:
#»
v
#»
mit | #»
e| = 1
e =
v
8.2.2 Ortsvektor
Als Ortsvektor eines Punktes bezeichnet man einen Vektor, der von einem festen
Bezugspunkt (in der Regel vom Nullpunkt des Koordinatensystems) zu diesem
Punkt zeigt. In der Physik werden Ortsvektoren verwendet, um die Bewegung
eines punktförmig gedachten Körpers zu beschreiben.
Abbildung 8.2: Beispiel für einen Ortsvektor #»
a in einem kartesischen Koordinatensystem.
8.3 Darstellung eines Vektors
Jeder Vektor im dreidimensionalen Raum lässt sich darstellen als Linearkombination dreier linear unabhängiger Basisvektoren. Die Auswahl dieser Basisvektoren hängt von der Wahl des Koordinatensystems ab.
Diese drei Basisvektoren haben den Betrag 1, es handelt sich also um Einheitsvektoren und sie liegen jeweils in Richtung einer Koordinatenachse. Nach den
Regeln der Vektorrechnung können Vektoren mit Hilfe dieser Basisvektoren aufgebaut werden, sie sind gewissermaßen die „Basis“, auf der alle anderen Vektoren
aufbauen.
Version: 20. Juli 2016
44
Labor Technische Physik
8.3 Darstellung eines Vektors
Die Komponenten des Vektors sind die skalaren Faktoren, mit denen die Basisvektoren multipliziert werden müssen, um den eigentlichen Vektor zu erhalten.
Im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem kann ein Vektor, durch
seine Länge entlang der drei Koordinatenachsen beschrieben werden. Diese drei
Komponenten beschreiben die Länge und Richtung eines Vektors im Raum, nicht
jedoch seine genaue Lage in diesem Raum. Die Komponenten des Vektors hängen
von der Wahl des Koordinatensystems ab.
Abbildung 8.3:
(a) Darstellung eines Raumpunktes P mit den Koordinate x und y in einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem.
(b) Darstellung eines Vektors #»
a mit seinen Komponenten x und y in einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem. Nur die Länge und Richtung des Vektors im Raum
werden durch seine Komponenten beschrieben, nicht aber seine Lage im Raum.
Abbildung 8.4: Verschiebung eines zweidimensionalen Vektors #»
a in den Ursprung eines
kartesischen Koordinatensystems.
Verschiebt man einen Vektor so, dass der Anfangspunkt des Vektorpfeils im Ursprung des Koordinatensystems liegt (siehe Abb. 8.4), ändert sich nichts an dem
eigentlichen Vektor. Die Komponenten des verschobenen Vektors stimmen dann
mit den Koordinaten des Punktes auf den die Pfeilspitze zeigt überein. Vektoren
45
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
8 Vektoren
die im Ursprung beginnen, können wie noch gezeigt wird, einfach mit Basisvektoren beschrieben werden.
8.3.1 Vektoren im kartesischen Koordinatensystem
In einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem werden folgende Basisvektoren benötigt:
1
 
#»
e x = 0
0
 
0
 
#»
e y = 1
0
 
0
 
#»
e z = 0
1
 
Abbildung 8.5: Die Basisvektoren #»
e x , #»
e y , #»
e z zeigen jeweils entlang der Koordinatenachsen.
Alle haben die Länge 1.
Wird einen Vektor #»
v in einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem vom
Nullpunkt beginnend dargestellt, so definiert sein Endpunkt einen Punkt P (x; y; z)
mit den Koordinaten (x; y; z) (siehe Abb. 8.6) . Die Koordinaten sind die Projektionen des Vektors auf die drei Koordinatenachsen. Diese sind die Komponenten
des Vektors.
Abbildung 8.6: Vektor in einem kartesischen Koordinatensystem.
Version: 20. Juli 2016
46
Labor Technische Physik
8.4 Vektoren und physikalische Größen
Man kann nun den Vektor in folgender Form schreiben:
 
