第2回

2．2 無損失線路の電圧と電流
2.2.1 無損失線路
線路長ｌの伝送線路受端に

インピーダンス Z L を接続する。
R=G(1/R)=0，LとCは既知とする。


受端電圧 V L 電流 I L とすると



VL  ZL IL
2.2.2 伝送定数と特性インピーダンス

R  jL G  jC  | R G 0 

j LC
α=0(Np/m)，β=  LC (rad/m)
(2.21)
(2.22)
R  j L
L
Z0 
| R G  0 
Ω→無損失線路の特性インピーダンスは純抵抗
G  j C
C
(2.23)
2.2.3 無損失線路上の電圧と電流
送端から距離zの点Pでの電流と電圧
分布定数線路の基本式でα=0と置く



V ( z )  V 1 e  jz  V 2 e jz



V 1  jz V 2 jz
I ( z) 
e

e
Z0
Z0
(2.24)
[1]境界条件
受端(z=l)での電圧



VL  V 1 e  jl  V 2 e jl



V L電流 I L を(2.24)に代入
(2.25)


IL 

V 1  jl V 2 jl
e

e
Z0
Z0
(2.26)

積分定数 V1 ,V2 を(2.25)より導く。(2.26)の両辺にZ0をかけ(2.25)を加える


Z0 I L  V 1 e


 jl
VL  V 1 e
+

 V 2 e jl
 jl

 V 2 e jl


→ Z 0 I L  V L  2V 1 e  jl → V 1  Z 0 I L  V L e jl




2
(2.25)を引くと


Z0 I L  V 1 e
－


 j l
VL  V 1 e
 jl

 V 2 e j l

V 2 e
jl


V1 ( z )  V 1 e

I 1 ( z) 
 jz

V 1  jz
e
Z0

V 2 ( z )  V 2 e jz


I 2 ( z)  


2
[2] 入射波と反射波



→ Z 0 I L  V L  2V 2 e jl → V 2   Z 0 I L  V L e  jl


V 2 jz
e
Z0
(2.28)
(2.27)
入射波：z軸の正の方向に
速度v=ω/βで伝播する進行波
(電源側から負荷側に進む)
反射波：z軸の負の方向に
速度v=ω/βで伝播する進行波
(負荷側から電源側に進む)
v

1


LC
(2.29)
β=  LC




入射波の電圧 V1 ( z) と電流 I 1 ( z) は同相
反射波の電圧 V2 ( z ) と電流 I 2 ( z ) は逆相
2.2.4 無損失線路における電力の関係


送端から距離zの点Pでの電圧と電流が V (z ) I (z ) のとき，点Pでの伝送
電力は



Pz   Re V ( z ) I * ( z )


(2.30)
P(z)は点Pの瞬時電力の1周期Tにわたる時間平均
Pz  
1
T
 vz, t i * z, t dt
T
0


(2.24)の電圧 V (z )と電流 I (z )を(2.30)の右辺に代入


 



V
V




Re V 1 e  jz  V 2 e  jz  1 e  jz  2 e jz 
Z0

 Z 0





V1  V1e
j1

V2  V2 e j2
とおくと
*
2

 V1
V2

(2.31)


Z0
 Z0




Pz   Re V ( z ) I * ( z )


   j z   j  z 
j   z 
V 2 e
 V2 e j 2  z 
V 1 e
  V1e 1




 V1  jz V2 jz  V1 j 1  z  V2 j 2  z 
 e 
e
 e
 Z e
Z0
Z0
 Z0
 0


2




V ( z)  V 1 e


 jz
(2.30)

 V 2 e jz

V 1  jz V 2 jz
I ( z) 
e

e
Z0
Z0
(2.24)
*

 

V1  j 1  z  V2  j 2  z 
 V1  jz V2 jz 
e

e

e

e
 Z

Z
Z
Z
0
0
0
 0

 V1  j 1  z  V2  j 2  z  
 e
V1e
 V2 e
 e

Z
Z
0
 0

V12 V22 V1V2 j 2 1  2 z  V1V2  j 2 1  2 z  
 

e

e

Z
Z
Z
Z
0
0
0
 0


j 1  z 
j  2  z 

（第3項と第4項は共役：
実数部同士の差は0）
2


V1
Pi 
2
V2
Pr 
Z0
Z0
(2.32)
Piは入射電力，Prは反射電力で，伝送電力はP=Pi-Pr
電力差が負荷に供給される。
伝送線路で最大の電力を負荷に供給するためには，反射波を0にする
必要がある。
例題2.6 Z0=50Ωの無損失伝送線路で，入射波と反射波の実効値が
それぞれ1Vと0.5Vのとき，負荷に供給される電力は

