null

平成24年度応用数学II 定期試験問題時間85分出題者：岩谷素顕 1枚目/4枚中
学籍番号
氏名
注意事項：答えを導出する過程(計算式)も記述すること。ただしz=x+iyとする。
1. 次の値を求めなさい。
Relog1  i 



i   2 n  


4

log1  i   log  2e
  log 2  i  2n 
4



Imlog1  i 
Relog1  i  
Imlog1  i  

4
持ち込み許可物件:一切不可
評
点
(n:整数)
より
1
log 2
2
 2n
(n:整数)
99
2.
 1
1  i  の値を求めなさい。(6点)

 2

99
99
 4 i 
 4 i 
 1

1  i    e    e 

 2

 
 
96
3
3
i
 4 i 
1
2
12  2i  4
e   e


 1  i 
1
e



i

 
2
2
 
3. 次の式の値を求めよ。(6点)
tan i
cos i 
e 1  e1 e 2  1

2
2e
sin i  i
e2 1
2e
したがって、
e2  1
sin i
e2 1
2
e
tan i 

i 2
cos i e 2  1
e 1
2e
i
4. z=x+iyとした時に、Im(cos z)を求めなさい。(6点)
cos z  cos x  iy   cos x cosh y  i sin x sinh y
したがって、 Imcos z    sin x sinh y   sin x
e y  e y
2
平成24年度応用数学II 定期試験問題時間85分出題者：岩谷素顕 2枚目/4枚中
持ち込み許可物件:一切不可
5 次の関数をコーシー・リーマンの微分方程式を用いて微分しなさい。ただしz=x+iyとし、最終的にzの関数に変形しなさい。(8
点)
e 2iz
e 2iz  e 2i  x iy   e 2ix  2 y  e 2ix  e 2 y  e 2 y cos 2 x  i sin 2 x 
u  e 2 y cos 2、x, v  e 2 y sin 2 x
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)とするとき
u
 2e  2 y sin 2 x
x
とすると、u(x,y)、v(x,y)は連続な偏導関数を持つ。また、
v
 2e  2 y cos 2 x
x
v
 2e  2 y sin 2 x
y
u
 2e  2 y cos 2 x
y
よってコーシー・リーマンの微分方程式を満足しているため正則関数である。
また、その導関数は
u v
 i  2e  2 y sin 2 x  i 2e  2 y cos 2 x
x
x
2 y
 2ie cos 2 x  i sin 2 x   2ie 2ix e  2 y  2ie 2iz となる。
f ' ( z) 
6 次の微分方程式をラプラス変換を使って解け。(8点)
y  2 y  y  e  t
(初期条件t=0, y=0, y’=0)


1
1
 s 2  2s  1 Y s  
s 1
s 1
1
A
B
C
 Y s  



2
2
s  1s  1 s  1 s  1 s  1
y  2 y  y  e t  s 2Y s   2sY s   Y s  
A  s  1
1
s  1s  12
B  s  1
2
1
4

s  1
1
s  1s  12

s 1
d
1
2
C   s  1
s  1s  12
 ds
Y s  
1
2
  1

2
s 1 
  s  1

1

4
s 1 

1
1
1


2
4s  1 2s  1 4s  1
ラプラス逆変換すると
y
1 t 1 t 1 t 1 t 1 t
e  te  e  e  e 2t  1
4
2
4
4
4
ラプラス変換表
1
（Re(s)>0)
L1 
s
1
Lt   2 （Re(s)>0)
s
L tn 
 
n!
（Re(s)>0)
s n 1
 
1
（Re(s)>a)
sa
L e at 
 
1
（Re(s)>0)
s  ia
1
Lu t  a   e  sa （Re(s)>0)
s
L eiat 

（Re(s)>0)
s2   2
s
Lcos t   2
（Re(s)>0)
s 2

Lsinh t   2
（Re(s)>0)
s  2
Lsin t  
Lcosh t  




L e at sin t 
L e at cos t 
s
（Re(s)>0)
s  2
2

s  a 2   2 （Re(s)>a)
sa
s  a 2   2 （Re(s)>a)
逆ラプラス変換
1 
L1    1
s
1
L1  2   t
s 
 n! 
L1  n 1   t n
s 
 1 
at
L1 
e
s  a
 1  iat
L1 
e
 s  ia 
1

