1
3
x; y を正の整数とする．
(1) 17x ¡ 36y = 1 となる最小の x は
ア
(2) 17x3 ¡ 36y = 1 となる最小の x は
イ
である．
¡
! ¡
!
三角形 ABC に対して，ベクトル p ; q を
¡
!
p = (sin A; sin B);
¡
!
q = (cos B; cos A)
である．
とするとき
¡
! ¡
!
p ¢ q = sin 2C
が成り立つ．以下の問に答えよ．
(1) 角 C の大きさは
エ
オ
¼ である．
(2) sin A; sin C; sin B はこの順で等差数列をなし，かつ，
2
ア
∼
エ
¡! ¡! ¡!
CA ¢ (AB ¡ AC) = 32
にあてはまる数または式を記入せよ．
(1) 2100 を 2016 で割った余りは
ア
である．
であるとき，辺 AB の長さは
(2) a; b を正の整数とする．方程式
カ
である．
2x3 ¡ ax2 + bx + 3 = 0
が，1 以上の有理数の解を持つような a の最小値は
イ
である．
(3) 正 2016 角形 P がある．頂点がすべて P の頂点であるような正多角形は全部で
ただし，頂点の異なる正多角形は異なるものとする．
(4) %
2016
P
k=1
k sin
(2k ¡ 1)¼
¼
= sin
=
2016
2016
エ
ウ
個ある．
4
f(x) を
f(x) =
Z
x
0
t ¡ 2 dt
とする．ただし x = 0 とする．
関数 y = f(x) のグラフと x 軸，x = 1，x = 4 で囲まれる部分の面積は
ナ
ニ
である．
5
同じ大きさのカードが 8 枚ある．カード それぞれに 1 から 8 までの整数がひとつ書かれており，
それぞれの整数は 1 枚にのみ書かれている．壺にこれら 8 枚のカード を入れる．
(1) この壺から無作為に 3 枚のカード を同時に引く．引いたカード の 2 枚には，1; 2; 3 のうちの
どれかふたつの数字が書かれており，かつ，残りの 1 枚には，4 から 8 までのどれかひとつの数
字が書かれている確率は
チ
である．
(2) (1) で引いたカードをすべて壺に戻す．壺から無作為に 3 枚のカードを同時に引き，それらを戻
さずに，続けて無作為に 2 枚のカード を同時に引く．最初に引いた 3 枚のカードには，1; 2; 3
のうちのどれかふたつの数字と，4 から 8 までのどれかひとつの数字が書かれており，かつ，最
6
次の不等式
p
1
(1 + log p n 3) Ý
1 + log p x (n 2 ) < logn x <
2
を満たす自然数 n と実数 x について，以下の問に答えよ．
(1) 次の空欄にあてはまる数を記入せよ．
ア
p
t = logn x とおく．このとき，1 + log p x (n 2 ) = 1 +
，logn x =
t
p
2
p
る．したがって，不等式 1 + log x (n ) < logn x が満たされることは，
ウ
後に引いた 2 枚のカードには，7; 8 のうちのどれかひとつの数字と，1 から 6 までのどれかひと
つの数字が書かれている確率は
ツ
である．
(3) (2) で引いたカードをすべて壺に戻す．次に，8 個の箱を横に並べ，左から順に 1 から 8 までの
番号をつける．壺から 1 枚ずつカード を無作為に引き，引いた順番と同じ番号の箱にカード を
入れていく．例えば，3 枚目に引いたカードは番号 3 の箱に入れる．このとき，奇数が書かれて
いるすべてのカード（ 1; 3; 5; 7 の 4 枚）は，カード の数字と同じ番号の箱に入り，かつ，偶
数が書かれているすべてのカード（ 2; 4; 6; 8 の 4 枚）は，カード の数字と異なる番号の箱に
入っている確率は
テ
である．
(¤)
<t<
エ
または t >
オ
であることと同値である．
(2) x も自然数であるとき，不等式 (¤) を満たす組 (n; x) をすべて求めよ．
イ
£ t であ
7
8
以下の問に答えよ．
`に 4点
(1) 次の空欄にあてはまる式または数を記入せよ．
¼
; とするとき，長
2
のとき最大面積 ウ をとる．
半径 1 の円 O に内接する長方形 ABCD がある．角 OAB を x #0 < x <
方形 ABCD の面積は
ア
となる．したがって，x =
イ
A(1; 1; ¡1);
(OA0 )2 = (p +
(k = 1; 2; Ý; n; n = 3 ; ただし，An+1 = A1 ; An+2 = A2 )
がすべて ® (0 < ® < ¼) に等しいとする．このとき，次の問に答えよ．
(k
C(¡1; 1; 1);
D(¡1; ¡1; ¡1)
ヌ
q+
ネ
r)2
であり
1; 2; Ý; n) は 弧 Ak Ak+1 の 長さを 表すと す る ．角 OAk Ak+1 =
¼
; とおくとき，ak ，ak+1 および ak + ak+1 を，µk ，® を用いて表せ．
µk #0 < µk <
2
’ n が奇数のとき，n 角形 A1 A2 ÝAn は正 n 角形となることを示せ．
‘ ak
B(1; ¡1; 1);
から，それぞれ垂線 AA0 ，BB0 ，CC0 ，DD0 を下ろすとき
(2) 半径 1 の円 O に内接する n 角形 A1 A2 ÝAn の内角
Ak Ak+1 Ak+2
2 点 O(0; 0; 0)，P(p; q; r) を通る直線を ` とする．ただし p2 + q2 + r2 = 1 とする．直線
=
(OA0 )2 + (OB0 )2 + (OC0 )2 + (OD0 )2 =
ノ
である．
“ n が偶数のとき，µ1 = µ3 = Ý = µn¡1 を示せ．さらに，その等しい角を µ とおいて，n 角
形 A1 A2 ÝAn の面積 Sn (µ) を ®，µ を用いて表せ．
” ® を n の式で表し，“ における Sn (µ) の最大値とそのときの µ を n の式で表せ．
9
xy 平面上の原点を中心とする単位円を底面とし ，点 P(t; 0; 1) を頂点とする円錐を K とす
る．t が ¡1 5 t 5 1 の範囲を動くとき，円錐 K の表面および 内部が通過する部分の体積は
¼+ ナ
である．
ニ
10 正の定数 a に対して，f(x) = ax3 ¡(2a¡1)x2 ¡(5a+1)x+6(a¡1) とする．関数 y = f(x)
のグラフは x 軸とちょうど 2 つの共有点をもつ．これらの共有点のうち，x 座標の値が大きい
方の点の座標は (
x=
タ
チ
ス
; 0) であり，a =
のときである．
セ
ソ
である．また，f(x) が極小値をとるのは，

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