n 2 + 1 - SUUGAKU.JP

年番号
1
4
4 個の整数
n + 1;
n 3 + 3;
n 5 + 5;
氏名
1 辺の長さが 1 の正六角形において，頂点を反時計回りに P1 ，P2 ，P3 ，P4 ，P5 ，P6 とする．1
個のさいころを 2 回投げて，出た目を順に j; k とする．P1 ，Pj ，Pk が異なる 3 点となるとき，
n7 + 7
この 3 点を頂点とする三角形の面積を S とする．P1 ，Pj ，Pk が異なる 3 点とならないときは，
S = 0 と定める．次の問いに答えよ．
がすべて素数となるような正の整数 n は存在しない．これを証明せよ．
（大阪大学 2013 ）
(1) S > 0 となる確率を求めよ．
(2) S が最大となる確率を求めよ．
(3) S の期待値を求めよ．
（広島大学 2014 ）
2
`; m; n を 3 以上の整数とする．等式
#
5
n
n
¡
+ 1; ` = 2
m
2
図のような 3 辺の長さをもつ三角形 ABC がある．
A
を満たす `; m; n の組をすべて求めよ．
4
（大阪大学 2010 ）
B
3
6
C
次の問いに答えよ．
正六角形の頂点を反時計回りに P1 ，P2 ，P3 ，P4 ，P5 ，P6 とする．1 個のさいころを 2 回投げて，
出た目を順に j; k とする．次の問いに答えよ．
5
(1) 45± < ÎB < 60± を証明せよ．
(1) P1 ，Pj ，Pk が異なる 3 点となる確率を求めよ．
(2) ÎA = 2 Î C を証明せよ．
(2) P1 ，Pj ，Pk が正三角形の 3 頂点となる確率を求めよ．
(3) 40± < ÎC < 45± を証明せよ．
(3) P1 ，Pj ，Pk が直角三角形の 3 頂点となる確率を求めよ．
（広島大学 2012 ）
（広島大学 2014 ）
6
m を 2015 以下の正の整数とする．2015 Cm が偶数となる最小の m を求めよ．
（東京大学 2015 ）

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