1 a; b; c は整数とする.次の問いに答えよ. (1) a; b がともに偶数ならば,a + b は偶数であることを示せ. (2) a; b がともに奇数ならば,ab は奇数であることを示せ. (3) a; b のうち少なくとも一方が偶数であることと,ab が偶数であることは同値であることを示せ. (4) ab; a + b がともに偶数ならば,a; b はど ちらも偶数であることを示せ. (5) abc; ab + bc + ca; a + b + c がすべて偶数ならば,a; b; c はすべて偶数であることを示せ. ( 埼玉大学 2016 ) 2 a を実数とする.x の方程式 log2 (x ¡ 3) = log4 (2x ¡ a) が異なる 2 つの実数解をもつための a の条件を求めなさい. ( 埼玉大学 2016 ) 3 a; b; c および d は実数で,a > 0,b < 0,d Ë 0 とする.また f(x) = ax + b; g(x) = x2 + cx + d p とおく.xyz 空間内に 3 点 P0 ,P1 ,P2 があり,点 O は原点を表す.点 P0 (¡4; 0; 4 3) は定点で,P1 と p P2 はそれぞれ実数 t の値に応じて定まる点 P1 (¡t; f(t); 2 3),P2 (t; g(t); 0) である.この 3 点 P0 , P1 ,P2 が次の 3 条件をみたしているとき,定数 a; b; c; d の値をすべて求めなさい. ¡! ¡! ¼ である. ‘ t = 0 のとき,ベクトル OP1 と OP2 のなす角は 3 p ¡! ’ ベクトル OP1 の長さの最小値は 14 である. “ 点 O,P0 ,P1 ,P2 は,t = 1 および t = ¡3 のとき,それぞれ同一平面上にある. ( 埼玉大学 2016 ) 4 a; b; p; q; r は実数とする.3 次方程式 x3 + px2 + qx + r = 0 の 3 つの解が (2a + 1)2 + (a ¡ b)i; (2a + 1)2 + (a2 + b + 1)i; (2a + 1)2 + (a2 + b ¡ 1)i p であるとき,p; q; r の値を求めなさい.ただし,i = ¡1 である. ( 埼玉大学 2016 ) 5 2 次関数 f(x) に対して,関数 F(x) を F(x) = Z x 0 f(t) dt と定める.方程式 F(x) = 0 は異なる 3 つの実数解をもつとする.これらの解のうち,最大の解と最小の 解の絶対値は一致する.このとき,2 次方程式 f(x) = 0 は異なる 2 つの実数解をもつことを示しなさい. ( 埼玉大学 2016 ) 6 3x ¡ 1 x2 + 4x + 1 とする.次の問いに答えよ. ; g(x) = x 3 +1 2(x2 + x + 1) f(x) = (1) g(f(x)) = f(2x + 1) が成り立つことを示せ. (2) 数列 fan g を a1 = 1; an+1 = 2an + 1 (n = 1; 2; 3; Ý) により定め,数列 fbn g を b1 = 1 ; 2 bn+1 = g(bn ) (n = 1; 2; 3; Ý) により定める. (ア)bn = f(an ) (n = 1; 2; 3; Ý) が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ. ( イ)数列 fan g; fbn g の一般項をそれぞれ求めよ. (ウ) lim bn を求めよ. n!1 ( 埼玉大学 2016 ) 7 次の問いに答えよ. (1) f(x) = x2 ex とする.x > 0 の範囲で f(x) が最小になる x の値と,そのときの f(x) の値を + 3x + 1 求めよ. 1 (x > 0) と 2 つの直線 `1 : y = 2ea x,`2 : y = (a2 + 3a + 1)x を考え x る.C と `1 と `2 で囲まれる部分を D とする. (2) a > 0 とする.曲線 C : y = (ア)C と `1 の交点,および,C と `2 の交点の座標を求めよ. ( イ)(1) を用いて 2ea > a2 + 3a + 1 であることを示せ.ただし,e = 2:7182Ý であることは用いてよい. (ウ)D の面積を a を用いて表せ. (エ)D の面積を最小にする a の値と,そのときの D の面積を求めよ. ( 埼玉大学 2016 ) 8 ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! 四面体 OABC において,OA = a ,OB = b ,OC = c とし,頂点 O から 4ABC を含む平面に下ろし た垂線の足を H とする.また,四面体 OABC は ¡ ! ¡ ! ¡ ! a = b = c = 1; ÎAOB = ÎBOC = を満たすものとし,ÎAOC = µ #0 < µ < ¼ 3 2 ¼; とする.次の問いに答えよ. 3 ¡! ¡! (1) 内積 BA ¢ BC を求めよ. (2) 4ABC の面積を求めよ. ¡! ¡ ! ¡ ! ¡ ! (3) OH = s a + t b + u c を満たす s; t; u を求めよ. ¡! (4) OH を求めよ. 2 ¼ のとき,四面体 OABC の体積の最大値を求めよ. (5) 0 < µ < 3 ( 埼玉大学 2016 )
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