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自習問題 5
2
１．母集団 X が X∼N (μ, σ ) とするとき、次の設問に答えなさい。
2
（１）不偏分散 U 2 は、分散 σ の不偏推定量であることを示しなさい。
（２）不偏分散 U 2 の平方根 U は、標準偏差 σ の不偏推定量ではないこと示しなさい。
２．ある交差点では、１ヵ月に平均して m 件の交通事故があるとする。この交差点を n ヵ月観察して、
第 i ヵ月目に起こった交通事故の件数を xi 件とする。このとき、m の最尤推定量を求めなさい。
３．ある池の中に何匹の魚がいるかを知りたい。今、100 匹の魚を捕まえて印をつけて再び池に放す。
次にその池から 100 匹の魚を捕まえてその中の何匹に印が付いているかを数える実験を行う。この
実験を n 回行うとき、i 回目の実験で得られた値を xi として、最尤法により池の中の魚の数を推定
せよ。
４．あるクジの当たる確率を p とする。当たったら 10 円もらえる（はずれた場合は、何ももらえない）。
このクジを n 回引くとき i 回目に引いたクジでもらえる金額を Xi（i=1,2,…,n）円とおく。
（１）確率変数 Xi の平均 E[Xi]と分散 V[Xi]を求めなさい。
（２） Y =
n
 X とおく。このとき、Y の平均 E[Y]と分散 V[Y]を求めなさい。
i
i =1
（３） Z =
（４）W =
Y
10n
とおく。このとき、Z は p の不偏推定量になることを示しなさい。
1
10n + 10
( 2X1 + X2 +  + Xn −1 + Xn )
とおくと W は p の不偏推定量になることを示しなさい。
（５）n≧2 とするとき、p の不偏推定量 Z と W はどちらが有効か？理由を付けて答えなさい。
５．母集団 X は一様分布 U (0, θ ) に従っているとする。ここから n 個の標本値 X1,X2,…,Xn を取り出し
た。 θ の最尤推定量を求めなさい。
６．母集団 X は指数分布 Ex (θ ) に従っているとする。ここから n 個の標本値 x1,x2,…,xn を取り出した。
θ の最尤推定値を求めなさい。
７．母集団 X は一様分布 U (θ, τ ) に従っているとする。ここから n 個の標本値 X1,X2,…,Xn を取り出し
た。 θ と τ の最尤推定量を求めなさい。ただし、 θ < τ である。
2
８．母集団が正規分布 N (μ, σ ) に従っているものとする。平均 μ が既知であるとき、大きさ n の無
2
作為標本 X1,X2,…,Xn を用いて、分散 σ の最尤推定量を求めなさい。
2
９．母集団が正規分布 N (μ, σ ) に従っているものとする。大きさ n の無作為標本値 x1,x2,…,xn を用
2
いて、平均 μ と分散 σ の最尤推定量と最尤推定値を求めなさい。
2
１０．正規母集団 N (μ, 0.6 ) から大きさ n=30 の標本を取り出し、 x =17.78 を得た。平均 μ の 90%信
頼区間と 95%信頼区間を求めなさい。
１１．あるクラスで、50 人の身長を調べたら平均 168.5cm であった。これを正規母集団 N (μ, 25) か
らの無作為抽出であるとするとき、母平均の 95％信頼区間を求めなさい。
１２．ある小学校の 3 年生のクラスから無作為に選んだ 10 人の身長を測定して、つぎのデータを得た。
134.2,
133.6,
134.2,
127.3,
125.9
131.5,
131.7,
126.2,
123.8,
131.9
このデータに基づいて母平均の 95％信頼区間を求めよ。
2
１３．正規母集団から大きさ n の標本を取り出し、 x =16.58, s =0.61 を得た。n=10 のときと n=20
の場合について、母平均の 95%信頼区間を求めなさい。
2
１４．正規母集団から大きさ 20 の標本を取り出し、 x =25.4, s =8.56 を得た。母分散の 95%信頼区間
を求めなさい。
１５．ある砂糖製造会社の製品から 100 個の砂糖の袋を無作為に抽出し重さを量ったところ、平均して
297.4g であった。母集団の重さの標準偏差が 7.5g として砂糖１袋の重さの 95%信頼区間を求めなさ
い。
１６．40 代男性の最高血圧の平均値を知りたい。無作為に選んだ 100 人について最高血圧を調査した
ところ、135mmHg であった。40 代男性の最高血圧の 95%信頼区間を求めなさい。ただし、母集団
2
は、正規母集団 N (μ, 22 ) に従うものとする。
１７．正規母集団 N (μ, 4) から大きさ n の標本を取り出す。母平均 μ の 95%信頼区間の幅を 2 以下に
するためには、標本の数 n をいくつ以上に取ればよいか。
１８．工程の不具合を調べるために無作為に 400 個抽出して調べたところ不良品が 8 個あった。全製品
に対する不良品が占める割合 p の 95%信頼区間を求めよ。
１９．内閣の支持率を調べる目的で無作為に抽出した 1000 人についてアンケート調査を行った。その
結果、支持する人が 325 人、支持しない人が 420 人、どちらともいえない人が 255 人であった。内
閣支持率 p の 95%信頼係数を求めよ。

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