傾いたディラックコーンをもつ系における 磁場中のエネルギー準位構造 12-041-016 ガラムカリ 和 目次 • • • • ディラックコーン 傾いたディラックコーン 一様磁場中の傾いたディラックコーン 六角格子系 ・この発表を通して電子のスピンは一切考慮しない ・扱う系は全て2次元系 ディラックコーン 2次元系のディラックコーン 自由電子の分散関係 ディラックコーン 𝜀𝑘 𝜀𝑘 ky ky kx kx 2 𝜀𝑘 ∝ ±|𝐤| 2 ℏ |𝒌| 𝜀𝑘 = ∝ 𝐤 2𝑚 2 例：グラフェン 2次元 2次元系における磁場中の議論 ディラックコーン 𝜀𝑛 ⋯ ⋯ 自由電子の分散関係 𝜀𝑛 ここに注目 0 1 𝜀𝑛 = ℎ𝜔 𝑛 + 2 ゼロ点振動 0 𝑛 = 0,1,2 ⋯ 𝜀𝑛 = 0をみたす状態がない ⋯ 古典的にはサイクロトロン運動 →調和振動子の形に帰着 𝜀𝑛 = ±ℎ𝜔 𝑛 𝑛 = 0,1,2 ⋯ 𝜀𝑛 = 0をみたす状態がある ディラックコーンを実現する系の例 例：グラフェン（六方格子上にC原子を並べたシート） 𝜀𝑘 𝜀𝑘 kx ky kx ky ディラックコーン 例：α-(BEDT-TTF)2I3 𝜀𝑘 𝜀𝑘 kx ky kx ky 傾いたディラックコーン 傾いたディラックコーンに磁場を与えた時のゼロエネルギー準位を調べる J. Phys. Soc. Jpn. 78 (2009) 114711 傾いたディラックコーンについて調べる 傾いていないディラックコーン ディラックコーンを実現するハミルトニアン 0 𝐻 𝒌 =𝑣 𝑘𝑥 + 𝑖𝑘𝑦 𝑘𝑥 − 𝑖𝑘𝑦 0 サブ格子Ａ サブ格子Ｂ ディラックコーンの分散関係 𝜀𝑘 = ±𝑣 𝑘𝑥 2 + 𝑘𝑦 2 = ±𝑣 𝐤 𝜀𝑘 ky kx 傾いたディラックコーン 傾いたディラックコーンを実現するハミルトニアン 𝜂𝑘𝑦 𝐻 𝒌 =𝑣 𝑘𝑥 + 𝑖𝑘𝑦 𝑘𝑥 − 𝑖𝑘𝑦 𝜂𝑘𝑦 𝜂∈ℝ 傾いたディラックコーンの分散関係 𝜀𝑘 = 𝑣𝜂 ± 𝑣 𝑘𝑥 2 + 𝑘𝑦 2 = 𝑣𝜂 ± 𝑣 𝐤 ディラックコーンを傾かせる。 𝜀𝑘 = 𝑣𝜂𝑘𝑦 ± 𝑣|𝐤| 𝜀𝑘 倒れ切る 母線 ky kx 𝜂=0 𝜂 = 0.6 𝜂=1 𝜈に対して𝜂を大きくするとコーンが傾く ディラックコーンに磁場をかける 磁場なし 0 𝐻 𝒌 = 𝜈 𝑘𝑥 + 𝑖𝑘𝑦 𝑘𝑥 − 𝑖𝑘𝑦 0 一様な磁場B=(0,0,B)を印加。 𝑨 = 0, 𝐵𝑥, 0 𝒌 → 𝒌 − 𝑒𝑨 0 𝑘𝑥 − 𝑖(𝑘𝑦 +𝑒𝐵𝑥) 𝐻 𝒌 =𝜈 𝑘𝑥 + 𝑖(𝑘𝑦 +𝑒𝐵𝑥) 0 [𝑥, 𝑘𝑥 ] = 𝑖 非可換性をどうするか ディラックコーンに磁場をかける 一様な磁場B=(0,0,B)を与える。 