物理復習プリント（物理・第1篇「力と運動」その 1 平面運動）

物理
復習プリント
（物理・第１篇「力と運動」その 1 平面運動）
Jul. 2016 ©T. Hasegawa
1. 用語の説明
1 – 1 速度
（速度）＝（変位）÷（時間）
。変位＝移動した距離を、移動にかかった時間で割ったもので、その時間内の移動
による位置の変化の割合になる。または、「1 秒間にどれだけ移動するか」を意味する。単位は m / s のように、
距離 / 時間となる。英語で velocity というので、v と書くことが多い。
1 – 2 加速度
（加速度）＝（速度の変化量）÷（時間）
。速度が変化したとき、変化にかかった時間で割ったもので、その時間
内の速度の変化の割合になる。または、
「1 秒間にどれだけ速度が変化するか」を意味する。単位は、m / s2 であ
るが、これは、
「m / s」 / s という意味で、速度 / 時間である。速度の大きさが変わらなくても、向きが変わると
きには、加速度が働いている（
「物理」p13 問 2）
。英語で、acceleration というので、a と書くことが多い。
物体の落下を扱うときには、重力加速度を加速度に用いる場合が多い。重力は英語で gravity というので、g と
書くことが多い。
2. 平面の運動に関する公式
2 – 1 速度の公式（暗記する）
t = 0 で初速度 v0 の物体が、加速度 a を受けて運動するとき、その速度は 1 秒当たり、a だけ変化する（a が正
なら加速、負なら減速）
。t 秒後には、at だけ変化しているはずだから、t 秒後の速度 v は、
速度の公式
=
(1)
である（図 1）
。加速度がないとき( a = 0 )、速度は v0 のままである。加速度が存在すると( a ≠ 0)、速度は時間
で変化する。at の単位は[ m / s2 ]×[ s ]で[ m / s ]となり、速度の単位を持つことを確認しよう。
図1
1
2 – 2 変位の公式（暗記する）
変位（移動距離）は、
（変位）＝（速度）×（時間）である。図 2 を参照して、加速度がないとき( a = 0 )、速度
は初速度 v0 で一定であるので、時間 t で、x = v0×t だけ変位する（進む）
。図では、横軸（時間）
、縦軸（速度）
で囲まれた面積が移動距離に相当する。横軸（時間）の単位が[ s ]、縦軸（速度）の単位が[ m / s ]とすると、そ
の積は、単位が[ m ]となって距離に相当することを確認してみよう。
加速度が存在すると( a ≠ 0)、速度は時間で変化し、移動距離も図 3 のように、速度一定の場合と異なる。図
2 と同様に横軸（時間）と、縦軸（速度）で囲まれる面積が移動距離に沿うとすると考えると、図 2 の⾧方形の
上に乗った三角形の分だけ移動距離が変化することになる。三角形は、底辺が t [ s ]、高さが、at [ m / s ]の三角
形であるので、この部分の面積は、
となる。
となる。すなわち、図 3 の場合の移動距離は、
変位の公式
1
2
=
図2
図3
2
(2)
2 – 3 速度と初速度に関する、3 番目の公式
=2
は、以下のようにして、(1)式、(2)式から求めることができる。自分で計算することも可能だが、
余力があったら覚えておくほうが良い。
(1)式より、
これを、(2)式に代入すると、
=
=
=
1
2
2
2
=
2
=
よって、
2
(3)
=2
となる。(3)式は、平面内の運動において、時間があらわに含まれていない問題を解く場合に有効な式である。
3. 斜方投射
3 – 1 斜方投射の基本
平面内の運動は、結局のところ、水平方向と鉛直方向に分離して考えてしまえば、一次元の運動に帰着される。
斜めに物体を打ち上げる斜方投射が最も複雑な問題であるが、分離してしまえば、水平方向には等速直線運動、
鉛直方向には、鉛直投げ上げを行っているだけで、単純な問題に読み替えることができる。
図４
3
斜方投射の状況を図 4 に示す。t = 0 に、原点から角度、初速度 v0 で物体を投射する。上向きに y 軸の正の向
きを取り、投射前方に x 軸の正の向きを取る。このとき、重力加速度は下向き＝y 軸負の方向で、- g となる。運
動を水平方向（x 軸方向）
、鉛直方向（y 軸方向）に分離すると、x 軸方向の初速度は正方向に、v0 cos 、y 軸方向
の初速度は正方向に v0 sin  である。x 軸方向には加速度は働かず、y 軸方向に重力加速度のみ働く。したがって、
x 軸、y 軸方向それぞれについて、(1)、(2)式から、
=
=
(4-b)
cos
=
=
(4-a)
cos
sin
sin
(5-a)
1
2
(5-b)
となる。符号に注意すること。式を見ると、x 方向には、初速 v0 cos の等速直線運動、y 方向には、初速 v0 sin 
の、鉛直投げ上げと同じ運動を行っていることがわかる（図 5）
。
図5
3 – 2 斜方投射の頂点、落下位置
斜方投射で特徴的な点は、頂点と、再び地面に落ちてくる落下位置であるので、詳しく見てみよう。
（1）頂点
頂点は、y 軸方向の速度がゼロになる点である。まず、vy がゼロになる時間を求めて、次いで x 座標、y 座標を求
める。(5-a)式より、vy がゼロになるのは、
= 0 として、 =
sin
代入して、
=
=
である。この t を(4-a)、(5-a)式に
sin cos
(6-a)
sin
2
(6-b)
を得る。これが、頂点の位置となる。このとき速度は vx = v0 cos （不変）
、vy = 0 である。
4
（2）落下位置
落下位置は、y 座標が再びゼロになることから求めることができる。(5-b)式から、
=
1
2
sin
=0
とおいて、落下位置に到達する時間を求めることができる。変形して、
1
2
sin
=0
である。この式の t についての解は、t = 0 または、 =
である。t = 0 のとき y = 0 の解は、投射最初に原
点に物体があったことに相当するので、再落下の解としては不適当である。従って、再落下の時間は、
=
となる。このとき x の位置は、 =
2
sin
から、
cos
=
2
sin cos
(7)
となる。これが、物体の再落下点である。ちなみに、この t の時、物体の y 軸方向の速度 vy は、(5-a)式に、 =
を代入して、
=
sin
=
sin
である。スタート時の鉛直方向上向きの速度が、そのまま鉛直方向下向きの速度に代わっている。
（3）斜方投射の運動を図解する
以上で求めた、頂点の座標、再落下位置の x 座標、および、再落下位置での vy から、斜方投射の運動を描くと図
6 のようになる。
図6
5
3 – 3 最も遠くに物体を届かせるためには
斜方投射でよく聞かれる問題が、飛距離を最大にするときの角度である（g、v0 は一定）
。物体の落下位置は(7)
式で求めたとおりであるので、この式で記述される落下点が、最も遠くなるように考える。倍角の公式、
2 sin cos
= sin 2
を用いると、(7)式は、
sin 2
=
となる。この式は、2 = 90°、すなわち、 = 45°の時に最大値、
をとる。ボールを投げるときに、45°に
近い角度で投げるときに最も遠くなる理由である。
（実際には空気抵抗等の影響で、45°よりやや低い角度が適
しているようである）
。
（第 1 篇「力と運動」その１平面運動おわり）
6

Download Report