第14回補充問題

（別紙）
力学２演義スタンダード問題 14（阿久津）（２０１６年７月１９日実施）補充問題
http://wwwacty.phys.sci.osaka-u.ac.jp/~acts/mechanics2/mechanics2.html#engi
補充問題：総合演習問題（番号は前回からの通し番号）
[補.12] （標準）ネーターの定理は何を主張しているのか述べよ。また、その適用例を具体的に示せ。
[補.13] （標準）「変数変換 {qi }, {pi } → {Qi }, {Pi } が正準変換であるための必要十分条件は、基本
ポアソン括弧が不変に保たれることである」ということが知られている。ここで言う、基本
ポアソン括弧が不変とは、性質 {Qi , Qj }q,p = 0, {Pi , Pj }q,p = 0, {Qi , Pj }q,p = δij が成り立つ、
ということである。このことを踏まえて、変数変換 q, p → Q = q α cos βp, P = q α sin βp が正
準変換となるための α, β に対する条件を求めよ。
[補.14] （やや難）張力一定の膜の微小振動が２次元波動方程式を満たすことを示せ。
[補.15] （やや難）
「球面上の２点を最短で結ぶ曲線は大円の一部である」ということを、ラグランジュ
未定乗数法をもちいた変分法で導出せよ。
（ヒント）まず、単位球面上の曲線上の点 x, y, z を
ある変数 t でパラーメータ化し（x = x(t), y = y(t), z = z(t)）、曲線の長さ ℓ を
∫ 1√
dx
ℓ=
ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 dt （ẋ =
, . . .）
dt
0
と表す。「単位球面上にある」という拘束条件を x(t)2 + y(t)2 + z(t)2 − 1 = 0 と表現し、ラ
グランジュ未定乗数 λ を導入して
∫ 1 {√
[
]}
ℓ̃ =
ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 − λ(t) x(t)2 + y(t)2 + z(t)2 − 1
dt
0
の変分問題を考える。中心力ポテンシャル中の力学の問題と近い問題となり、
「角運動量」に
相当する保存量の存在が言える。これから、解曲線が原点を通る平面上にあることが言え、
大円の一部となることが示される。

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