一様磁場中の荷電粒子の運動：2次元調和振動子との等価性（正準形式

一様磁場中の荷電粒子の運動：２次元調和振動子との等価性（正準形式による議論）
１．一様定磁場中の荷電粒子のハミルトニアン
一様定磁場中の荷電粒子（質量 m、電荷 q ）を考える。磁場方向を z 軸にとり、
⃗ = (0, 0, B0 )
B
(1)
とする。B0 は場所にも時間にも依らない定数である。この磁場に対するベクトルポテンシャルを
⃗ = B0 (−y, x, 0)
A
2
(2)
にとる。荷電粒子の z 方向の運動は等速直線運動であって、ある意味自明であるので、運動を xy
面内に限定した２次元運動を考えることにする。
⃗ = B0 (−y, x) として、荷電粒子のハミルトニアン H(⃗r, p⃗) は
⃗r = (x, y), p
⃗ = (px , py ), A
2
H(⃗r, p⃗) =
⃗ 2
(⃗p − q A)
2m
(3)
となる。この p
⃗ は正準運動量であって m⃗r˙ とは異なることに注意する必要がある。２乗を展開し
て、成分をもちいて具体的に書くと
H(x, y, px , py ) =
1 2
q 2 B02 2
qB0
(px + p2y ) +
(x + y 2 ) +
(−xpy + ypx ).
2m
8m
2m
(4)
サイクロトロン運動の角速度 ωc は
ωc =
qB0
m
(5)
であるから、これをもちいて
1 2
1 ( ω c )2 2
ωc
(px + p2y ) + m
(x + y 2 ) − (xpy − ypx )
2
2
]2 [ 2
]
[2m2
)
(
(
2
py
px
1
ωc
1
ωc )2 2
2
=
+ m
x +
+ m
y
2m 2
2
2m 2
2
ωc
− (xpy − ypx )
2
H(x, y, px , py ) =
(6)
(7)
(8)
と書き直せる。右辺の第１項、第２項はそれぞれ、x 方向の調和振動、y 方向の調和振動をあらわ
すハミルトニアンであり、第３項は、これら２つの調和振動子間の相互作用、として解釈できる。
２．回転座標系での記述：正準変換による、２次元調和振動子との等価性
基底ベクトルを z 軸の周りに角速度 α で回転させる（反時計回りを正の回転方向とする）。新た
な基底での位置ベクトル成分 X, Y は、逆に角速度 −α でベクトルを回転させた場合の成分と同
じになる。よって、静止座標系での位置ベクトル成分 x, y とは次の関係式になる：
(
) (
)( )
X
cos αt sin αt
x
=
.
(9)
Y
− sin αt cos αt
y
成分で書けば
X = (cos αt)x + (sin αt)y
Y
= −(sin αt)x + (cos αt)y.
(10)
(11)
逆に解けば
x = (cos αt)X − (sin αt)Y
(12)
y = (sin αt)X + (cos αt)Y.
(13)
この変換 x, y → X, Y にともなって、運動量も変換 px , py → Px , Py を受ける。これらの変数変換
が正準変換となるためには、変換の母関数が存在すればよい。少し考えると、次の「３」型1 の母
関数 W3 で変換できることがわかる：
W3 (px , py , X, Y, t) = px [−(cos αt)X + (sin αt)Y ] + py [−(sin αt)X − (cos αt)Y ] .
(14)
実際、この母関数を使うと
∂W3
=
∂px
=
∂W3
−
=
∂py
=
−
(cos αt)X − (sin αt)Y
(15)
x
(16)
(sin αt)X + (cos αt)Y
(17)
y
(18)
となり、座標の変換を再現している。運動量に関しては
∂W3
=
∂X
=
∂W3
−
=
∂Y
=
−
(cos αt)px + (sin αt)py
(19)
Px
(20)
−(sin αt)px + (cos αt)py
(21)
Py
(22)
となり、運動量の変換は座標の変換（10）、
（11）と同じ変換になっていることがわかる。ハミルト
ニアンについては、（4）を構成する３要素
p2x + p2y ,
x2 + y 2 ,
−xpy + ypx
(23)
のいずれも回転不変であるので2
H(x, y, px , py ) = H(X, Y, Px , Py )
1
ωc
1 ( ω c )2 2
=
(X + Y 2 ) + (−XPy + Y Px ).
(Px2 + Py2 ) + m
2m
2
2
2
が成立する。正準変換にともなって、変換後の変数に対するハミルトニアン H ′ は
∂W3
∂t
= H + αpx [(sin αt)X + (cos αt)Y ] + αpy [−(cos αt)X + (sin αt)Y ]
H′ = H +
1
(24)
(25)
(26)
(27)
= H + αX [(sin αt)px − (cos αt)py ] + αY [(cos αt)px + (sin αt)py ]
(28)
= H + αX(−Py ) + αY Px
(ω
)
1
1 ( ω c )2 2
c
=
(Px2 + Py2 ) + m
(X + Y 2 ) +
+ α (−XPy + Y Px ).
2m
2
2
2
(29)
(30)
見慣れた表現で書くと、{q}, {p}, H → {Q}, {P }, H ′ の変換に際し
W3 = W3 ({p}, {Q}, t),
∂W3
∂W3
, Pi = −
,
qi = −
∂pi
∂Qi
∂W3
H′ = H +
,
∂t
とする処方。
2
実際に変換形を代入して確認できる。「ベクトルの大きさの２乗」「ベクトルの外積（ベクトル積）の z 成分」と
いう観点からも回転不変性は結論づけられる。
よって
α=−
ωc
2
(31)
にとると
1 ( ω c )2 2
1
2
2
H =
(P + Py ) + m
(X + Y 2 )
2m x
2
2
′
となり、これは２次元調和振動子（角振動数
(32)
ωc
）のハミルトニアンである。
2
３．ラーモアの定理：
「弱い磁場の影響は回転座標系で取り除ける」
前節で示されことは「回転座標系の角速度をうまく選べば、定磁場中の荷電粒子は、２次元調和振
動子と同じ」ということである。調和振動子のポテンシャル項は
( 2 )
1 ( ωc )2 2
q
2
B02 (X 2 + Y 2 )
(33)
m
(X + Y ) =
2
2
8m2
であって、磁場 B0 の２次になる。よって、磁場が弱い場合にはほとんど無視できることになる。
言い換えると、磁場が弱い場合、適切に選んだ回転座標系では実質的に磁場のない場合の運動にな
る。このことはしばしばラーモアの定理と呼ばれる。

Download Report