2.13 仕事とエネルギー 2.13.1 仕事

2016/7/18
2.13.1 仕事
2.13 仕事とエネルギー
•仕事
•位置エネルギー
•運動エネルギー
•力学的エネルギー保存則
• 力を加えて物体を動かす
物体に対して仕事をする
物体は仕事をされる
• 仕事＝力×力を作用させた距離
単位〔J〕：ジュール（=〔N・m〕）
W  Fx
x〔m〕
F〔N〕
仕事：力方向と移動方向
• 物体にF〔N〕の力を加えx〔m〕動かす
ただしθは力と移動方向のなす角
力の x 方向成分＝F cosθ
物体のされた仕事＝力のした仕事W〔J〕
W  F  x cos 
Fcos
F
θ
仕事
仕事の単位
• 仕事の単位 J（ジュール）
物体に1〔N〕の力を加え1〔m〕動かしたときの仕事
＝1〔J〕
• 熱量 1 cal≒4.2 J
(1gの水を1℃上げるのに必要な熱量）
x
W  Fx
F sin
F

F cos
F
物体が移動しなければ
仕事をしたことにならない。
運動の方向
物体がなされる仕事（物体に対してした仕事）：W=F x cos
= 
F
運動の方向
力の向きと動いた向きが逆の場合は、
物体に対して負の仕事をした。
（物体から仕事をされた。）
F
力の向きと動いた向きが逆の場合は、
物体に対して負の仕事をした。
（物体から仕事をされた。）
運動の方向
W=F x cos =F x cos = ‐ F x 1
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仕事の原理
例
重力に逆らって質量m〔kg〕の物体をh〔m〕持ち上げる
てこや斜面を使って仕事をするとき，
→ 力は小さくてすむが、移動距離は大きい
→ 要する仕事は同じ
h
mg
1/3mg
１：３
Lsin
3
1

mg sin
mg
W = mg Lsin
mg
例
mg cos 
重力に逆らって質量m〔kg〕の物体をh〔m〕持ち上げる
問
 mg cos 
m
L
mg sin 

h

F  mg
水平面に対しての角度をなすあらい斜面にそって，質量m〔kg〕の
物体が距離L〔m〕だけすべり下りる。重力加速度をg〔m/s2〕，動
摩擦係数を’として重力，斜面からの垂直抗力，斜面からの摩擦
力が物体にする仕事を求めよ。
仕事 W
W  F  h  mgh
mg cos 
問
m
 mg cos 
L
mg sin 


