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学籍番号
『振動と波動』小テスト
氏
名
評点
【問題】右図に示すような一端固定・他端単純支持のはりの 1 次固有振動数  をレイリーの方法によ
って次の手順で求めよ。
固定端
単純支持
なお、このはりは一様断面で、その単位体積質量は w，断面積
A
B
x
は A，曲げ剛性は EI，長さは  とする。

また、はりの左端（固定端）を原点とし、部材軸方向に x 軸、
部材軸直角・鉛直下方向に y 軸を採るはりに関する一般的な座標
系を用いて、変位関数として、 y  x   x
(1) 運動エネルギーの最大値 K max 
2
 x    を仮定する。
1 2 
 wA  y 2 ( x) dx を求めよ。
2 0

(2) ひずみエネルギーの最大値 Vmax

(3) Kmax = Vmax より、  
2




0

y
2

 d2y 
1 M2
1
 
dx   EI   2  dx を求めよ。
2 0 EI
2 0
 dx 
2
 d2y 
EI   2  dx
 dx 

0
wA  y ( x) dx
2
を用いて、このはりの 1 次固有円振動数  を求めよ。
(4) 一端固定・他端単純支持のはりの 1 次固有振動数の厳密解  0 は、
 3.9266023
0 
2

2
EI
で与えられる。
wA
そこで、このレイリーの方法による誤差は何％か。
【解答】
【解答】
変位関数は、y  x   x
 x     x3  x 2 だから、事前に必要なものを計算しておくと次のようになる。
y  x   3 x 2  2x ， y  x   6 x  2  2  3 x    ，
2
2
y 2  x   x 4  x     x 6  2x5   2 x 4 ， y2  x   4  3 x     4  9 x 2  6x   2 
2
1 2 
  wA  y 2 ( x) dx を求める。
0
2
(1) 運動エネルギーの最大値 K max 

wA 2  x 7 x 6  2 x 5 
wA 7 2 15  35  21 wA 7 2 1
  
 
 
K max 



2
3
5  0
2
105
2
105
7
1 2
1
1 2
7

 wA 7
∴ K max   wA 
2
105 210

(2) ひずみエネルギーの最大値 Vmax
Vmax 
1 M2
dx 
 

2 0 EI

2
 d2y 
1
 2  dx を求める。
EI


2 0
 dx 

EI
 4 3 x 3  3x 2   2 x   2 EI 3  3  3  1  2 EI 3
0
2
または、

3
EI   3x    
2 EI 
2 EI
2 EI  93
3
3
3
3
Vmax 
4
2       
8




 2 EI 3
 





2  3  3 
9
9
9
0
1
3
3
∴ Vmax  EI   4  2 EI 
2
(3) Kmax = Vmax より、
2 
2 EI 3
420 EI
 4 
7
wA
1
 wA

2 105
∴ 
2 105
EI

2
wA

(4) 一端固定・他端単純支持のはりの 1 次固有振動数の厳密解  0 は、
 3.9266023
0 
2

厳密解  0 と比較すると、
2
EI
で与えられる。
wA

2 105

 1.3292  1.33
0  3.92660232
∴ 誤差 = 約 33％

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