1 3 x; y を正の整数とする. (1) 17x ¡ 36y = 1 となる最小の x は ア (2) 17x3 ¡ 36y = 1 となる最小の x は イ である. ¡ ! ¡ ! 三角形 ABC に対して,ベクトル p ; q を ¡ ! p = (sin A; sin B); ¡ ! q = (cos B; cos A) である. とするとき ¡ ! ¡ ! p ¢ q = sin 2C が成り立つ.以下の問に答えよ. (1) 角 C の大きさは エ オ ¼ である. (2) sin A; sin C; sin B はこの順で等差数列をなし,かつ, 2 ア ∼ エ ¡! ¡! ¡! CA ¢ (AB ¡ AC) = 32 にあてはまる数または式を記入せよ. (1) 2100 を 2016 で割った余りは ア である. であるとき,辺 AB の長さは (2) a; b を正の整数とする.方程式 カ である. 2x3 ¡ ax2 + bx + 3 = 0 が,1 以上の有理数の解を持つような a の最小値は イ である. (3) 正 2016 角形 P がある.頂点がすべて P の頂点であるような正多角形は全部で ただし,頂点の異なる正多角形は異なるものとする. (4) % 2016 P k=1 k sin (2k ¡ 1)¼ ¼ = sin = 2016 2016 エ ウ 個ある. 4 f(x) を f(x) = Z x 0 t ¡ 2 dt とする.ただし x = 0 とする. 関数 y = f(x) のグラフと x 軸,x = 1,x = 4 で囲まれる部分の面積は ナ ニ である. 5 同じ大きさのカードが 8 枚ある.カード それぞれに 1 から 8 までの整数がひとつ書かれており, それぞれの整数は 1 枚にのみ書かれている.壺にこれら 8 枚のカード を入れる. (1) この壺から無作為に 3 枚のカード を同時に引く.引いたカード の 2 枚には,1; 2; 3 のうちの どれかふたつの数字が書かれており,かつ,残りの 1 枚には,4 から 8 までのどれかひとつの数 字が書かれている確率は チ である. (2) (1) で引いたカードをすべて壺に戻す.壺から無作為に 3 枚のカードを同時に引き,それらを戻 さずに,続けて無作為に 2 枚のカード を同時に引く.最初に引いた 3 枚のカードには,1; 2; 3 のうちのどれかふたつの数字と,4 から 8 までのどれかひとつの数字が書かれており,かつ,最 6 次の不等式 p 1 (1 + log p n 3) Ý 1 + log p x (n 2 ) < logn x < 2 を満たす自然数 n と実数 x について,以下の問に答えよ. (1) 次の空欄にあてはまる数を記入せよ. ア p t = logn x とおく.このとき,1 + log p x (n 2 ) = 1 + ,logn x = t p 2 p る.したがって,不等式 1 + log x (n ) < logn x が満たされることは, ウ 後に引いた 2 枚のカードには,7; 8 のうちのどれかひとつの数字と,1 から 6 までのどれかひと つの数字が書かれている確率は ツ である. (3) (2) で引いたカードをすべて壺に戻す.次に,8 個の箱を横に並べ,左から順に 1 から 8 までの 番号をつける.壺から 1 枚ずつカード を無作為に引き,引いた順番と同じ番号の箱にカード を 入れていく.例えば,3 枚目に引いたカードは番号 3 の箱に入れる.このとき,奇数が書かれて いるすべてのカード( 1; 3; 5; 7 の 4 枚)は,カード の数字と同じ番号の箱に入り,かつ,偶 数が書かれているすべてのカード( 2; 4; 6; 8 の 4 枚)は,カード の数字と異なる番号の箱に 入っている確率は テ である. (¤) <t< エ または t > オ であることと同値である. (2) x も自然数であるとき,不等式 (¤) を満たす組 (n; x) をすべて求めよ. イ £ t であ 7 8 以下の問に答えよ. `に 4点 (1) 次の空欄にあてはまる式または数を記入せよ. ¼ ; とするとき,長 2 のとき最大面積 ウ をとる. 半径 1 の円 O に内接する長方形 ABCD がある.角 OAB を x #0 < x < 方形 ABCD の面積は ア となる.したがって,x = イ A(1; 1; ¡1); (OA0 )2 = (p + (k = 1; 2; Ý; n; n = 3 ; ただし,An+1 = A1 ; An+2 = A2 ) がすべて ® (0 < ® < ¼) に等しいとする.このとき,次の問に答えよ. (k C(¡1; 1; 1); D(¡1; ¡1; ¡1) ヌ q+ ネ r)2 であり 1; 2; Ý; n) は 弧 Ak Ak+1 の 長さを 表すと す る .角 OAk Ak+1 = ¼ ; とおくとき,ak ,ak+1 および ak + ak+1 を,µk ,® を用いて表せ. µk #0 < µk < 2 ’ n が奇数のとき,n 角形 A1 A2 ÝAn は正 n 角形となることを示せ. ‘ ak B(1; ¡1; 1); から,それぞれ垂線 AA0 ,BB0 ,CC0 ,DD0 を下ろすとき (2) 半径 1 の円 O に内接する n 角形 A1 A2 ÝAn の内角 Ak Ak+1 Ak+2 2 点 O(0; 0; 0),P(p; q; r) を通る直線を ` とする.ただし p2 + q2 + r2 = 1 とする.直線 = (OA0 )2 + (OB0 )2 + (OC0 )2 + (OD0 )2 = ノ である. “ n が偶数のとき,µ1 = µ3 = Ý = µn¡1 を示せ.さらに,その等しい角を µ とおいて,n 角 形 A1 A2 ÝAn の面積 Sn (µ) を ®,µ を用いて表せ. ” ® を n の式で表し,“ における Sn (µ) の最大値とそのときの µ を n の式で表せ. 9 xy 平面上の原点を中心とする単位円を底面とし ,点 P(t; 0; 1) を頂点とする円錐を K とす る.t が ¡1 5 t 5 1 の範囲を動くとき,円錐 K の表面および 内部が通過する部分の体積は ¼+ ナ である. ニ 10 正の定数 a に対して,f(x) = ax3 ¡(2a¡1)x2 ¡(5a+1)x+6(a¡1) とする.関数 y = f(x) のグラフは x 軸とちょうど 2 つの共有点をもつ.これらの共有点のうち,x 座標の値が大きい 方の点の座標は ( x= タ チ ス ; 0) であり,a = のときである. セ ソ である.また,f(x) が極小値をとるのは,
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