微分方程式Ⅰ 参考資料 10

微分方程式Ⅰ
参考資料 10
2016 年度前期
工学部・未来科学部 2 年
担当: 原隆 (未来科学部数学系列・助教)
■ 行列の指数関数*1
定数係数連立微分方程式
{
( ′ ) (
)(
)
x (t)
x(t)
x′ (t) = ax + by
a b
⇔
=
· · · (∗)
y ′ (t) = cx + dy
c d
y ′ (t)
y(t)
(
)
(
)
a b
a−T
b
は、係数行列を A =
の特性多項式を ΦA (T ) = det
とおくと
c d
c
d−T
( ′)
( )
x
x
′
=
A
と表せる。このようにして見ると、連立微分方程式
(∗)
は微分方程式
y
=
ky
の
y′
y
「ベクトル版」と捉えることが出来るだろう。さて、微分方程式 y ′ = ky の一般解は y = ekx y(0) と
指数関数を用いて表された*2 。したがって連立微分方程式 (∗) の解も「行列の指数関数」etA を
(
)
x(t)
ベクトル
の左から掛ければ得られるのではないだろうか?
y(t)
定義 (行列の指数関数
))
(
連立一次方程式
x′ (t)
y ′ (t)
(
)
x(t)
=A
の解の基本系 ψ 1 (t), ψ 2 (t) が与えられたとき、行列 A の
y(t)
指数関数 etA を etA = (ψ 1 (t) ψ 2 (t))(ψ 1 (0) ψ 2 (0))−1 で定める。
(
)
x(t)
このとき
= C1 etA ψ 1 (0) + C2 etA ψ 2 (0) である。
y(t)
例
{
) ( )
1
1
(1) 連立微分方程式
の固有値は 0, 2 で、それぞれ固有ベクトル
,
′
−1
1
y (t) = x + y
( ) ( )
( )
1
1
1
を持つため (各自確認すること!)、解の基本系として e0·t
=
, e2t
が取れる。
−1
−1
1
(
)
1 1
したがって係数行列 A =
の指数関数は
1 1
x′ (t) = x + y
(
(
)(
)−1 (
) (
)−1
(
)
1 e2t + 1 e2t − 1
e2t
1 e2·0
1 e2t 1 1 −1
e =
=
=
e2t
−1 e2·0
−1 e2t 2 1 1
2 e2t − 1 e2t + 1
{
( ) ( )
x′ (t) = − y
−i
i
(2) 連立微分方程式
の固有値は −i, i で、それぞれ固有ベクトル
,
′
1
1
y (t) = x
(
) (
)
− sin t
cos t
を持つため (各自確認すること!)、解の基本系として
,
が取れる*3 。した
cos t
sin t
tA
*1
*2
*3
1
−1
時間の関係であまり深入り出来ません。詳細は笠原皓司著『新微分方程式対話』(日本評論社) 第 7 週や泉英明著『コ
ア・テキスト微分方程式』(サイエンス社) の 3.2 章などを参照して下さい。
ここで y(0) はいつもは C と書いていた「任意実数」のこと。実際、y = Cekt とおくと y(0) = C である。
参考資料 9 で扱ったようにオイラーの公式を用いて計算する。
(
がって係数行列 B =
e
tB
)
0 −1
1
の指数関数は
0
(
)(
− sin t cos t
− sin 0
=
cos t sin t
cos 0
{
cos 0
sin 0
)−1
(
)
(
)
0 −1
− sin t cos t 1
=
cos t sin t −1 −1 0
(
)
cos t − sin t
=
(回転行列)
sin t cos t
( )
1
(3) 連立微分方程式
の固有値は 1 (重根) で固有ベクトル
を持つため (各
′
1
y (t) = 2x − y
(
)( ) (
( ) ( t) ( )
)
2
−2
1
e
1
1
et + 2tet
t
t
t
自確認せよ!)、解の基本系として e
= t ,e
+ te
=
1
e
0
0
2tet
2 −2
(
)
3 −2
が取れる*4 。したがって係数行列 C =
の指数関数は
2 −1
∗
etC =
( t
e
et
x′ (t) = 3x − 2y
et + 2tet
2tet
)(
e0
e0
e0 + 2 · 0 · e0
2 · 0 · e0
)−1
=
( t
e
et
)
(
)
et + 2tet 1
0 −1
2tet
−1 −1 1
( t
)
e + 2tet
−2tet
=
2tet
et − 2tet
定理 (行列の指数関数のマクローリン展開)
etA = I2 + tA +
1
1
(tA)2 + (tA)3 + . . . . . .
2!
3!
が成り立つ。
【証明】連立微分方程式の解の存在と一意性定理を用いる。i = 1, 2 に対してベクトル値関数 ψ̃(t)
(
)
1
2
を ψ̃ i (t) = I2 + (tA) + (tA) + . . . . . . ψ i (0) と定めると、
2!
(
)
1
1
′
′
2
3
= (I2 ) + (tA) + (tA) + (tA) + . . . . . . ψ i (0)
2!
3!
(
)
(
)
1
1
= A + tA2 + t2 A3 + . . . . . . ψ i (0) = A I2 + tA + (tA)2 + . . . . . . ψ i (0) = Aψ̃ i (0)
2!
2!
( ′ )
(
) (
)
x (t)
x(t)
x(0)
より ψ̃ i (t) は初期値問題
=A
,
= ψ i (0) の解となる。一方で etA ψ i (0) も
′
y (t)
y(t)
y(0)
′
ψ̃ i (t)
同じ初期値問題の解なので、連立微分方程式の解の一意性定理より ψ̃ i (t) = etA ψ i (0) が成り立
つ。この等式を並べて書くと
)
(
1
1
2
3
e (ψ 1 (0) ψ 2 (0)) = I2 + tA + (tA) + (tA) + . . . . . . (ψ 1 (0) ψ 2 (0))
2!
3!
tA
となるので、右から (ψ 1 (0) ψ 2 (0))−1 を掛ければ良い (ψ 1 (0), ψ 2 (0) は線形独立となるように取っ
ていることに注意)。
*4
参考資料 9 のようにして無理矢理 2 つ作る。発展的。
□

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