2014/15 II Mathe GK Vorabiklausur 26.02 .15 Nr. 1: Wasserrutsche Die Attraktivität eines Freibades soll durch den Bau einer Wasserrutsche erhöht werden. Vom Startpunkt A(0 10) in einer Höhe von 10 m soll die Wasserrutsche ohne „seitliche“ Kurven hinabführen und 40 m entfernt im Punkt E(40 0) auf der Höhe des Wasserspiegels enden. Das seitliche Profil der Rutsche (im Folgenden kurz: die Rutsche) soll durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades f modelliert werden, wobei x und f (x) als Maßzahlen zur Einheit 1 m aufzufassen sind. Die Rutsche soll entsprechend einer ersten Planung im Startpunkt A ein Gefälle von 0,1 (Steigung: – 0.1) haben und im Endpunkt E waagerecht verlaufen. a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Funktion f. (10 Punkte) Im Verlaufe der Planung stellt sich heraus, dass das Anfangsgefälle mindestens 11° betragen muss, damit eine genügend hohe Startgeschwindigkeit erreicht werden kann. Da bei der Modellierung der Rutsche durch die Funktion f das Anfangsgefälle mit ca. 6° nicht genügend groß ist, wird als neue Modellierungsfunktion die Funktion g mit der Gleichung g(x) = 1 x3 - 45 x2 - 1200 x + 56 000 , 0 ≤ x ≤ 40 vorgeschlagen, wobei x und g(x) wieder als Maßzahlen zur 5600 Einheit 1 m aufzufassen sind. Die Abbildung unten zeigt den Graphen der Funktion g, die im Folgenden zur Modellierung der Rutsche verwendet wird. y[m] 10. 7.5 5. 2.5 5 b) (1) (2) (3) 10 15 20 25 30 35 40 x[m] Zeigen Sie, dass bei der Modellierung der Rutsche durch die Funktion g das Anfangsgefälle der Rutsche groß genug ist. Berechnen Sie das durchschnittliche Gefälle der Rutsche. Bestimmen Sie die Stelle, an der das Gefälle der Rutsche am größten (kleinste Steigung) ist, und berechnen Sie dieses größte Gefälle. (17 Punkte) Die Rutsche erhält auf einer Seite eine bis zum Boden reichende Verkleidung, die als Werbefläche genutzt werden soll. In der Abbildung (s. o.) entspricht dieser Werbefläche die Fläche zwischen dem Graphen von g und den Koordinatenachsen. c) (1) Geben Sie eine Gleichung einer Stammfunktion von g an. (2) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Werbefläche. (6 Punkte) d) Auf der Werbefläche soll eine rechteckige Reklametafel mit den Eckpunkten P(0 0) , Q(x 0) , R(x S(0 g(x)) ; 0 < x < 40 angebracht werden. A(x) sei der Flächeninhalt einer solchen Reklametafel. g(x)) und 1 · (x - 40) · 4 x2 + 25 x - 1400 gilt. 5600 (1) Zeigen Sie, dass A' (x) = (2) Bestimmen Sie Breite, Höhe und Flächeninhalt der flächengrößten Reklametafel. (17 Punkte) 2 GK13.15.K3.nb Nr. 2: Die Funktion f ist gegeben durch die Gleichung f (x) = x2 + x · -x , x ∈ . Der Graph von f ist in der Abbildung dargestellt. f(x) 4 3 2 1 -2 a) (1) (2) -1 1 2 3 4 5 x 6 Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von f mit den Koordinatenachsen. Bestimmen Sie rechnerisch die lokalen Extremstellen und Wendestellen der Funktion f . [Zur Kontrolle: f ' (x) = - x2 + x + 1 ·  - x , f '' (x) = x2 - 3 x ·  - x b) (5 + 18 Punkte) x Gegeben ist die Funktion F mit der Gleichung F(x) =  f (t)  t ; x ∈  0 (1) (2) (3) Begründen Sie, dass die Funktion F eine Stammfunktion von f ist. Zeigen Sie, dass die Funktion F für x > 0 streng monoton steigt. Untersuchen Sie die Funktion F auf lokale Extremstellen und Wendestellen. [Bei Bedarf kann F(x) = 3 - x2 + 3 x + 3 · -x ohne Nachweis verwendet werden.] (3 + 3 + 8 Punkte) c) Durch die Funktion f wird nun für x ≥ 0 die „momentane Regenstärke" vom Beginn eines Gewitterschauers an in Abhängigkeit von der Zeit beschrieben. Dabei wird x als Maßzahl der Zeit zur Einheit 1 Minute, f (x) als Maßzahl der „momentanen Regenstärke" zur Einheit 1 Liter pro Quadratmeter pro Minute 1 (1) (2) (3) lm2 min aufgefasst. Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen von f für x ≥ 0 im Sachzusammenhang. Begründen Sie anhand der Abbildung oben, dass die Funktion f für x < 0 nicht zur Modellierung im vorliegenden Sachzusammenhang geeignet ist. Von einem „Starkregen-Ereignis” wird gesprochen, wenn innerhalb von 60 Minuten mindestens 10 Liter Regen pro Quadratmeter fallen. Entscheiden Sie, ob der Gewitterschauer während der ersten 60 Minuten ein solches Starkregen-Ereignis darstellt. [Bei Bedarf kann F(x) = 3 - x2 + 3 x + 3 · -x ohne Nachweis verwendet werden.] (3 + 4 + 6 Punkte) Viel Erfolg!!!