その場

物理学演習 III
(量子力学)
［その場問題 No. 7］
2016. 6. 14
【時間によらない摂動論（前半）】
ハミルトニアン H が，摂動として取り扱わない部分 H0 と摂動を与える相互作用項 V とによって，
H = H0 + ϵV ,
と書けているとする。このハミルトニアン H0 の固有状態 |n⟩（n = 1, 2, · · · ）からなるヒルベルト
空間 H に縮退がない場合には，H0 の固有値の各値には，必ず 1 つの固有状態 |n⟩ のみが存在する。
すなわち，H0 のある１つの固有値 En とその一義的に決まる固有状態 |n⟩ は，
H0 |n⟩ = En |n⟩ ,
を満たしている。次に，ハミルトニアン H を対角化できたとし，その固有値を E(ϵ)，それに対応し
た固有状態を |ψ⟩ とすると，
H|ψ⟩ = E(ϵ)|ψ⟩ ,
と書ける。ここで，固有値 E(ϵ) とその固有状態 |ψ⟩ は，パラメータ ϵ に依存した形になっているは
ずである。
ϵ → 0 の極限ではハミルトニアン H は H0 になるので，それに伴い，固有値 E(ϵ) は H0 のある固
有値 En に移り，固有状態 |ψ⟩ もこの固有値 En の固有状態 |n⟩ になるはずである。それゆえ，この
En と |n⟩ に対応した E(ϵ) と |ψ⟩ をパラメータ ϵ で形式的にベキ展開してみると，
En (ϵ) =
|ψn ⟩ =
∞
∑
p=0
∞
∑
ϵp E (p) n = En + ϵE (1) n + ϵ2 E (2) n + · · · ,
ϵp |ψn(p) ⟩ = |n⟩ + ϵ|ψn(1) ⟩ + ϵ2 |ψn(2) ⟩ + · · · ,
p=0
とできることがわかる。
(1) E (1) n を求めなさい。
(1)
(1)
(2) |ψn ⟩ と固有状態 |m⟩（m ̸= n）との内積 ⟨m|ψn ⟩ を求めなさい。

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