2

V1
Z0
2
V2

Z0

1 0.25

 15mW
50 50
2.2.5 無損失線路における電力の関係
（受信端からの距離dによる表示）


V ( z)  V 1 e

I ( z) 
 jz

 V 2 e jz


V 1  jz V 2 jz
e

e
Z0
Z0




Z 0 I L  V L jl V 2   Z 0 I L  V L e  jl
V1 
e
2
2


を代入し，基準を受端にとる（原点をl右側に移動：P点はz－l＜0）




V L  Z 0 I L j l  z  V L  Z 0 I L  j l  z 
V ( z) 
e

e
2
2






V (d )  V i e
(2.33)
V L  Z 0 I L j l  z  V L  Z 0 I L  j l  z 
I ( z) 
e

e
2Z 0
2Z 0




I (d ) 

Vi 
j d


 V r e  j d
(2.34)

V i jd V r  jd
e 
e
Z0
Z0



V L  Z0 I L
V L  Z0 I L
,Vr 
2
2

(2.35)
(2.33)(2.34)の第1項はd軸の負方向(右方向)に伝播する進行波(入射波)
第2項はd軸の正方向(左方向)に伝播する進行波(反射波)
例題2.7


式(2.34)の V (d ) と I (d )から伝送電力を計算すると

2
2

Vi



P  Re V (d ) I (d ) 

Z0

 Z0

*



(2.35)の Vと
Vに対して
i
r


Vr  Vi
2

Vi
Z0
Vr

Z0
2


 0 。よって Vr  Vi
j d

 V r e  j d



V i jd V r  jd
I (d ) 
e 
e
Z0
Z0
(2.34)
が成り立つことの証明
電力が負荷に供給されている場合


V (d )  V i e
Vr

Vi 




V L  Z0 I L
V L  Z0 I L
,Vr 
2
2

(2.35)
2.2.6 無損失線路とインピーダンス
線路の受端から距離dの点Pで
負荷側を見たインピーダンス






V L  Z 0 I L jd V L  Z 0 I L  jd
e 
e
2
2

V (d ) 


V L  Z0 I L
cos d  j sin d   V L  Z 0 I L cos d  j sin d 
2
2


 V L cos d  jZ 0 I L sin d

I (d ) 






(2.36)

V L  Z 0 I L jd V L  Z 0 I L  jd
e 
e
2Z 0
2Z 0


V L  Z0 I L
cos d  j sin d   V L  Z 0 I L cos d  j sin d 
2Z 0
2Z 0


VL
 I L cos d  j
sin d
(2.36)
Z
0




V d  V L cos d  jZ0 I L sin d
Z (d )  

(2.37)


I d 
VL
I L cos d  j
sin d
Z




を代入すると
VL  ZL IL


Z (d ) 


Z L I L cos d  jZ 0 I L sin d


I L cos d  j

ZL IL
sin d
Z0

 Z0
Z L cos d  jZ 0 sin d

Z 0 cos d  j Z L sin d

 Z0
Z L  jZ 0 tan d

Z 0  j Z L tan d
(2.38)
d=lとおくと Z (d ) は線路の送端から負荷側を見た線路の入力インピーダ
ンス


例題2.8 l=λ/4の特性インピーダンスZ0Ωの無損失線路に Z L の負荷を
接続したときの入力インピーダンスは




Z in  Z 0

Z L  jZ 0 tan d

Z 0  j Z L tan d

 Z0
V d  V L cos d  jZ0 I L sin d
Z (d )  



I d 
VL
I L cos d  j
sin d
Z0
2
Z0

2  
l 
  tan l  
 4 2
Z L / tan d  jZ 0

Z 0 / tan d  j Z L


ZL
2.2.7 無損失線路のインピーダンスの例

[1] 整合が取れた線路
Z  jZ0 tan d

Z (d )  Z 0 0
 Z 0 (2.40)
整合： Z L  Z 0 (2.39)
Z 0  jZ0 tan d
線路上のすべての点で特性インピーダンス：Z 0 に等しい。
反射波の係数は

Vr 




V L  Z0 I L Z L I L  Z0 I L

0
2
2
負荷に最大の電力が供給される。
[2] 受端開放線路

ZL 

Z o (d )  Z 0
1  jZ 0 / Z L tan d

Z 0 / Z L  j tan d
  jZ0 cot d
Z o (d ) は0<d<λ/4で容量性，
d＝λ/4で直列共振，
λ/4<d<λ/2で誘導性，
d＝λ/2で並列共振となり，
λ/2で繰り返される。
[3] 受端短絡線路
ZL 0
Z  jL 
1
1 

 j  L 
0
jC
C 

並列共振
Y



直列共振
(2.41)
1
1
1 

 jC 
 j  C 
0
Z
jL

L




Z s (d )  Z 0
Z L  jZ 0 tan d

Z 0  j Z L tan d
 Z0
jZ 0 tan d
 jZ 0 tan d
Z0
(2.42)

Z s (d ) は0<d<λ/4で誘導性，d＝λ/4で並列共振，λ/4<d<λ/2で容量性，d
＝λ/2で直列共振となり，λ/2で繰り返される。
例題2.9 (2.41)と(2.42)の両辺の積を取ると負荷を短絡，開放したとき
の入力インピーダンスから線路の特性インピーダンスが求められる。


Z   jZ0 cot d
o
Z  jZ0 tan d
s



Z Z Z
o
s
2
0

Z0  Z Z s
o

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