𝑨 = 0, 𝐵𝑥, 0 0 𝐻 𝒌 =𝜈 𝑘𝑥 + 𝑖(𝑘𝑦 +𝑒𝐵𝑥) 𝑎= 1 2𝑒𝐵 (𝑘𝑥 − 𝑖𝑘𝑦 − 𝑖𝑒𝐵𝑥) 0 𝐻 𝒌 = 2𝑒𝐵 † 𝑎 𝜙0 𝑥 = 0 𝜓0 𝑘𝑥 − 𝑖(𝑘𝑦 +𝑒𝐵𝑥) 0 𝑎, 𝑎† = 1 調和振動子の昇降演算子 𝜀𝑛 𝑎 0 が基底状態 𝜓0 ：調和振動子の基底状態 0 0 0 𝑎 𝐻 𝒌 𝜙0 = 2𝑒𝐵 † =0 𝑎 0 𝜓0 エネルギー0の準位が存在することを確認した。 傾いたディラックコーンに磁場をかける 磁場なし 𝜂𝑘𝑦 𝐻 𝒌 = 𝜈 𝑘 + 𝑖𝑘 𝑥 𝑦 𝑘𝑥 − 𝑖𝑘𝑦 𝜂𝑘𝑦 解けてる 一様な磁場B=(0,0,B)を印加。 𝑨 = 0, 𝐵𝑥, 0 𝒌 → 𝒌 − 𝑒𝑨 𝜂(𝑘𝑦 +𝑒𝐵𝑥) 𝑘𝑥 − 𝑖(𝑘𝑦 +𝑒𝐵𝑥) 𝐻 𝒌 =𝜈 𝑘𝑥 + 𝑖(𝑘𝑦 +𝑒𝐵𝑥) 𝜂(𝑘𝑦 + 𝑒𝐵𝑥) [𝑥, 𝑘𝑥 ] = 𝑖 傾いたディラックコーンに磁場をかける 一様な磁場B=(0,0,B)を印加。 𝑨 = 0, 𝐵𝑥, 0 𝜂(𝑘𝑦 +𝑒𝐵𝑥) 𝑘𝑥 − 𝑖(𝑘𝑦 +𝑒𝐵𝑥) 𝐻 𝒌 =𝜈 𝑘𝑥 + 𝑖(𝑘𝑦 +𝑒𝐵𝑥) 𝜂(𝑘𝑦 + 𝑒𝐵𝑥) = 2𝑒𝐵 𝑖 − (𝑎† − 2 † 𝑎 𝑎) 𝑎 𝑖 − (𝑎† 2 − 𝑎) 𝑎, 𝑎† = 1 ゼロエネルギー状態が現れるかは分からない。 →傾いたディラックコーンを実現するモデルを考える →そこに磁場を与えた時のスペクトルを数値的に求める 六角格子系 傾いたディラックコーンを実現するモデル グラフェンをベースにした六角格子モデル −𝒂𝟏 −𝒂𝟑 −𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒃𝟑 第1隣接へのHopping 𝑡1 > 0 第2隣接へのHopping 𝑡2 ≥ 0 サイト数 2N2 周期境界条件 電子は第1隣接と第2隣接の一部にとびうつる 六角格子系のバンド構造 六角格子系のハミルトニアン 𝐻= −2𝑡2 [cos 𝒌 ⋅ 𝒃1 + cos(𝒌・𝒃2 )] ∑𝑖 [cos 𝒌 ⋅ 𝒂𝑖 + 𝑖 sin 𝒌 ⋅ 𝒂𝒊 ] 𝑡1 = 1, 𝑡2 = 0 ∑𝑖 [cos 𝒌 ⋅ 𝒂𝑖 − 𝑖 sin 𝒌 ⋅ 𝒂𝒊 ] −2𝑡2 [cos 𝒌 ⋅ 𝒃1 + cos(𝒌・𝒃2 )] ディラックポイント近傍でのバンド構造 𝑡1 = 1, 𝑡2 = 0 𝐸 𝐸 𝑘𝑦 𝑘𝑥 