講義ノート10

第７章円運動の動力学と惑星の運動
7-1 ケプラーの法則
・コペルニクスが地動説を提唱
・ティコ・ブラーエは精密な天体観測
・ケプラーはティコ・ブラーエの観察結果を解析
ケプラーの法則
１．惑星は太陽を一つの焦点とする楕円運動をする．
２．太陽と惑星を結ぶ線分が単位時間に描く面積は
一定である．
３．惑星の周期の2乗は，その楕円軌道の
長径の3乗に比例する．
1
7-2 ニュートンの万有引力の法則
太陽の周りを回る惑星，地球の周りを回る月と同様に，自
由落下する物体にも同じ力が働いていると着想
全て物体は互いに引き合う
万有引力
■万有引力のどのような数式で表現できるか？
・惑星が円軌道を描くと近似すると，惑星に働く向心力は，
v2
m F
R
(7.1)
2
■惑星が円軌道を描くと近似すると，惑星に働く向心力は，
惑星の質量に比例
■作用反作用の法則から太陽にも同じ力が働いているので，
太陽の質量にも比例
■ケプラーの法則より，周期の2乗が距離の3乗に比例する．
2
R
2R
2
2 m
2
T  2  2  2 
R (7.2)
惑星周期 T 
v
F
v
1
2 m
2
3
T  2 
F 2
RR
F
R
m1m2
F G 2
(7.3)
以上を合わせると，
r
G  6.67 1011 N  m2 /kg (7.4)
距離の二乗に反比例
逆二乗の法則
3
7-3 地球と私たちの間に働く力
万有引力は全ての物体同士に働く．
地球と物体間に働く万有引力は，
Gm
F   2 M i
i Roi
GM
m 2
R
物体
重心に全質量
が集中
m
Roj
Roi
M i
と書くことができる．
M
地球
距離Rを地球の半径REで近似すると，
 GM 
F  m 2   mg
 RE 
m
R
M j
M
(7.5) (7.6)
4
GM
g 2
RE
(7.7)




GM
6.67 1011 N  m 2 /kg 2 5.98 1024 kg
2
g 2 

9
.
83
m/s
2
RE
63 106 m

(7.8)
7-4，5 緯度による重力加速度の差他
地球の遠心力の影響
v2
2
F

m

mr

遠心力： C
r
右図より r  r sin 
遠心力の重力方向成分を考慮


F  mg  FC  mg  mr sin  2 sin 


 mg  mr sin 2  2  m g  r sin 2  2  mg'
5
g '  g  r 2 sin 2 
地球の角速度
(7.10)
2 rad

 7.3 105 rad/s
24  60  60 s
遠心力による加速度の最大値（赤道上）  
 r  7.3 10 rad/s   6.4 106 m  0.034 m/s
2
5
(7.9)

2
2
この効果は”g”の0.3％
6
7-6 重力と円軌道
人工衛星は円軌道を描いて運動
GMm
v2
m
2
r
r
GM
v
(7.11)
r
2r
v

周期をTとすると，
T
2
4 3
2
(7.12)
T 
r
GM
ケプラーの法則
7
7-7 二つの天体の運動
質量m1，m2の天体が円運動する場合
各天体から回転中心までの距離：r1，r2
角速度（同一）：ω
m1r1 2  m2 r2 2
R  r1  r2
向心力
 m1r1  m2 r2 (7.13)
m1r1 
m1m2
R
m1  m2
(7.14)
m1m2
m1r1 
R 2 (7.15)
m1  m2
2
向心力＝万有引力
m1m2
mm
R 2  G 1 2 2
m1  m2
R
(7.16)
8
2
4

T2 
R3
G m1  m2 
4 2 R 3
m1  m2 
GT 2
(7.17)
 
2
T
(7.18)
上記のような運動する天体は周期と天体間の距離Rを
観測すると，質量の和を求めることができる．
9
7-8 重力的ポテンシャルエネルギー
万有引力の式(7.3)を使って，重力的
ポテンシャルエネルギーをもとめる．
F  G
m1m2
r2
rf
rf
ri
ri
U f  U i    Fdr   G
m1m2
dr
2
r
rf
mm 
mm
mm

  G 1 2   G 1 2  G 1 2
r  ri
rf
ri

U g  G
m1m2
r
(7.20)
(7.19)
r   Ug  0
重力的ポテンシャルエネルギー
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7-9 脱出速度
脱出速度：地上から宇宙空間に達して戻ってこない
ための最低速度
力学的エネルギー（質量：m，速度：v，高さ：地上（地球の半径RE））
1 2
mM E
mv  G
2
RE
脱出できるかどうかは無限遠方まで到達できるかどうかできまる．
1 2
mM E
mv  G
0
(7.21)
2
RE
2GM E
v
 1.12 10 4 m/s
(7.22)
RE
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7-10 ブラックホール
もし，脱出速度が光速のとき，
2GM
R 2
c
(7.24)
シュワルツシルド半径
M
R  2.95
km
M
(7.25)
M ：太陽の質量
質量Mが巨大であるとき，光さえも脱出できなくなる．
太陽であれば，半径が約3 km
ブラックホール：シュワルツシルド半径よりも小さい天体
半径が非常に小さく，密度が高すぎて現実的な天体とかけ離れていた．
近年はブラックホールが存在すると信じられている．
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7-11 潮汐力
潮汐力：潮の満ち引きに関係する力
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7-14 中心力と角運動量
  
角運動量： L  r  p
  
L  r p sin 

L
(7.36)

r
平行四辺形の面積



d
d   dr   dp
L  r  p  
 pr
dt
dt
dt
dt
d  1      
L  p p  r  F  r  F
dt
m

p
  
 p p  0
  
■ 万有引力による運動の場合（惑星の運動など） r  F  0

dL 
(7.37)
0
dt
角運動量保存の法則
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