Problems

物理学 I 期末試験
（2015 年 8 月 5 日実施）
問題 1
x-y 平面上で運動する質量 m の物体に働く力が (m/y, −mx/y2 ) で表されるとき，力は保存
力である（ポテンシャルを持つ）ことを示し，ポテンシャルと運動エネルギーの和が保存すること
を証明せよ．
問題 2
惑星が楕円軌道を描きながら太陽の周りを公転するとき，太陽と惑星を結ぶ線が単位時間
に通過する面積を面積速度と呼ぶ．次の問いに答えよ．
(1) 面積速度を，太陽から惑星までの距離 r および公転の角速度 ω を用いて表わせ．
(2) 惑星が太陽からの万有引力しか受けないとき，面積速度が一定となることを示せ．
問題 3
半径 R，中心角 ϕ，厚さ B，質量 M の扇形の板を，要の部分を中心としてつり合いの位置
から板の面と平行に微小振動させた時の周期を，次の要領で求めよ．
(1) 扇形の重心の位置を求めよ．
(2) 扇形の要の部分を中心にした慣性モーメントを求めよ．
(3) 扇形の要の部分を中心に自由に回転できるようにすると，扇形は弧の部分を下向きにして静
止する．この状態から微小な角度 θ だけ動かした時の運動方程式を書け．
(4) 運動方程式の一般解と振動の周期を求めよ．
問題 4
右下の図のように底の付いた円筒状の容器を水で満たした状態で水槽の中に逆さに立て
る．円筒容器の中の圧力について次の問いに答えよ．
(1) 図中の破線を流線と考えてそれに沿ってベルヌーイの定理を
適用し，円筒内の圧力の鉛直分布を求めよ．大気圧を pa と
し，水面からの高さを z とせよ．
z
2
(2) 大気圧が 980 hP (= 98,000 Pa (N/m )) であるとき（台風か？），
円筒内部の水面から 5 m の高さのところの圧力を求めよ．水
の密度は 1,000 kg/m3 ，重力加速度は 9.8 m/s2 である．
pa
(3) 圧力は 0 Pa 以下にはなれず，0 Pa に達すると真空状態の空洞
が発生する．円筒内部に真空状態の空洞が発生する円筒の高
さを求めよ．
問題 5
ある媒質の 1 点で生じた振動数 50 Hz，振幅 10 cm の単振動が，ある方向に波の速さ 1 m
で伝わっている．
(1) 伝搬方向へ 10 m 離れた点はどんな振動をするか．
(2) 同じ振動数および振幅を持ち，同じ波の速さで逆方向に伝搬する波と重なりあうとどのよう
な波となるか．波の式を導け．

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