代数学XC（本郷）補足プリント

代数学 XC（本郷）補足プリント
高木俊輔（東大数理）
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定理. G を有限群とし，
C[G] ∼
= W1⊕m1 ⊕ · · · ⊕ Wr⊕mr
を G の C 上の左正則表現の既約分解とする．
(1) C 線形な（任意の λ ∈ C に対し Φ(λx) = λΦ(x) が成り立つ）環同型
Φ : C[G] ∼
= Mm (C) × Mm (C) × · · · × Mm (C)
1
r
2
が存在する．
∑
(2) mi = dimC Wi であり，|G| = ri=1 (dimC Wi )2 が成り立つ．
(3) r = (G の既約表現の同値類の数) = (G の共役類の数) が成り立つ．特に G の任意の
既約表現は，同値な表現を同一視すると，G の左正則表現の既約分解に現れる．
定義. R を環とする．
Z(R) := {x ∈ R | 任意の r ∈ R に対し，
rx = xr}
を R の中心 (center) と言う．Z(R) は R の部分環になる．
定義. 環 R の反対環 (opposite ring) Rop とは，次の 2 条件を満たす環である．
(i) アーベル群としては，Rop = R.
(ii) Rop の乗法 · を次のように定義する:
任意の x, y ∈ Rop = R に対し，x · y := yx ∈ R = Rop ．
注意. (1) 自然な環同型
φ : Rop → EndR (R) r 7→ (x 7→ xr)
が存在する．実際，φ(r)φ(s) = (x 7→ xs 7→ xsr)，φ(r · s) = φ(sr) = (x 7→ xsr) なので，
φ(r)φ(s) = φ(r · s) となり，φ は環準同型．φ の単射性は明らかなので，全射性を証明する．
任意の f ∈ EndR (R) に対し，f (1) = r とおく．f は R 準同型なので，任意の x ∈ R に対し，
f (x) = f (x · 1) = xf (1) = xr となる．つまり，f = (x 7→ xr) なので，φ は全射．
(2) K を体とすると，Mn (K)op ∼
= Mn (K). 実際，Mn (K)op → Mn (K) A 7→ t A という写像
t
を考えると，A · B = BA 7→ (BA) = t At B より，これは環同型を与える．
定理の証明. (1) Vi := Wi⊕mi とおく．Schur の補題より，i ̸= j ならば HomG (Vi , Vj ) ∼
=
HomG (Wi , Wj )⊕mi mj = 0 であることに注意すると，
EndG (C[G]) ∼
= EndG (V1 ) × · · · × EndG (Vr ).
Vi := Wi⊕mi より，Schur の補題を使うと，
EndG (Vi ) ∼
= Mmi (EndG (Wi )) ∼
= Mmi (C)
という環同型が得られる．以上をまとめると，
op
∼ EndG (C[G])op ∼
C[G] = (C[G]op )op =
= (Mn1 (C) × · · · × Mnr (C))
= Mn1 (C)op × · · · × Mnr (C)op
∼
= Mn (C) × · · · × Mn (C).
1
各同型は C 線形なので，その合成も C 線形である．
(2) C ベクトル空間の同型
HomG (C[G], Wi ) ∼
= Wi (x 7→ xwi ) 7→ wi
r
があるので，Schur の補題より，ni = dimC HomG (C[G], Wi ) = dimC Wi が成り立つ．C[G] は
{g}g∈G を基底とする C ベクトル空間であることに注意する．(1) の環同型は C ベクトル空間の
∑
同型になっているので，両辺の C ベクトル空間としての次元を比較すると，|G| = ri=1 m2i =
∑
r
2
i=1 (dimC Wi ) が得られる．
(3) まず r = (G の既約表現の同値類の数) を示す．G の任意の既約表現 (V, ρ) に対し，あ
る 1 ≤ i ≤ r が存在し，V ∼
= Wi （C[G] 加群の同型）となることを示せば良い．0 ̸= v ∈ V を
1 つ固定し，
φ : C[G] → V x 7→ xv
という C[G] 準同型を考える．0 ̸= Im φ ⊂ V だが，V は単純 C[G] 加群なので，V = Im φ. つまり
φ は全射．任意の 1 ≤ i ≤ r に対し，V ̸∼
= Wi とすると，Schur の補題より，HomG (Wi , V ) = {0}.
従って
r
⊕
∼
φ ∈ HomG (C[G], V ) =
HomG (Wi , V )⊕mi = {0}
i=1
となるが（真ん中は C ベクトル空間としての同型），φ は全射なのでこれは矛盾．
次に r = (G の共役類の個数) を示す．(1) の環同型の両辺の中心を比較する．
Z(Mmi (C)) = {A ∈ Mmi (C) | 任意の B ∈ Mmi (C) に対し，
BA = AB}
= {λEn | λ ∈ C}
より，C ベクトル空間として Z(Mmi (C)) ∼
= C. 従って (1) の右辺の中心は
Z(Mm1 (C) × Mm2 (C) × · · · × Mmr (C)) = Z(Mm1 (C)) × · · · × Z(Mmr (C)) ∼
= Cr .
∑
一方 g∈G ag g ∈ Z(C[G]) とすると，任意の h ∈ G に対し，


∑
∑
∑
ag g = h−1 
ag g  h =
ag (h−1 gh)
g∈G
g∈G
g∈G
が成り立つ．C[G] は {g}g∈G を基底とする C ベクトル空間なので，基底の係数を比較すると，
任意の g, h ∈ G に対し ag = ah−1 gh を得る．つまり，
x ∼ y ∈ G ならば，
ax = ay が成り立
⨿
∑
つ．G の共役類の個数を s とし，G = si=1 OG (gi ) とする．c(gi ) = h∼gi 1h ∈ C[G] とおく
∑
∑
と， g∈G ag g = si=1 agi c(gi ).
∑s
逆に i=1 bi c(gi ) ∈ C[G] (bi ∈ C) という元を考えると，任意の h ∈ G に対し，
)
( s
s
s
∑
∑
∑
h−1
bi c(gi ) h =
bi (h−1 c(gi )h) =
bi c(gi ).
よって
∑s
i=1 bi c(gi )
i=1
i=1
i=1
∈ Z(C[G]). まとめると，(1) の左辺の中心は，
{ s
}
∑
Z(C[G]) =
ai c(gi ) ai ∈ C ∼
= Cs
i=1
（最後は C ベクトル空間としての同型）. 以上より，r = s を得る．
□

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