x
 
#»
v = (x; y; z) = y 
z
Im ersten Fall nennt man den Vektor Zeilenvektor im zweiten Fall Spaltenvektor. Mit Hilfe der Einheitsvektoren kann man den Vektor auch darstellen
durch:
#»
v = x · #»
e x + y · #»
e y + z · #»
ez
Der Betrag eines Vektors #»
v im kartesischen Koordinatensystem berechnet sich
aus seinen Komponenten vx ; vy ; vz :
| #»
v| =
q
vx2 + vy2 + vz2
8.4 Vektoren und physikalische Größen
In der Physik werden physikalische Größen, die einen Zahlenwert und eine Richtung haben, als gerichtete Größen bezeichnet. Solche Größen können durch
Vektoren dargestellt werden. Physikalische Größen für die sich keine Richtung
im Raum zuordnen lässt und die durch einen einzigen reellen Zahlenwert charakterisiert werden, heißen Skalar .
Physikalische Größe
Vektor
Betrag der Größe
Richtung der Größe
Länge des Vektors
Richtung des Vektors
Tabelle 8.1: Gerichtete Größen und ihre Darstellung durch Vektoren.
Beispiel für vektorielle und skalare physikalische Größen:
Vektorielle physikalische Größen sind z. B. :
Beschleunigung, Geschwindigkeit.
Skalare physikalische Größen sind z.B.
Temperatur, Energie.
47
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
8 Vektoren
8.5 Vektoren in physikalischen Formeln
Vektoriellen physikalischen Größen werden mit einem Pfeil versehen.
Beispiel für ein physikalische Formel mit Vektoren:
#»
v = #»
a · t.
Die Länge wird auch als Betrag des Vektors bezeichnet. Die Länge des Vektors
trägt die jeweilige Einheit der physikalischen Größe. In Formeln wir der Betrag
des Vektors gekennzeichnet, indem man:
• Entweder das Formelzeichen mit Vektorpfeil mit Betragsstriche kennzeichnet.
• Oder auf den Vektorpfeil beim Formelzeichen verzichtet.
Beispiel einer physikalische Formel mit Beträgen von Vektoren:
| #»
v | = | #»
a| · t
v =a·t
8.6 Rechnen mit Vektoren
8.6.1 Addition und Subtraktion von Vektoren
Die Addition und Subtraktion zweier Vektoren erfolgt komponentenweise:






a
b
a ± bx
#»  x   x   x
#»
a ± b =  ay  ±  b y  =  ay ± b y 

az
bz
az ± b z
Abbildung 8.7: Addition von Vektoren.
Version: 20. Juli 2016
48
Labor Technische Physik
8.6 Rechnen mit Vektoren
Es gelten folgende Rechenregeln:
#» #»
• Kommutativgesetz: #»
a + b = b + #»
a
#»
#»
• Assoziativgesetz: #»
a + b + #»
c = #»
a + b + #»
c
Beispiel für die Addition von Vektoren:
Ein Schiff mit der Eigengeschwindigkeit #»
v s überquert einen Fluss mit der Fließgeschwin#»
#»
digkeit v w . Welche Geschwindigkeit | v g | hat das Schiff für einen am Ufer stehenden
Beobachter?
Abbildung 8.8: Addition von Geschwindigkeitsvektoren.
Bezogen auf das x-y Koordinatensystem sind die Geschwindigkeiten:
#»
vs =
4 m
6 s
#»
vw =
−2 m
0
s
!
!
Durch Addition der Vektoren und anschließende Betragsbildung erhält man die gesuchte
Größe:
#»
v g = #»
v s + #»
vw
=
4 m
−2 m
+
6 s
0
s
=
4−2 m
=
6+0 s
!
!
!
| #»
v g| =
2 m
6 s
!
q
2 + v2
vgx
gy
p
m
= 22 + 6 2
s
m
= 6, 32
s
49
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
8 Vektoren
8.6.2 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
Die Multiplikation eines Vektors mit einem reellen Skalar erfolgt komponentenweise:
 


ax
λ · ax
 


λ · #»
a = λ ·  ay  =  λ · ay 
az
λ · az
Abbildung 8.9: a) Multiplikation des Vektors #»
a mit einem Skalar λ < 0.
#»
b) Multiplikation des Vektors a mit einem Skalar λ > 0.
8.6.3 Skalarprodukt
#»
Als Skalarprodukt #»
a · b bezeichnet man den Skalar:
#»
#»
#»
a · b = | #»
a | · b · cos ϕ
#»
Abbildung 8.10: Das Skalarprodukt #»
a · b ist gleich der Fläche F = a · b · cos ϕ.
Für das Skalarprodukt in Komponentenschreibweise gilt:

