2014 年度専攻科応用数学 II 自己チェックシート No.8(その 1) 専攻 · 学年学籍番号氏名 1. 確率空間 (Ω, F, P ) 上の確率変数 X, Y の同時分布関数の定義と性質, 周辺分布関数の定義を述べよ. 2. 確率空間 (Ω, F, P ) 上の確率変数 X, Y が独立であることの定義を述べよ. 3. 確率変数 X, Y に対して, X = (X, Y ) が絶対連続な分布に従うとはどういうことか. また, X = (X, Y ) の同時確率密度関数 fX,Y の性質を述べよ. また, X, Y のそれぞれの周辺確率密度関数 fX , fY は同時確率密度関数 fX,Y からどのように求めることができますか? 4. 確率変数 X, Y の同時確率密度関数が { x + y, (0 5 x, y 5 1) fX,Y (x, y) = 0, (その他) で与えられるものとする. このとき P (X ≤ Y ), P ((X, Y ) ∈ {(x, y)|x2 + y 2 ≤ 1, y = 0}) を求めよ. 5. 独立な確率変数 X, Y に対して, X = (X, Y ) が絶対連続な分布に従うとき, X + Y の確率密度関数は X, Y それぞれの確率密度関数 fX , fY を用いてどのように表現されますか? 専攻科応用数学 II 自己チェックシート No.8(その 2) 専攻 · 学年学籍番号氏名 6. X = (X, Y ) が次の同時確率密度関数をもつ確率ベクトルであるとき X は 2 次元正規分布に従うといわれる: [ { }] (x − µX )(y − µY ) (x − µX )2 (y − µY )2 1 1 √ fX,Y (x, y) = exp − − 2ρ + 2 σX σY 2(1 − ρ2 ) σX σY2 2πσX σY 1 − ρ2 2 このとき X の周辺確率密度関数 fX はパラメータ µX , σX の正規分布の確率密度関数 ( ) (x − µX )2 1 √ exp − 2 2 2σX 2πσX であることを示せ (レジメにヒントあり). 専攻科応用数学 II 自己チェックシート No.8(その 3 余力のある人のみ) 専攻 · 学年学籍番号氏名 7. X と Y は独立でそれぞれが自由度 1 の χ2 分布に従うとき, X + Y は自由度 2 の χ2 分布に従うことをイカの手順で示せ. (1) X + Y の確率密度関数 fX+Y について fX+Y (z) を積分を用いて表せ (Hint: fX (x) = 0 (x < 0), fY (y) (y < 0) にであることに注意して積分区間を考えよ). (2) u = zv で変数変換することによって −x/2 ( e) ( ) fX+Y (z) = 2Γ 1 Γ 1 2 2 ∫ 1 v −1/2 (1 − v)−1/2 dv 0 となることを示せ. ∫ 1 Γ(p)Γ(q) の関係式を用いて fX+Y (3) B(p, q) = tp−1 (1 − t)q−1 dt をベータ関数という. B(p, q) = Γ(p + q) 0 は自由度 2 の χ2 分布の確率密度関数であることを確かめよ. (4) X が自由度 1, Y が自由度 2 の場合もやってみよ.