重力： mgL sin 
垂直抗力：０
摩擦力：   mgL cos 
mg
mg cos 
mg
mg cos 
問21 以下の質問に答えよ
(１)．図（a）において，親子で力を合わせて物体をx〔m〕動か
した．どちらのした仕事が大きいか．また，二人のした仕事
はそれぞれいくらか．
父のした仕事＝F1x 〔J〕
子のした仕事＝F2x 〔J〕 F1＜F2 だから子供
車のされた仕事＝（F1＋F2）x 〔J〕
(２)．図（b）では，人が倒れかけたタンスを支えている．人は
仕事をしているだろうか．
移動していないので仕事はしていない
F×0＝0 〔J〕
F1
F2
F
x〔m〕
2
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(３)．A君とB君が図（c）のように物体に力を加えている．物体
がx〔m〕動いたとき，誰がどれほどの仕事をしたか．
B君
Ａ君のした仕事＝F1x
〔J〕
A君
Ｂ君のした仕事＝F2×0＝0 〔J〕
(４)．A君とC君が図（d）のように物体
に力を加え，物体はx〔m〕動いた．
A君は物体に対し仕事をしたか．
C君は物体に仕事をしたか．
F1
エネルギー：仕事をする能力
高いところにある物体は、落下することで
他の物体を動かすことが出来る
動いている物体は、衝突することで
他の物体を動かすことが出来る
F2
x〔m〕
C君
A君
Ａ君のした仕事＝F1x
〔J〕
Ｃ君のされた仕事＝F2x 〔J〕
車はＡ君から仕事をされＣ君に仕事をした
（Ｃ君のした仕事＝－F2x）
エネルギーと仕事
F1
F2
x〔m〕
＊物体に仕事をするとエネルギーとして物体に蓄えられる
問22
2.13.3 重力の位置エネルギー
“地表”からh〔m〕の高さにあるm〔kg〕の物体は”地表”に対して
mgh〔J〕だけ大きな位置エネルギーを持つ
重力 mg 〔N〕に逆らってh 〔m〕の高さ持ち上げるのに
要する仕事＝mgh〔J〕
物体の位置エネルギーとして蓄えられている
h ※ h〔m〕落下したとき，重力のした仕事mgh〔J〕
摩擦が無視できる斜面（水平と30°）に沿って1000kgの
車を，元の位置から10m高い位置まで引き上げた。引き
上げるに要した仕事は何Jか，また，車の位置エネル
ギーの増加は何Jか．
W  Fx
F  mg sin 30  4900
斜面の長さ＝x
10
x
 20
sin 30
mg sin 30
F
W  4900  20  98000
h=10m
30°
9.8×104J
mg
直接持ち上げるとき
W  mgh  1000  9.8 10  98000
mg
9.8×104J
運動エネルギー
仕事と運動エネルギー
• 速度の向きに力を加える続けると速度を増す
• 力をある距離だけ加え続ける＝仕事をする
• 仕事の分だけ変化する量＝運動エネルギー
K
F
v0
F
1 2
mv
2
• 一定の力 F 〔N〕でt 秒間加速後の速度v〔m/s〕
v0
• 加速度 a  F / m
F
F
v  at  v0 より
s〔m〕
F
m
v  t  v0  t  v  v0 
m
F
v
代入
v
s〔m〕
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重力のする仕事と運動エネルギー
h1
• 物体が重力で落下している
“地表”からh〔m〕の高さにあるm〔kg〕の物体は”地表”に対して
mgh〔J〕だけ大きな位置エネルギーを持つ
v1
h 1からh 2までの間に物体が重力によって
された仕事＝m g（h 1－h 2）
h 1－h 2
＝運動エネルギーの増加
h2
速さvで運動する質量mの物体の運動エネルギーは：
v2
基準
力学的エネルギー保存の法則
力学的エネルギー保存
v1
v2
• 力学的エネルギー
＝ (重力の位置エネルギー) ＋(運動エネルギー)
＝一定
• 重力のみが働く落下運動（自由落下，斜面）の途中におい
て力学的エネルギーは常に一定
h2
h1
下り坂：位置エネルギーが減る→運動エネルギーが増す
上り坂：位置エネルギーが増す→運動エネルギーが減る
問23 力学的エネルギーの保存
静かに放す
A地点：
運動エネルギー＝
位置エネルギー＝
A
C
h
h
2
B
v A =0
の時、
vB 、 vC
B
H
は？
h
1
1
1
2
2
m  0 2  mgh  mvB  mg  0  mvC  mg
2
2
2
2
vB  2 gh
A地点での重力による
位置エネルギーを
０とする
vC  gh
A
C
H/2
D
Ｂ地点：
運動エネルギー＝ 0
位置エネルギー＝ mgH
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問23 力学的エネルギーの保存
問23 力学的エネルギーの保存
図のような抵抗などは無視できるジェットコースターがある．
1
m  02  0
2
Ａ地点を速さv0〔m/s〕でスタートし，高さH〔m〕のＢ地点を乗
mgH
り越えるのに必要な速さを力学的エネルギーの保存則から
求める．ジェットコースターの質量をmとすると，A地点での
運動エネルギーは
1 2
mv0 である．B地点での速度を0とし
2
て，B地点での運動エネルギーは 0
，位置エネルギー
は mgH である．
1 2
mv0
2
mg  0  0
B
1 2
mvC
2 H
mg
2
C
H/2
H
D
A
1 2
mv0  0  mgH  0
2
v0  ?
1 2
H
mvC  mg  mgH
2
2
vC  ?
問23 力学的エネルギーの保存
力学的エネルギーの保存則から，A地点での速さv0をg，H
で表すと 2 gH である．また，同様に考えるとA地点から
H/ 2 だけ高いＣ地点での速さは
gH
でありA地点で
1
の速さの
倍である．また，D地点に達したときの速さ
2
は v0 である．
5

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