 

a
b
#»  x   x 
#»
a · b = ay  · by  = ax · bx + ay · by + az · bz
az
bz
Es gelten folgende Rechenregeln:
Version: 20. Juli 2016
50
Labor Technische Physik
8.6 Rechnen mit Vektoren
#» #»
• Kommutativgesetz: #»
a · b = b · #»
a
#»
#»
#»
#»
• Distributivgesetz: #»
a · b + #»
c = #»
a · b + #»
a · #»
c λ · #»
a · b = (λ · #»
a)· b =
#»
#»
a · λ· b
Zwei von Null verschiedene Vektoren stehen genau dann senkrecht aufeinander,
wenn ihr Skalarprodukt Null ist.
Beispiel für ein Skalarprodukt:
Mit einer horizontal wirkenden konstanten Kraft F = 100 N wird eine Kiste eine Rampe
hinaufgeschoben. Die Kiste wird s = 5 m weit die Rampe hinaufgeschoben und gewinnt
dabei sy = 3 m an Höhe.
Abbildung 8.11
Wie groß ist die dabei verrichtete Arbeit E?
Aus dem Betrag des Weges | #»
s | = 5 m und der y-Komponenten des Weges sy = 3 m
berechnet man zuerst die x-Komponente sx des Weges:
| #»
s |2 − s2y
sx =
q
=
q
52 m2
−
32 m2
=
q
25 m2 − 9 m2 =
p
16 m2
= 4m
#»
Die Arbeit E berechnet aus dem Skalarprodukt der wirkenden Kraft F und dem zurückgelegtem Weg #»
s:
#» #»
E = F · ds
!
E=
!
100
4
N·
m
0
3
= 100 N · 4 m + 0 N · 3 m
= 400 N m
51
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
8 Vektoren
8.6.4 Vektorprodukt
#»
#»
Das Vektorprodukt #»
a × b zweier dreidimensionalen Vektoren #»
a und b ist ein
dreidimensionaler Vektor #»
c mit folgenden Eigenschaften:
#»
• | #»
c | = | #»
a | · b · sin ϕ
#»
• #»
c ⊥ #»
a und #»
c ⊥ b
#»
#»
Abbildung 8.12: Das Vektorprodukt #»
a × b zweier Vektoren #»
a und b .
Die Richtung von #»
c ist eine reine Konvention und wird durch eine rechtsgängige
Schraube - als eine Art Eselsbrücke - plausibel gemacht.
Die Schraubenregel besagt, dass der Vektor #»
c in die Richtung weist, in die sich
eine Schraube mit Rechtsgewinde bewegt, wenn man sie in dem Sinne dreht, der
einer Drehung mit kleinstem Drehwinkel des Vektors #»
a in Richtung des Vek#»
tors b entspricht. Diese Schraubenregel wird durch die nachfolgende Abbildung
veranschaulicht.
Abbildung 8.13: Das Vektorprodukt und die Schraubenregel.
Für das Vektorprodukt in Komponentendarstellung gilt:






ax
bx
ay · b z − az · b y
#»
  


