2 Logr + i(2θ + 4nπ) (n ∈ Z)

複素関数論第 5 回小テスト解答例
担当: 南
問. z ̸= 0 (z ∈ C) とするとき、2 つの関数
( )
log z 2 ,
2 log z
が等しいかどうかを調べたい。以下の問いに順に答えよ。
(1) z = reiθ (r, θ ∈ R) とおくとき、z 2 を極形式で表せ。
z2 =
r2e2iθ
( )
(2) log z 2 を r と θ を用い、実部と虚部に分けて記せ。log の多価性に注意し、実対数関数は
Log で記すこと。
(
)
( )
log z 2 = log r2 e2iθ
( )
= Log r2 + i(2θ + 2mπ)
=
2 Log r + i(2θ + 2mπ)
(m ∈ Z)
(3) 2 log z を r と θ を用い、実部と虚部に分けて記せ。(2) と同様 log の多価性に注意し、実対数
関数は Log で記すこと。
(
)
2 log z = 2 log reiθ
= 2[Log r + i(θ + 2nπ)]
=
2 Log r + i(2θ + 4nπ)
(n ∈ Z)
( )
(4) log z 2 と 2 log z は log の多価性を考慮して等しいか否か。等しくない場合には、取りうる
値の集合について包含関係を示すなどして、具体的に何がどう等しくないか答えよ。
( )
log z 2 の虚部は 2π の整数倍の違いを含む多価関数なのに対し、2 log z の虚部は 4π の整数倍の
{ ( )}
違いである。したがって {2 log z} は log z 2 の真部分集合、すなわち
{ ( 2 )}
log z
⊋ {2 log z}
( )
である。例えば log z 2 は 2 Log r + i(2θ + 2π) という値を取ることができるが、2 log z はでき
ない。

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