講義中出題問題

問題
長さLの糸に質量mのおもりを一端に取り付け他端を天井
に固定した．鉛直方向から角度Θだけ重りを最下点から
ずらして，Θを維持するように鉛直軸の回りに角速度ω
で回転させた．重力加速度をgとして以下の問いに答えよ．
（１）重りmは鉛直軸に垂直なｘｙ平面上を円運動するが，中心方向
に働く力を求めよ．
（２）重りの加速度の大きさaを求めよ．
（３）角振動数（角速度）ωをL，Θ，gで表わせ．
（５）周期Tを求めよ．
1
問題
長さLの糸に質量mのおもりを一端に取り付け他端を天井
に固定した．鉛直方向から角度Θだけ重りを最下点から
ずらした．重力加速度をgとして以下の問いに答えよ．
（１）最下点から重りの位置までの円弧の長さをsとして，重りの
運動方程式を求めよ．
（２）Θを微小な角度として，sinΘの近似式をsとLで示せ．
（３）sに関する単振動の式を求めよ．
（４）角振動数（角速度）ωを求めよ．
（５）周期Tを求めよ．
2
問題
次の一様密度の物体の重心位置を求めよ．
（１）半径aの半球
（２）半径aの半円板
（３）半径a，開き角αの円弧
3
問題抗力
xy座標原点から初速度v0，角度Θで質量mの質点を時刻
0で投げ上げた．速度に比例する抵抗-kvを受けるとする
と，以下の問いに答えよ．ただし，y軸は鉛直方向，x軸は
水平方向とし，重力加速度をgとする．
（１）質点のx，y方向の運動方程式を求めよ．
（２）時刻tの質点の速度を求めよ．
（３）時刻tの質点の位置x（t），y（t）を求めよ．
（４）十分時間がたったときの質点の原点からのx軸方向の
距離Lを求めよ．
4
問題慣性力
一定加速度aで鉛直に上昇するエレベータの中で，時刻
t=0で床からhの高さから水平に速さv0で質量mの質点を
投げた．エレベータ内でどのような運動をするか．ただし，
重力加速度をgとする．
（１）エレベータ内のxy座標系（y軸正が鉛直上方，x軸が
床面内）でのx，y方向の質点の運動方程式を求めよ．
（２）質点が床に到達するまでの時間tfと，そのときのx軸
方向の移動距離Lを求めよ．
5
問題仕事
（１）質量mの質点に一定の力Fを加え，初速度ゼロの
質点を一方向にt秒間加速した．そのときの仕事を
加速度a（=F/m）で表わせ．
（２）仕事をt秒後の速度vと質量mで表わせ．
6
問題仕事とエネルギー
図5-2のような水平から角度θの斜面を滑り落ちる質量
mの物体を考える．重力加速度g，斜面の動摩擦係数
をμ’，また斜面方向をx軸として以下の問いに答えよ．
(1)斜面方向（x方向）の物体の運動方程式を求めよ．
(2)この物体が高さhだけすべり落ちたとき，物体の力学
的エネルギーを求めよ．ただし，はじめの高さに物体
があったとき位置エネルギー＝０とせよ．
（３）摩擦力で失われたエネルギーを摩擦係数を使って
求めよ．
7
問題仕事とエネルギー
図5-7のようなバネの一端に質量mの物体がついている．
バネが自然長のときの物体の位置を原点として，バネ
の伸び縮みの方向をx軸とする．バネ定数をkとして以
下の問いに答えよ．
(1)物体を原点からx0の位置まで手で力を加えてゆっくり
移動した．そのとき仕事Wを求めよ．
(2)位置x0で手を離すと，物体は単振動を始めた．原点
の位置での物体の速さv0を求めよ．
（3）物体と床の間に摩擦があるとき，（2）で求めた原点
の速さvはどうなるか求めよ．動摩擦係数をμ’，重力
加速度をgとせよ．
8
問題右図のような振り子で，円周
方向（s方向）の運動を考える．
(1)円周方向の運動方程式を求めよ．
ただし，円周方向の長さｓの時間微分
で表現せよ．

T
l
(2)次の近似式を使い，(1)の運動方程式から
角度θの満たす微分方程式を求めよ．
s
Mg
sin   
ds
(3)質点の位置s，速度 dt を表す式を求め，単振動をす
ることを確認せよ．ただし，st  0  l0 , s  0
(4)質点の運動エネルギーTを求めよ．また，力学的エネ
ルギーが一定と仮定したときのポテンシャルエネルギー
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Uを求め，なぜそのような式になるのか答えよ．

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