#»
c = #»
a × b =
 ay  ×  b y  =  az · b x − ax · b z 
az
bz
ax · b y − ay · b x
Version: 20. Juli 2016
52
Labor Technische Physik
8.6 Rechnen mit Vektoren
Beispiel für Vektorprodukt:
#»
Das Drehmoment M spielt für Drehbewegungen die gleiche Rolle wie die Kraft für geradlinige Bewegungen. Das Drehmoment ist definiert als Vektorprodukt zwischen dem Vektor
#»
#»
r vom Drehpunkt zum Angriffspunkt der äußeren Kraft und der äußeren Kraft F :
#»
#»
M = #»
r ×F
#»
Abbildung 8.14: Abhängigkeit der Richtung des Drehmoments von der Kraft F und dem
Abstand #»
r vom Drehpunkt aus zum Angriffspunkt der Kraft.
SP: Schwerpunkt DP: Drehpunkt
53
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
9 Vektoranalysis
9.1 Differentiation einer vektorielle physikalischen
Größe nach der Zeit
Ist bei einer vektorielle physikalischen Größe #»
a (t) eine oder mehrere Koordinaten zeitabhängig, dann ändert sich der Betrag und die Richtung der Größe mit
der Zeit. Die zeitliche Ableitung der Größe wird durch das Differenzieren der einzelnen Koordinaten der vektorielle Größe gebildet. Für einen dreidimensionalen
Vektor mit kartesischen Koordinate gilt:
ax (t)
 dt

d #»
d

a (t) =  dt ay (t)

dt
d
a
(t)
dt z
d

In der Physik wird die zeitliche Ableitung durch einen Punkt gekennzeichnet. Es
gilt:
ȧx (t)
d #»


a (t) = #»
a˙ (t) = ȧy (t)
dt
ȧz (t)


Beispiel für das Ableiten eines Vektors:
Ein Elektron bewegt sich in einem homogenen Magnetfeld auf einer schraubenförmigen
Bahn, die durch den Ortsvektor #»
r (t) beschrieben wird:
R · cos (ω · t)


#»
r (t) =  R · sin (ω · t) 
c·t


Die Trajektorie auch Bahnkurve genannt, stellt die Raumpostionen graphisch dar, an
welche sich das Elektron beim Ablauf der Zeit befindet. Die Bahnkurve wird durch den
Ortsvektor beschrieben. Die Bahnkurve des Ortsvektors #»
r (t) ist in Abb. 8.14 dargestellt.
55
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
9 Vektoranalysis
z
#»
B
y
x
Abbildung 9.1: Bahnkurve eines bewegten Elektrons in einem homogen Magnetfeld mit
Ortsvektors #»
r (t).
Um den Geschwindigkeitsvektor #»
v (t) des Elektrons zu erhalten, muss man den Ortsvektor
#»
r (t) nach der Zeit ableiten:
d
#»
v (t) = #»
r (t)
dt
R · cos (ω · t)
dt (R · cos (ω · t))

d 
 
d
=
(R · sin (ω · t)) 
 R · sin (ω · t)  = 


dt
dt
d
c·t
(c · t)




d
dt
−ω · R · sin (ω · t)


=  ω · R · cos (ω · t) 
c


9.2 Integration einer vektorielle physikalischen
Größe nach der Zeit
Ist bei einer vektorielle physikalischen Größe #»
a (t) eine oder mehrere Koordinaten zeitabhängig, dann ändert sich der Betrag und die Richtung der Größe mit
der Zeit. Die Integration dieser Größe nach der Zeit wird durch das Integrieren
der einzelnen Koordinaten der vektorielle Größe gebildet. Für einen dreidimensionalen Vektor mit kartesischen Koordinate gilt:
R
Z
R
#»
a (t)dt = 

