演習問題 No. 13 の解答

演習問題 No. 13 の解答
1
(1) 条件から,
xu yu + xv yv = yv yu − yu yv = 0,
x2u + x2v = yv2 + (−yu )2 = yu2 + yv2
となる. さらに,
xuu + xvv = (yv )u + (−yu )v = 0,
yuu + yvv = (−xv )u + (xu )v = 0
となることもわかる.
(2) 合成関数の微分法より
zu = zx xu + zy yu ,
zv = zx xv + zy yv
なので
zu2 = zx2 x2u + 2zx zy xu yu + zy2 yu2 ,
zv2 = zx2 x2v + 2zx zy xv yv + zy2 yv2
となる. これらを足して, m の定義と (1) の関係式を用いると,
zu2 + zv2 = zx2 (x2u + x2v ) + zy2 (yu2 + yv2 ) = m(zx2 + zy2 )
となることがわかる.
(3) もう一度, 合成関数の微分法より
zuu = (zxx xu + zxy yu )xu + zx xuu + (zyx xu + zyy yu )yu + zy yuu ,
zvv = (zxx xv + zxy yv )xv + zx xvv + (zyx xv + zyy yv )yv + zy yvv .
これらを足して, (1) の関係式を用いて
zuu + zvv = zxx (x2u + x2v ) + zyy (yu2 + yv2 ) + zxy (2xu yu + 2xv yv ) + zx (xuu + xvv ) + zy (yuu + yvv )
= m(zxx + zyy )
を得る.
2
(1) fx = 5x4 y 4 , fy = 4x5 y 3 より
fxx = 20x3 y 4 ,
fxy = fyx = 20x4 y 3 ,
fyy = 12x5 y 2
(2) fx = 2e2x cos y, fy = −e2x sin y より
fxx = 4e2x cos y ,
(3) fx = yxy−1 , fy =
fxy = fyx = −2e2x sin y ,
fyy = −e2x cos y
∂ y log x
(e
) = xy log x より
∂y
fxx = y(y − 1)xy−2
fxy = fyx = yxy−1 log x + xy
fyy = xy (log x)2
1
= xy−1 (y log x + 1)
x
(4)
( y)
(1)
1
y
1
x
− 2 =− 2
fx =
,
fy =
= 2
2
2
2
1 + (y/x)
x
x +y
1 + (y/x) x
x + y2
∂ ( 1 )
2xy
fxx = −y
=
∂x x2 + y 2
(x2 + y 2 )2
1
∂ ( 1 )
y 2 − x2
fxy = fyx = − 2
=
−
y
x + y2
∂y x2 + y 2
(x2 + y 2 )2
(
)
∂
2xy
1
fyy = x
=− 2
2
2
∂y x + y
(x + y 2 )2
より
3
(1) 合成関数の微分法を用いて
∂z dx ∂z dy
dz
=
+
= 2x · 2 + (−2y) · 3 = 4(2t + 1) − 6(3t − 5) = −10t + 34
dt
∂x dt
∂y dt
(2) 合成関数の微分法を用いて
y
2 sinh t cosh t
∂z
∂z dx ∂z dy
x
=
+
= 2
sinh t + 2
cosh t =
= tanh 2t
2
2
∂t
∂x dt
∂y dt
x +y
x +y
cosh2 t + sinh2 t
4
(1) z = x2 − y 2 とおくと，合成関数の微分法より
wx = g ′ (z)
∂z
= 2xg ′ (z) ,
∂x
wy = g ′ (z)
∂z
= −2yg ′ (z)
∂y
となるから，
ywx + xwy = 2xyg ′ (z) − 2xyg ′ (z) = 0
y
とおくと，合成関数の微分法より
x
∂z
= nxn−1 g(z) − xn−2 yg ′ (z) ,
wx = nxn−1 g(z) + xn g ′ (z)
∂x
(2) z =
wy = xn g ′ (z)
∂z
= xn−1 g ′ (z)
∂y
となるから，
xwx + ywy = nxn g(z) − xn−1 yg ′ (z) + xn−1 yg ′ (z) = nxn g(z) = nw
5
合成関数の微分法より
∂z ∂x ∂z ∂y
∂z
∂z
∂z
=
+
=
cos θ +
sin θ
∂r
∂x ∂r ∂y ∂r
∂x
∂y
( ∂z
)
∂z ∂x ∂z ∂y
∂z
∂z
=
+
= r − sin θ +
cos θ
∂θ
∂x ∂θ ∂y ∂θ
∂x
∂y
が成り立つ（例題 5.5）．合成関数の微分法をもう一度用いると，f (x, y) が C 2 級であることより，
∂ 2z
∂ ( ∂z )
∂ ( ∂z )
=
cos
θ
+
sin θ
∂r2
∂r ∂x
∂r ∂y
]
[ 2
]
[ 2
∂ 2z
∂ z
∂ 2z
∂ z
cos θ +
sin θ cos θ +
cos θ + 2 sin θ sin θ
=
∂x2
∂y∂x
∂x∂y
∂y
2
2
2
∂ z
∂ z
∂ z
=
cos2 θ + 2
cos θ sin θ + 2 sin2 θ
2
∂x
∂x∂y
∂y
) ∂z ∂ (
)
1 ∂ 2z
∂ ( ∂z )
∂ ( ∂z )
∂z ∂ (
=
−
sin
θ
+
cos
θ
−
sin
θ
+
cos
θ
r ∂θ2
∂θ ∂x
∂θ ∂y
∂x ∂θ
∂y ∂θ
[ 2
]
[
]
2
2
∂ z
∂ z
∂ z
∂ 2z
= −r − 2 sin θ +
cos θ sin θ + r −
sin θ + 2 cos θ cos θ
∂x
∂y∂x
∂x∂y
∂y
∂z
∂z
−
cos θ −
sin θ
∂x
∂y
[
]
1 ∂ 2z
∂2z
∂ 2z
∂ 2z
1 ∂z
∂z
2
2
=
sin θ − 2
cos θ sin θ + 2 cos θ −
cos θ +
sin θ
r2 ∂θ2
∂x2
∂x∂y
∂y
r ∂x
∂y
∂2z
∂ 2z
1 ∂z
∂ 2z
2
2
=
sin
θ
−
2
cos
θ
−
cos
θ
sin
θ
+
∂x2
∂x∂y
∂y 2
r ∂r
が成り立つ．よって，
∂ 2z ∂ 2z
∂ 2 z 1 ∂z
1 ∂ 2z
+
=
+
+
∂x2 ∂y 2
∂r2 r ∂r r2 ∂θ2
が得られる．

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