幾何学 I — 位相幾何学入門 — 演習問題８
(a) K, K , K を複体とし, {hp } : {Cp (K)} −→ {Cp (K )}, {hp } : {Cp (K )} −→ {Cp (K )} を鎖準同型とす
る. このとき各 p について hp と hp の合成 hp ◦ hp を考えることによって得られる準同型の集合 {hp ◦ hp }
は {Cp (K)} から {Cp (K )} への鎖準同型であることを示せ. さらに {hp }, {hp } および {hp ◦ hp } から決
まるホモロジー群の準同型 (hp )∗ , (hp )∗ および (hp ◦ hp )∗ に対し, (hp ◦ hp )∗ = (hp )∗ ◦ (hp )∗ が成り立つ
ことを示せ.
(b) K, K , K を複体とする. ϕ を K から K への単体写像とし, ϕ を K から K への単体写像とする. こ
のとき ϕ と ϕ の合成 ϕ ◦ ϕ は K から K への単体写像であることを示せ.
(c) p を正の整数とする. p-単体 σ に対し, K(σ) を σ およびその全ての辺単体からなる複体とし, K(∂σ) を
σ の全ての (p − 1)-辺単体およびそれらの全ての辺単体からなる複体とする.
(c1) σ, τ を 1-単体とするとき, K(σ) から K(τ ) への単体写像を全て挙げよ.
(c2) σ, τ を 1-単体とするとき, K(σ) から K(∂τ ) への単体写像を全て挙げよ.
(c3) σ を 2-単体とし τ を 1-単体とするとき, K(σ) から K(τ ) への単体写像を全て挙げよ.
(c4) σ, τ を 2-単体とするとき, K(σ) から K(τ ) への単体写像を全て挙げよ.
(c5) σ, τ を 2-単体とするとき, K(σ) から K(∂τ ) への単体写像を全て挙げよ.
(c6) σ を 3-単体とし τ を 2-単体とするとき, K(σ) から K(τ ) への単体写像を全て挙げよ.
(c7) σ を 3-単体とし τ を 2-単体とするとき, K(σ) から K(∂τ ) への単体写像を全て挙げよ.
(c8) σ, τ を 3-単体とするとき, K(σ) から K(τ ) への単体写像を全て挙げよ.
(c9) σ, τ を 3-単体とするとき, K(σ) から K(∂τ ) への単体写像を全て挙げよ.
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