R
Version: 20. Juli 2016
ax (t) dt

ay (t) dt

az (t) dt

56
Labor Technische Physik
9.2 Integration einer vektorielle physikalischen Größe nach der Zeit
Beispiel für die Integration eines Vektors:
Abbildung 9.2: Beispiel für einen schiefen Wurf.
Abb. 9.2 zeigt ein Beispiel für einen schiefen Wurf. Dabei führt der Körper gleichzeitig zwei
Bewegungen aus:
• Eine unbeschleunigte Bewegung in waagerechter Richtung längs der x-Achse mit der
Geschwindigkeit v0x = | #»
v 0 | · cos α,
• Eine beschleunigte Bewegung in senkrechter Richtung längs der y-Achse mit der Anfangsgeschwindigkeit v0y = | #»
v 0 | · sin α und der dazu entgegengesetzten Beschleunigung #»
g.
Für ein Koordinatensystem wie in Abb. 9.2 ergeben sich folgende Gleichungen:
• Für die Beschleunigung
m
0
−9, 81 s2
!
#»
a (t) =
• Für die Geschwindigkeit
#»
v (t) =
#»
a (t) · dt =
Z
v0x
v0y − 9, 81 sm2
!
• Für den Weg des Körpers
#»
r (t) =
57
Z
#»
v (t) · dt =
v0x · t
v0y · t − 12 · 9, 81 sm2 · t2
!
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
10 Komplexe Zahlen
10.1 Definition
Die komplexen Zahlen erweitern den Zahlenbereich der reellen Zahlen derart,
dass die Gleichung x2 + 1 = 0 lösbar wird. Dies gelingt durch Definition einer
neuen Größe i mit der Eigenschaft i2 = −1. Man kann beweisen, dass es durch
Definition dieser neuen Zahl eine Lösung für jede algebraische Gleichung gibt.
Dazu führt man die komplexe Zahl ein, als eine Kombination einer reellen mit
einer imaginären Zahl:
z = |{z}
x +i
Realteil
|
y
|{z}
Imaginärteil
{z
komplexe Zahl
}
Die Darstellungsform z = x + i y stellt die Normalform einer komplexen Zahl
dar. Sie wird auch als algebraische oder kartesische Form bezeichnet.
Die reellen Bestandteile x und y der komplexen Zahl z = x + i y werden als
Realteil und Imaginärteil von z bezeichnet. Man verwendet dafür die beiden
Schreibweisen:
Realteil von z :
Imaginärteil von z :
x = <(z) = Re(z)
y = =(z) = Im(z)
10.2 Darstellung einer komplexen Zahl
Eine reelle Zahl x kann eindeutig einem Punkt auf einer reellen Zahlengeraden
zuordnen werden und eine imaginären Zahl i y kann eindeutig einen Punkte auf
einer imaginären Zahlengeraden zuordnen werden.
Wählt die x-Achse eines kartesischen Koordinatensystems als reelle Achse und die
y-Achse als imaginäre Achse spannen die beiden Achsen eine Ebene auf, welche
Gaußsche Zahlenebene oder komplexen Zahlenebene genannt wird (siehe
Abb. 10.1). Man kann nun jedem Punkt P (x; y) der Zahlenebene eindeutig eine
komplexe Zahl z = x + i y zuordnen.
59
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
10 Komplexe Zahlen
Abbildung 10.1: Bildliche Darstellung einer komplexen Zahl z = x + i y durch einen
Punkt P (z) in der Gaußsche Zahlenebene.
In Anwendungen werden komplexe Zahlen meist durch sogenannte Zeiger dargestellt. Dabei handelt es sich um eine bildliche Darstellung der komplexen Zahl
z = x + i y in Form eines Pfeils, der vom Koordinatenursprung aus zum Bildpunkt P (z) = P (x; y) gerichtet ist. Man kennzeichnet einen solchen Zeiger durch
