線形代数学 A 第 5 回演習略解

線形代数学 A 第 5 回演習略解
1 (1) 拡大係数行列を行基本操作で変形する:



1 2 −1
1 2 −1 1

 r2 −2r1 
2 4 −4 2 ⇐==⇒ 0 0 −2
r3 −3r1
0 −1 2
3 5 −1 1



1 0 3 −3
1
r1 −2r2 
 r1 −3r3 
⇐====⇒ 0 1 −2 2  ⇐==⇒ 0
r2 +2r3
− 12 r3 ×r3
0 0 1
0
0





1 2 −1 1
1 2 −1 1
1

 r2 ↔r3 
 (−1)×r3 
0  ⇐===⇒ 0 0 −2 0 ⇐==⇒ 0 1 −2 2
0 0 −2 0
0 1 −2 2
−2

0 0 −3

1 0 2
0 1 0
よって，与えられた連立方程式の解は次のようになる:
x1 = −3, x2 = 2, x3 = 0.
(2) 拡大係数行列を行基本操作で変形する:



1 1
1
1 1 1 −2 2

 r2 −3r1 
⇐
=
=
⇒
0
−1
−2
3
2
1
−1
1



r3 −2r1
0 −1 −1
2 1 1 0 1



1 0 −1 3 −3
1
r1 −r2 
 r1 −r3 
⇐==⇒ 0 1 2 −5 5  ⇐==⇒ 0
r3 +r2
r2 −2r2
0 0 1 −1 2
0



−2 2
1 1
1 −2 2
 (−1)×r2 

5 −5 ⇐===⇒ 0 1
2 −5 5 
4 −3
0 −1 −1 4 −3

0 0 2 −1

1 0 −3 1 
0 1 −1 2
したがって，与えられた連立方程式は以下と同値:
x1 + 2x4 = −1, x2 − 3x4 = 1, x3 − x4 = 2
よって，連立方程式の解は次のようになる:
x1 = −2λ − 1, x2 = 3λ + 1, x3 = λ + 2, x4 = λ (λは任意)
(3) 拡大係数行列を行基本操作で変形する:

1
2


1
1
2
2
2
1
4
4
2
2
6
8
5
4






3
1 2
4
6
3
1 2
4
6
3
1






1
×r
−
2 r2 −2r1 0 −2 −4 −4 −4 2 2 0 1
2
2
2  r4 +r2 0
 ⇐==⇒ 
 ⇐==⇒ 
 ⇐===⇒ 
r
−r



0

3
1
0
0 0 −2 −1 −3
0 0 −2 −1 −3
r4 −r1
2
0 −1 −2 −2 −1
0 −1 −2 −2 −1
0
拡大係数行列の階数 = 4 ̸= 係数行列の階数 = 3 より，連立方程式は解を持たない．

2 4
6
3
1 2
2
2


0 −2 −1 −3
0 0
0
1

Download Report