𝑡1 = 1, 𝑡2 = 0.5 𝐸 𝑘𝑥 𝑘𝑦 𝑘𝑦 𝑘𝑥 𝑡1 : 𝑡2 = 1: 0.5でコーンが倒れ切る 六角格子系に一様磁場を与える 𝐁 = 0,0, 𝐵 𝐀 = 0, 𝐵𝑥, 0 Hopping 𝑡1 → exp 𝑡2 → exp 𝑒 𝑖 𝐶 ℎ 𝑒 𝑖 𝐶 ℎ 𝑨 𝒓 ・𝑑𝒓 𝑡1 𝑨 𝒓 ・𝑑𝒓 𝑡2 とびうつりの経路に沿った𝑨 𝒓 の線積分 だけ位相がズレる。 サイト数 2N2 2𝑛𝜋 ℏ 𝑛∈ℤ 周期境界条件より 𝐵 = 𝑁 フーリエ変換ができない。 実空間でのハミルトニアンを書き下して数値計算 対角化する7200次元行列 ⋯ 𝑒 −𝑖𝐵 𝑡1 0 𝑒 𝑖𝐵 𝑡1 ⋯ 0 𝑒 −𝑖𝐵 𝑡1 0 ⋯ 𝑡1 3 𝑖 𝐵 𝑒 2 𝑡2 0 ⋯ 3 −𝑖 𝐵 𝑒 2 𝑡2 𝑡1 3 𝑖 𝐵 𝑒 2 𝑡2 ⋯ 0 3 −𝑖2𝐵 𝑡1 ⋯ 0 −𝑖2𝐵 𝑡1 ⋯ 𝑒 3 −𝑖2𝐵 𝑡1 1 𝑖 𝐵 𝑒 2 𝑡2 ⋯ 3 −𝑖 𝐵 𝑒 2 𝑡2 𝑡1 ⋯ 0 𝑒 𝑖2𝐵 𝑡1 0 0 ⋯ 0 𝑒 𝑖2𝐵 𝑡1 0 ⋯ 0 𝑒 −𝑖2𝐵 𝑡1 0 0 0 𝑒 −𝑖2𝐵 𝑡1 𝑒 𝑖2𝐵 𝑡1 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 ⋯ 0 𝑡2 ⋯ 0 𝑒 ⋯ 3 𝑖 𝐵 𝑒 2 𝑡2 𝑡1 ⋯ 𝑡1 𝑒 ⋯ ⋯ 𝑡2 ⋯ 0 3 𝑖 2𝐵 ⋯ 0 0 ⋯ 3 𝑖 𝐵 𝑒 2 𝑡2 ⋯ ⋯ 0 ⋯ 𝑡1 3 −𝑖 𝐵 ⋯ 𝑒 2 𝑡2 ⋯ 𝑡1 ⋯ ⋯ 𝐻= 𝑒 0 0 𝑒 𝑖𝐵 𝑡1 ⋯ 0 ⋯ 0 −𝑖𝐵 ⋯ 3 −𝑖 𝐵 𝑒 2 𝑡2 0 𝑒 ⋯ ⋯ 0 ⋯ 𝑡1 ⋯ ⋯ 0 ⋯ ⋯ 0 ⋯ ⋯ 𝑒 𝑖𝐵 𝑡1 ⋯ ⋯ 0 ⋯ 𝑒 = 1, ℏ = 1 ⋯ 六角格子系に磁場を与えた系のスペクトル 𝑡2 = 0（コーンは傾いていない）, 𝑁 = 60の場合 E エネルギーゼロの準位がある 𝑛 = 1で𝑡2 を動かしていく 𝑛(磁場) 六角格子系に磁場を与えた系のスペクトル E 𝑁 = 60, 𝑛 = 1, 𝑡1 = 1 連続したスペクトルに埋没 注目 傾くとゼロエネルギー準位がなくなる 𝑡1 /2 𝑡2 （傾き具合） まとめ ・コーンを倒すとゼロエネルギー準位が消える。 ・ゼロエネルギー準位につながる孤立準位は残る。 ・コーンが倒れ切ると孤立準位は連続した準位に埋没する。 E 𝑡1 2 今後の課題 ・倒れ切る直前までの解析解と比較する。 𝑡2 （傾き具合） どのように数値計算したか • 六方格子系を正方格子系に帰着させた。 