einen Unterstrich :
z = x + iy
Abbildung 10.2: Bildliche Darstellung einer komplexen Zahl durch einen Zeiger in der Gaußsche Zahlenebene.
10.3 Grundbegriffe
10.3.1 Betrag
Unter dem Betrag |z| der komplexen Zahl z = x + i y versteht man die Länge
des zugehörigen Zeigers:
|z| =
Version: 20. Juli 2016
q
x2 + y 2
60
Labor Technische Physik
10.3 Grundbegriffe
Abbildung 10.3: Zum Begriff des Betrags einer komplexen Zahl.
10.3.2 konjugiert komplexe Zahl
Für eine komplexe z = x+i y wird die komplexe Zahl z ∗ = x−i y als konjugiert
komplexe Zahl bezeichnet.
Die Realteile beider Zahlen sind gleich, die Imaginärteile sind vom Betrag her
gleich aber unterscheiden sich im Vorzeichen. Zu einer gegebenen Zahl z wird
ihre konjugiert komplexe Zahl mit einem ∗ gekennzeichnet. Es gilt:
z = x + iy
z∗ = x − i y
<(z ∗ ) = <(z)
=(z ∗ ) = −=(z)
Die zugehörigen Bildpunkte bzw. Zeiger liegen daher spiegelsymmetrisch zur reellen Achse (siehe Abb. 10.4).
Abbildung 10.4: Zum Begriff der konjugiert komplexen Zahl.
61
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
10 Komplexe Zahlen
10.4 Darstellung einer komplexen Zahl
10.4.1 Algebraische oder kartesische Form
In Abschnitt 10.1 wurde die komplexe Zahl z als die algebraische Summe aus
einer reellen Zahl x und einer imaginären Zahl i y eingeführt:
z = x + iy
Die algebraische Form wird auch kartesische Form genannt und stellt die Normalform einer komplexen Zahl dar.
10.4.2 Trigonometrische Form
Der Bildpunkt P (z) einer komplexen Zahl zz = x + i y kann man auch durch die
Polarkoordinaten r und ϕ beschreiben (siehe Abb. 10.5).
Abbildung 10.5: Zur trigonometrischen Form einer komplexen Zahl.
Die komplexe Zahl z kann mit folgenden Transformationsgleichungen von der
kartesischen Form in die sogenannte trigonometrische Form überführt werden:
x = r · cos ϕ
y = r · sin ϕ
Damit erhält man:
z = x + i y = r · cos ϕ + i r · sin ϕ = r · (cos ϕ + i sin ϕ)
Der Übergang von der komplexen Zahl z zur konjugiert komplexen Zahl z ∗ bedeutet geometrisch eine Spiegelung des Bildpunktes P (z) an der reellen Achse
(siehe Abb. 10.6). Dabei tritt ein Vorzeichenwechsel des Winkels ϕ ein. Dies bedeutet eine Drehung des Zeigers z ∗ im mathematisch negativen Drehsinn. Der
Betrag r des Zeigers z ∗ bleibt jedoch unverändert.
Die zur komplexen Zahl
z = r · (cos ϕ + i sin ϕ)
Version: 20. Juli 2016
62
Labor Technische Physik
10.4 Darstellung einer komplexen Zahl
gehörende konjugiert komplexe Zahl lautet daher in der trigonometrischen Form:
z = r · (cos ϕ − i sin ϕ)
Abbildung 10.6: Zur trigonometrischen Darstellungsform der konjugiert komplexen Zahl.
10.4.3 Exponentialform
Die eulersche Formel bzw. Eulerformel, ist eine Gleichung, welche eine Verbindung zwischen den trigonometrischen Funktionen und den Exponentialfunktionen mittels komplexer Zahlen herstellt. Sie lautet:
ei ϕ = cos ϕ + i · sin ϕ
Mit ihrer Hilfe ist es möglich komplexe Zahlen von der trigonometrische Form