L1  e  sa   u t  a 
s

  
L1  2
 sin t
2
s  
 s 
L1  2
 cos t
2
s  
  
L1  2
 sinh t
2
 s   
 s 
L1  2
 cosh t
2
 s   



L1 
 e at sin t
2
2
 s  a    


sa
L1 
 e at cos t
2
2
 s  a    
平成24年度応用数学II 定期試験問題時間85分出題者：岩谷素顕 3枚目/4枚中
学籍番号
氏名
 Rez dz
7.
C
y
を計算せよ。ただし積分路は下図のように取ること。(8点)
C
f  z   Re z   t 2
2
2
0
0
x
4
2
t 4 t3 
8
2t  t i dt    i   8  i
3
 2 3 0
 Rez dz   t  2t  i dt   
2
C
O
dz
 2t  i
dt
C：z=t2+it (0≦t≦2)
y2=x
2i
持ち込み許可物件:一切不可
3
2

8. 次の積分を計算しなさい。ただし、各積分路はすべて正方向とし積分路は必ず図示すること。(8点)

C
1
dz C={z| |z-1|=1}
z i
2
z 2  i  0 とすれば、 z  e

 i
4
3
,e 4
i
i
このうち積分路内に存在する極は z  e
C

 i
4
x
であり、その留数は






 i
  i
1
1
1



Res f  e 4   lim  z  e 4 



3
3
 i
2  2i

 z e 4 
  z  e  4 i  z  e 4 i    e  4 i  e 4 i 


 



 




2  2i
4
よって、留数定理より

C
O
1
2
2i  2

2
1
dz 
z2  i
9. 次の方程式をzについて解け(8点)
sin-1i = z
両辺のsinを取れば
i  sin z
sin z  sin x cosh y  i cos x sinh y  i
より
sin x cosh y  0
①
cos x sinh y  1
②
①式より、cosh y≠0よりsin x=0 よって、x=n
x=nを②式に代入すると
 1n  sinh y  1
n
sinh y   1
より、
e y  e y
n
sinh y 
  1
2
n y
2y
e  2   1 e  1  0
e y   1 
n
 1   1   1
n 2
n
 2
ここでeyは0以上なので、 e y   1  2 は負になるため不適。したがって
n
e y   1  2
n
以上より、zは
⇔


y  log  1  2
z  n  i log  1  2
n
n


(n:整数)
平成24年度応用数学II 定期試験問題時間85分出題者：岩谷素顕 4枚目/4枚中
10. 次の積分を計算せよ。(8点)

2
0
1
cos   2
y
d
1
2
0
cos   2
f z  
i
C
x
cos をオイラーの定理を使ってz=ei (0≦<2)と書き換える。まず積分路は、
右図のように半径1の円になる。したがって、与えられた積分は、

持ち込み許可物件:一切不可
d  
C

1
1
1
2
1


dz
dz となる。
z  z 1
iz
i C z 2  4 z  1
2
2
1
1

z  4z 1 z  2  3 z  2  3
2
O


とおくと、f(z)は z   2  3 の2点で1位の極を持つが、積分路内には z  2  3 のみが積分路内に存在するので、そ
の留数を計算すると


1
Res f  2  3  lim  z  2  3

z  2  3
z2 3 z2 3 

1
1
1


 lim 



z  2  3 z  2  3

 2 3 2 3 2 3






よって求める積分は

1
2
0
cos   2
d 
2
1
2
1
2 2 3
dz


i




2
i C z 2  4 z  1
i
3
2 3
3
11. ezという関数を点z=πiを中心とするテイラー級数に展開せよ。また、求めた級数はどの範囲で展開可能か求めよ。(8点)
n 
i
f  z   e z とおくと f n   z   e z より、 f i   e  1

したがって、
1
z  i n  1  z  i   1 z  i 2    
2!
n  0 n!
e  
z

n
ダランベールの公式 S n  z     n  z  z0 
の形に照らし合わせると、  n
n 0
となり収束半径は ∞、すなわち全てのzで展開可能となる。

1
n!

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