質問用 どのように数値計算したか 質問用 格子点 𝑥, 𝑦 に粒子がある状態 |𝑥, 𝑦 |𝑥, 𝑦 = |𝑥 + 𝑁, 𝑦 境界条件 |𝑥, 𝑦 = |𝑥, 𝑦 + 𝑁 Hopping 𝑡1 → exp (0,0) 𝑡2 → exp 𝑒 𝑖 𝐶 ℎ 𝑒 𝑖 𝐶 ℎ 𝑨 𝒓 ・𝑑𝒓 𝑡1 𝑨 𝒓 ・𝑑𝒓 𝑡2 この系のハミルトニアン 𝑥, 𝑦の偶奇が一致のときのみ足す 𝐻 = −𝑡1 ∑𝑥,𝑦 |𝑥, 𝑦 𝑥 + 1, 𝑦| + |𝑥, 𝑦 𝑥 − 1, 𝑦| 偶奇が不一致のときのみ −𝑡1 ∑𝑥,𝑦 |𝑥, 𝑦 𝑥, 𝑦 + 1| + |𝑥, 𝑦 𝑥, 𝑦 − 1| −𝑡2 ∑𝑥,𝑦 |𝑥, 𝑦 𝑥 − 1, 𝑦 + 1| + |𝑥, 𝑦 𝑥 + 1, 𝑦 + 1| + H. c. 質問用 傾いたコーンに磁場を与えた場合の解析解 傾いたコーンに一様な磁場B=(0,0,B)を印加。 𝒌 → 𝒌 − 𝑒𝑨 𝑨 = 0, 𝐵𝑥, 0 𝜂(𝑘𝑦 +𝑒𝐵𝑥) 𝑘𝑥 − 𝑖(𝑘𝑦 +𝑒𝐵𝑥) 𝐻 𝒌 =𝑣 𝑘𝑥 + 𝑖(𝑘𝑦 +𝑒𝐵𝑥) 𝜂(𝑘𝑦 + 𝑒𝐵𝑥) 傾いた2次元ディラックコーンに磁場をあたえた系 𝐸𝑛 = 𝑣 𝑒𝐵sgn(𝑛) 2𝜆3 |𝑛| 𝑛∈ℤ 𝜆= 𝜂 < 𝑣で解析的に解けた。 コーンが倒れ切った時の準位の様子はわからない 1 − 𝜂2 質問用 パイエルス位相について 磁場がない場合 𝒑2 𝐻= + 𝑈(𝒓) 2𝑚 𝑡12 = 𝑑𝒓𝜙 ∗ 𝒓 − 𝑹1 𝐻𝜙(𝒓 − 𝑹𝟐 ) 𝜙 𝒓 − 𝑹 :Rに局在した電子の波動関数 磁場がある場合 (𝒑 − 𝑞𝑨)2 𝐻= + 𝑈(𝑟) 2𝑚 磁場がある時に𝑅1 に 局在した波動関数 𝒓 𝐺𝑅 = 𝐴・𝑑𝒍 𝑅 𝑖 𝒑 − 𝑞𝑨 2 𝑡12 = 𝒓 − 𝑹𝟏 + 𝑈 𝒓 𝑒 ℎ𝐺𝑅 𝜙(𝒓 − 𝑹2 ) 2𝑚 2 𝑞 𝑅 𝒑 = 𝑒 𝑖 ℏ 𝑅′ 𝑨・𝑑𝒍 𝑑𝒓𝜙 ∗ 𝒓 − 𝑹1 + 𝑈 𝒓 𝜙(𝒓 − 𝑹2 ) 2𝑚 結晶格子中でベクトルポテンシャルは不変であることを用いた。 𝑖 −ℎ𝐺𝑅 ∗ 𝑑𝒓𝑒 𝜙 予備 リフシッツ転移 𝜂 = 𝑣でコーンが倒れ切る 状態密度が小さい 𝜀𝐹 𝜀𝐹 𝜀𝑘 ky 𝜂=0 状態密度が 突然大きくなる 𝜂=𝑣 kx 電子が下のコーンを全て占有している状態を考える 比熱 リフシッツ転移 予備 比熱などの量が不連続に変化。 0 𝜈 𝜂(傾き具合) 𝜀𝐹
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