第7回演習略解 (2016/6/29更新)

線形代数学 A 第 7 回演習略解
1 与えられた列ベクトルを並べた行列を行基本操作で変形すると




1 1 2
1 0 0




2 −1 1 ⇐⇒ 0 0 1
0 0 1
1 1 1


1 1 2


よって rank 2 −1 1 = 3 より，与えられた列ベクトルは 1 次独立．
1 1 1
2 拡大係数行列を行基本操作で変形すると




1 −1 1 2 1
1 0 0 0 2




2 −1 1 3 −1 ⇐⇒ 0 1 −1 0 −1
3 −1 1 2 3
0 0 0 1 −2
よって，与えられた連立方程式は以下と同値：
  

   
x1
2
0
2
x  x − 1
1 −1
 2  3

   
x1 = 2, x2 − x3 = −1, x4 = −2 ⇐⇒   = 
 = x3   +  
x3   x3 
1  0 
x4
−2
0
−2


 
2
0
−1
1
 
 
したがって，連立方程式の解は，特殊解   と基本解   を用いて次のように表せる:
0
1
−2
0
 
   
x1
0
2
x 
1 −1
 2
   
  = λ   +   (λは任意).
x3 
1  0 
x4
0
−2

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