in die Exponentialform zu überführen. Für die komplexe Zahl z = x + i y (siehe
Abb. 10.7) gilt:
z = x + iy
= r · cos ϕ + i r · sin ϕ = r · (cos ϕ + i sin ϕ)
= r · ej ϕ
Abbildung 10.7: Zur Polarform einer komplexen Zahl.
63
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
10 Komplexe Zahlen
10.4.4 Umrechnung zwischen den Darstellungsformen
10.4.4.1 Polarform in kartesische Form
Eine komplexe Zahl welche in der trigonometrischen Form z = r·(cos ϕ + j sin ϕ)
oder in der Exponentialform z = r · ej ϕ vorliegt, kann in die kartesische Form
z = x + i y mit Hilfe folgender Transformationsgleichungen umgerecht werden:
x = r · cos ϕ
y = r · sin ϕ
10.4.4.2 Kartesische Form in Polarform
Eine komplexe Zahl welche in der kartesischen Form z = x + i y vorliegt, kann in
die trigonometrische Form z = r · (cos ϕ + j sin ϕ) oder in der Exponentialform
z = r · ej ϕ mit Hilfe folgenden Transformationsgleichungen umgerechnet werden:
r = |z| =
y
tan ϕ =
x
q
x2 + y 2
Achtung! Bei der Bestimmung des Winkels ϕ ist zu berücksichtigen, in welchen
Quadranten der Gaußschen Ebene sich der Punkt der komplexen Zahl befindet.
Abhängig vom Quadranten erfolgt die Berechnung des Winkels ϕ (im Bogenmaß!)
nach folgenden Formeln:
Quadrant
ϕ=
I
arctan
II,III
y
x
arctan
y
x
IV
+π
arctan
y
x
+2·π
Tabelle 10.1: Winkelbestimmung ϕ abhängig vom Quadranten.
10.5 Rechenregeln
10.5.1 Addition und Subtraktion komplexer Zahlen
Komplexe Zahlen werden addiert bzw. subtrahiert, indem man jeweils für sich
getrennt ihre Realteile und ihre Imaginärteile addiert bzw. subtrahiert. Die Addition und die Subtraktion komplexer Zahlen lässt sich nur in der kartesischen
Form durchführen.
Es gilt:
• Kommutativgesetz
• Assoziativgesetz
Version: 20. Juli 2016
z1 + z2 = z2 + z1
z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3
64
Labor Technische Physik
10.5 Rechenregeln
• z + z ∗ = 2 · <(z)
• z − z ∗ = 2 · =(z)
Abbildung 10.8: Zur geometrischen Addition bzw. Subtraktion zweier komplexen Zahlen.
10.5.2 Multiplikation komplexer Zahlen
Für die Multiplikation zweier komplexen Zahlen z1 und z2 in kartesischer Form
gilt:
z1 · z2 = (x1 + j y1 ) · (x2 + j y2 )
= (x1 · x2 − y1 · y2 ) + j (x1 · y2 + x2 · y1 )
In trigonometrischer Schreibweise gilt:
z1 · z2 = r1 · (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) · r2 · (cos ϕ2 + i sin ϕ2 )
= r1 · r2 · [cos ϕ1 · cos ϕ2 − sin ϕ1 · sin ϕ2 + i · (sin ϕ1 · cos ϕ2 + cos ϕ1 · sin ϕ2 )]
Durch die Verwendung der Additionstheoreme
cos (ϕ1 + ϕ2 ) = cos ϕ1 · cos ϕ2 − sin ϕ1 · sin ϕ2
sin (ϕ1 + ϕ2 ) = sin ϕ1 · cos ϕ2 − cos ϕ1 · sin ϕ2
folgt:
z1 · z2 = (r1 · r2 ) · [cos (ϕ1 + ϕ2 ) + i sin (ϕ1 + ϕ2 )]
Für die Multiplikation komplexer Zahlen in der Polarform gilt die Regel:
Komplexe Zahlen in Polarform werden multipliziert, indem man ihre Beträge
multipliziert und ihre Argumente (Winkel) addiert.
z1 · z2 = r1 · ei ϕ1 · r2 · ei ϕ2
= r1 · r2 · ei (ϕ1 +ϕ2 )
65
Version: 20. Juli 2016
Labor Technische Physik
10 Komplexe Zahlen
Abbildung 10.9: Zur Multiplikation zweier komplexen Zahlen.
10.5.3 Division komplexer Zahlen
Für die Division zweier komplexen Zahlen in kartesischer Form muss zunächst
Zähler und Nenner des Quotienten mit dem konjugiert komplexen Nenner, d. h.
mit der Zahl z2∗ = x2 − i y2 multipliziert werden. Es gilt:
x1 + i y1
(x1 + i y1 ) · (x2 − i y2 )
z1
=
=
z2
x2 + i y2
(x2 + i y2 ) · (x2 − i y2 )
x1 · x2 + y 1 · y 2
x2 · y1 − x1 · y2
=
+i
2
2
x2 + y 2
x22 + y22
Die Division zweier komplexen Zahlen in Polarform lässt sich auf eine Multiplikation zurückführen. Der Quotient zz12 kann als das Produkt aus z1 und dem
Kehrwert von z2 gebildet werden.
r 1 · e i ϕ1
r1 i (ϕ1 −ϕ2 )
z1
=
·e
=
i
ϕ
2
z2
r2 · e
r2
Abbildung 10.10: Zur Division zweier komplexen Zahlen.
In der trigonometrischen Schreibweise erhält man:
Version: 20. Juli 2016
66
Labor Technische Physik
10.5 Rechenregeln
r1 cos ϕ1 + i sin ϕ1
z1
=
·
z2
r2 cos ϕ2 + i sin ϕ2
r1 cos ϕ1 + i sin ϕ1 cos ϕ2 − i sin ϕ2
·
·
=
r2 cos ϕ2 + i sin ϕ2 cos ϕ2 − i sin ϕ2
(cos ϕ1 · cos ϕ2 + sin ϕ1 · cos ϕ2 ) + i (sin ϕ1 · cos ϕ2 − cos ϕ1 · sin ϕ2 )
=
cos2 ϕ2 + sin2 ϕ2
Durch die Verwendung der Additionstheoreme
cos (ϕ1 − ϕ2 ) = cos ϕ1 · cos ϕ2 + sin ϕ1 · sin ϕ2
sin (ϕ1 − ϕ2 ) = sin ϕ1 · cos ϕ2 − cos ϕ1 · sin ϕ2
2
cos ϕ2 + sin2 ϕ2 = 1
folgt:
z1
r1
=
· [cos (ϕ1 − ϕ2 ) + i sin (ϕ1 − ϕ2 )]
z2
r2
10.5.4 Potenzieren
Eine komplexe Zahl z wird in die n-te Potenz erhoben, indem man ihren Betrag
r in die n-te Potenz erhebt und ihr Argument (Winkel) ϕ mit dem Exponenten
n multipliziert.
In exponentieller Schreibweise gilt:
h
z n = r · ei ϕ
in
= rn · ei (n·ϕ)
In trigonometrischer Schreibweise gilt:
z n = [r · (cos ϕ + i · sin ϕ)]n = rn · [cos (n · ϕ) + i · sin (n · ϕ)]
67
Version: 20. Juli 2016
Index
Ableitung, 37
assoziativ, 13
Bahnkurve, 55
Basis, 15
Basisvektor, 44
Bogenmaß, 21
Differential, 38
Differentialquotient, 38
Distributivgesetz, 14
e-Funktion, 33
Einheitsvektor, 44
Eulerformel, 63
eulersche Zahl, 33
Exponent, 1, 15
kommutativ, 13
Kommutativgesetz, 7
komplexe Zahl, Normalform, 59
komplexe Zahl,konjugiert, 61
komplexen Zahlenebene, 59
Logarithmus, 15
Logarithmus, natürlicher, 16
Mantisse, 1
Nenner, 9
Nullstellen, 31
quadratische Ergänzung, 31
Realteil, 59
reelle Zahlen, 1
Funktion, Bildbereich, 27
Funktion, linear, 27
Funktion,Definitionsbereich, 27
Funktionsargument, 27
Funktionswert, 27
Skalar, 47
Spaltenvektor, 47
Stammfunktion, 39
Steigung, 28
Steigungsdreieck, 28
Gaußsche Zahlenebene, 59
gerichtete Größen, 47
Gradmaß, 21
Trajektorie, 55
Hauptnenner, 10
Imaginärteil, 59
Integral, bestimmte, 40
Integral, unbestimmtes, 39
Integrationskonstante, 39
Vektor, Betrag, 43, 48
Vektor, freier, 43
Vektor, gebunden, 43
Vektor, Komponenten, 45
Vektor, linienflüchtig, 43
Vertauschungsgesetz, 7
Kehrbruch, 9
Wertetabelle, 4, 27
Ursprungsgerade, 27
69
Labor Technische Physik
Index
Zähler, 9
Zehnerlogarithmus, 16
Zeiger, 60
Zeilenvektor, 47
Version: 20. Juli 2016
70

Download Report